phức cousin của các môđun trên vành giao hoán

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMLÊ HỮU GIÁP PHỨC COUSIN CỦA CÁC MÔĐUN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PH

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ HỮU GIÁP

PHỨC COUSIN CỦA CÁC MÔĐUN

TRÊN VÀNH GIAO HOÁN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ HỮU GIÁP

PHỨC COUSIN CỦA CÁC MÔĐUN

TRÊN VÀNH GIAO HOÁN

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HOÀNG

THÁI NGUYÊN - 2014

Xác nhận của khoa

chuyên môn

Xác nhận của cán bộhướng dẫn

2.1 Một số tính chất về tập các iđêan nguyên tố 142.2 Xây dựng phức Cousin cho một môđun 192.3 Tính chất của phức Cousin cho một môđun 21

3.1 Phức Cousin và vành các phân thức 253.2 Đặc trưng của vành Cohen-Macaulay qua phức Cousin 323.3 Đặc trưng của vành Gorenstein qua phức Cousin 36

Mở đầu

Phức Cousin của các môđun trên vành giao hoán là một công cụ để nghiêncứu về cấu trúc của một số lớp môđun quan trọng của Đại số giao hoán vàHình học đại số Phức Cousin của các môđun trên vành giao hoán được nghiêncứu bởi tác giả R Y Sharp năm 1969 (xem [17]) Từ đó đến nay phức Cousin

đã được ứng dụng khá nhiều bởi các nhà toán học trên thế giới, chẳng hạn R

Y Sharp ([17], [18]), P Schenzel ([19]), T Kawasaki ([10]), M Dibaei ([5]), Cho A là vành giao hoán Noether và M là A−môđun Trong [17], Sharp đãxây dựng phức Cousin của môđun M:

Mục đích chính của luận văn là trình bày lại chi tiết các chứng minh củacác kết quả trong bài báo [17] của R Y Sharp "The Counsin Complex for aModule over a Commutative Noetherian Ring, Math Z 112 (1969), 340-356"

về phức Cousin và một số áp dụng của nó như đã nêu tóm tắt ở trên Luậnvăn được chia làm 3 chương

• Chương 1 Trình bày các kiến thức cơ sở để chứng minh các kết quảchính của luận văn, bao gồm: tập giá và tập iđêan nguyên tố liên kết củamôđun, khái niệm chiều, độ cao, môđun Ext, môđun Cohen-Macaulay,vành Gorenstein

• Chương 2 Trình bày một số tính chất về một số tập các iđêan nguyên tốđặc biệt (ở Mục 2.1) Trên cơ sở đó trình bày định nghĩa về xây dựng phứcCousin CA(M )cho một A−môđun M (ở Mục 2.2) Phần tiếp của Chương

2 dành để trình bày một số tính chất quan trọng khác của phức Cousin(ở Mục 2.3)

• Chương 3 Phần đầu trình bày mối liên hệ giữa phức Cousin và địa phươnghóa, thể hiện ở Định lý 3.1.8 Phần tiếp của chương là nghiên cứu mộtđặc trưng của vành Cohen-Macaulay thông qua phức Cousin, đó là Định

lý 3.2.6: Vành giao hoán A là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi phức Cousin

CA(A) là dãy khớp Cuối cùng, sau khi nhắc lại một số kiến thức quantrọng cần thiết về môđun nội xạ, phần còn lại của chương này dành để

mô tả đặc trưng của vành Gorenstein thông qua phức Cousin đó là Định

lý 3.3.5: Vành giao hoánA là Gorenstein khi và chỉ khi phức CousinCA(A)

là một phép giải nội xạ của A−môđun A

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩNGUYỄN VĂN HOÀNG - Giảng viên Trường Đại học sư phạm - Đại họcThái Nguyên Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người

đã hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thầnlàm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức hoàn thành luận vănnày

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toánhọc và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ,động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập Tôi xin cảm ơn banlãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học,

Sở LĐTBXH tỉnh Thái Nguyên, Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo và khoa Vănhóa cơ sở Trường Trung cấp nghề Nam Thái Nguyên (Phổ Yên - Thái Nguyên)

đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập Cuốicùng tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi đểtôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2014

