về sự tồn tại hạng của module tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán

Trần Thị Thanh Hương VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MODULE TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số... Sự tồn tại hạng đối với các môđun tự do vô

Trần Thị Thanh Hương

VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MODULE

TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH

KHÔNG GIAO HOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Trần Thị Thanh Hương

VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MODULE

TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH

KHÔNG GIAO HOÁN

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

LỜI CẢM ƠN

Để thực hiện tốt luận văn này, ngoài sự cố gắng nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự quan tâm, giúp đỡ từ thầy cô, bạn bè và gia đình Nhân đây, tôi xin được gởi lời cảm ơn

Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô trong Khoa Toán - Tin trường Đại Học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã truyền thụ những kiến thức

bổ ích, làm nền tảng cho tôi trong quá trình nghiên cứu luận văn này

Và hơn hết, tôi xin gởi lời tri ân sâu sắc đến PGS.TS Bùi Tường Trí, người

đã tận tình hướng dẫn, dạy bảo tôi phương pháp nghiên cứu khoa học, và tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô trong hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian xem xét, chỉnh sửa và đưa ra những nhận xét quý báu để luận văn của tôi được hoàn thiện

Bên cạnh sự chỉ dạy của thầy cô, tôi cũng nhận được sự quan tâm của gia đình

và bạn bè Xin chân thành cảm ơn mọi người

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng 01 năm 2014

Trần Thị Thanh Hương

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

BẢNG KÝ HIỆU 1

DANH MỤC HÌNH VẼ 2

DANH MỤC BIỂU ĐỒ 3

LỜI NÓI ĐẦU 4

Chương 1 - KIẾN THỨC CƠ SỞ 5

1.1 Các định nghĩa, tính chất của vành 5

1.2 Các định nghĩa, tính chất của môđun 6

1.3 Radical của vành 14

Chương 2 - VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MÔĐUN TỰ DO 20

HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 20

2.1 Sự tồn tại hạng đối với các môđun tự do vô hạn sinh trên các vành không giao hoán 20

2.2 Điều kiện về sự tồn tại hạng của các môđun tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán 21

KẾT LUẬN 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 : Sơ đồ giao hoán 1 14 Hình 2.1: Sơ đồ giao hoán 2 31

DANH MỤC BIỂU ĐỒ

BIỂU ĐỒ TÓM TẮT MỐI LIÊN HỆ CỦA LỚP CÁC VÀNH CÓ IBN 44

LỜI NÓI ĐẦU

Cấu trúc module (môđun) xuất hiện trong hầu hết hết các lý thuyết toán học hiện đại, nó có khả năng thống nhất một cách bản chất các cấu trúc vành, iđêan, nhóm Abel, không gian vectơ Tính linh hoạt và phổ quát của cấu trúc môđun đã mang lại những ứng dụng to lớn Thông qua lý thuyết môđun, chúng ta sẽ có dịp soi sáng, củng cố lý thuyết về không gian vectơ và nhiều lý thuyết toán học khác Một lớp môđun có cấu trúc rất gần giống với cấu trúc của không gian vectơ đó là lớp môđun tự do

Trước hết, ta nhớ lại rằng một R - môđun M được gọi là tự do nếu M có một

cơ sở Các cách mô tả môđun tự do rất thú vị vì thế nó có nhiều tính chất rất quan trọng Một trong những tính chất quan trọng đó là khái niệm về hạng và sự tồn tại hạng

của nó Ta biết rằng hai cơ sở bất kỳ của cùng một R - môđun tự do hữu hạn sinh M

trên một vành giao hoán có đơn vị thì có cùng số phần tử và số phần tử đó ta gọi là hạng của M Như vậy, đối với vành giao hoán thì khái niệm hạng cho lớp các môđun tự

do hữu hạn sinh luôn tồn tại Nhưng đối với vành không giao hoán thì khái niệm hạng cho lớp các môđun tự do hữu hạn sinh có tồn tại không? Câu trả lời là không? Vậy với điều kiện nào thì môđun tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán có khái niệm hạng

