một số tính chất của vành giao hoán artin

VŨ KIM HỒNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH GIAO HOÁN ARTIN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA TOÁN – TIN

… o0o…

VŨ KIM HỒNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH GIAO HOÁN ARTIN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA TOÁN – TIN

VŨ KIM HỒNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH GIAO HOÁN ARTIN

Ngành: Sư phạm Toán

MSSV: 34101028

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TRẦN TUẤN NAM

T hành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến PGS TS Trần Tuấn Nam, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tôi về mặt nghiên cứu cũng như niềm tin để hoàn thành luận văn này

Bên cạnh đó, tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn đến các quý thầy cô trong tổ

bộ môn Đại số nói riêng và toàn thể quý thầy cô khoa Toán – Tin trường Đại học

Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh nói chung đã tận tình giảng dạy, truyền thụ những tri thức quý báu cho tôi trong suốt bốn năm học tại trường

Và cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã hỗ trợ tôi về vật chất cũng như tinh thần để tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này

Vũ Kim Hồng

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

Danh mục các ký hiệu 4

MỞ ĐẦU 5

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 7

1.1 Vành và iđêan 7

1.2 Môđun 15

1.3 Sự phân tích nguyên sơ 20

Chương 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH ARTIN 22

2.1 Điều kiện dây chuyền 22

2.2 Sự phân tích nguyên sơ trong vành Noether 29

2.3 Một số tính chất của vành Artin 32

KẾT LUẬN 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

Vành và môđun được ký hiệu bởi chữ in hoa: A, B,…, M, N,…

Iđêan được ký hiệu bởi chữ cái thường tiếng Đức: , , , , , , , a b m p q

Phần tử của vành, môđun và iđêan được ký hiệu bởi chữ thường: a, b, …, x, y,…

Kết thúc một chứng minh (hoặc thiếu đi chứng minh) được đánh dấu: 

Sự bao hàm của những tập hợp được ký hiệu bởi: ⊆

Sự bao hàm ngặt của những tập hợp được ký hiệu bởi: ⊂

MỞ ĐẦU

Điều kiện dây chuyền tăng và điều kiện dây chuyền giảm là những tính chất hữu hạn được thỏa mãn bởi cấu trúc đại số nào đó, đặc biệt là các iđêan của vành giao hoán Hai điều kiện này đóng vai trò quan trọng đối với sự phát triển lý thuyết cấu trúc của vành giao hoán trong những nghiên cứu của David Hilbert, Emmy Noether và Emil Artin

Vành Artin và vành Noether là những vành giao hoán thỏa điều kiện dây chuyền giảm và điều kiện dây chuyền tăng trên mọi tập không rỗng những iđêan Trong đó, vành Artin được tìm ra bởi nhà toán học người Áo Emil Artin (1898 – 1962), là loại vành đơn giản nhất sau trường Và luận văn này nhằm mục đích tìm hiểu một số tính chất của vành giao hoán Artin Bố cục luận văn được chia làm hai chương:

• Chương 1: Kiến thức cơ bản

Chương này trình bày những kiến thức cơ bản liên quan đến đề tài: 1.1 Vành

và iđêan, 1.2 Môđun, 1.3 Sự phân tích nguyên sơ Các chứng minh ở chương này được bỏ qua

• Chương 2: Một số tính chất của vành Artin

Đây là chương chính của luận văn gồm ba phần:

2.1 Điều kiện dây chuyền: Từ điều kiện dây chuyền xây dựng khái niệm môđun Artin (và Noether), vành Artin (và Noether), chứng minh một số tính chất của môđun Artin (và Noether)

2.2 Sự phân tích nguyên sơ trong vành Noether: Phần này cung cấp một số định lý, mệnh đề nhằm phục vụ cho việc chứng minh các tính chất của vành Artin có liên quan đến vành Noether ở phần tiếp theo

2.3 Một số tính chất của vành Artin: Phần này đi sâu vào tìm hiểu những tính chất của vành Artin về: iđêan nguyên tố, căn lũy linh, vành Artin địa

phương, mối quan hệ giữa vành Artin và vành Noether và đặc biệt là định lý cấu trúc của vành Artin

