Phương trình lượng giác lớp 11

Phương trình lượng giácI.. Phương trình cơ bản – Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác.. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác.. Phương trình bậc nhất đối với sinx v

Lượng giác 11 Bài 2 Phương trình lượng giác

I Kiến thức cơ bản :

1 Phương trình cơ bản – Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác.

Tổng quát: m [– 1 ; 1], n  R

 sinu = m   u arcsin m k2u arcsin m k2 



 tanu = n  u arctan n k   (chú ý đk)chú ý đk))

 cosu = m   u arccosm k2u arccosm k2 



 cotu = n  u arccot n k   (chú ý đk)chú ý đk))

Nếu m, n là các số đặc biệt : m  0; 1; 12;  22;  23

, n  0; 1;  33;  3

thì :

 sinu = sinv  





















2 k v u

2 k v u

 tanu = tanv  u v k   (chú ý đk)chú ý đk))

 cosu = cosv  



















2 k v u

2 k v u

 cotu = cotv u v k   (chú ý đk)chú ý đk))

 Chú ý:  Các trường hợp đặc biệt:

sinx = – 1  x = – 2 + k2 tanx = – 1  x = – 4 + k

sinx = 1  x = 2 + k2 tanx = 1  x = 4 + k

cosx = – 1  x = (2k + 1) cotx = – 1  x = – 4 + k cosx = 0  x = 2 + k cotx = 0  x = 2 + k

cosx = 1  x = k2 cotx = 1  x = 4 + k

 Khi gặp dấu trừ ở trước thì:

– sinx = sin(– x) – cosx = cos( – x) – tanx = tan(– x) – cotx = cot(– x)

 Khi giải phải dùng đơn vị là rad nếu đề bài không cho độ (0)

2 Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác.

Là các phương trình mà sau khi biến đổi ta được một trong các dạng sau (a  0):

 asin 2 u + bsinu + c = 0 (1)  acos 2 u + bcosu + c = 0 (1)

Đặt t = sinu Điều k)iện: – 1  t  1 Đặt t = cosu Điều k)iện: – 1  t  1.

(1)  at 2 + bt + c = 0… (1)  at 2 + bt + c = 0…

 atan 2 u + btanu + c = 0 (1)  acot 2 u + bcotu + c = 0 (1)

Điều kiện: cosu  0 Điều kiện: sinu  0

Đặt t = tanu, (1)  at 2 + bt + c = 0… Đặt t = cotu, (1)  at 2 + bt + c = 0…

 Chú ý: Nếu phương trình có chứa tanu, cotu, sin2u, cos2u, tan2u, cot2u, đặt t = tanu, khi đó:

t

1 u

 , cos2u = 22

t 1

t 1



 , tan2u = 12tt2

 , cot2u = 12tt2

3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (Phương trình cổ điển).

asinx + bcosx = c (1) với a, b, c  R, và a2 + b2  0

 Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm là: a 2 + b 2  c 2

 Chia 2 vế phương trình cho a  2 b 2 , ta được:

a

a

 sinx + 2 2

b a

b

 cosx = 2 2

b a

c



b a

b b

a

2 2

2 2



























 nên đặt cos = a2a b2

 , sin = a2b b2



Khi đó ta được: sin(x + ) = a 2 b 2

c

 rồi giải như phương trình cơ bản

 Chú ý:

 Ngoài ra ta có thể dùng công thức tính sinx, cosx theo t = tan2x

Sau đây là cách giải:

Đặt t = tan2x Điều kiện x   + k2

 sinu = 1 t2

t 2

 và cosu = 22

t 1

t 1





(1)  a 1 t2

t 2

 + b 22

t 1

t 1



 = c  (a + c)t 2 – 2bt + c – a = 0 (2)

Giải (2) tìm nghiệm t1, t2 nếu có, rồi sau đó giải phương trình 2

x tan = t1, tan2x = t2 để tìm nghiệm x (phải thỏa điểu kiện)