TÁC GIẢ

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này nhằm trình bày một số kiến thức cơ sở cần thiết cho chứngminh các kết quả của các chương sau Ta sử dụng các thuật ngữ theoAtiyah-Macdonald [1], và Matsumura [6] Ta luôn giả thiết Alà một vànhgiao hoán Noether có đơn vị và M là một A−môđun

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản

Kí hiệu 1.1.1 i) Cho N là môđun con của A−môđun con của M và Y

là một tập con của M Khi đó ta dễ thấy tập hợp

{a ∈ A | ay ∈ N, ∀y ∈ Y }

là một iđêan của A, ta kí hiệu nó là (N : Y )A Đặc biệt, ta còn kí hiệu

(0 : M )A bởi annA(M ) (hayAnnA(M )) và gọi là linh hóa tử của M; hơnnữa, với mỗi x ∈ M, ta kí hiệu (0 : x)A = annA(x) = AnnA(x) = {a ∈

A | ax = 0}, và gọi là linh hóa tử của x

ii) Nếu S là một tập đóng nhân của A, và f : M −→ N là một đồng cấucủa các A−môđun, thì ta kí hiệu

S−1f : S−1M −→ S−1N

là một đồng cấu của các S−1A-môđun xác định bởi quy tắc

SuppA(M ) = {p ∈ Spec(A) | Mp 6= 0}

Chú ý rằng M = 0 khi và chỉ khi Supp(M ) = ∅

Hàm tử địa phương hóa S−1(−) có một số các tính chất sau đây.Mệnh đề 1.1.3 Cho S là một tập đóng nhân của A và M là một

A−môđun Giả sử N và P là các môđun con của M, với P là hữu hạnsinh Khi đó các phát biểu sau là đúng

(s0a)P ⊆ N (hay s0a ∈ (N : P )) Như vậy a/s = s0a/s0s ∈ S−1(P : N )

Do đó

S−1((N : P )A) ⊇ (S−1N : S−1P )S−1 A

(ii) Đặt P = hxi Khi đó P hữu hạn sinh, do đó theo i), ta có

S−1((N : P )A) = (S−1N : S−1P )S−1 Ahay

đó là điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.1.4 Cho S là tập đóng nhân của A và M là A−môđun Khi

đó ta có

SuppS−1 A(S−1M ) = {S−1p | p ∈ SuppA(M ),p∩ S = ∅}

Chứng minh ” ⊇ ”: Lấy P ∈ {S−1p | p ∈ SuppA(M ),p∩S = ∅} Khi đótồn tại p ∈ SuppA(M ) sao cho p∩ S = ∅ và P = S−1p Suy ra Mp 6= 0.Mặt khác theo [6, Hệ quả 4, trang 24 và Định lý 4.4, trang 26] và [1, Bàitập 2.15], ta có

” ⊆ ”: Lấy P ∈ SuppS−1 A(S−1M ) Suy ra (S−1M )P 6= 0 và tồn tại

p ∈ Spec(A) sao cho p ∩ S = ∅, P = S−1p Vì 0 6= (S−1M )P =(S−1M )S−1 p ∼= M

p, nên p∈ SuppA(M ) Do đó

SuppS−1 A(S−1M ) ⊆ {S−1p | p ∈ SuppA(M ),p ∩ S = ∅}

Vậy ta có điều cần chứng minh

Tiếp theo ta nhắc lại sơ lược về lý thuyết iđêan nguyên tố liên kết.Định nghĩa 1.1.5 (Iđêan nguyên tố liên kết) Cho M là một A−môđun

và p ∈ Spec(A) Ta nói p là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồntại một phần tử 0 6= x ∈ M sao cho AnnA(x) = p Tập các iđêan nguyên

tố liên kết của M được ký hiệu bởi AssA(M ) hoặc Ass(M )

Mệnh đề 1.1.6 Cho A là vành Noether, S là tập đóng nhân của A và

M là A−môđun Khi đó ta có

AssS−1 A(S−1M ) = {S−1p | p ∈ AssA(M ),p∩ S = ∅}

Chứng minh (⊆) Lấy P ∈ AssS−1 A(S−1M ) khi đó tồn tại p ∈ Spec(A)

và tồn tại x/s ∈ S−1M sao cho P = S−1p, p ∩ S = ∅ và S−1p =AnnS−1 A(x/s)

