module chia được trên miền dedekind

LỜI MỞ ĐẦU Các miền Dedekind có thể xem là một mở rộng gần gũi nhất của miền các ideal chính, vì nó còn bảo lưu được nhiều tính chất rất “giống” miền các ideal chính; chẳng hạn, trong mộ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong khoa Toán – Tin, quý thầy cô trong bộ môn Đại số trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh và trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã trang bị cho tôi đầy đủ kiến

thức làm nền tảng trong quá trình viết luận văn này

Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Đình Lân, là người trực tiếp hướng dẫn tôi trong quá trình nghiên cứu Tôi xin cảm ơn PGS TS Mỵ Vinh Quang đã giúp đỡ tôi rất nhiều để hoàn thành luận văn

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã tin tưởng, động viên tôi trong suốt thời gian qua

Tp H ồ Chí Minh, tháng 10 năm 2011

Võ Thị Vân Anh

M ỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

LỜI MỞ ĐẦU iii

Chương 1 Miền Dedekind 1

1.1 Phần tử nguyên 1

1.2 Bao đóng nguyên 5

1.3 Vành Noether 5

1.4 Miền Dedekind 7

1.5 Một số kết quả trên vành giao hoán 20

Chương 2 Module chia được trên miền Dedekind 22

2.1 Cấp của phần tử trên miền Dedekind 22

2.2 Module cyclic trên miền Dedekind 29

2.3 Module nội xạ và module chia được 36

2.4 Một số tính chất cơ bản của module chia được trên miền Dedekind 40

2.5 Module tựa cyclic trên miền Dedekind 48

2.6 Cấu trúc của module chia được trên miền Dedekind 57

KẾT LUẬN 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

LỜI MỞ ĐẦU

Các miền Dedekind có thể xem là một mở rộng gần gũi nhất của miền các ideal chính, vì nó còn bảo lưu được nhiều tính chất rất “giống” miền các ideal chính; chẳng hạn, trong một miền Dedekind mỗi ideal khác 0 sinh bởi một phần tử đều phân tích được duy nhất thành tích các ideal tối đại, mỗi ideal của miền Dedekind đều là ideal hữu hạn sinh Tuy nhiên, nó có rất nhiều tính chất khác lạ so với miền ideal chính; chẳng hạn, ideal của miền Dedekind nói chung không là ideal chính, module con của một module cyclic trên miền Dedekind có thể không là module cyclic, module con của module tự do trên miền Dedekind có thể không là module tự do…

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ cố gắng xây dựng và mở rộng một số kết

quả của module trên miền ideal chính sang module trên miền Dedekind Cụ thể, chúng tôi sẽ đưa ra khái niệm cấp của một phần tử trong một module trên miền Dedekind Sau đó, dựa vào khái niệm cấp của một phần tử chúng tôi xây dựng, nghiên cứu về module cyclic, module tựa cyclic Từ đó, chúng tôi đưa ra và chứng minh được các định lý cho phép mô tả cấu trúc của module tựa cyclic, module chia được trên miền Dedekind

Luận văn được chia thành 2 chương

Chương 1: Miền Dedekind

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về miền Dedekind cần cho chương sau

Chương 2: Module chia được trên miền Dedekind

Trong chương này, chúng tôi

• Xây dựng và nghiên cứu các tính chất của cấp của một phần tử trong module trên miền Dedekind

• Xây dựng và nghiên cứu các tính chất của module cyclic, module tựa cyclic trên miền Dedekind; đặc biệt là nghiên cứu tính chất của module chia được, mối liên hệ giữa module chia được và module nội xạ trên miền Dedekind

• Nghiên cứu và xây dựng định lý cấu trúc của một module chia được trên miền Dedekind

Chương 1 MIỀN DEDEKIND

1.1 Phần tử nguyên

1.1.1 Định nghĩa Cho A và B là những miền nguyên và AB.