 Nếu a = b có thể dùng công thức sau để giải:

sinx  cosx = 2sin(x  4) = 2cos(x 4 )

4 Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Phương trình đẳng cấp).

asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x = 0 (1) Hoặc asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x = d (2)

(2)  asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d(sin2x + cos2x)

 (a– d)sin2x + bsinxcosx + (c– d)cos2x = 0 (2) Phương trình (2) cũng là dạng (1), nên ta chỉ xét dạng (1) Nếu gặp dạng (2) thì ta đưa về dạng (1) như trên

Sau đây là cách giải dạng (1):

 Nếu a = 0 và b, c  0 thì (1)  cosx.(bsinx + ccosx) = 0  











0 x cos c x sin b

0 x cos

 Nếu c = 0 và b, a  0 thì (1)  sinx.(asinx + bcosx) = 0  











0 x cos b x sin a

0 x sin

 Nếu a, b, c  0:

 Kiểm tra xem với cosx = 0 thì (1) có thỏa hay không? (cosx = 0 thì sinx =  1) Nếu thỏa thì kết luận rằng phương trình có 1 họ nghiệm là x = 2 + k (k  Z).)

 Với cosx  0, chia 2 vế của (1) cho cos 2 x, ta được phương trình:

atan 2 x + btanx + c = 0 (1)

(1) là phương trình bậc 2 theo tanx, ta đã biết cách giải (Xem phần 2).

 Nghiệm của (1) là nghiệm của (1) và x = 2 + k (nếu có)

 Chú ý: Ngoài ra ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa (1) về dạng phương trình bậc

nhất theo sinX và cosX (Phần 3) Với:

2

x cos 1 x

2

1 x cos x

 Phương trình đẳng cấp bậc 3: asin 3 x + bsin 2 xcosx + c.sinxcos 2 x + dcos 3 x = 0 giải tương tự

như đẳng cấp bậc 2.

5 Phương trình đối xứng – Phản đối xứng.

Lượng giác 11 Bài 2 Phương trình lượng giác

D

ạng1 : a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1)

Đặt t = sinx + cosx = 2sin(x + 4 ) Điều kiện: – 2 t  2

 t2 = 1 + 2sinxcosx  sinxcosx =

2

1

t 2



(1)  at + b t22 1 = c  bt2 + 2at – b – 2c = 0 (2) Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 t  2 Giải phương trình 2sin(x + 4 ) = t để tìm x

D

ạng 2 : a(sinx – cosx) + bsinxcosx = c (1)

Đặt t = sinx – cosx = 2sin(x – 4) Điều kiện: – 2 t  2

 t2 = 1 – 2sinxcosx  sinxcosx = 2

t

 (1)  at + b 1 2t

2

 = c  bt2 – 2at – b + 2c = 0 (2) Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 t  2 Giải phương trình 2sin(x – 4) = t để tìm x

D

ạng 3 : a|sinx  cosx| + bsinxcosx = c (1)

Đặt t = |sinx  cosx| = 2 sin(x )

4



 Điều kiện: 0  t  2 Giải tương tự như trên

6 Phương trình lượng giác không mẫu mực.























0 B 0 A 0

B A

0 B 0 A



















M B M A B

A B M A























N B M A N

M B A

N B và M A

 sinu + sinv = 2 









1 v sin

1 u sin

 sinu – sinv = 2 











1 v sin

1 u sin

 sinu + sinv = – 2 











1 u

sin

 sinu – sinv = – 2 











1 u

sin

 Tương tự cho các trường hợp cosu  cosv =  2 và cosu  cosv  2

































N B M A N B M A N

M B A

N B và M A

 sinu.sinv = 1  sin u 1sin v 1  sin usin v11

   sinu.sinv = –1  sin usin v 11 sin u 1sin v 1

 Tương tự cho các trường hợp cosu.cosv = 1, sinu.cosv = 1, cosu.sinv = 1

II Bài tập tự luận :

Phương trình cơ bản – Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác

Bài 1 Giải các phương trình sau:

1) sinx = –

2

4) sin2x = – 1 5) cos(3x – 6) = –

2

2 6) cos(x – 2) = 25

7) cos 2 x 3  21









 8) cos(2x + 500) = 21 9) tan2x = tan27

10) tan(3x – 300) = –

3

6 x 4



















4 2

x









3

x



















16) cos(3x – 450) = 23 17) sin3x = – 23 18) sin(2x – 150) = 22

2

x

















 20) cos(x + 3) = 31 21) sin2x = 23 22) cos(2x + 500) = –

2

3 23) 2cosx – 3 = 0 24) 3 tan3x – 3 = 0

Bài 2 Giải các phương trình sau:

1) cos2x cot 









 4

2

x cot 1 3

x



























3) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = 0 4) (cotx + 1) sin3x = 0

5) sin2x cotx = 0 6) tan(x – 300)cos(2x – 1500) = 0

7) (2cos2x – 1)(2sin2x – 3) = 0 8) (3tanx + 3)(2sinx – 1) = 0

9) tan(2x + 600)cos(x + 750) = 0 10) (2 + cosx)(3cos2x – 1) = 0

11) (sinx + 1)(2cos2x – 2 ) = 0 12) (sin2x – 1)(cosx + 1) = 0

Bài 3 Giải các phương trình sau:

1) sin(2x – 150) = 22 với – 1200 < x < 900 2) cos(2x + 10 = 21 với –  < x < 

3) sin 2 x 3   21









 với 0 < x < 2 4) tan x 4   33









 với 0 < x < 

5) sinx = – 12 với –  < x < 0 6) cos(x – 2) = 23 với x  [0 ; ]

7) tan(x – 100) = 1 với – 150 < x < 150 8) sin x 4 

 = 1 với x  [ ; 2]

Bài 4 Giải các phương trình sau:

5) sinx – cos(x + 600) = 0 6) cos(x – 100) + sinx = 0



























4 x sin 3

x











11) sin2x + cos3x = 0 12) tan(3x + 2) + cot2x = 0

13) tanx tan3x = 1 14) cot2x.cot(x + 450) = 1



























3

sin 4 x 2

























6 x cos 3

x

17) tan3x + tanx = 0 18) tan3x + tan(2x – 450) = 0

Lượng giác 11 Bài 2 Phương trình lượng giác

Bài 5 Giải các phương trình sau:

1) sin2x = 14 2) 4cos2x – 3 = 0 3) sin23x – cos2x = 0

4) sin2(x – 450) = cos2x 5) 8cos3x – 1 = 0 6) tan2(x + 1) = 3

Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lượng giác

Bài 6 Giải các phương trình sau:

1) 2cos2x – 2( 3 + 1)cosx + 3 + 2 = 0 2) 2cos2x + 4sinx + 1 = 0

3) cos2x + 9cosx + 5 = 0 4) sin2x – 2cos2x + 3

4 = 0

5) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1 6) cot4x – 4cot2x + 3 = 0

7) cos2(x +

3

 ) + 4cos( x

6



 ) = 5

4 cosx + 5 = 0

9) 12

cos x – 1 + tanx – 3 (tanx + 1) = 0 10) cos4x – 31 tan x22

1 tan x



 + 2 = 0

11) 2cos2x + 2 cosx – 2 = 0 12) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

13) 6sin2x – 5sinx – 4 = 0 14) 4 cos2 x 2( 2 1)cosx 2 0

15) tan 3x (12   3)tan3x 3 0 16) 4 cot2 x 2( 3 1)cotx 3 0

17) 3 tan x (12   3)tan x 1 0  18) cos2x + sinx + 1 = 0

Bài 7 Giải các phương trình sau:

1) tan3x – 3tan2x – 2tanx + 4 = 0 2) 4sin3x + 4sin2x – 3sinx = 3

3) tan3x – 1 + 12

cos x + 2cot 2 x

 