Đây là lý do tôi chọn đề tài “ Về sự tồn tại hạng của Module tự do hữu hạn

Chương 1 - KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này nêu một số định nghĩa và tính chất cơ bản của đại số không giao hoán Quy ước trong chương: không nói gì thêm thì môđun M là một R - môđun phải,

R là vành không giao hoán

1.1 Các định nghĩa, tính chất của vành

Định nghĩa 1.1.1

Cho tập hợp R khác rỗng, trên R ta trang bị hai phép toán thường được ký hiệu

là “ +” (đọc là phép cộng) và “.” (đọc là phép nhân) Ta nói , , R + là một vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

Cho R là một vành, một vành con A của R được gọi là iđêan trái (iđêan phải)

của vành R nếu thỏa mãn điều kiện: ra∈A ar ; , ( ∈A) ∀ ∈a A ∀ ∈ r R

Vành con A của R được gọi là iđêan của vành R nếu A vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của vành R

Định nghĩa 1.1.4

Một ánh xạ từ vành R đến vành R′ gọi là đồng cấu (vành) nếu f bảo toàn các

phép toán Tức là, với mọi , x y∈ ta có R

Cho R là một vành tùy ý và M là một nhóm cộng aben M được gọi là một R -

môđun phải nếu có một ánh xạ : f M × →R M

Chú ý: Ta dùng kí hiệu M R để chỉ M là R - môđun phải, tương tự ta kí hiệu

R M để chỉ M là R - môđun trái, M vừa là R - môđun phải vừa là R - môđun trái

gọi là song môđun kí hiệu R M R

Tập các tổ hợp tuyến tính của X được ký hiệu là X

Nếu X =M thì X được gọi là hệ sinh của M hay M được sinh bởi X Khi X là một tập hữu hạn thì X được gọi là hệ sinh hữu hạn của M và M được gọi là môđun hữu hạn sinh Hệ sinh X của M được gọi là một hệ sinh cực tiểu nếu X không chứa thực sự một hệ sinh nào của M Nếu M có hệ sinh chỉ bao gồm

một phần tử thì M được gọi là môđun xyclic hay là môđun đơn sinh Môđun không có

hệ sinh nào hữu hạn được gọi là môđun vô hạn sinh

Quy ước: Môđun (0) là tự do với tập ∅ là cơ sở

Nếu I là tập hữu hạn với n phần tử thì tổng trực tiếp và tích trực tiếp trùng

Nếu có tập I và một đẳng cấu R - môđun f : R( )I →M thì ta có thể kiểm tra

rằng M là một môđun tự do với cơ sở {f e( )i i∈ trong đó I} {e i i ∈ là cơ sở chính I}

Bây giờ ta nhận thấy rằng với mỗi i I ∈ toàn cấu R - môđun

:

i R Rx i

a ax

là một đẳng cấu do tính độc lập của x i Vậy ( )I

M là R - môđun tự do hữu hạn sinh nếu M là R - môđun tự do với cơ sở X

hữu hạn R - môđun tự do hữu hạn sinh M thì đẳng cấu với

1

n n

i i

Tập hợp tất cả các đồng cấu từ M đến N được kí hiệu là Hom R(M N , )

Đồng cấu f được gọi là đơn cấu nếu f là đơn ánh, toàn cấu nếu f là toàn ánh

và đẳng cấu nếu f là song ánh Nếu M = N thì đồng cấu f là tự đồng cấu Tập các

tự đồng cấu của M được ký hiệu là End R( )M Tự đồng cấu được gọi là tự đẳng cấu nếu nó là song ánh Tập các tự đẳng cấu của M được ký hiệu là Aut R( )M

Định lý 1.2.8

Cho M là một R - môđun tự do với cơ sở X và N là một R - môđun bất kì

Khi đó mỗi ánh xạ : g X →Nđều mở rộng thành một đồng cấu duy nhất : f M → N

Vậy f là một đồng cấu R - môđun và nó là một mở rộng của g

* Nếu còn có một đồng cấu : f′ M → là mở rộng của g thì khi đó N

• M được gọi là R - môđun đơn (hay môđun bất khả quy) nếu MR≠( )0 và

M chỉ có đúng hai môđun con là ( ) 0 và M

• M được gọi là R - môđun nửa đơn nếu mỗi R - môđun con N của M là một hạng tử trực tiếp của M tức là tồn tại môđun con N sao cho 1 M = ⊕N N1 Điều

này tương đương với R - môđun M được gọi là nửa đơn khi và chỉ khi nó là tổng trực

tiếp của các môđun đơn

Định nghĩa 1.2.10

• Môđun M được gọi là thỏa điều kiện dây truyền giảm (d.c.c) nếu mọi dãy

giảm các môđun con M0 ⊃M1 ⊃ dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn tại n sao cho

