định thức trên vành giao hoán và định thức dieudonne

M ột số tính chất của định thức trên vành giao hoán .... Mặt khác, định thức trên vành giao hoán được nghiên cứu dựa trên tính giao hoán của phép nhân giữa các phần tử.. Bố cục luận văn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI XUÂN HẢI

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

1

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Bùi Xuân Hải - người thầy đã tận tình giúp

đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy cô của Trường, Phòng Sau đại học, Khoa Toán học, bộ môn Đại số - Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh và Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn này

Qua đây, tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn

TP HCM, ngày 27 tháng 9 năm 2013

An Thị Thúy Nga

2

MỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

B ẢNG KÍ HIỆU 3

M Ở ĐẦU 4

CHƯƠNG 1: ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN 5

1.1 M ột số khái niệm cơ bản 5

1.2 Định nghĩa định thức trên vành giao hoán 6

1.3 M ột số tính chất của định thức trên vành giao hoán 6

1.4 M ột số định lý khai triển định thức trên vành giao hoán 8

1.5 Điều kiện để ma trận trong vành giao hoán khả nghịch 12

1.6 M ột số phương pháp tính định thức trên vành giao hoán 13

1.6.1 Phương pháp dùng định nghĩa 13

1.6.2 Phương pháp khai triển 14

1.6.3 Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác 15

1.6.4 Phương pháp quy nạp 15

1.7 H ệ phương trình tuyến tính trên vành giao hoán 16

CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC DIEUDONNE 22

2.1 M ột số khái niệm cơ bản 22

2.2 Định nghĩa định thức Dieudonne 26

2.3 M ột số tính chất của định thức Dieudonne 26

2.4 S ự tồn tại của định thức Dieudonne 29

2.5 M ột số kết quả suy từ định nghĩa và tính chất của định thức Dieudonne 32

2.6 M ột số phương pháp tính định thức Dieudonne 36

2.6.1 Phương pháp 1 36

2.6.2 Phương pháp 2 36

2.7 So sánh định thức trên vành giao hoán và định thức Dieudonne 37

2.7.1 M ột số tính chất giống nhau giữa hai định thức 37

2.7.2 M ột số tính chất khác nhau giữa hai định thức 38

KẾT LUẬN 40

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 41

E R - Nhóm tuyến tính sơ cấp bậc n trên vành R

[ ]a b, =a b ab− 1 − 1 - Giao hoán tử của các phần tử a và b trong nhóm G

[H K, ]- Nhóm con của G sinh ra bởi tất cả các giao hoán tử dạng [ ]a b, với

,

a H b K∈ ∈ (H K, là các tập con khác rỗng của G

4

MỞ ĐẦU

Đại số tuyến tính nói chung và Lý thuyết định thức nói riêng được xây dựng trên trường Trường là cấu trúc trọn vẹn nhất nên việc xây dựng định thức trên đó có nhiều kết quả đa dạng và phong phú Tuy nhiên nếu thay đổi trường bằng một cấu trúc đại số khác, mà cụ thể là vành giao hoán có đơn vị và vành chia thì kết quả đã biết còn đúng, hay được thay đổi như thế nào

Mặt khác, định thức trên vành giao hoán được nghiên cứu dựa trên tính giao hoán của phép nhân giữa các phần tử Còn đối với định thức Dieudonne nghiên cứu trên vành chia Sự khác biệt của vành giao hoán và vành chia dẫn đến sự khác biệt của hai định thức trên

Trên đây là một số lý do chúng tôi chọn đề tài “Định thức trên vành giao hoán

và định thức Dieudonne” để nghiên cứu và tìm hiểu

Luận văn sẽ tổng hợp, trình bày Lý thuyết định thức trên vành giao hoán và định thức Dieudonne, sau đó so sánh những điểm giống và khác nhau giữa hai định thức này

Bố cục luận văn được chia làm 2 chương:

Chương 1 - Định thức trên vành giao hoán

Chương 2 - Định thức Dieudonne

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót, mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn Xin chân thành cảm ơn

5

1.1 M ột số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 Xét X={1 2 , , , n} với n là số nguyên dương Đặt S n là tập hợp các song ánh từ X vào X. Ta định nghĩa

1) Mỗi phần tử s ∈S n được gọi là một phép hoán vị bậc n hay một phép thế bậc

n và được biểu diễn bởi ma trận loại 2 ×n

trong đó ở dòng thứ nhất, các phần tử của X được sắp xếp theo một thứ tự nào đó (thường

là 1, 2,…, n), dòng thứ hai gồm ảnh của dòng thứ nhất qua song ánh s

2) Với mỗi số nguyên k ≥2, phép hoán vị s ∈S n được gọi là k - chu trình có chiều dài k nếu tồn tại các phần tử phân biệt i i1 , , , 2 i k∈Xsao cho

( )i1 i2 ; ; ; ; ( )i2 i3 ( )i k 1 i k ( )i k i1

s = s = s − = s = và s( )j = j

với mọi j∉{i i k, , , 2 i k} Khi đó ta viết s =(i i1 i 2 k)

Hai chu trình s =(i i1 2 i k) và t =(j j1 2 j l) được gọi là rời nhau nếu

{i i1 , , , 2 i k} {∩ j j1 , , , 2 j l}= ∅

Mỗi 2- chu trình được gọi là một chuyển vị Như vậy, mỗi chuyển vị có dạng

( ) ij

s = với 1 ≤ ≠ ≤i j n.