Vì khả năng và thời gian còn hạn chế nên luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mong quý thầy cô và bạn đọc đóng góp để luận văn được hoàn chỉnh hơn nữa

C hương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN

• Khái niệm “vành” được dùng ở đây là “vành giao hoán có đơn vị”,

nghĩa là một vành thỏa các tiên đề từ (1) đến (4) cho ở trên

• Nếu trong vành A ta có 1 0= thì A chỉ có một phần tử là 0 Ta gọi A là

vành không, ký hiệu 0

Mệnh đề 1.1.2 Cho vành A Khi đó:

• Phần tử đơn vị của vành là duy nhất

• 0a = 0 với mọi a A∈

• ( )−a b= − = −a( )b ( )ab với mọi a,b A∈

• ( )( )−a − =b ab với mọi a,b A∈

• ( )na b=a nb( )=n ab( ) với mọi a,b A∈ , mọi n ∈

+ =∑ với mọi a,b A∈ , mọi n ∈ 

Định nghĩa 1.1.3 Một tập con S của vành A được gọi là vành con của A nếu thỏa:

i) a− ∈ b S với mọi a,b S∈ ,

ii) ab∈ S với mọi a,b S∈ ,

iii) 1 S∈

Định nghĩa 1.1.4 Một đồng cấu vành là một ánh xạ f từ vành A vào vành B thỏa:

i) f a( +b) ( ) ( )=f a +f b với mọi a,b A∈ ,

ii) f ab( ) ( ) ( )=f a f b với mọi a,b A∈ ,

iii) f 1( )= 1

Ghi chú:

• Đồng cấu vành f được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu ánh

xạ f tương ứng là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh

• Nếu có một đẳng cấu vành từ vành A đến vành B thì ta nói hai vành A

và B đẳng cấu nhau, ký hiệu A B≅

• f 0( )= 0

• f( )− = −a f a( ) với mọi a A∈

• f a( −b) ( ) ( )=f a −f b với mọi a,b A∈ 

Mệnh đề 1.1.6 Nếu f : A→ , g : BB → là hai C đồng cấu vành thì tích (ánh xạ hợp) g f : A →C cũng là đồng cấu vành 

Định nghĩa 1.1.7 Một iđêan a của vành A là một tập con của A thỏa:

i) a≠ ∅,

ii) x− ∈a với mọi x, y ∈a , y

iii) ax∈a với mọi a A∈ và mọi x ∈a

Định nghĩa 1.1.8 Cho a là một iđêan của một vành A Quan hệ hai ngôi  xác

định trên A:

a b⇔ − ∈a b a với mọi a,b A∈

là một quan hệ tương đương Tập thương A  được ký hiệu A a , lớp tương đương với đại diện a A∈ được ký hiệu a + a

Khi đó, tập thương A a có cấu trúc vành với hai phép toán:

• Phép cộng: với mọi x + a , y+ ∈a A a : (x+a) (+ y+a) (= x+y)+a

• Phép nhân: với mọi x + a , y+ ∈a A a : (x+a)(y+a) ( )= xy +a

Ta gọi đó là vành thương của vành A trên iđêan a

Mệnh đề 1.1.9 Ánh xạ

: A A

φ → a

x x+a

là một toàn cấu vành Ta gọi đó là toàn cấu chính tắc từ A lên vành thương A a

Hơn nữa, Kerφ = a 

Kerf =f− 0 là một iđêan của A, Im f =f A( ) là một vành con của B và f cảm sinh một đẳng cấu vành: A Kerf ≅Im f 