Tiếp theo ta chứng minh p ∈ AssA(M ) Vì A là Noether nên tồntại a1, , an ∈ p sao cho p = ha1, , ani Với mỗi i = 1, , n, ta có

ai/1 ∈ S−1p hay(ai/1)(x/s) = 0; suy ra tồn tại ti ∈ S sao cho aitix = 0.Đặt t = t1 tn Lúc đó t ∈ S và ai(tx) = 0 với mọi i = 1, , n Do đó

ai ∈ AnnA(tx) với mọi i = 1, , n Vì thế p ⊆ AnnA(tx)

Mặt khác, lấy b ∈ AnnA(tx) suy ra b(tx) = 0 suy ra (bt/1)(x/s) = 0

Do đó (bt)/1 ∈ S−1p Suy ra tồn tại a0 ∈ p, s0 ∈ S sao cho(bt)/1 = a0/s0

Từ đó có u ∈ S để b(uts0) = ua0 ∈ p; suy ra b ∈ p (vì us0t ∈ S mà

S ∩ p = ∅ nên us0t /∈ p) Do đó AnnA(tx) ⊆p

Vậy p = AnnA(tx) ∈ AssA(M ) Nói cách khác

AssS−1 A(S−1M ) ⊆ {S−1p | p ∈ AssA(M ),p∩ S = ∅}

(⊇) Lấy p ∈ AssA(M ) khi đó tồn tại 0 6= x ∈ M sao cho p =AnnA(x) Ta sẽ chứng minh S−1p = AnnS−1 A(x/1) (do đó S−1p ∈AssS−1 A(S−1M )).

Lấy tùy ý a ∈ p và s ∈ S Khi đó (a/s)(x/1) = (ax)/s = 0/s = 0,suy ra a/s ∈ AnnS−1 A(x/1) Từ đó suy ra S−1p ⊆ AnnS−1 A(x/1)

Mặt khác lấy tùy ý b/s ∈ AnnS−1 A(x/1) suy ra (b/s)(x/1) = 0 khi

đó tồn tại u ∈ S sao cho (bu)x = 0 suy ra bu ∈ p suy ra b ∈ p Vì thế

AnnS−1 A(x/1) ⊆ S−1p

Từ đó suy ra S−1p = AnnS−1 A(x/1) Nên ta có

{S−1p | p ∈ AssA(M ),p∩ S = ∅} ⊆ AssS−1 A(S−1M )

Vậy AssS−1 A(S−1M ) = {S−1p |p ∈ AssA(M ),p∩ S = ∅}

Mệnh đề 1.1.7 Cho M là một A−môđun hữu hạn sinh và p∈ Spec(A).Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương

(i) Tồn tại môđun con thực sự N của M sao cho p ∈ AssA(M/N );(ii) p ∈ Supp(M );

(iii) p ⊇ (0 : M )A;

(iv) p chứa một iđêan nguyên tố q nào đó thuộc Ass(M )

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Lưu ý rằng Ass(M/N ) ⊆ Supp(M/N ) Từ giảthiết (i) kết hợp với dãy khớp

0 → N → M → M/N → 0

ta suy ra p ∈ Supp(M ) (vì Supp(M ) = Supp(N ) ∪ Supp(M/N ))

(ii) ⇒ (iii) Ta có Mp 6= 0 nên tồn tại 0 6= x ∈ M sao cho sx 6= 0 vớimọi s ∈ A \p Do đó (0 : x)A ⊆p Ta lại có (0 : M )A ⊆ (0 : x)A Suy ra

(0 : M )A ⊆p

(iii) ⇒ (iv) Gọi q là phần tử cực tiểu trong tập các iđêan nguyên tố của

A chứaAnn(M ) sao cho p ⊇q Khi đó qAq là iđêan nguyên tố duy nhấtcủa Aq chứa annAq(Mq) Từ đó suy ra {qAq} = SuppAq(Mq) (vì M hữuhạn sinh) Do đó qAq ∈ AssAq(Mq) Suy ra q ∈ Ass(M ) (theo Mệnh đề1.1.6)

