module chia được trên vành giao hoán

Do vậy một hướng tiếp cận đơn giản khi đưa ra định nghĩa về module chia được trên vành giao hoán là ta sẽ loại bỏ hết các phần từ là ước của 0 trên vành hệ tử R.. Do đó ta sẽ đưa ra một

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

L ỜI CÁM ƠN

Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, động viên, quý báu của Ban giám hiệu, của quý Thầy cô và của các

bạn học viên khóa 22, Trường đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh

Trước hết, Em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến Thầy TS Trần Huyên đã dành thời gian chỉnh sửa và có những chỉ dẫn quý báu giúp em có thể hoàn thành luận văn

Em cũng xin gửi lời cám ơn chân thành đến toàn thể quý Thầy đã tận tình giảng

dạy giúp chúng em trang bị những kiến thức bổ ích trong suốt quá trình học tập

Kế đến, tôi xin gửi lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, Khoa toán và Phòng sau đại

học, Trường đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi có

thể hoàn thành luận văn trong thời gian cho phép

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ sự biết ơn đến gia đình, những người luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn Bên cạnh đó, sự chia sẻ và động viên của tất cả các bạn “Cao học đại số và lý thuyết số, khóa 22” đã giúp tôi hoàn thành tốt khóa học này

TP Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 9 năm 2013

Hồ Xuân Quân

M ỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN 1

M ỤC LỤC 2

L ỜI MỞ ĐẦU 3

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 T ổng trực tiếp và tích trực tiếp của họ module 4

1.2 Dãy kh ớp 5

1.3 Module n ội xạ và module xạ ảnh 6

1.4 Nhóm aben Ext X Y( , ) 8

1.5 Hàm t ử n Ext 9

1.6 Dãy kh ớp thuần khiết 11

CHƯƠNG 2: MODULE CHIA ĐƯỢC 15

2.1 Module chia được trên miền nguyên 15

2.1.1 Module chia được 15

2.1.2 Module t ối giản 22

2.2 Module chia được trên vành giao hoán 24

2.2.1 Module chia được 24

2.2.2 Li ện hệ với dãy khớp thuần khiết 32

2.2.3 M ột số tính chất về module con và module thương 35

2.2.4 Module t ối giản 41

K ẾT LUẬN 46

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 47

L ỜI MỞ ĐẦU

Module chia được trên miền nguyên được đưa ra dựa trên cơ sở miền nguyên không có ước thực sự của 0 Tức là, tích của hai phần tử khác 0 thì khác 0 Tuy nhiên khi xét trên vành giao hoán thì tính chất trên không còn đúng Do vậy một hướng tiếp cận đơn giản khi đưa ra định nghĩa về module chia được trên vành giao hoán là ta sẽ loại bỏ hết các phần từ là ước của 0 trên vành hệ tử R Cụ thể như sau:

“Cho R là một vành giao hoán có đơn vị khác không Khi đó, M là một module chia được nếu với mọi λ∈ ,R λ không là ước của 0 thì M =λM ”

Hướng tiếp cận như trên có những hạn chế nhất định Do đó ta sẽ đưa ra một định nghĩa tốt hơn cho “module chia được trên vành giao hoán” Đồng thời kết hợp với

một số khái niệm như: Dãy khớp thuần khiết, vành PP, vành chính quy,… để đưa ra

một số kết quả liên quan tới module chia được trên vành giao hoán

Toàn bộ luận văn được chia làm 2 chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức đã được biết đến trong đại số đại cương, đại

số đồng điều để thuận tiện cho việc triển khai Chương 2

Chương 2: Nội dung của chương 2 được chia làm 2 phần chính

2.1 Trình bày một số kết quả về module chia được trên miền nguyên

2.2 Đưa ra hai định nghĩa và những kết quả về module chia được trên vành giao hoán

C HƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong phần kiến thức chuẩn bị này, chúng ta nhắc lại một số kiến thức cần thiết về

lý thuyết module cần dùng cho việc triển khai nội dung ở chương 2

1.1 T ổng trực tiếp và tích trực tiếp của họ module

1.1.1 Định nghĩa: Cho ,A B là các R−module trái Khi đó tập tích Descartes A B×

với hai phép toán cộng và nhân ngoài được định bởi,

(a b1, 1) (+ a b2, 2) (= a1+a b2, 1+b2),

r a b( ) (, = ra rb, ),

Với mọi (a b1, 1) (, a b2, 2) ( ), ,a b ∈ ×A B và với mọi r∈R

là một module, được gọi là module tổng trực tiếp của hai module A và B, kí hiệu là:

là một R−module trái và được gọi là module tích trực tiếp của họ { Xi i I}∈

1.1.3 Định lý: ( tính phổ dụng của tích trực tiếp )([1], Định lý 5, trang 28)

Cho họ khác rỗng các R−module { Mi i I}∈ Khi đó với bất kì R−module M , mỗi

họ đồng cấu { : f Mi → Mi} được phân tích một cách duy nhất qua họ các phép chiếu

→∏ sao cho fi = p fi với mọi i I∈

1.1.4 Định nghĩa: Cho họ khác rỗng các R−module { Mi i I}∈ Module con của

1.1.5 Định lý: ( tính phổ dụng của tổng trực tiếp )([1], Định lý 6, trang 32)

Cho họ khác rỗng các R−module { Mi i I}∈ Khi đó với bất kì R−module M , mỗi

họ đồng cấu { :f M t t →M} được phân tích một cách duy nhất qua họ các phép nhúng { : j Mt t → ⊕ Mi} Nói cách khác, tồn tại và duy nhất một đồng cấu

được gọi là khớp tại module Bnếu imf = kerg

Một module trong dãy các đồng cấu được gọi là module trung gian nếu tại đó vừa có đồng cấu vào vừa có đồng cấu ra

Dãy các đồng cấu các R−module được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mọi module

Dãy khớp có dạng 0→ → →A f B g C→0 được gọi là dãy khớp ngắn

Dãy khớp các đồng cấu

được gọi là chẻ ra tại module B nếu imf là một hạng tử trực tiếp của B, tức là tồn

tại một module con B1 sao cho B imf = ⊕ B1

Một dãy khớp được gọi là chẻ nếu nó chẻ tại mỗi module trung gian

1.2.2 Định lý: ([1], Định lý 1, trang 40 )

Đối với mỗi dãy khớp ngắn 0→ → → →A χ B σ C 0, ba phát biểu sau là tương đương:

i Dãy là chẻ

ii Đồng cấu χ có nghịch đảo trái

iii Đồng cấu σ có nghịch đảo phải

1.2.3 Mệnh đề: ([1], Hệ quả 2, trang 41)

Nếu dãy khớp → → →A f B g C→ chẻ ra tại B thì B≅ Im f ⊕ Img

1.2.4 Mệnh đề: Cho dãy khớp 0 → A→ →α B β C với β là một đơn cấu thì 0

A=

Chứng minh: Theo tính khớp của dãy trên, ta có A≅Imα ≅Kerβ = 0

Tương tự ta có mệnh đề sau

1.2.5 M ệnh đề: Cho C→ →β B α A → 0 với β là một toàn cấu thì A= 0

1.3 Module n ội xạ và module xạ ảnh

1.3.1 Định nghĩa: Một R− module J là module nội xạ nếu với mỗi đơn cấu

: A B

χ → , mỗi đồng cấu f A: →J , tồn tại đồng cấu f B: →J thỏa f = fχ

1.3.2 Định lý: ([1], trang 76) Hai mệnh đề sau đây là tương đương nhau:

i R−module J là nội xạ

ii Bất kì dãy với ngắn 0→ → → →A χ B σ C 0 dãy các nhóm aben

sau là khớp

0→Hom C J, σ →Hom B J, χ →Hom A J, →0

1.3.3 Mệnh đề: ( tiểu chuẩn Baer )([1], Định lý 5, trang 77)

R−module J là nội xạ khi và chỉ khi với bất kì ideal trái I của Rvà bất kì đồng cấu

ii Mọi dãy khớp 0→ → → → là chẻ ra J B C 0

iii J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môt module nội xạ nào đó