Định nghĩa 1.1.11

• Một phần tử x của vành A được gọi là ước của không nếu trong A tồn

tại phần tử y 0≠ sao cho xy 0= Nếu x là ước của không và x 0≠ thì

x được gọi là ước thật sự của không

• Vành khác không và không có ước thật sự của không được gọi là miền

nguyên

• Một phần tử x của vành A được gọi là lũy linh nếu có một số nguyên

dương n sao cho n

x = 0

• Một phần tử x của vành A được gọi là phần tử khả nghịch nếu trong A

tồn tại phần tử y sao cho xy 1= Phần tử y được xác định duy nhất bởi

x và được viết là 1

x−

• Những bội số ax của phần tử x thuộc vành A lập thành một iđêan chính,

ký hiệu Ax hoặc x〈 〉 Iđêan không 0〈 〉 thường được ký hiệu 0

• Vành A được gọi là trường nếu A 0≠ và mọi phần tử khác không đều khả nghịch

Mệnh đề 1.1.12 Một phần tử x của vành A là phần tử khả nghịch khi và chỉ khi

ii) Chỉ có hai iđêan trong A là 0 là 1〈 〉 ;

iii) Mọi đồng cấu từ A vào vành B khác 0 là đơn ánh 

Định nghĩa 1.1.14

• Một iđêan p của vành A được gọi là iđêan nguyên tố nếu p≠ 〈 〉1 và nếu xy ∈ p thì suy ra x ∈ p hoặc y∈ p

• Một iđêan m của vành A được gọi là iđêan tối đại nếu m≠ 〈 〉1 và chỉ

có hai iđêan của A chứa m là m và A

Mệnh đề 1.1.15 Cho a là iđêan của vành A, khi đó:

• a là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi A a là miền nguyên

• a là iđêan tối đại khi và chỉ khi A a là trường 

Hệ quả 1.1.16

• Mọi iđêan tối đại đều là iđêan nguyên tố

• Iđêan 0 của vành A là nguyên tố khi và chỉ khi A là miền nguyên 

của B thì 1( )

f− q là một iđêan nguyên tố của A 

Định lý 1.1.18 Mọi vành A khác không đều chứa ít nhất một iđêan tối đại 

Mệnh đề 1.1.21 Tập N gồm tất cả lũy linh của vành A là một iđêan và A N

không chứa lũy linh nào khác 0 

Định nghĩa 1.1.22 Iđêan N được gọi là căn lũy linh của vành A

Mệnh đề 1.1.23 Căn lũy linh của vành A là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của

Định nghĩa 1.1.26 Cho a và b là hai iđêan của vành A

• Tổng của a và b, ký hiệu +a b , là tập gồm tất cả các phần tử x y+ với

x∈a , y ∈b Tổng quát, tổng i

i I ∈

∑a của họ iđêan ( )ai i I∈ là tập gồm tất

rad a đều là iđêan của A 

Mệnh đề 1.1.28 Cho a , b, c , ( )ai i I∈ là những iđêan của vành A Ta có:

• rad rad( ( )a )=rad( )a

• rad( )ab =rad(a b∩ =) rad( )a ∩rad( )b

• rad( )a = ⇔ =A a A

• rad(a b+ )=rad rad( ( )a +rad( )b  )

Định nghĩa 1.1.29 Hai iđêan a và b của vành A được gọi là nguyên tố cùng nhau

nếu a b+ = 〈 〉1

Mệnh đề 1.1.30 Hai iđêan a và b của vành A nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi

tồn tại x ∈a và y∈b sao cho x y 1+ = 

Định nghĩa 1.1.32 Cho A , A , , A 1 2 n là vành Khi đó, tích trực tiếp của chúng

i 1

=

=∏ là vành tích của chúng Những phép chiếu p : Ai →Ai được xác định bởi p xi( )= là những đồng xi

cấu vành

• Cho a a1, 2, ,a là những iđêan của vành A Ánh xạ n n ( i)

i 1

=

φ →∏ a xác định bởi quy tắc φ( ) (x = x+a1, x+a2, , x+a là một đồng cấu n)vành 

Mệnh đề 1.1.34 Cho a a1, 2, ,a là những iđêan của vành A và đồng cấu vành n

i 1 =

p Khi đó a⊆p với i nào đó i

• Cho a1, ,a là những iđêan và p là một iđêan nguyên tố chứa n

n i

i 1 =

a Khi đó ai ⊆p với i nào đó Nếu

n i

i 1 =

=

p a thì ai =p với i nào đó 

Mệnh đề 1.1.36 Cho a là một iđêan của vành A Khi đó căn của iđêan a là giao

của tất cả iđêan nguyên tố chứa a 

Mệnh đề 1.1.37 Cho ,a b là hai iđêan của vành A Khi đó rad( )a , rad( )b nguyên

tố cùng nhau khi và chỉ khi ,a b nguyên tố cùng nhau 

1.2 Môđun

Định nghĩa 1.2.1 Cho A là một vành Một A – môđun là một tập hợp M với phép

nội toán : M M+ × →M và phép ngoại toán : A M × →M thỏa:

1) M là một nhóm aben đối với phép cộng, có phần tử không (ký hiệu 0), 2) a x( +y)=ax+ay với mọi a A∈ và mọi x, y M∈ ,

3) (a+b x) =ax+bx với mọi a,b A∈ và mọi x M∈ ,

4) a bx( ) ( )= ab x với mọi a,b A∈ và mọi x M∈ ,

5) 1x= với mọi x Mx ∈ (1 là phần tử đơn vị của vành A)

Khi đó, vành A được gọi là vành hệ tử của môđun

cấu A – môđun (hay A – tuyến tính) nếu:

• Đồng cấu A – môđun được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu

ánh xạ f tương ứng là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh

• Nếu có một đẳng cấu A – môđun từ M đến N thì ta nói M và N đẳng

cấu nhau, ký hiệu M N≅

xạ hợp) g f : M →L cũng là đồng cấu A – môđun 

Định nghĩa 1.2.4 Cho A – môđun M và N là tập con của M Khi đó, N được gọi là

môđun con của M nếu:

i) N≠ ∅ ,

ii) x− ∈ y N với mọi x, y N∈ ,

iii) ax∈ N với mọi x N∈ , a A∈

Ghi chú:

• Môđun con cũng là một A – môđun với các phép toán cảm sinh

• Iđêan a của vành A cũng là một A – môđun Đặc biệt, bản thân A cũng

là một A – môđun

• Nếu A là một trường K thì A – môđun là một K – không gian vectơ

Định nghĩa 1.2.5 Cho N là môđun con của A – môđun M Tập thương M N có

cấu trúc A – môđun với hai phép toán:

Mệnh đề 1.2.7 Cho N là môđun con của A – môđun M Có một sự tương ứng 1 – 1

bảo toàn thứ tự giữa những môđun con của M mà chứa N với những môđun con của

M N

Kerf =f− 0 là một môđun con của M, Im f =f M( ) là một môđun con của N và f cảm sinh một đẳng cấu A – môđun: M Kerf Imf≅ 

• Nếu M' là môđun con của M thì f M ' ( ) là môđun con của N

• Nếu N' là môđun con của N thì 1( )

f− N ' là môđun con của M 

• Thương của M và 1 M2, ký hiệu (M : M1 2), là tập gồm tất cả phần tử

a∈ A thỏa aM2 ⊆M1 Đặc biệt, thương (0 : M ) là tập gồm tất cả phần

tử a A∈ thỏa aM 0= , được gọi là linh hóa tử của A – môđun M và ký

hiệu Ann M ( )

nhờ phép nhân ngoài (a+a)x =ax ( a∈A, x∈M)

iđêan của A Khi đó, M1+M2, Ma là hai môđun con của M và (M : M1 2) là một iđêan của A 

Mệnh đề 1.2.13 Nếu x là một phần tử của A – môđun M thì tập tất cả các bội số ax

với a A∈ là một môđun con của M, ký hiệu Ax hoặc x〈 〉 và gọi là môđun con của

M sinh bởi x 

Định nghĩa 1.2.14 Cho A – môđun M

i I

M Ax

∈

=∑ thì ( )xi i I∈ được gọi là hệ sinh của M, có nghĩa là mọi

phần tử của M có thể biểu diễn (không nhất thiết duy nhất) dưới dạng tổ hợp tuyến tính hữu hạn của ( )xi i I∈ với hệ số trong A