Phần tử b B được gọi là phần tử nguyên trên A nếu tồn tại đa thức đơn khởi

1.1.2 Định nghĩa Cho A và B là những miền nguyên, AB. Nếu mọi phần tử

b B nguyên trên A thì ta nói B nguyên trên A

1.1.3 Mệnh đề Cho tháp các miền nguyên AB. Nếu B là A - module hữu hạn sinh thì B nguyên trên A

Chứng minh Giả sử b b1 2, , , b m là hệ sinh của A-module B

Với mọi b B , tồn tại a ij A i j, 1, 2, , m sao cho

có nghiệm không tầm thường x x1 2, , , x m  b b1 2, , , b m Vì vậy, định thức

ma trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính bằng 0,

với a a0, , ,1  a m1A Vì thế b nguyên trên A ■

1.1.4 Hệ quả Cho A và B là nh ững miền nguyên, AB. Gi ả sử b B Khi đó, các m ệnh đề sau là tương đương

i) b nguyên trên A ,

ii) A b   là A - module hữu hạn sinh,

iii) A b   nguyên trên A

Chứng minh Dễ thấy ii)iii) và iii)i) Ta chứng minhi)ii)

Giả sử b nguyên trên A Khi đó, tồn tại a a0, , ,1  a n1A sao cho

Ta chứng minh 1, , ,b  b n1 là hệ sinh của A b   trên A

Đầu tiên, ta chứng minh bằng quy nạp (theo k) b biểu thị tuyến tính được qua k

1

1, , , b  bn với hệ số thuộc A

Giả sử b biểu thị tuyến tính được qua i 1, , , b  bn1, với mọi i k k n.Nhân cả hai vế của b n a n1b n1  a b a1  0  0 với b k 1 n, ta được

Vì bk, ,  bk 2 n k, b  1 n biểu thị tuyến tính được qua 1, , , b  bn1 (giả thiết quy

nạp), nên b k1 cũng biểu thị tuyến tính được qua 1, , , b  bn1 với hệ số thuộc A Vậy b k  k   biểu thị tuyến tính được qua 1, , , b  bn1 với hệ số thuộc A

Với mọi x A b    , x a  0 a b1    a b ak k,  i  A  Vì 1, , , b  bk biểu thị tuyến tính được qua 1, , , b  bn1 với hệ số thuộc A nên x biểu thị tuyến tính được

qua 1, , , b  bn1 với hệ số thuộc A Vậy A b   là A-module hữu hạn sinh ■

1.1.5 Hệ quả Cho A và B là nh ững miền nguyên, AB. Gi ả sử b1, , b n B

Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương

Chứng minh Dễ thấy ii)iii) và iii)i) Ta chứng minh i)ii)

Giả sử b1, , b n nguyên trên A, ta chứng minh A b 1, ,b n

   là A-module hữu

hạn sinh bằng quy nạp theo n

Mệnh đề đúng khi n 1 (hệ quả 1.1.4)

Giả sử mệnh đề đúng với n 1 Khi đó, A b 1, ,b n1

   là A-module hữu hạn sinh ■

1.1.6 Hệ quả Cho tháp các miền nguyên AB. Nếu b b1 2,  nguyên trên B A

thì b1b b2 1, b b b2 1 2, cũng nguyên trên A Nói cách khác, tập hợp các phần tử

c ủa B nguyên trên A ,

nguyên trên A (hệ quả 1.1.5) nên b1b b2 1, b b b2 1 2, nguyên trên A ■

1.1.7 Hệ quả Cho tháp các miền nguyên AB C. Nếu B nguyên trên A và

C nguyên trên B thì C là nguyên trên A

Chứng minh Lấy c C Vì c nguyên trên B nên có b0, , b n1 B sao cho

sinh Vậy c nguyên trên A

A  b B b A được gọi là bao đóng nguyên của A trong B

B được gọi là nguyên trên A nếu A B B

A được gọi là đóng nguyên trong B nếu A B A

1.2.2 Nhận xét A A B B

1.2.3 Định nghĩa Cho A là một miền nguyên, Q A là trường các thương của   A

Bao đóng nguyên của A trong Q A được gọi là bao đóng nguyên của   A

Miền nguyên A được gọi là đóng nguyên nếu Q A  .