1

n n

M =M + = Khi đó M được gọi là môđun Artin

• Môđun M được gọi là thỏa điều kiện dây truyền tăng (a.c.c) nếu mọi dãy

tăng các môđun con M1 ⊂M2 ⊂ dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn tại n sao cho

1

n n

M =M + = Khi đó M được gọi là môđun Noether

và M Nlà môđun Noether hay Artin

Mệnh đề 1.2.11

Cho M là R - môđun Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

( )1 M là môđun Noether

( )2 Mỗi môđun con của M là hữu hạn sinh

( )3 Mọi tập khác rỗng các môđun con của M có phần tử tối đại

Định nghĩa 1.2.12

Nếu R là R - môđun Noether thì R là vành Noether phải

Nếu R là R - môđun Artin thì R là vành Artin phải

Hệ quả 1.2.13

Cho vành R Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

( )1 R là vành Noether

( )2 R thỏa điều kiện a.c.c

( )3 Mọi iđêan phải của R là hữu hạn sinh

( )4 Mọi tập khác rỗng các iđêan phải của R có một phần tử tối đại

Gọi a j là hệ tử của hạng tử bậc cao nhất của đa thức f j và gọi J là iđêan của

R sinh bởi tất cả các a Vì R là vành Noether nên J j hữu hạn sinh Do đó tồn tại số

nguyên dương n để J =(a1, , a n) Gọi m j là bậc của đa thức f và j m 1

Một dãy hợp thành của một R – môđun M là một dãy giảm gồm một số hữu

hạn các môđun con M =M0 ⊃M1 ⊃ ⊃ M n ={ }0 sao cho M i−1 M i là một môđun đơn với i=1, 2, , n Khi đó số n được gọi là độ dài của dãy hợp thành

Mệnh đề 1.2.18

M có một dãy hợp thành nếu và chỉ nếu M thỏa cả hai điều kiện dây chuyền

(d.c.c và a.c.c)

Định lý 1.2.19 (Định lý Jordan – Holder)

Nếu R - môđun M có một dãy hợp thành với độ dài n thì tất cả các dãy hợp thành của M cũng có độ dài n Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thực sự các mô đun con của M đều có độ dài không vượt quá độ dài của các dãy hợp thành và đều có

thể mở rộng thành một dãy hợp thành

Chứng minh

Giả sử R - môđun M có dãy hợp thành, khi đó ta kí hiệu L M( )là độ dài của

một dãy hợp thành có độ dài nhỏ nhất của M Ta cần đến bổ đề sau đây:

( )2 Môđun thương M N cũng có dãy hợp thành với L M N( )≤L M( )

Chứng minh Định lý Jordan – Holder

Giả sử M =M0 ⊃M1⊃ ⊃ M m={ }0 là một dãy hợp thành của M có độ dài

m Theo bổ đề 1.2.20, ta có L M( )>L( )M1 > >L M( m)= Từ đó dễ dàng suy ra 0( )

m≤L M Mặt khác, theo định nghĩa của L M thì ( ) L M( )≤ Ta nhận được m

( )

L M =m Vậy mọi dãy hợp thành của M đều có độ dài là L M ( )

Bây giờ giả sử trong M có một dãy thực sự tăng hoặc giảm các môđun con Ta

suy ra dãy phải có độ dài hữu hạn và độ dài đó không vượt quá độ dài của các dãy hợp

thành Bằng việc bổ sung M và { }0 vào dãy đã cho (nếu M và { }0 chưa có trong dãy),

ta luôn coi dãy có dạng M =M0 ⊃M1 ⊃ ⊃ M d ={ }0 Theo bổ đề 1.2.20, môđun thương M− M 1( ≤ ≤i d) có dãy hợp thành, chẳng hạn