1.3.6 M ệnh đề: Tích trực tiếp của một họ module i

i I

J J

∈

=∏ là nội xạ nếu và chỉ nếu

mỗi module thành phần J i là nội xạ

1.3.7 Định nghĩa: Module P được gọi là module xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu

: B C

σ → , mỗi đồng cấu f P: →C , tồn tại một đồng cấu : Pϕ → sao cho B

f =σϕ

1.3.9 Định lý: ( [1], Định lý 1, trang 73 ) Mỗi module tự do X đều là module xạ ảnh

1.3.10 Định lý: ( [1], Định lý 2, trang 73 ) Tổng trực tiếp của một họ module

i

i I

∈

=⊕ là xạ ảnh khi và chỉ khi mỗi module thành phần P i là xạ ảnh

1.3.11 Định lý: ([1], Định lý 3, trang 75) Đối với mỗi module P, ba phát biểu sau

là tương đương:

i P là module xạ ảnh

ii Mỗi dãy khớp 0 → A→ →χ B σ P → 0 là chẻ ra

iii P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một module tự do

1.4 Nhóm aben Ext X Y( , )

1.4.1 Định nghĩa: Cho ,X Y là hai R−module Ta gọi một mở rộng của Y bởi X

là một dãy khớp ngắn E của các R−module

Kí hiệu: Ext X Y ( , ) là tập tất cả các lớp tương đương của các mở rộng của Y bởi X

Và [ ]E là lớp tương đương của mở rộng E

1.4.3 Định nghĩa: Cho [ ],[ E1 E2] ∈ Ext X Y ( , ) Khi đó,

Khi đó, H n(Hom X B ( ), ) được gọi là tích mở rộng n−chiều trên R của các module ,

A B và được kí hiệu là: Ext R n(A B, ) hay Ext n(A B, )

Hom A B Hom A B Hom A B Ext A B

Ext A B Ext A B Ext A B Ext A B

Tương tự, ([1], Định lý 6, trang 168) Nếu B là module trái và mọi dãy khớp

ngắn các module trái 0 → A '→ →f A g A '' → 0 thì ta có dãy khớp

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * ( ) * ( ) ( )

g

Hom A B Hom A B Hom A B Ext A B

Ext A B Ext A B Ext A B Ext A B

định bởi ϕ α( + Im(Hom f i( ), ) )=α E với mọi α∈Hom M B( , )

1.5.6 Định lý: ([2], trang 69) Cho A là module trái Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

i A là xạ ảnh

ii 1( )

Ext A B = với mọi module trái B

iii.Ext n(A B, )=0 với mọi n> và mọi module trái 0 B

1.6 Dãy kh ớp thuần khiết

1.6.1 Bổ đề: Cho dãy khớp 0→A→ →α B β C→0 Khi đó, hai mệnh đề sau tương đương:

Mặt khác, với mọi x ∈ α ( ) A ∩ λ B thì tồn tại a∈A b, ∈ sao cho B x = α ( ) a = λ b

Đặt c=β( )b Khi đó, λc=β α( ( )a )= nên theo 0 ii) , tồn tại b0∈ B sao cho

Bây giờ ta sẽ đưa ra định nghĩa về dãy khớp thuần khiết như sau

1.6.2 Định nghĩa: Cho dãy khớp 0 → A→ →α B β C → 0 (1) Khi đó, dãy khớp

(1) được gọi là dãy khớp thuần khiết nếu dãy (1) thỏa một trong hai điều kiện của bổ

đề 1.6.1

1.6.3 M ệnh đề: Cho dãy khớp 0 → A→ →α B β C → 0 Khi đó, hai mệnh đề sau

tương đương:

i Nếu λc= v0 ới c C∈ thì tồn tại b B∈ sao cho β( )b =c và λb= 0

ii * :Hom(R ,B) Hom(R ,C)