Định lý 1.1.2 Mọi phép hoán vị đều được phân tích thành tích các chu trình rời

nhau Cách phân tích duy nhất, sai khác một sự đổi chỗ các chu trình

Bổ đề 1.1.3 Mọi chu trình được phân tích thành tích các chuyển vị Cách phân tích

không duy nhất

Định lý 1.1.4 Mọi phép hoán vị đều được phân tích thành tích các chuyển vị Cách

phân tích không duy nhất nhưng tính chẵn lẻ của số các chuyển vị là duy nhất

Chú ý 1.1.5 Xét phép hoán vị s Gọi k là số chuyển vị trong phân tích s thành tích các chuyển vị Đặt

6

sgn s = −

Theo Định lý 1.1.4, sgn s( ) không phụ thuộc vào cách phân tích s

- Nếu sgn s =( ) 1 thì s được phân tích dưới dạng tích của một số chẵn các chuyển vị Ta nói s là một hoán vị chẵn

- Nếu sgn s = −( ) 1 thì s được phân tích dưới dạng tích của một số lẻ các chuyển

1.2 Định nghĩa định thức trên vành giao hoán

Xét R là vành giao hoán, có đơn vị

Định nghĩa 1.2.1 Cho R là vành giao hoán, có đơn vị Cho A aij là ma trận vuông cấp n trên R Định thức của ma trận A trên R, được kí hiệu là detA hay A và xác định bởi

  1 1  2  2  

n

n n S

1.3 Một số tính chất của định thức trên vành giao hoán

Tính chất 1.3.1 Cho A là ma trận vuông cấp n trên R và A T là ma trận chuyển vị của ma trận A Khi đó

T

detA detA

Chứng minh Giả sử A aij và A T  bij thì bija ji,  i j, 1 ,n Khi đó ta có

n n S

S

n n S

detA sgn b b b

sgn a a a

sgn a a a

sgn a a a detA

s

s s s s

s

t t t t

s s s t

Tính chất 1.3.3 Nếu ma trận vuông A có hai dòng bằng nhau thì detA 0.

Tính chất 1.3.4 Cho ma trận vuông A aij cấp n trên R. Nếu nhân vào dòng thứ i

của ma trận A với k R thì định thức của ma trận nhận được bằng định thức của A

nhân với k

8

Chứng minh Giả sử trong ma trận A tất cả các hệ số của dòng i được nhân lên k

lần, còn các dòng khác giữ nguyên ta nhận được ma trận mới A  a ij Khi đó

1.4 Một số định lý khai triển định thức trên vành giao hoán

Định nghĩa 1.4.1 Cho A aij là ma trận vuông cấp n trên R. Với mỗi ,i j ta gọi

ij i j ;

A  detA i j

 

Ch ứng minh Do a  ik 0 với mọi k j nên

i j

detA sgn a as s as

s s

-sgn sgn sgn sgn

- sgn

t a s b

s s s

s S n s i  j và S n1 Hơn nữa, với mỗi k 1 ,n 1, ta có

Nếu k i thì t k  asb k  a s  k  nên

n

n

n

n n S

A

detAa

Chứng minh i) Với mỗi k ∈ 1, n đặt

kj kj

detAa A

Hệ quả 1.4.5 Cho A aij là ma trận tam giác trên (dưới) trong R. Khi đó detA

bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính của A

Định lý 1.4.6 (Định lý Laplace ) Cho A =( )a ij là ma trận vuông cấp n trên R. Khi đó, với k dòng cho trước, định thức của A bằng tổng tất cả các tích của định thức con cấp k lấy ra từ k dòng đó với phần bù đại số của nó, nghĩa là

i) với mỗi 1 i ≤ < < < ≤ 1 i 2 i k n, ta có

det AB =detA detB⋅

1.5 Điều kiện để ma trận trong vành giao hoán khả nghịch

Định nghĩa 1.5.1 Cho A là ma trận vuông cấp n trên R. Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n trên R sao cho AB BA I= = n.