A  A

1.3 Vành Noether

Trong phần này, ta giả sử R là vành giao hoán

1.3.1 Định nghĩa Một vành R được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng

nếu mọi dãy tăng các ideal I1 I2   của R đều dãy dừng, nghĩa là tồn tại số tự

nhiên n sao cho I n I n1  

1.3.2 Định nghĩa Một vành R được gọi là vành Noether nếu R thỏa mãn điều

kiện dây chuyền tăng

1.3.3 Định nghĩa Một vành R được gọi là thỏa mãn điều kiện tối đại nếu mọi tập

hợp không rỗng gồm các ideal của R đều chứa phần tử tối đại

1.3.4 Mệnh đề Cho R là một vành Khi đó các mệnh đề sau là tương đương

i) R là vành Noether,

ii) R thỏa mãn điều kiện tối đại,

iii) Mọi ideal của R đều hữu hạn sinh

Ch ứng minh (xem [6], định lý 7.1.1, trang 189-190) ■ 1.3.5 Bổ đề

i) P là ideal nguyên tố của vành R khi và chỉ khi với mọi ideal B, C c ủa R,

Chứng minh Giả sử ngược lại Gọi S là tập tất cả các ideal khác 0 của khác R

không chứa tích của các ideal nguyên tố Vì S   và R là vành Noether nên S

có phần tử tối đại là A Do A S nên A không là ideal nguyên tố Vì thế, tồn tại các ideal B C, R sao cho BC A nhưng B A  và C  A (bổ đề 1.3.5) Vì

B A  nên A/ A B Tương tự, ta có A/ A C

Mặt khác, do tính tối đại của A trong tập S nên A B S   và A C S  

Vì vậy, A B   và P1 P k A C Q1Q t, với ,P Q là các ideal nguyên tố i j

của R Khi đó, AA B A C    P1 P Q k 1Q t, suy ra A S  (điều này mâu thuẫn với cách chọn A) Vậy giả sử là sai Ta có điều phải chứng minh ■

1.3.7 Mệnh đề Cho R là vành Noether, S là t ập con nhân của R Khi đó, vành các thương S R1 a a R s S,

Ch ứng minh Lấy J là ideal của S R1 Đặt I  f1  J , với f R: S R1 là đồng cấu R-module xác định bởi   ,

1.4.1 Định nghĩa Cho D là miền nguyên D được gọi là miền Dedekind nếu các

điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn

1.4.3 Định nghĩa Cho D là miền nguyên và Q D là trường các thương của   D

Tập con A khác rỗng của Q D được gọi là ideal phân của   D nếu

i) a b A   , với mọi ,a b A ,

ii) ax A  , với mọi a A x D ,  ,

iii) Tồn tại aD,a  sao cho 0 a A D.

1.4.4 Chú ý Để tránh nhầm lẫn giữa ideal và ideal phân của D, ta còn gọi ideal

của D là ideal nguyên

1.4.5 M ệnh đề (tính chất của ideal phân)

i) Nếu A là ideal nguyên c ủa D thì A là ideal phân của D Ngược lại, nếu A

là ideal phân của D và AD thì A là ideal nguyên c ủa D

ii) Mỗi ideal phân A của D đều viết được dưới dạng A I ,

a

 vớia D I, D

iii) Nếu D là miền Noether thì mọi ideal phân của D đều là D - hữu hạn sinh, tức

là n ếu A là ideal phân của D thì t ồn tại a1, , a n A sao cho v ới mọi

,

x A  x a1 1a   a n na , v ới a1, , a n D nào đó

iv) Nếu A , B là ideal phân của D thì A B AB , cũng là ideal phân của D

1.4.6 Định nghĩa Cho D là miền Dedekind, P là ideal nguyên tố của D và

 