β λ → λ là một toàn cấu với mỗi λ∈ R

Ch ứng minh i ⇒ : ii

Lấy g∈Hom(RλR,C) bất kỳ Khi đó, với mỗi r R

Chứng minh ii ⇒ : i

Giả sử có λc = với c C0 ∈ Khi đó, xét g : RλR→C định bởi g r( )=rc Dễ dàng

kiểm tra g là một đồng cấu nên theo điều kiện ii tồn tại đồng cấu f : RλR→B sao cho β f =g suy ra c=g( )1 =β ( )f ( )1 Đặt b= f ( )1 Khi đó, β( )b =c và

( )1 0

λ =λ =

1.6.4 Định nghĩa: Cho M là một R−module và N là một module con của M Khi

đó, N được gọi là module con thuần khiết của M nếu với mọi x N∈ và λ∈ sao R

cho tồn tại y∈M mà x=λy thì tồn tại 'x ∈ thN ỏa x=λx'

Bây giờ ta xét 0 → A→ →α B β C → 0 là dãy khớp thuần khiết Khi đó, vì α là

một đơn cấu nên ta có thể xem A như một module con của B

Với mọi a A∈ và mọi λ∈ thỏa a R =λb với b B∈ Khi đó, theo định nghĩa của dãy

khớp thuần khiết, ta có ngay a∈λA

Như vậy ta có mệnh đề sau

1.6.5 M ệnh đề: Cho 0 → A→ →α B β C → 0 là dãy khớp thuần khiết Khi đó, A

là module con thuần khiết của B

1.6.6 Định nghĩa: Vành R được gọi là vành chính quy nếu với mọi r∈R thì tồn tại

'

r ∈R sao cho rr r' =r

1.6.7 Định nghĩa: Một R−module M được gọi là module chính quy nếu mọi module con của nó đều là module con thuần khiết

1.6.8 Định lý: Các điều kiện sau là tương đương:

i R là vành chính quy

ii Mọi R−module là R−module chính quy

iii R là một module chính quy trên R

z=λ x ∈ , ta có ngay x N =λz

Vậy N là module con thuần khiết của M

Ch ứng minh ii ⇒iii.: hiển nhiên

C HƯƠNG 2: MODULE CHIA ĐƯỢC

Trong chương này sẽ trình bày hai định nghĩa và một số kết quả về module chia được trên vành giao hoán Nhưng trước hết, chúng ta sẽ đi đến những kết quả về module chia được trên miền nguyên Từ đó, phân tích và đánh giá chúng để có được

một số kết quả trên vành giao hoán

2.1 Module chia được trên miền nguyên

Trong ph ần này, nếu không chú thích thêm thì R là m ột miền nguyên

2.1.1 Module chia được

2.1.1.1 Định nghĩa: Cho M là một R−module Khi đó M được gọi là module chia

được nếu với mọi x M∈ và mọi λ∈R\ 0{ } thì luôn có y∈M sao cho x=λy

Định nghĩa 2.1.1.1 cũng có thể được phát biểu dưới dạng tương đương sau:

“M là một module chia được nếu M =λM với mọi λ∈R\ 0{ }”

Bây giờ với mỗi λ∈R\ 0{ }, ta xét ánh xạ λ*: M →M định bởi λ*( )x =λx với mọi

x∈M rõ ràng λ* là một đồng cấu Đồng thời, λ* là một toàn cấu nếu và chỉ nếu

M =λM Như vậy theo định nghĩa 2.1.1.1 ta dễ dàng khẳng định mệnh đề sau

2.1.1.2 M ệnh đề: Module M là chia được nếu và chỉ nếu λ* là toàn cấu với mỗi

{ }

\ 0

R

Mệnh đề 2.1.1.2 có thể xem như là định nghĩa 2 cho module chia được

Tiếp theo ta sẽ xem xét một số kết quả liên quan tới các module con, module thương,… của module chia được

2.1.1.3 M ệnh đề: Module thương của một module chia được là module chia được

Chứng minh:

Cho M là một module chia được và giả sử N là module con của M Khi đó, ta sẽ

N là một module chia được

Ta đã biết module con của một module chia được nói chung không phải là module chia được Chẳng hạn,  là một −module chia được và  là một module con của module  nhưng không chia được Bây giờ ta sẽ đưa ra một điều kiện để module con

của một module chia được là module chia được như sau

2.1.1.4 M ệnh đề: Cho M là một module chia được và N là module con thuần khiết

của M Khi đó, N là một module chia được

Ch ứng minh:

Với mọi λ∈R\ {0} và với mọi x N∈ Khi đó, tồn tại y∈M sao cho x=λy (do M

là module chia được) mà N là một module con thuần khiết nên tồn tại z N∈ thỏa

x=λz Do đó, N là một module chia được

Như vậy, theo mệnh đề 2.1.1.4 và 1.6.5 ta có ngay mệnh đề tương tự sau

2.1.1.4’ Mệnh đề: Cho dãy khớp 0→ → → → là thuA B C 0 ần khiết và B là module chia được Khi đó, A là module chia được

2.1.1.5 M ệnh đề: Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các module chia được là

module chia được

{ }

\ 0

R

λ∈ Do m i∈M i là module chia được nên m i∈λM i với mọi i I∈ Suy ra,

x∈λA như vậy A là module chia được

Chứng minh tương tự, ta có B là module chia được

2.1.1.6 M ệnh đề: Mọi module M đều có module con chia được lớn nhất (kí hiệu là

Với mỗi x M∈ d và với mỗi λ∈R\{ }0 thì ta có x=∑y i( tổng hữu hạn ) với y i∈N i

Vì các module con N i đều là module chia được nên tồn tại y'i∈N i sao cho

'

y =λy Do đó ta có x=λ∑y'i Như vậy M d là module con chia được của M

2.1.1.7 Mệnh đề: Cho M là một module Khi đó, module

M là một module chia được

Suy ra với mỗi k K∈ và mọi λ∈R\ 0{ } thì tồn tại x M+ d thuộc

Trường các thương  là một −module chia được Tổng quát hơn ta có khẳng định sau

S R− là một module chia được

Tiếp theo chúng ta cùng xem xét các module chia được với các module nội xạ như sau

2.1.1.9 Mệnh đề: Mọi module nội xạ đều là module chia được

Ch ứng minh:

Giả sử M là một module nội xạ Khi đó, với mọi x M∈ và mọi λ∈R\ 0{ }ta có ideal

I =λR là một module tự do với cơ sở là tập { }λ (vì R là một miền nguyên) Do đó, ánh xạ ϕ λ:{ }→M mà ϕ λ( )=x có thể mở rộng tới đồng cấu ϕ : I → M Vì M là module nội xạ nên theo tiêu chuẩn Baer, tồn tại phần tử y∈M sao cho với mọi r∈R

thì ϕ( )r =ry Suy ra x =ϕ λ( )=λy

Vậy M là một module chia được

Chiều ngược lại của mệnh đề 2.1.1.9 nói chung là không đúng Chẳng hạn ta xét ví

Thật vây, hiển nhiên ta có M là một module chia được Ta sẽ chứng minh M không

là module nội xạ Giả sử trái lại M là một module nội xạ Khi đó xét ideal I = x, 2

và ϕ : I → M định bởi ( ) 1

2

x x

2

x

ϕ =

Để chứng tỏ ϕ được định nghĩa tốt, ta sẽ chứng minh: “nếu a x+b.2= v0 ới a b R , ∈

thì a.ϕ( )x +b.ϕ( )2 =0 ” Vì a x +b.2= nên tồn tại 0 r∈R sao cho a= −r.2 và

Vậy M không phải module nội xạ

Tuy nhiên khi xét trên vành chính thì ta có mệnh đề sau

2.1.1.10 Mệnh đề: Nếu R là vành chính thì mọi module chia được đều là module

nội xạ

Ch ứng minh:

Lấy M là một module chia được, I là một ideal của R và f I: →M là một đồng

cấu Khi đó, vì R là một vành chính nên I aR= (với a R∈ ) Do đó, f a( ) thuộc module chia được M nên tồn tại x M∈ sao cho f a( )=ax

Như vậy, với mỗi λ∈ ,I λ =ra ta có f ( )λ = f ra( )=rf a( )=rax=λx nên theo tiêu chuẩn Baer thì M là module nội xạ