(iv) ⇒ (i)Giả sử p⊇ q với q ∈ Ass(M ) Khi đó có một môđun conN của

M sao cho có đẳng cấu f : N → A/q Ta lại có toàn cấu g : A/q → A/p

Do đó ta có toàn cấu gf : N → A/p Khi đó A/p ∼= N/ Ker(gf ) Rõ ràng{p} = AssA(N/ Ker(gf )) vàN/ Ker(gf ) là môđun con của M/ Ker(gf )

Do vậy p ∈ AssA(M/ Ker(gf )) Lưu ý rằng Ker(gf ) môđun con thực sựcủa M (vì Ker(gf ) là môđun con thực sự của N mà N ⊆ M)

Định nghĩa 1.1.8 (Đa tạp liên kết) Cho M làA−môđun hữu hạn sinh.Khi đó tập tất cả các iđêan nguyên tố của A thỏa mãn các điều kiện củaMệnh đề 1.1.7 được gọi là đa tạp liên kết với M, nó được ký hiệu là

V (annA(M )) Như vậy

V (AnnA(M )) = {p ∈ Spec(A) | p ⊃ AnnA(M )}

Đặc biệt, ta có V (ann(A)) = V (0) = Spec(A) là phổ nguyên tố củavành A, đó là tập tất cả các iđêan nguyên tố của A Lưu ý rằng nếu M

là A−môđun hữu hạn sinh thì V (ann(M )) = SuppA(M )

Tiếp theo ta giới thiệu khái niệm chiều của vành và của môđun dựavào cuốn sách [6, Trang 30, 31]

Định nghĩa 1.1.9 (Chiều) Cho A là vành giao hoán có đơn vị ChiềuKrull của A được kí hiệu là dim(A), đó là cận trên đúng của hàm độdài r, lấy trên tất cả các dãy giảm thực sự p0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pr gồm cáciđêan nguyên tố của A nếu cận trên đúng này tồn tại, và dim(A) = ∞

nếu cận trên đúng không tồn tại Cho p ∈ Spec(A), khi đó ta có cácvành Ap và A/p, ta gọi ht(p) = dim(Ap) là độ cao của p; và ta gọi

coht(p) = dim(A/p) là đối độ cao của p Cho M là A−môđun, chiều

Krull của M, kí hiệu dimA(M ) hoặc dim(M ), nó được xác định là chiềucủa vành A/ AnnA(M ) Nói cách khác dimA(M ) = dim(A/ AnnA(M )).Lưu ý rằng khi A là vành Noether ta có dim(A) < ∞ (vì mọidãy tăng các iđêan đều dừng) Khi M là A−môđun hữu hạn sinh thì

dim(M ) = dim SuppA(M ) bằng cận trên đúng của độ dài của mọi dãygiảm thực sự p0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pr gồm các phần tử của SuppA(M )

Định nghĩa 1.1.10 (M −độ cao) Cho p ∈ SuppA(M ) Khi đó, ta nói

M −độ cao của p, kí hiệu là htM(p), là cận trên đúng của độ dài củacác dãy các iđêan nguyên tố của SuppA(M ) có điểm chặn trên là p Nóicách khác htM(p) = dimAp(Mp) (Lưu ý rằng htM(p) = dimAp(Mp) ≤dim(Ap) = ht(p) = htA(p).)

A−môđun N được gọi là môđun mở rộng thứ i của M và N và được kýhiệu ExtiA(M, N )

Để xây dựng môđun mở rộng ExtiA(M, N ) ta có cách sau:

Cách 1: Lấy một giải nội xạ của N, chẳng hạn là

Khi đó

ExtiA(M, N ) = Ker((di)∗)/ Im((di−1)∗),

trong đó (di)∗ = F (di)

Lưu ý rằng, người ta còn có cách khác để xây dựng môđun mở rộng

ExtiA(M, N ) như sau: Xét hàm tửF1 = HomA(−, N )(đó là hàm tử phảnbiến, tuyến tính, khớp trái trên phạm trù các A−môđun) Khi đó môđundẫn xuất phải thứ i củaF1 đối với M cũng chính là môđun ExtiA(M, N )

Do đó ta có thể tính môđun ExtiA(M, N ) như sau:

Cách 2: Lấy một giải xạ ảnh của M

Dưới đây là một tính chất quan trọng của môđun Ext

Bổ đề 1.2.2 (Xem [21, 2.6.11]) Nếu M là A−môđun hữu hạn sinh thì

Mi∈I

Định nghĩa 1.3.1 Cho M là A−môđun Khi đó

a) Một phần tử a ∈ A được gọi là M −chính quy nếu ax 6= 0 với mọi

0 6= x ∈ M (nghĩa là, nếu ax = 0 với x ∈ M thì kéo theo x = 0)

b) Một dãy các phần tử a1, , an ∈ A được gọi là một M −dãy (hoặc

M −dãy chính quy) nếu nó thỏa mãn các điều kiện:

i) M/(a1, , an)M 6= 0, và

ii) ai là phần tử M/(a1, , ai−1)M −chính quy, với mọi i = 1, , n

Định nghĩa 1.3.2 Cho M là A−môđun và a1, , an là các phần tửthuộc iđêan I của A Ta nói a1, , an là một M −dãy cực đại trong I

nếu a1, , an là một M −dãy, và a1, , an, b không là một M −dãy vớimọi phần tử b ∈ I

Tính chất sau cho ta mối quan hệ giữa môđun Ext và dãy chính quy.Định lý 1.3.3 (xem [6, Định lý 16.7]) Cho A là vành giao hoán Noether

và M là A−môđun hữu hạn sinh Lấy I là iđêan củaA sao cho M 6= IM.Khi đó mọi M −dãy chính quy cực đại trong I đều có cùng một độ dài

n, với số n được xác định bởi

ExtiA(A/I, M ) = 0 với mọi i < n, và ExtnA(A/I, M ) 6= 0

Ta viết n = depth(I, M ) và gọi là độ sâu của M trong I (Nếu M = IM

Trong trường hợp A là vành giao hoán (không nhất thiết địa phương),thì ta nói A là vành Cohen-Macaulay nếu mọi địa phương hóa của A làvành Cohen-Macaulay.

Định nghĩa 1.3.6 (Chiều nội xạ) Cho A là một vành giao hoán, M

là một A−môđun Khi đó chiều nội xạ của M (kí hiệu là injd(M ) hoặc

injdA(M )) là số nguyên không âm n nhỏ nhất sao cho tồn tại một phépgiải nội xạ E• của M với Ei = 0 với mọi i > n Nếu không có số n nhưvậy thì ta nói chiều nội xạ của M là vô hạn (tức là injd(M ) = ∞).Định nghĩa 1.3.7 (Vành Gorenstein) Một vành Noether địa phương

(A,m) được gọi là vành Gorenstein nếu injdA(A) < ∞

Trong trường hợp A là vành giao hoán (không nhất thiết địa phương),thì ta nói A là vành Gorenstein nếu mọi địa phương hóa của A là vànhGorenstein

Chú ý 1.3.8 Theo [6, Định lý 18.1], thì một vành Gorenstein là vànhCohen-Macaulay

Chương 2

Xây dựng phức Cousin

Trong chương này, ta luôn giả thiết vành A sẽ là một vành giao hoánNoether có đơn vị 1 6= 0 Kiến thức của chương này được viết dựa theophần đầu của bài báo [17] Mục đích chính của chương là xây dựng phứcCousin của một A−môđun M cho trước, sau đó trình bày một số tínhchất của nó Trước tiên cần xây dựng một số kiến thức bổ trợ trong mụcdưới đây

2.1 Một số tính chất về tập các iđêan nguyên tố

Định nghĩa 2.1.1 Giả sử U là một tập con của Spec(A) Một tập con

U0 của U được gọi là đáy đối với U khi và chỉ khi mỗi phần tử của U0 làphần tử tối tiểu của U (đối với quan hệ bao hàm)

Ví dụ 2.1.2 Cho i ≥ 0, ta đặt

Ui = {p ∈ Spec(A) | ht(p) ≥ i}

Khi đó

Ui − Ui+1 = {p ∈ Spec(A) | ht(p) = i}

là đáy đối với Ui

Thật vậy, rõ ràng ta có Ui − Ui+1 ⊆ Ui Hơn nữa, lấy tùy ý

p ∈ Ui − Ui+1, khi đó ta có i ≤ ht(p) < i + 1 Suy ra ht(p) = i,

nghĩa là p là phần tử tối tiểu của Ui.

