Rèn luyện kỹ năng phân tích giải một số phương trình lượng giác lớp 11 thpt

Nhiê ̣m vu ̣ nghiên cƣ́u Nghiên cứu lí luận có liên quan kỹ năng phân tích trong giải phương trình lượng giác... Đối với giáo viên... Bảng1: Đội ngũ giáo viên của trường...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN THI ̣ THU TRANG

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LỚP 11-THPT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN THI ̣ THU TRANG

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LỚP 11-THPT

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: Ths Doãn Mai Hoa

SƠN LA, NĂM 2018

LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiê ̣n khóa luâ ̣n , em đã nhâ ̣n được sự hướng dẫn tâ ̣ n tình của GV Ths Doãn Mai Hoa, sự giúp đỡ và ta ̣o điều kiê ̣n của thầy cùng với các em học sinh trường THPT Đồng thời, viê ̣c hoàn thành khóa luâ ̣n nhâ ̣n được sự giúp đỡ ta ̣o điều kiê ̣n thuâ ̣n lợi về cơ sở vâ ̣t chất , tài liệu,Thư viên và mô ̣t số phòng ban trực thuô ̣c trường Đa ̣i học Tây Bắc

Nhân di ̣p này cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo,

các đơn vị nói trên về sự ủng hộ và những đóng góp ý kiến giúp đỡ quý báu đó

Em xin chân thành cảm ơn !

Sơn La, tháng 5 năm 2018

Người thực hiê ̣n

Nguyễn Thi ̣ Thu Trang

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn khóa luận 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

2.1 Mục đích nghiên cứu 1

2.2 Nhiê ̣m vu ̣ nghiên cứu 1

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pha ́p nghiên cứu 2

5 Cấu tru ́ c của khóa luâ ̣n 2

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3

1.1 Mô ̣t số khái niê ̣m 3

1.1.1 Kỹ năng 3

1.1.2 Kỹ năng phân tích giải bài tập toán 3

1.2 Phương pha ́p kỹ năng phân tích trong tìm lời giải bài toán : 4

1.3 Phương tri ̀nh lươ ̣ng giác trong chương trình lớp11-THPT 5

1.3.1 Phương tri ̀nh lươ ̣ng giác cơ bản 6

1.3.2 Mô ̣t số da ̣ng phương trình lượng giác tổng hợp có thuâ ̣t giải: 7

1.4 Thư ̣c tra ̣ng của viê ̣c da ̣y và học kỹ năng phân tích giải phương trình lượng giác của học sinh lớp 11-THPT 7

1.4.1 Đối với giáo viên: 7

1.4.2 Đối với học sinh 8

CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11 9

2.1 Nguyên tắc re ̀n luyê ̣n kỹ phân tích năng giải phương trình lượng giác lớp 11: 9

2.2 Rèn luyện kỹ năng phân ti ́ch mô ̣t số phương trình lươ ̣ng giác 9

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 41

1) Mục đích thực nghiệm 41

2) Nô ̣i dung thực nghiê ̣m 41

4) Tổ chư ́ c thực nghiê ̣m 41

5) Tiến tri ̀nh thực nghiê ̣m 41

6) Kết qua ̉ rút ra từ thực nghiê ̣m 42

KẾT LUẬN 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn khóa luận

Phương trình lượng giác là mô ̣t trong những nô ̣i dung quan tro ̣ng trong chươn g trình toán phổ thông và luôn có mặt trong đề thi đại học, cao đẳng

Do vâ ̣y, tổ chức có hiê ̣u quả viê ̣c da ̣y ho ̣c lượng giác nói chung , giải phương trình lượng giác nói riêng có vai trò tác động trực tiếp đến kết quả học tâ ̣p của ho ̣c sinh.Phương trình lượng giác rất đa da ̣ng và phong phú , để giải được chúng đòi hỏi phải nắm vững được công thức , các phương trình lượng giác cơ bản và điều quan trọng nhất là phải có kĩ năng phân tích giải phương trình lượng giác

Rèn luyện kĩ năng phân tích giải phương trình lượng giác vừa là mục đích , vừa là phương tiện làm cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản , rèn luyện kĩ năng suy luâ ̣n toán ho ̣c, tính toán và rèn luyện c ác phẩm chất tư duy : tư duy linh hoa ̣t , đô ̣c lâ ̣p, sáng tạo, chính xác, cẩn thâ ̣n…góp phần phát triển năng lực toán ho ̣c cho ho ̣c sinh

Thực tế da ̣y ho ̣c nhằm rèn luyê ̣n kỹ năng phân tích cho ho ̣c sinh trong giải bài

tâ ̣p lượng giác ở lớp 11-THPT Mường Bi còn có những ha ̣n chế Do kỹ năng phân tích trong các bước giải bài tâ ̣p phương trình lượng giác có tầm quan tro ̣ng: Không chỉ giúp học sinh nhìn thấy kiến thức về phương trình lượng giác liên quan đến kiến thức về phương trình đa ̣i số ; liên quan đến kiến thức về hình ho ̣c ; các quan hệ giữa các đại lượng hình ho ̣c…Do đó nhằm giúp ho ̣c sinh lớp 11-THPT có nhâ ̣n thức toàn diê ̣n, đầy đủ về kỹ năng phân tích trong giải phương tr ình lượng giác tác giả l ựa chọn viê ̣c nghiên cứu: “Rèn luyê ̣n kĩ năng phân tích giải mô ̣t số phương trình lượng giác lớp 11-THPT”, nhằm đề ra mô ̣t vài suy nghĩ về viê ̣c nâng cao chất lượng da ̣y ho ̣c phương trình lượng giác lớp 11-THPT