Theo định lý 1.5.2, nếu M là module nội xạ thì Ext X M( , )=0 với mọi module

X Đồng thời, áp dụng tiêu chuẩn Baer, ta có được kết quả sau

2.1.1.11 Định lý: Module M là nội xạ nếu và chỉ nếu Ext(R ,M) 0

I = với mọi I là ideal của R

Chứng minh:

Chiều thuận là hiển nhiên Ta sẽ chứng minh chiều ngược lại

Lấy I là một ideal tùy ý của R Ta có dãy khớp ngắn sau

I = nên Hom f i( ), :Hom R M( , )→Hom I M( , ) là một toàn cấu Suy

ra với mọi : Iϕ →M thuộc Hom I M( , ) thì tồn tại đồng cấu g R: →M sao cho

gi

ϕ = nên theo tiêu chuẩn Baer, ta có M là một module nội xạ

Theo mệnh đề 2.1.1.9, mọi module nội xạ đều là module chia được Do đó, theo định lý 2.1.1.11, nếu Ext(R ,M) 0

I = với I là một ideal tùy ý của R thì M là một module chia được Ngoài ra, cũng theo định lý 2.1.1.11 thì nếu module chia được M

nhưng không phải là module nội xạ thì ta không có được chiều ngược lại Tức là, nếu

M là module chia được nhưng không là nội xạ thì tồn tại ideal I của vành R thỏa

2.1.1.12 Định lý: M là module chia được khi và chỉ khi Ext(RλR,M)=0 với mỗi

Ext M

λ

Như vậy, để kết thúc chứng minh, ta sẽ chứng minh “ M là module chia được khi và

chỉ khi Hom(λR M, )=Im(Hom i( ,1M) ) với mọi λ∈ ” Thật vậy, R

Giả sử M là một module chia được

Ta có, đồng cấu Hom i( ,1M):Hom R M( , )→Hom(λR M, ) nên điều cần chứng minh

( , ) Im( ( ,1M) )

Hom λR M = Hom i tương đương với Hom i( ,1M) là một toàn cấu Lấy

:

f λR→M là một đồng cấu bất kỳ, nếu λ = thì hiển nhiên ta có 0 Hom i( ,1M) là

một toàn cấu Bây giờ, nếu λ ≠ thì do 0 f ( )λ ∈M mà M là module chia được nên

tồn tại y∈M sao cho f ( )λ =λy Xét đồng cấu g R: →M định bởi g r( )=ry với

mọi r∈R Hiển nhiên ta có f =gi Suy ra Hom i( ,1M) là một toàn cấu

Ngược lại, nếu Hom i( ,1M) là môt toàn cấu thì với mọi x M∈ và mọi λ∈R\ 0{ } ta xét đồng cấu f :λR→M định bởi f ( )λr =rx với mọi r∈R Do Hom i( ,1M) là

một toàn cấu nên tồn tại đồng cấu g R: →M sao cho f = gi

Do đó, x= f ( )λ =g( )λ =λg( )1 với g( )1 ∈M Như vậy M là module chia được

Từ định lý 2.1.1.12 và mệnh đề 2.1.1.2, ta có hệ quả sau mà ta có thể xem như các định nghĩa tương đương cho module chia được trên miền nguyên

2.1.1.13 H ệ quả: Các khẳng định sau là tương đương:

i M là một module chia được

ii λ*: M →M là một toàn cấu với mỗi λ∈R\ 0{ }

2.1.2 Module tối giản

2.1.2.1 Định nghĩa: Module C gọi là module tối giản nếu Hom A C( , )=0 với mọi module chia được A

Hiển nhiên ta có bổ đề sau

2.1.2.2 Bổ đề: Cho f A: →B là một đồng cấu module và A là module chia được thì ( )

f A là một module chia được

Theo mệnh đề 2.1.1.8 thì mọi module đều có module con chia được lớn nhất Từ

đó, ta có thể chỉ ra cách xây dựng module tối giản qua mệnh đề dưới đây

2.1.2.3 M ệnh đề: Cho M là một module Khi đó,