Mệnh đề 2.1.3 Cho U0 và U là các tập con của Spec(A) (với U0 ⊆ U)sao cho U − U0 là đáy đối với U Giả sử M là một A−môđun có

Supp(M ) ⊆ U Với mỗi p ∈ U − U0, ta kí hiệu gp : M → Mp là

A−đồng cấu môđun xác định bởi gp(m) = m1 (với m ∈ M) Khi đó vớimỗi m ∈ M đã chọn, ta có gp(m) = 0 với tất cả chỉ trừ một số hữu hạncác p ∈ U − U0

Chứng minh Giả sử p ∈ U − U0 sao cho gp(m) = m1 6= 0 Khi đó

p ∈ Supp(Am) ⊆ Supp(M ) và A−môđun Am là hữu hạn sinh Do

đó Supp(Am) = V (ann(Am))

Nếu p không là phần tử tối tiểu của V (ann(Am)) thì sẽ có một iđêannguyên tố q ⊆ p với q 6= p và q ∈ V (ann(Am)) ⊆ Supp(M ) ⊆ U Nhưngđiều này là không thể xảy ra, bởi vì p ∈ U − U0 mà U − U0 là đáy đốivới U Như vậy p là phần tử cực tiểu của V (ann(Am)) Từ đó và theoMệnh đề 1.1.7 ta thấy p phải thuộc vào tập Ass(Am) Mà rõ ràng rằng

Ass(Am) là tập hợp hữu hạn Vậy ta có gp(m) = 0với tất cả chỉ trừ một

số hữu hạn các p ∈ Ass(Am) (⊆ U − U0)

Từ mệnh đề trên ta có ngay hệ quả sau đây

Hệ quả 2.1.4 Tồn tại một A−đồng cấu môđun ξ xác định như sau

trong đó, nếu m ∈ M, thì các thành phần của ξ(m) trong các hạng tửtrực tiếp Mp là m1

Chú ý 2.1.5 Giả sử X là một tập con của Spec(A) và N là một

A−môđun Khi đóSupp(N ) ⊆ X nếu và chỉ nếu với mọi p ∈ Spec(A)\X

và mọi x ∈ N ta có (0 : x)A 6⊆ p Đặc biệt, ta có p ∈ Supp(N )/ nếu vàchỉ nếu với mọi x ∈ N, ta có (0 : x)A 6⊆ p

Thật vậy, (⇒) giả sử Supp(N ) ⊆ X Lấy tùy ý p ∈ Spec(A) − X

và lấy tùy ý x ∈ N Khi đó vì Supp(Ax) ⊆ Supp(N ) và p ∈ X/ , nên

p ∈ Supp(Ax)/ Suy ra AnnA(x) * p.

(⇐)giả sử với mọi p ∈ Spec(A)−X và mọix ∈ N ta đều cóannA(x) * p.

Khi đó phải có Supp(N ) ⊆ X (vì nếu Supp(N ) * X thì tồn tại

q ∈ Supp(N ) − X Suy ra Nq 6= 0 và q ∈ X/ Từ đó tồn tại y ∈ N

sao cho y1 6= 0 trong Nq Suy ra sy 6= 0 với mọi s ∈ A − q Do đó

(A −q) ∩ Ann(y) = ∅ Vì thế AnnA(y) ⊆ q Điều này mâu thuẫn với giảthiết annA(x) * q với mọi x ∈ N)

Mệnh đề 2.1.6 Dùng các ký hiệu ở Mệnh đề 2.1.3 và Hệ quả 2.1.4 Khi

đó các phát biểu sau là đúng

(i) SuppA(Ker ξ) ⊆ U0;

(ii) Nếu p ∈ U − U0 và xem Mp như một Ap−môđun, thì linh hóa tửcủa phần tử khác không bất kì của Mp đều là iđêan pAp−nguyên sơ; và

do đó khi xem Mp như một A−môđun thì mỗi phần tử khác không của

Mp bị giết bởi một lũy thừa nào đó của p

(iii) SuppA(Coker ξ) ⊆ U0

Chứng minh (i) VìKer ξ ⊆ M, nên ta cóSupp(Ker ξ) ⊆ Supp(M ) ⊆ U.Nhưng, với mọim ∈ Ker ξ và mọi p∈ U −U0, ta có m1 = 0trongMp, và do