Q D là trường các thương của D Ta định nghĩa P a Q D aP D

Khi đó, P là ideal phân của D

1.4.7 Bổ đề Cho D là mi ền Dedekind và P là ideal nguyên t ố của D Khi đó,



P  và  D P  D

Chứng minh Lấy a D Vì aP D nên a P Suy ra D P 

Tiếp theo, ta chứng minh P D

Lấy b P \ 0 , ta có 0 b  Theo mệnh đề 1.3.8, tồn tại P P1, , P k

là các ideal nguyên tố của D sao cho P1P k  b P Gọi k là số tự nhiên bé

nhất để tồn tại các ideal nguyên tố P1, , P k của D thỏa P1P k  b P Xảy

ra một trong hai trường hợp sau

Chứng minh Vì P P ,  là ideal phân của D nên P P là ideal phân của . D. Mặt

khác, do aP D  a P nên P P D Vậy P P D

Vì 1 D P nên P P P Do tính tối đại của P, ta có  P P  hoặc P

P P D

Giả sử .P P  P Khi đó, P đóng với phép nhân Thật vậy, lấy a b  , P  , ta

có  ab P a b P aP   Do đó P D ab P Điều này cho ta P là một

miền nguyên con của Q D chứa   D Mặt khác, vì P là ideal phân của D nên là D

-hữu hạn sinh Do đó, P là D-module hữu hạn sinh Vì thế, P nguyên trên D Tuy nhiên, ta lại có D đóng nguyên, cho nên P  D, mâu thuẫn với bổ đề 1.4.6

Vậy .P P D ■

1.4.9 Mệnh đề Nếu D là miền Dedekind thì mọi ideal nguyên khác 0 và khác D

của D đều phân tích được một cách duy nhất thành tích của một hoặc hữu hạn các ideal nguyên tố

Chứng minh Giả sử tồn tại ideal khác 0 và khác D của D không phân tích được thành tích các ideal nguyên tố Gọi S là tập các ideal như vậy

Vì S   và D là vành Noether nên S có phần tử tối đại là A

Gọi k là số tự nhiên bé nhất để tồn tại k ideal gồm P1, , P k sao cho

mâu thuẫn với A S Vậy giả sử trên sai .

Ta chỉ ra sự phân tích trên là duy nhất Giả sử A P 1P k Q1Q l, với

k  Vì l A Q nên tồn tại 1 i sao cho P i Q1 Không mất tính tổng quát, giả sử

P Q Do tính tối đại của P nên 1 P1 Q1 Nhân P với cả hai vế của đẳng thức1

P P Q Q ta được P2P k Q2Q l Q2 Lặp lại tương tự như trên, ta

có P2 Q P2, 3 Q3, Nếu k l thì sau k bước D Q k1Q l Q l, vô lý

Do đó k l và P i Q i  i 1, k Vậy sự phân tích của A là duy nhất ■ Như vậy, mọi ideal nguyên A của miền Dedekind D A0,A D  được phân tích một cách duy nhất 1

1k k m,

m

AP P với P là các ideal nguyên tố của i D

và k  Đây được gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của i 1 A

Xét A là ideal phân của D Khi đó A I ,

Vậy mọi ideal (ideal nguyên hoặc ideal phân) A khác 0 và khác D của D

đều được phân tích một cách duy nhất dưới dạng 1

1k k m,

m

A P P với k i là các số nguyên khác 0 và P là các ideal nguyên tố khác nhau của i D