Định lý 1.5.2 Cho A aij là ma trận vuông cấp n trên R và đặt    ij ij

Trong A′ nếu ta xóa dòng j cột k thì ta nhận được ma trận bằng ma trận thu được từ

A bằng cách xóa dòng j cột k, nghĩa là A j k′( ); = A j k( ); Khi đó ta có

Ngược lại, nếu detA khả nghịch mà theo i) ta có AB BA= =(detA I). n với ( )ij

14

Tuy nhiên, phương pháp này chỉ nên áp dụng đối với định thức cấp 2, cấp 3 còn dùng

để tính định thức cấp n n ≥,( 4) thì không đơn giản

i i i i

i S

detB sgn a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a

s s s s

1.6.2 Phương pháp khai triển

Để tính định thức của ma trận vuông A cấp n, ta dùng công thức khai triển theo dòng thứ i hay cột thứ j, thường chọn dòng hay cột có nhiều phần tử 0.

15

1.6.3 Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột) của ma trận và các tính chất của định thức biến đổi định thức về dạng tam giác Khi đó, định thức cuối cùng bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính

n n

1.7 H ệ phương trình tuyến tính trên vành giao hoán

Định nghĩa 1.7.1 Một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn số là một hệ có dạng

• Mỗi bộ số (x x1 , , , 2 x n) (= a a 1 , , , 2 an) thỏa tất cả các phương trình trong (1.1) được

gọi là một nghiệm của hệ (1.1) Khi hệ có nghiệm ta còn nói hệ tương thích

m

b b B b

được gọi là ma trận bổ sung (hay ma trận mở rộng) của hệ (1.1)

Khi đó, hệ (1.1) được viết dưới dạng ma trận

trong đó

1 2

n

x x X

Nhận xét 1.7.4 Một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bất kỳ luôn luôn có

nghiệm vì nó nhận (0 0 , , , 0) làm một nghiệm, gọi là nghiệm tầm thường

Định nghĩa 1.7.5 Cho Q là tập hợp các phần tử thuộc R và a là một phần tử của R Khi đó, a gọi là linh hóa tử của Q nếu tích của a với mọi phần tử của Q bằng 0.

Nhận xét 1.7.6 Nếu Q chỉ chứa đúng một phần tử 0 thì mỗi phần tử của R là một linh hóa tử của Q. Nếu R là vành không có ước của 0 thì tập hợp Q các phần tử của

R có một linh hóa tử khác 0 khi và chỉ khi Q chứa đúng một phần tử 0.

Định nghĩa 1.7.7 Cho ma trận A=( )aij trong vành M R n( ). Ma trận A có hạng bằng

0, kí hiệu là rank A =( ) 0 nếu tập hợp tất cả các phần tử aij của A có linh hóa tử khác

Chứng minh Đặt A=( )aij Giả sử hệ (1.3) có nghiệm không tầm thường (c c1 , , , 2 c n)

với c ≠ k 0, ta chứng minh rank A( )<n. Với m n< thì điều khẳng định hiển nhiên đúng, do

đó ta có thể giả sử m n≥ Gọi D là định thức cấp n gồm n dòng đầu tiên của ma trận A.

Từ giả thiết trên ta có

0

ij , , , ,

.

Do đó e là nghiệm của hệ (1.3) Vậy hệ (1.3) có nghiệm không tầm thường

Định lý 1.7.9 Ma trận A=( )aij là ước của không trong vành M R n( ) khi và chỉ khi

detA là ước của không trong R.

Chứng minh Giả sử ma trận A=( )aij là ước của không trong vành M R n( ), khi đó tồn tại ma trận X=( )xij khác ma trận không trong vành M R n( ) sao cho AX =0 với x ≠ kl 0,

suy ra hệ phương trình thuần nhất

1

0 , , 1

n

ij jl j

Ngược lại, giả sử detA là ước của không trong R. Khi đó tồn tại z R z∈ , ≠ 0 sao cho

a x i n

=

∑

22

2.1 M ột số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 2.1.1 Cho K là một vành có đơn vị Vành K gọi là vành chia nếu mọi

(E) Thay dòng thứ i của ma trận A bởi dòng thứ i cộng với a “lần” dòng thứ j

(a được nhân từ bên trái)

 

1 1

(E’) Thay cột thứ j của ma trận A bởi cột thứ j cộng với a “lần” cột thứ i (a

được nhân từ bên phải)

Định nghĩa 2.1.6 Xét vành chia K và gọi A A1 , , , 2 A n là các ma trận cùng cấp trên

K Vớil i K khi đó

của ma trận BA là một tổ hợp tuyến tính trái của các dòng A i

Ta nói A là ma trận không suy biến nếu A GL K n  Trong trường hợp ngược lại

ta nói A là ma trận suy biến Ma trận A không suy biến khi và chỉ khi tồn tại ma trận

B sao cho BA AB I  n Từ đẳng thức BA I n suy ra các dòng của ma trận đơn vị là các tổ hợp tuyến tính trái của các dòng của ma trận A Do đó, không gian con của K n

sinh bởi các dòng của ma trận A chứa n véc tơ độc lập tuyến tính (là các dòng của I n) Điều này xảy ra khi và chỉ khi các dòng của A độc lập tuyến tính (trái)

Định lý 2.1.8 Mọi ma trận A GL K n  đều viết dưới dạng A B m d , với B E K n 

và m K*.