  = 3 4) 2sin2x = 1 + sin3x

5) 1 + sin3x = sinx + cos2x 6) tan2x + cot2x + 2(tanx + cotx) = 6

2

cosx 4 cos x

2

1 cot x 5(tan x cot x) 2 0

2

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (Phương trình cổ điển)

Bài 8 Giải các phương trình sau:

1) sinx – cosx = 6

3) sin4x + 3 cos4x = 3 4) 2sinx – 9cosx = 85

5) cos(2x – 150) + sin(2x – 150) = – 1 6) 2cosx – 3sinx + 2 = 0

9) 2sinx – 2 cosx = 2 10) sinx – 3 cos2x = 1

11) cosx – 3 sinx = 2 12) 3sin3x – 4cosx = 5

13) 5cos2x + 12sin2x – 13 = 0 14) 3sinx + 3 cosx = 1

Bài 9 Giải các phương trình sau:

1) 2sin22x + 3 sin4x = – 3 2) cosx + 3 sinx = 2 cos3 x

3) 2sin x 4 

  + sin x 4  

  = 3 2

6 3cosx 4sin x 1  = 6

5) 3sin3x – 3 cos9x = 1 + 4sin33x 6) 5cos(2x + 180) – 12sin(2x + 180) = –13

7) 2cos x 6 

  + 3cos x 3  

 = 5 2

2 8) sin2x + sin

2x = 12

9) 2sin2x + 3 sin2x = 3 10) 3cos2x – sin2x – sin2x = 0

11) 4sinxcosx = 13 sin4x + 3cos2x 12) 2cos2x – sin2x = 2(sinx + cosx)

13 2sin17x + 3 cos5x + sin5x = 0 14) cosx – 3 sinx = 2cos3x

15) sin9x + 3 cos7x = sin7x + 3 cos9x 16) sin5x + cos5x = 2 cos13x

17) 8sin2x

1 sin x 1

1 cosx 2







19) 1 cos4x sin 4x

2sin 2x 1 cos4x





3cosx 4sin x 6  = 3

Bài 10 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các hàm số sau:

1) y = 2sinx + 3 cosx + 1 2) y = 2sin2x + 4sinxcosx + 3

3) y = sin2x + cos2x – 2 4) y = sinsinxx coscosxx 31









Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Phương trình đẳng cấp)

Bài 11 Giải các phương trình sau:

1) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0 2) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2

3) sin2x + sin2x – 2cos2x = ½ 4) 2cos2x + sin2x – 4sin2x = – 4

5) sin2x – 10sinxcosx + 21cos2x = 0 6) cos2x – 3sinxcosx + 1 = 0

7) cos2x – 3 sin2x – sin2x = 1 8) 2cos2x – 3sinxcosx + sin2x = 0

9) 3sin2x – 2 3 sinxcosx + cos2x – 1 = 0 10) 4sin2x – 3 3 sin2x – 2cos2x = 4

11) 3cos2x + sinxcosx + 2sin2x = 2 12) 3cos2x + 3sinxcosx + 2sin2x = 1

13 3 cos2x – sin2x – 3 sin2x = 1 14) 3 sin2x + 2cos2x – 1 = 0

15) 2cos2x + 3sin2x – 8sin2x = 0 16) 3cos2x + 2sin2x – sin2x = 2 + 3

17) sin3x + cos3x = sinx + cosx 18) sin3x + 2sin2xcosx – 3cos3x = 0

*Phương trình đối xứng – Phản đối xứng*

Bài 12 Giải các phương trình sau:

1) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 2) (cosx – sinx) + 2sin2x – 1 = 0

3) 2sinx + cosx+ 3sin2x = 2 4) sinx – cosx+ 4sin2x = 1

5) tanx + cotx = 2 (sinx + cosx) 6) (1 + sin2x)(cosx – sinx) = cos2x

7) 3(sinx + cosx) – sin2x – 3 = 0 8) 2sin4x + 3(sin2x + cos2x) + 3 = 0

9) cosx + 1

cosx + sinx +

1 sin x =

10

3 10) sin2x – 2 sin x 4 

  + 1 = 0

Phương trình lượng giác không mẫu mực

Bài 13 Giải các phương trình sau:

1) sin25x + 1 = cos23x 2) sin2x – 2sinx + 2 = sin23x

3) sinx + cosx = 2 (2 – sin3x) 4) 2cos2x = 3sin25x + 2

5) (cos4x – cos2x)2 = 4 + cos23x 6) sinx + cosx = tanx + cotx

Phương trình dạng khác (tổng quát)

Bài 14 Giải các phương trình sau:

1) sin24x + sin23x = sin22x + sin2x 2) sin24x + sin23x + sin22x + sin2x = 2

Lượng giác 11 Bài 2 Phương trình lượng giác

3) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 4) sin2x + sin2x = cos23x + cos24x

5) 4sin3x + sin5x – 2sinxcos2x = 0 6) sin2x + sin22x = sin23x

7) cos2x – cos8x + cos6x = 1 8) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

9) sin2x + cos2x + sin3x = cos3x 10) sin6x.sin2x = sin5x.sinx

11) cos8x.cos5x = cos7x.cos4x 12) sin7x.cosx = sin5x.cos3x

13 2tan2x – 3tanx + 2cot2x + 3cosx – 3 = 0 14) sin3x + sin5x + sin7x = 0

15) cos2x + 4sin4x = 8cos6x 16) sinx = 2 sin5x – cosx

17) 3 + 2sinx.sin3x = 3cos2x 18) sinx+sin2x+sin3x = cosx+cos2x+cos3x 19) sinx+sin2x+sin3x = 1+cosx+cos2x+cos3x 20) 1 + cosx + cos2x + cos3x = 0

21) tanx + cot2x = 2cot4x 22) 2cos2x + sin10x = 1

23) tanx + tan2x = sin3x.cosx 24) 5tanx – 2cotx = 3

25) 1 cos2x sin 2x

cosx 1 cos2x





1 sin 2x



27) (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx 28) 4sin3x = sinx + cosx

cos2x sin 2x sin 4x  30) sin4x + cos4x =

3 cos6x 4



Phương trình lượng giác có tham số

Bài 15 Định m để phương trình:

2) mcosx – 2m + 1 = (2m – 1)cosx có nghiệm

3) msinx + 1 = 2(sinx + m) vô nghiệm

4) cos2x – sinx.cosx – 2sin2x = m có nghiệm

5) (m + 2)sinx – 2mcosx = 2(m + 1) có nghiệm

6) mcos2x + (m + 1)sin2x = m + 2 có nghiệm

8) (m + 2)sinx + mcosx = 2 vô nghiệm

9) (m2 + 2)cos2x – 2msin2x + 1 = 0 có nghiệm

10) sin2x – 4(cosx – sinx) = m có nghiệm

Phương trình lượng giác trong các đề thi đại học, cao đẳng



cos3x sin3x

2) sin23x – cos24x = sin25x – cos26x ĐH – B – 2002

3) cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 , với x  [0 ; 14] ĐH – D – 2002

4) cot x 1 cos2x sin x2 1sin 2x

5) cot x tan x 4sin 2x 2

sin 2x

6) sinh2x2 4 tan x cos2  2 x2 0

8) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx ĐH – D – 2004

10) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 ĐH – B – 2005

11) sin4x + cos4

x + cos x 4  

 .sin3x 4 32

12) 

















4

3 x cos 2 1 x 2 cos 3 2

x sin

4 x cos 2

















2

cos 2 1 tan( ) 3tan



x



Dự bị 2 ĐH – B – 2005

15) tan32 x1 cosxsin x 2



16) sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0 Dự bị 2 ĐH – D – 2005

17)

2(cos x sin x) sin x cosx 0

2 2sin x



18) cot x sin x 1 tan x.tan   x24

20) cos3x.cos3x – sin3x.sin3x =

8

2 3

21) 2sin 4 sin x 1 0

6









22) (2sin2x – 1)tan22x + 3(2cos2x – 1) = 0 Dự bị 1 ĐH – B – 2006

23) cos2x + (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 0 Dự bị 2 ĐH – B – 2006