1.4.10 Định nghĩa Cho A, B là ideal (nguyên hoặc phân) của D A chia hết cho

B, viết A B  , nếu tồn tại ideal nguyên C sao cho ABC Khi đó, ta gọi B là ước

Quy ước P0 D, với mọi P là ideal nguyên tố của D

1.4.12 M ệnh đề (Tính chất của ord ) Cho P D là mi ền Dedekind, P là ideal nguyên t ố, A , B là các ideal phân c ủa D và a b , Q D  Khi đó

i) ord AB P  ord A P ord B P 

A B khi và ch ỉ khi ord A P  ord B P  , v ới mọi P là ideal nguyên tố của D

ii) ord A B P   minord A ord B P , P  

iii) ord P  ab ord P a ord P b , trong đó ordP  a  ordP  a

iv) ord P a b minord P a ,ord P b 

v) Nếu ord P a ord P b thì ord Pa b  minord P a ,ord P b .

P BC thì P AC| 1BC1, vô lý Do đó, P không đồng thời có mặt trong

sự phân tích của AC1 và BC1 Suy ra

ord C  ord AC ord BC ord C ord A B C 

Vì vậy ord A B P   minord A ord B P , P   

iii) Ta có

       

ord ab  ord a b  ord a  ord b

iv) Vì ordP  a b    ordP  a b   và a b  a  b nên

    min  ,   

ord a b ord a  b  ord a ord b

v) Không mất tính tổng quát, giả sử ord P  a ord P  b Khi đó

1.4.13 Mệnh đề Cho A là ideal phân c ủa miền Dedekind D, gi ả sử có sự phân tích 1

iii) AD khi và ch ỉ khi ord A  với mọi P  0 P là ideal nguyên tố

iv) N ếu AB AC thì B C ( A B C là ideal (nguyên hoặc phân) của , , D )

1.4.14 Nhận xét Sự tồn tại của ideal nguyên C như trong định nghĩa 1.4.10 là duy

nh ất Do đó, ta ký hiệu C : A

B

 

1.4.15 Mệnh đề Cho A , B là ideal (nguyên ho ặc phân) của D Khi đó, các mệnh

đề sau là tương đương

ord a  ord x  ord x a  i n

Nếu P P1, , P n thì ord P a minord x P  1 , , ord x P n 0 ■

1.4.17 Bổ đề Cho D là miền Dedekind, A là ideal (nguyên ho ặc phân) của D và

B là ideal nguyên của D Khi đó, tồn tại a A sao cho A a AB

Chứng minh Gọi P1, , P n là tất cả các ideal nguyên tố của miền Dedekind D

tham gia vào sự phân tích A hoặc AB (tức là   0

1.4.19 Định nghĩa Cho A, B là ideal (nguyên hoặc phân) của miền Dedekind D

Ước chung lớn nhất của hai ideal A , B được định nghĩa là ideal  A B,

thỏa đồng thời các điều kiện sau

i)  A B A, | và  A B B, | ,

ii) Nếu tồn tại ideal C sao cho C A C B thì | , | C A B| , 

B ội chung nhỏ nhất của hai ideal A , B được định nghĩa là ideal A B, 

v ới c i  min a b i i, ,d i max a b i i,

Sau này, nếu A B D thì ta viết  A B , 1

1.4.21 Mệnh đề Cho , , A I J là các ideal (nguyên hoặc phân) của miền Dedekind

iii) Hiển nhiên IJ  I J Ta chứng minh IJ  I J

Vì  I J , 1 nên tồn tại a I b J ,  sao cho a  b 1 Khi đó, với mọi

,

x I J  ta có x x.1x a b   xa xb IJ  Vậy IJ  I J ■

1.4.22 Mệnh đề Nếu D là mi ền Dedekind và S là t ập con nhân của D thì S D1

cũng là miền Dedekind

Ch ứng minh Đầu tiên, vì D là vành Noether nên S D1 cũng là vành Noether (mệnh đề 1.3.7)