• M được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn

• Hệ sinh ( )xi i I∈ của M được gọi là cơ sở của M nếu phần tử 0 được biểu

diễn một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của họ ( )xi i I∈ , tức

i IM

∈

⊕ là tập gồm tất cả các họ ( )xi i I∈ thỏa xi∈Mi với mỗi i I∈ và hầu hết

Ghi chú: Khi tập chỉ số I={1, 2, , n} là một tập hữu hạn thì tổng trực tiếp

môđun nếu ta định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng:

• (x , y1 1) (+ x , y2 2) (= x1+x , y2 1+y2)

• a x, y( ) (= ax, ay) 

Mệnh đề 1.2.17 M là một A – môđun hữu hạn sinh khi và chỉ khi M đẳng cấu với

thương của n

A = ⊕ ⊕ A A (n số hạng) với số nguyên dương n nào đó 

Mệnh đề 1.2.18 (Bổ đề Nakayama) Cho M là một A – môđun hữu hạn sinh và a

là một iđêan của A được chứa trong căn Jacobson J của A Khi đó nếu M Ma = thì suy ra M=  0

môđun hữu hạn sinh Khi đó M Mm được linh hóa bởi m , do đó là một A m – môđun, nghĩa là A m – không gian vectơ hữu hạn chiều

Mệnh đề 1.2.19 Cho x , , x 1 n là những phần tử của M mà ảnh của chúng trong

M m tạo thành một cơ sở của không gian vectơ này Khi đó, M x sinh ra M  i

được gọi là khớp tại M i nếu Im fi =Kerfi 1+

• Một dãy được gọi là dãy khớp nếu dãy đó khớp tại mọi M i

• Dãy khớp dạng f g

0→M '→ M →M ''→ 0 được gọi là dãy

khớp ngắn

Mệnh đề 1.2.21

• Dãy 0→M 'f→ là khớp khi và chỉ khi f đơn cấu M

• Dãy Mg→M ''→ 0 là khớp khi và chỉ khi g toàn cấu 

1.3 Sự phân tích nguyên sơ

và nếu xy ∈q, x ∉q thì suy ra n

y ∈q với n nào đó

Nói cách khác, một iđêan q của vành A được gọi là iđêan nguyên sơ khi và

chỉ khi A q≠0 và mọi ước của 0 trong vành thương A q đều là lũy linh

khi và chỉ khi q a nguyên sơ trong vành thương A a 

Mệnh đề 1.3.3 Nếu q là một iđêan nguyên sơ của vành A thì rad( )q là iđêan

nguyên tố nhỏ nhất trong số tất cả những iđêan nguyên tố của A mà chứa q 

được gọi là p – nguyên sơ

Mệnh đề 1.3.5 Nếu rad( )a là tối đại thì a là nguyên sơ Đặc biệt, lũy thừa của một iđêan tối đại m là m – nguyên sơ 

Mệnh đề 1.3.6 Nếu q1, ,q là p – nguyên sơ thì n

n i

i 1 =

=

q q là p – nguyên sơ 

Định nghĩa 1.3.7 Một sự phân tích nguyên sơ của một iđêan a của vành A là sự

biểu diễn a dưới dạng giao hữu hạn những iđêan nguyên sơ: n i

nguyên tố xuất hiện trong tập những iđêan rad(a: x) ( x∈A) và không phụ thuộc vào sự phân tích nguyên sơ của a 

Định nghĩa 1.3.9

• Những iđêan nguyên tố p ở trên được gọi là liên kết với a i

• Những phần tử tối tiểu của tập {p1, ,p ở trên được gọi là iđêan n}

nguyên tố cô lập liên kết với a

Hệ quả 1.3.10 Những thành phần nguyên sơ q ứng với iđêan nguyên tố cô lập i p i

là xác định duy nhất bởi a 

Định nghĩa 1.3.11 Một iđêan a của vành A được gọi là bất khả qui nếu nó không

phải là giao của hai iđêan chứa nó thật sự

Nói cách khác, iđêan a của vành A là bất khả qui khi và chỉ khi a≠A và với mọi iđêan ,b c nếu = ∩a b c thì =a b hoặc =a c