Chứng minh Với A GL K n , bằng cách nhân về bên trái lần lượt với các phép co sơ cấp, ta sẽ đưa ma trận A về dạng Định lý Thật vậy, với n 2, giả sử

1 0

đi dòng thứ nhất và cột thứ nhất của ma trận cuối cùng cũng là một ma trận khả nghịch Do đó, ta có thể áp dụng các phép biến đổi loại (E) để làm cho tất cả các vị trí

ở cột thứ hai đều là 0, ngoại trừ 1 ở vị trí  2 2 , Tiếp tục quá trình như vậy, ở bước thứ n1 ta nhận được ma trận dạng

26

2.2 Định nghĩa định thức Dieudonne

Xét nhóm thương K*K* / K K* , *  và đặt K K * 0 Định nghĩa phép nhân trong K như sau: nếu a b, là những phần tử nằm trong K thì a b. là phép nhân bình thường trong K, tức là a b ab  Ngoài ra, ta đặt a 0  0 a   0 , a K* và 0 0  0 Khi

đó, K là một nửa nhóm giao hoán

Định nghĩa 2.2.1 Mỗi ma trận A M K n  ta cho tương ứng với duy nhất một phần tử của K mà ta kí hiệu là detA hoặc A và gọi là định thức Dieudonne của A, sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(I) Nếu ma trận Anhận được từ ma trận A bằng cách nhân một dòng của A với

m (m được nhân về bên trái ) thì

Chứng minh Thật vậy, với l  0 tính chất 2.3.1 hiển nhiên đúng Với l  0, gọi A

là ma trận nhận được từ A bằng cách thay dòng A j bằng cách lA j Khi đó theo (I), ta

có detA  ldetA Gọi A là ma trận nhận được từ A bằng cách thay dòng thứ i bởi dòng thứ i cộng với dòng thứ j Theo (II), detA detA Gọi Alà ma trận nhận được từ A bằng cách nhân về bên trái dòng thứ j với l  1 Theo (I),

Mặt khác, A là ma trận được nói đến trong tính chất 2.3.1

Tính chất 2.3.2 Nếu A là ma trận suy biến thì detA 0.

-detAl detAl detAl l detAdetA

27

Chứng minh Thật vậy, nếu A suy biến thì các dòng của A phụ thuộc tuyến tính nên

A có một dòng là tổ hợp tuyến tính trái của các dòng khác Lấy dòng này trừ đi tổ hợp tuyến tính nói trên ta nhận được ma trận có một dòng bằng 0. Theo tính chất 2.3.1, định thức không thay đổi qua phép đổi như vậy Theo (I) suy ra detA 0

Tính chất 2.3.3 Nếu đổi chỗ hai dòng của ma trận thì định thức sẽ nhân với  1

Chứng minh Xét A A, ' M K n  trong đó A' là ma trận nhận được từ A bằng cách đổi chỗ hai dòng i và j cho nhau Ta cần chứng minh detA' -  1detA

Đối với A' ta sẽ thực hiện một số phép biến đổi loại (E) như sau:

Thay dòng i bởi dòng i cộng dòng j d i  d i d j, khi đó A' thành:

1 1 1 1

Chứng minh Vì d m( ) là ma trận có được bằng cách nhân dòng cuối của I n với m

nên detd m   m det I n    m 1 m

Tính chất 2.3.5 Nếu A là ma trận không suy biến và A Bd m   là sự phân tích của

A trong Định lý 2.1.8 thì detA m

Tính chất 2.3.6 detA 0 khi và chỉ khi A là ma trận suy biến

Chứng minh Thật vậy, nếu A suy biến thì theo tính chất 2.3.2 ta có detA 0 Ngược lại, nếu A không suy biến thì theo tính chất 2.3.5 ta có detA m  0, điều này mâu thuẫn với giả thiết detA 0.

Tính chất 2.3.7  det AB detA detB.

Chứng minh Nếu A suy biến thì AB suy biến và theo tính chất 2.3.2 ta có

 

0

detA detB det AB

Giả sửA không suy biến thì, A Cd  m ,C E K n  suy ra AB Cd  m B. Ma trận d m B

nhận được từ ma trận B bằng cách nhân dòng cuối cùng về bên trái với m nên theo (I) ta có detd m B mdetB. Mặt khác, ma trận C là tích của các phép co sơ cấp nên theo tính chất 2.3.1 ta có

detCd m B detd m B mdetB detA detB