Tiếp theo, ta chỉ ra mọi ideal nguyên tố của S D1 đều là ideal tối đại

Lấy P là ideal nguyên tố của S D1 Xét I là ideal của S D1 (I S D1 ) sao cho P I Khi đó, f1  P là ideal nguyên tố của D (f D: S D1 là đồng

cấu các D-module xác định bởi   ,

1

r

f r    ) r D

Vì P I nên f1  P  f1  I Mặt khác, do f1  P là ideal tối đại (D là

miền Dedekind, f1  P là ideal nguyên tố của D) nên f1  I  f1  P hoặc

S D  mâu thuẫn với cách lấy I I Vì thế, f1  I  f1  P Do đó P I

Vậy P là ideal tối đại của S D1

Cuối cùng, ta chứng minh S D1 đóng nguyên

Gọi Q D là trường các thương của   D Khi đó, Q D cũng chính là trường  

các thương của S D1 ( đơn cấu f D: S D1 xác định bởi   ,

và s c i n i D i 1,n Vì thế,  sd nguyên trên D Suy ra sd D (D đóng nguyên) Do đó, d S D 1 Vậy S D1 đóng nguyên ■

1.4.23 Mệnh đề Nếu D là mi ền Dedekind và P là ideal nguyên t ố của D thì

Ch ứng minh Theo mệnh đề 1.4.22, D là miền Dedekind Do đó, mọi ideal P

nguyên tố của D đều là ideal tối đại Mặt khác, vì vành địa phương hóa P D có P

a D Khi đó, tồn tại , a a  D P\ sao cho a a. x ord a P a.

Ch ứng minh Ta có ord a P    ord a P  0

a x D AB   với ,A B là những ideal nguyên của D và A P B ,  P

Lấy a B P\ Khi đó, . ord a P : \

a a x  aA P Suy ra . ord a P  .

a a x a ■

1.4.25 Mệnh đề Nếu D là mi ền Dedekind thì D là miền ideal chính P

Ch ứng minh Miền Dedekind D chỉ có một ideal nguyên tố khác 0 duy nhất P

P

PD Hơn nữa, mọi ideal khác 0, khác D của P D đều được phân tích một cách P

duy nhất thành tích các ideal nguyên tố Do đó, ta chứng minh mệnh đề bằng cách

chứng minh ideal PD là ideal chính P

1.5 M ột số kết quả trên vành giao hoán

1.5.1 Mệnh đề Cho S là t ập con nhân của vành giao hoán có đơn vị R. Cho N

là module con c ủa R -module M Khi đó, ta có đẳng cấu S R1 -module

  là module các thương của

module M theo t ập con nhân S  D P\ và fP :M P N P là đồng cấu được

1.5.3 Định nghĩa R-module M được gọi là module nội xạ nếu với mọi đơn cấu

:

j N  K và đồng cấu f N:  M luôn tồn tại đồng cấu g K: M sao cho

f  g j

1.5.4 Mệnh đề (Tiêu chuẩn Baer) Cho R là vành giao hoán, có đơn vị và M là

R - module Khi đó M là module n ội xạ nếu với mọi ideal I c ủa R và v ới mọi đồng

c ấu f I: M thì t ồn tại đồng cấu g R:  M sao cho f  g j, trong đó

Chương 2 MODULE CHIA ĐƯỢC TRÊN MIỀN DEDEKIND

Trong chương 2, chúng tôi đưa ra khái niệm cấp của một phần tử trong module trên miền Dedekind Sau đó, dựa vào khái niệm cấp của phần tử chúng tôi xây dựng và nghiên cứu các tính chất của module cyclic, module tựa cyclic trên miền Dedekind; đặc biệt là nghiên cứu tính chất của module chia được, mối liên hệ giữa module chia được và module nội xạ trên miền Dedekind Từ đó, chúng tôi xây