Nếu R - môđun M có một dãy hợp thành thì tất cả các dãy hợp thành của M

có cùng một độ dài Khi đó độ dài của các dãy hợp thành của M được gọi là độ dài của môđun M và kí hiệu là l R( )M Nếu R - môđun M không có dãy hợp thành thì ta

quy ước độ dài l R( )M = ∞ và gọi nó là môđun có độ dài vô hạn

Định nghĩa 1.2.22

Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu : Bσ → , mỗi C

đồng cấu : f P→ tồn tại một đồng cấu : PC ϕ → sao cho f B =σϕ

Hình 1.1 : Sơ đồ giao hoán 1

Radical Jacobson (căn Jacobson) của vành R, kí hiệu là rad R hoặc J R là ( )

tập hợp tất cả các phần tử của R linh hóa được tất cả các R - môđun bất khả quy

Nếu R không có R - môđun bất khả quy thì rad R= R

Vành R là vành nửa đơn nếu xem R là môđun trên chính nó thì nó là môđun

nửa đơn nghĩa là R là tổng trực tiếp hữu hạn của các iđêan phải tối tiểu của nó.

Định nghĩa 1.3.4

Vành R được gọi là vành nửa địa phương nếu R rad R là vành Artin trái hay

R rad R là vành nửa đơn

Nhận xét : Nếu R là vành nửa địa phương thì R có một số hữu hạn các iđêan trái

• α là nil - iđêan phải (trái, 2 phía) nếu mỗi phần tử trong α là lũy linh

• α là iđêan lũy linh phải (trái, 2 phía) nếu có một số nguyên dương m sao

cho a a1 2 a m = với mọi 0 a a1, , , 2 a m∈α

Cho R là vành mà rad R là lũy linh và R=R rad R là nửa đơn (vành R gọi

là nửa nguyên sơ) Khi đó, với bất kì R - môđun M các phát biểu sau là tương đương:

( )1 M là Noether

( )2 M là Artin

( )3 M có một dãy hợp thành

Đặc biệt : (A) Một vành là Artin trái nếu và chỉ nếu nó là Noether và nửa nguyên sơ (B) Bất kì môđun trái hữu hạn sinh trên vành Artin trái có một dãy hợp thành

Chứng minh

( ) ( )1 ⇒ 3 Ta có: M là môđun Noether nên tồn tại một môđun con cực đại M 1 của M ,

rồi tồn tại môđun con cực đại M 2 của M … 1

Kết quả ta được một dãy thực sự giảm của các môđun con của M

( ) ( )3 ⇒ 2 M có một dãy hợp thành nên M là môđun Artin

( ) ( )2 ⇒ 1 Ta có: M là môđun Artin nên mọi iđêan nguyên tố trong vành Artin đều là iđêan cực đại mà vành Artin chỉ có hữu hạn các iđêan cực đại Mặt khác, trong vành Artin thì linh căn là iđêan lũy linh nên tồn tại các iđêan cực đại không nhất thiết khác

nhau m1, ,m n để

10

n i i

hữu hạn Do đó M có một dãy hợp thành Vậy M là môđun Noether

Định nghĩa 1.3.8

Vành R được gọi là Dedekind - hữu hạn nếu ab= kéo theo 1 ba = , 1 với ,

a b∈ bất kì R

Định nghĩa 1.3.9

Môđun M R được gọi là Hopfian nếu mọi toàn cấu : f M →M là một đẳng cấu

Định nghĩa 1.3.10

Vành E được gọi là có miền ổn định trái 1 nếu Ea+Eb=E a b( , ∈E) thì tồn

tại e E∈ sao cho a+eb U E∈ ( ) với U E là ( ) tập các phần tử khả nghịch trong E

Định nghĩa 1.3.11

Môđun hữu hạn sinh P trên vành R được gọi là ổn định tự do nếu tồn tại hai số

nguyên m và n sao cho P⊕R m ≅R n

Định lý 1.3.12 (Định lý giản ước)