đó AnnA(m) 6⊆ p Từ đó, sử dụng Chú ý 2.1.5, ta được p ∈ Supp(Ker ξ)/ Chứng tỏ rằng Supp(Ker ξ) ⊆ U0

(ii) Giả sử p ∈ U − U0, và mt là một phần tử tùy ý khác không của Mp

(với m ∈ M, t ∈ A −p) Vì 1t là ước của đơn vị trong Ap, nên

Vì đây là một iđêan thực sự của Ap, nên (0 : m)A ⊆ p Do đó ta chỉcần chứng tỏ rằng p là iđêan nguyên tố cực tiểu chứa (0 : m)A Thật vậynếu q là iđêan nguyên tố của A và (0 : m)A ⊆ q ⊆ p, thì q ∈ Supp(M )

(theo Chú ý 2.1.5), và vì thế ta có q ∈ U (lưu ý Supp(M ) ⊆ U) Từ đó

ta có q = p (vì U − U0 là đáy đối với U) Như vậy, (0 : mt )Ap là iđêan

pAp−nguyên sơ

Từ đó ta suy ra hệ quả rằng khi xem Mp như một A−môđun, thì mt

bị triệt tiêu bởi một lũy thừa nào đó của p

i = 1, , n và x có các thành phần bằng không trong các hạng tử trựctiếp khác Theo phần cuối của (ii), suy ra tồn tại một số nguyên dương

ki sao cho pki

i ⊆ (0 : mi

t i )A với mọi i = 1, , n Bây giờ chỉ cần chỉ ra rằng

(ξ(M ) : x)A không chứa trong bất kì phần tử p của U − U0 Ta xét haitrường hợp sau:

a) p ∈ {/ p1, ,pn} Trong trường hợp này

n

\j=1

pj
−p

và có số tự nhiên N > 0 sao cho pNj (mj

tj ) = 0 với mọi j = 1, , n Từ đódẫn đến aNx = 0, và vì vậy aN ∈ (ξ(M ) : x)A −p

b) p bằng một trong các p1, ,pn, giả sử p = p1, khi đó bằng lập luậntương tự như ý a), tồn tại một phần tử

a ∈

n

\j=2

pj
−p1

và một số nguyên N > 0 sao cho t1aNx có thành phần trong Mp1 là

aNm1/1, và mọi thành phần khác của nó bằng không

Giả sử ξ(aNm1) có các thành phần khác không trong Mp1 và trong

Mq2, , Mqm, với qj ∈ U − U0 (Nếu t1aNx = ξ(aNm1), thì

qj −p1

và một số nguyên K > 0 sao cho ξ(bKaNm1) = bKt1aNx, và vì thế ta có

bKaNx ∈ (ξ(M ) : x)A−p(Nhớ rằng p = p1.)

Do đó, trong cả hai trường hợp, ta đều có (ξ(M ) : a)A 6⊆ p với mọi

p ∈ U − U0, và do vậy Supp(Coker ξ) ⊆ U0 theo Chú ý 2.1.5

Định nghĩa 2.2.1 Cho A là vành giao hoán có đơn vị 1 6= 0, và M làmột A−môđun Với mỗi số nguyên i ≥ 0, ta đặt

Đặt N = Coker(dn−2) Bây giờ ta áp dụng các Mệnh đề 2.1.3, Hệ quả2.1.4 và Mệnh đề 2.1.6 cho môđun N và các tập con Un+1(M ) ⊆ Un(M )

của Spec(A) Lưu ý rằng

nghĩa là với n ∈ N thì các thành phần của ξ(n) trong hạng tử trực tiếp

Np là n1 (Nếu Mn = 0, dĩ nhiên ta lấy ξ là đồng cấu không) Bây giờ, tađịnh nghĩa đồng cấu dn−1 : Mn−1 −→ Mn là hợp thành của toàn cấu tựnhiên π : Mn−1 → N = Coker(dn−2) và ξ : N → Mn, nghĩa là