dựng và chứng minh định lý cho phép mô tả cấu trúc của module chia được trên

miền Dedekind

Trong chương này, ta giả sử D là miền Dedekind

2.1 C ấp của phần tử trên miền Dedekind

2.1.1 Định nghĩa Cho D-module M

Với mỗi x M , đặt O x     a D a x   0  Khi đó O x là ideal của   D

Chiều thuận của mệnh đề là hiển nhiên

Đảo lại, từ giả thiết ta có A O x   Mặt khác, vì ax  0,  a O x  nên

ii) Vì ab x y  abx aby  0,  a A b B,  nên c x y 0,  c AB

Nếu d x y   thì 0 da x y     Suy ra 0, a A day    Do 0, a A

đó, da B a A ,   Mặt khác, vì  A B , 1 nên tồn tại a0 A b, 0  sao cho B

a   Suy ra b d d a 0b0da0 db0 B Tương tự, ta có d A. Do

đó d d a 0 b0da0 db0 AB

Vậy O x y AB (mệnh đề 2.1.2)

iii) Ta chứng minh cho trường hợp n 2 Ta có hai trường hợp

Trường hợp 1 Tồn tại i sao cho A  i 0

Với mỗi j cố định (j  1, s), không mất tính tổng quát, giả sử l j k j Khi

đó, với mỗi t  1, s và t  j, ta lấy cố định phần tử k t \

2.1.4 Định nghĩa Cho D-module M và P là ideal nguyên tố của D.

Đặt M P x M x có cấp là lũy thừa của P Khi đĩ, M là module con P

của M và được gọi là thành phần P - nguyên sơ của M

2.1.5 Mệnh đề Cho M là m ột D -module P - nguyên sơ Khi đó, tồn tại đẳng cấu

D -module M  M P, v ới M là module các thương của P D -module M theo t ập con nhân S D P\

Ch ứng minh Xét đơn cấu tự nhiên D-module j :M  M P Ta chứng minh j là toàn cấu bằng cách sử dụng mệnh đề 1.5.2

Lấy Q là ideal tối đại của D, xét đồng cấu jQ :M Q  M P Q

Nếu Q P thì tồn tại u P Q \ Lấy x m  M P Q,

  và t D Q \ Vì M là module P-nguyên sơ nên tồn tại số tự

nhiên n sao cho P m  Do đó, n 0 u n m u m n 0 0

Tĩm lại, với mọi ideal tối đại Q của D, ta cĩ jQ :M Q  M P Q là tồn cấu

Vì vậy, theo mệnh đề 1.5.2, j :M  M P cũng là tồn cấu ■

2.1.6 Chú ý Do đẳng cấu D -module trong m ệnh đề 2.1.5 nên ta đồng nhất M P

và M ( P D -module)

2.1.7 Định nghĩa Cho D-module M Đặt M T x M x có cấp hữu hạn

Khi đĩ, 𝑀𝑇 được gọi là phần xoắn của M

𝑀𝑇 là module con của M Thật vậy, 0M T

2.1.8 Định nghĩa M được gọi là module xoắn nếu M M T Nĩi cách khác,

M là module xoắn nếu mọi phần tử của M đều cĩ cấp hữu hạn

M được gọi là module khơng xoắn nếu M  Nĩi cách khác, T 0 M là module khơng xoắn nếu mọi phần tử khác 0 của M đều cĩ cấp vơ hạn

2.1.9 Mệnh đề Cho D -module M và M là phần xoắn của T M Khi đĩ,

T

M M

là D -module khơng xo ắn

x  x M  M sao cho x  và 0 O x  tức là tồn tại   0, a O x  \ 0 

sao cho ax  Vậy 0 ax M T

Vì M là module xoắn nên T O ax  tức là tồn tại   0, b O ax    \ 0 sao cho

2.2 Module cyclic trên mi ền Dedekind

2.2.1 Định nghĩa Cho R là vành bất kỳ R-module M được gọi là module cyclic

nếu M được sinh bởi một phần tử, tức là M Rx rx r R , với x là phần tử nào đó thuộc M

Trong lý thuyết nhóm Abel, một nhóm cyclic có cấp hữu hạn khi và chỉ khi nhóm đó có hữu hạn phần tử Tuy nhiên, kết quả không còn đúng đối với module