Cho R là vành, , , A B C là các R - môđun phải Giả sử E = End A ( )R có miền

ổn định trái 1 (ví dụ: E là vành nửa địa phương) thì A B A C ⊕ ≅ ⊕ suy ra B C≅

′ ) Hơn nữa, ta dễ dàng thấy rằng ker 1, eg( )≅ (vì 1 là B

đồng cấu đồng nhất của A, nên dễ thấy rằng, với mọi b B∈ , tồn tại duy nhất

Cho R là vành có miền ổn định trái 1 (ví dụ: R là vành nửa địa phương)

( )1 Cho A B C , , là các môđun phải, trong đó A là hữu hạn sinh và xạ ảnh thì

A ⊕ ≅ ⊕ suy ra B C B A C ≅

( )2 R có tính chất cơ sở bất biến nghĩa là với các số tự nhiên n và m, n m

R ≅ R

thì suy ra n= (ngoại trừ m R= ) 0

( )3 Bất kì R - môđun phải P (hữu hạn sinh) ổn định tự do là tự do

( )4 M n( )R là Dedekind - hữu hạn với bất kì số nguyên n≥ 1

Chứng minh

A⊕A′≅R với mọi số nguyên n Khi đó

P⊕R ≅R , nếu s r< ta có thể giản ước s

R ta nhận được 0

R= và P= Do đó, ta có thể giả sử 0 s≥r, giản ước r

R ta nhận được s r

P≅R − ( )4 Cho α β, M∈ n( )R thỏa α β = thì I α xác định một toàn ánh của R -

Cho k là vành tùy ý và {x i i: ∈ là hệ độc lập, không giao hoán các biến trên I}

k thì ta có thể xây dựng R là k - vành tự do sinh ra bởi {x i i : ∈ và kí hiệu I}

Chương 2 - VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MÔĐUN TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN

Trong chương này, ta nghiên cứu về sự tồn tại hạng đối với các môđun tự do vô hạn sinh trên các vành không giao hoán, đưa ra được ví dụ chứng tỏ rằng tồn tại môđun

tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán có hai cơ sở khác nhau nhưng số phần tử khác nhau tức là không có khái niệm hạng, các điều kiện về sự tồn tại hạng của các môđun tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán và đưa ra được biểu đồ tóm tắt mối tương quan chính giữa các điều kiện

2.1 Sự tồn tại hạng đối với các môđun tự do vô hạn sinh trên các vành không giao hoán

Bổ đề sinh 2.1.1

Cho {e i i: ∈ là một hệ sinh cực tiểu của R - môđun M , trong đó lực lượng I}

I là vô hạn thì M không thể được sinh ra bởi ít hơn I phần tử

a được biểu thị qua {e i i: ∈I0} Khi đó I0 ≤ J < Suy ra môđun con sinh ra bởi A I

con của môđun con sinh ra bởi {e i i: ∈I0}M

Nếu J là hữu hạn thì môđun con sinh ra bởi A nằm trong môđun con sinh ra

bởi một số hữu hạn các phần tử e i Nhưng bản thân I là vô hạn nên môđun con sinh

ra bởi A không thể bằng M Vậy M không thể được sinh ra bởi ít hơn I phần tử

và không có tập hợp con {e i i : ∈I0}của {e i i: ∈ với I} I0 < có thể sinh ra M Từ I

bổ đề này, ta có thể kiểm tra dễ dàng rằng " môđun tự do hữu hạn sinh" là có thể xem như "R n", với số nguyên n không âm Từ bổ đề trên có hệ quả sau

Vành R được gọi là có hạng (sau này ta cũng gọi là có IBN) nếu với bất kì số tự

nhiên , , n m R n ≅ R m thì n = Điều này có nghĩa là bất kì hai cơ sở trên một R - m

môđun M tự do hữu hạn sinh có cùng số phần tử Số chung này được định nghĩa là hạng của M

Ta biết rằng, bất kì đồng cấu : m n

f R →R có thể được biểu thị bởi một ma trận

cấp n m× qua các cơ sở tự nhiên trên m

R và R n Do đó, ta có thể sắp xếp lại định nghĩa 2.2.1 trên các số hạng ma trận như sau: với bất kì số tự nhiên , , n m

n m R ≅R nếu tồn tại các ma trận , A B trên R có cấp lần lượt là m n × và n m× sao cho AB=I m và