24) cos3x + sin3x + 2sin2x = 1 Dự bị 1 ĐH – D – 2006

25) 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0 Dự bị 2 ĐH – D – 2006

26) (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x ĐH – A – 2007

28)

2

ĐH – D – 2007

29) sin 2x sin x 1 1 2 cot 2x

2sin x sin2x

30) 2 cos x 2 3 sin x cosx 1 3(sin x2     3 cosx) Dự bị 2 ĐH – A – 2007

4 2

x cos 4

2

x























32) sin 2x cos2x tanx cotx

33) 2 2sin x 12cosx1









34) (1 – tgx)(1 + sin2x) = 1 + tgx Dự bị 2 ĐH – D – 2007

35)

2



ĐH – A – 2008

36) sin3x – 3 cos3x = sinxcos2x – 3 sin2xcosx ĐH – B – 2008

37) 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx ĐH – D – 2008

Lượng giác 11 Bài 2 Phương trình lượng giác

III.Bài tập trắc nghiệm :

1 Nghiệm của phương trình sinx = cosx là:

Ⓐ x = 4 + k2 Ⓑ x = – 4 + k2 Ⓒ x = 4 + k2 Ⓓ x = 4 + k2

2 Nghiệm của phương trình 1 – cos2x = 0 là:

Ⓐ x = 2 + k2 Ⓑ x = k2 Ⓒ x = k Ⓓ x = 4 + k2

3 Nghiệm của phương trình tan2x = 0 là:

Ⓐ x = k2 Ⓑ x = k 2 Ⓒ x = k Ⓓ x = 4 + k

4 Nghiệm của phương trình cos 4x = 21 là:

Ⓐ x =   k 8 

4

3

Ⓑ x =    k 8 

3

4

Ⓒ x = 34k8 Ⓓ x = k8

3







5 Nghiệm của phương trình cos 









 4

2

2 = 0 là:

Ⓐ x =  k 2 

2 Ⓑ x = (2k 1) Ⓒ Cả A và B Ⓓ Đáp án khác

6 Nghiệm của phương trình cosx + cos 3 = 0 là:

Ⓐ x =  (   3 )  k 2  Ⓑ x =  arccos 3  k 2 

Ⓒ x =  arccos 3 k 2  Ⓓ x = arccos 3  k 2 

7 Nghiệm của phương trình cos 









 3

x + 73 = 0 là:

Ⓐ x =   











7

3











7

3 arccos











7

3













7

3 arccos

8 Nghiệm của phương trình tan4x – 1 = 0 là:

Ⓐ x =   k 2 

16 Ⓑ x = 16 k4







Ⓒ x =    k 2 

16 Ⓓ x = 16 k4









9 Nghiệm của phương trình cot3x + 1 = 0 là:

Ⓐ x =   k 2 



12 Ⓒ x = 12 k3







Ⓓ x =  12 k3

10 Nghiệm của phương trình cot(x + 300) +

3

3 = 0 là:

Ⓐ x = 900 + k1800 Ⓑ x = – 300 + k1800 Ⓒ x = –900 + k1800 Ⓓ x = –300 + k3600

11 Nghiệm của phương trình cos(x – 100) + sinx = 0 là:

Ⓐ x = 1400 + k1800 Ⓑ x = –1400 + k3600 Ⓒ x = –1400 + k1800 Ⓓ x = 1400 + k3600

12 Nghiệm của phương trình sin6x = sin 7 là:

Ⓐ x = 42 + k3 Ⓑ x = 7 + k3 Ⓒ Cả 2 nghiệm trên Ⓓ Kết quả khác

13 Nghiệm của phương trình sinx – cos 









 3

x = 0 là:

Ⓐ x = – 24 – k 2 Ⓑ x = 24 – k 2 Ⓒ x = –24 – k2 Ⓓ x = 24 – k2

14 Nghiệm của phương trình sin(2x + 300) = sinx là:

Ⓐ x = 300 + k3600 Ⓑ x = 500 + k1200 Ⓒ Cả 2 nghiệm trên Ⓓ Kết quả khác

15 Nghiệm của phương trình cot3x = 0 là:

Ⓐ x = 2 + k Ⓑ x = 6 + k Ⓒ x = 2 + k2 Ⓓ x = 6 + k 3

16 Một nghiệm của phương trình sin2x – cosx = 0 là:

Ⓐ x = 2 + k23 Ⓑ x = 6 + k2 Ⓒ x = 2 + k Ⓓ x = 6 + k23

17 Nghiệm của phương trình sinx + sin(x – 100) = 0 là:

Ⓐ x = 50 + k1800 Ⓑ x = –50 + k1800 Ⓒx = 50 + k3600 Ⓓ x = –50 + k3600

18 Nghiệm của phương trình tan(x – 100) + cot2x = 0 là:

Ⓐ x = 1000 – k1800 Ⓑ x = –1000 – k1800 Ⓒ x = 800 – k1800 Ⓓ x = 800 + k1800

19 Số nghiệm của phương trình sin2x =  21 trên (–  ; 0) là:

20 Số nghiệm của phương trình cos(x – 2) =

2

3 trên [0 ; ] là:

21 Số nghiệm của phương trình tan(x – 100) = 1 trên (–150 ; 150) là:

22 Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

Ⓐ cos(2x – 1) + 273 = 0 Ⓑ 2008cosx – 2007 = 0

Ⓒ (1 + 2)cos7x + 1 = 0 Ⓓ cosx + cos2007 = 0

23 Với giá trị nào của m thì phương trình sinx + m + 1 = 0 có nghiệm.

24 Với giá trị nào của m thì phương trình sinx – m2 + 1 = 0 vô nghiệm

Ⓐ m  – 1 Ⓑ m<– 2 m> 2 Ⓒ – 2  m  2 Ⓓ m  – 1.

25 Giá trị của m để phương trình (m + 1)cosx + 1 – m = 0 có nghiệm là:

26 Giá trị của m để phương trình (m + 1)cosx + 1 – m = 0 vô nghiệm là:

27 Số nghiệm của phương trình 2sin2x – 1= 0 trên khoảng (– 2;) là:

28 Tập nghiệm của phương trình tanx + 1= 0 trên 









 2

3

;

2 là:











 4

3

;









4

3

; 0

;















4

3

; 0

;

29 Nghiệm của phương trình 2sinx – 2= 0 là:

Ⓐ x = 4+ k2 ; x =34 + k2 Ⓑ x = 4+ k ; x =34 + k

Ⓒ x = – 4+ k2 ; x = – 34 + k2 Ⓓ x = – 4+ k ; x = – 34 + k

30 Nghiệm của phương trình 2sin(2x – 100) + 1 = 0 là:

Ⓐ x 20 0k180 ;x 500  0 k1800 Ⓑ x200 k90 ; x 1000  0k900

Ⓒ x200k180 ; x 1000  0k1800 Ⓓ x200 k360 ; x 1000  0k900

31 Nghiệm của phương trình 2cos3x – 3= 0 là:

Ⓐ x =18 + k2 Ⓑ x =18 + k Ⓒ x =18 + k23 Ⓓ x =18 + k3

32 Nghiệm của phương trình sin2x – sinx – 2= 0 là:

Ⓐ x = – 2 + k2 Ⓑ x = arcsin2 + k2

Ⓒ x =  – arcsin2 + k2 Ⓓ Cả ba đều đúng

33 Nghiệm của phương trình 2sin2x – sinx + 1 – 2 = 0 là:

Ⓐ x = 2+ k Ⓑ x = – 2+ k2 Ⓒ x =k Ⓓ Đáp án khác

34 Nghiệm của phương trình sin2x + cosx + 1 = 0 là:

Ⓐ x =  + k2 Ⓑ x = (2k + 1) Ⓒ Cả hai đúng Ⓓ Đáp án khác