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng phân tích trong giải phương trình lượng giác cho ho ̣c sinh lớp 11, nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và

học giải toán phương trình ở THPT

2.2 Nhiê ̣m vu ̣ nghiên cƣ́u

Nghiên cứu lí luận có liên quan kỹ năng phân tích trong giải phương trình lượng giác Tìm hiểu về thực trạng việc rèn luyện kỹ năng phân tích giải phương trình lượng giác của học sinh lớp 11-THPT

Đề xuất mô ̣t số biê ̣n pháp nhằm rèn luyê ̣n kỹ năng phân tích trong giải một số phương trình lượng giác

Thử nghiê ̣m sư pha ̣m

3 Đối tươ ̣ng, phạm vi nghiên cứu

- Kỹ năng phân tích giải bài tập toán học

- Một số phương trình lượng giác lớp 11-THPT

4 Phương pha ́ p nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luâ ̣n

- Phương pháp quan sát- điều tra

- Phương pháp thử nghiê ̣m sư pha ̣m

5 Cấu tru ́ c của khóa luâ ̣n

Ngoài phần mở đầu và kết luâ ̣n Khóa luâ ̣n gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luâ ̣n và thực tiễn

Chương 2: Mô ̣t số biê ̣n pháp r èn luyện kỹ năng phân tích giải phương trình lượng giác cho ho ̣c sinh lớp 11 THPT

Chương 3: Thử nghiê ̣m sư pha ̣m

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Mô ̣t số khái niê ̣m

Hiểu mô ̣t cách chung nhất: kỹ năng là khả năng thực hiê ̣n mô ̣t hành đô ̣ng hay mô ̣t hoạt động nào đó bằng cách lựa chọn và vận dụng những tri thức, cách thức hành động đúng đắn để đa ̣t được mu ̣c đích đề ra

1.1.2 Kỹ năng phân ti ́ch giải bài tập toán

- Kỹ năng giải bài tập là khả năng thực hiện giải bài toán nào đó bằng cách lựa chọn và vâ ̣n du ̣ng các kiến thức toán ho ̣c để giải bài toán

- Kỹ năng phân tích có thể coi là một trong những kỹ năng quan trọng mà bạn không được da ̣y qua bất kỳ mô ̣t trường lớp nào cả Kỹ năng này bao gồm : tư duy về trực quan, tư duy phản biê ̣n và khả năng thu thâ ̣p và xử lý thông tin

- Kỹ năng phân tích giải bài tập toán của học sinh có thể hiểu đó là kỹ năng sử dụng có mục đích sáng tạo những kiến thức toán học để giải những bài tập toán học

Mô ̣t ho ̣c sinh có kỹ năng phân tích khi giải bài toán sẽ xác định được hướng giải đúng, trình bài lời giải một cách logic, chính xác trong một thời gian nhất định

a) Các mức độ của kỹ năng phân ti ́ch

Trong toán ho ̣c có thể chia làm hai nhóm kỹ năng giải bài tâ ̣p toán học:

- Kỹ năng phân tích giải bài tập toán cơ bản

- Kỹ năng phân tích giải bài tập toán tổng hợp

b) Các giai đoạn hình thành kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh

Giai đoạn 1: Học sinh vận dụng lý thuyết để phân tích giải những bài tập toán

cơ bản, từ đó hình thành cho học sinh các thao tác cơ bản như: Viết các đa ̣i lượng theo ngôn ngữ toán ho ̣c , viết chính xác công thức , ký hiệu , tính gi á trị dựa vào công thức…viê ̣c hình thành kỹ năng riêng rẽ của giai đoa ̣n này là phân tích giải bài tập mẫu

cụ thể để học sinh biết được thao tác phân tích giải một bà i tâ ̣p toán cơ bản (có thể

giáo viên trình bày)

Giai đoạn 2: Học sinh vâ ̣n du ̣ng kiến thức để phân tích bài tập toán cơ bản qua đó hình thành kỹ năng riêng rẽ gắn với các bài cơ bản Viê ̣c hình thành kỹ năng riêng rẽ của giai đoạn này là : Luyê ̣n tâ ̣p phân tích giải một số bài t ập toán học tương tự bài

mẫu nhằm giúp ho ̣c sinh nắm được sơ đồ đi ̣nh hướng giải mô ̣t bài tâ ̣p toán cơ bản

Giai đoa ̣n 3: Hình thành kỹ năng phân tích giải bài tập tổng hợp thông qua việc

cho ho ̣c sinh phân tích giải những bài tâ ̣p tổng hợp phức ta ̣p, đa da ̣ng hơn

Muốn hình thành kỹ năng phân tích giải b ài toán cần nắm được vững vàng những kiến thức đã ho ̣c trước đó có liên quan đến bài toán

Sự phân chia chỉ là tương đối , trong hê ̣ thống các kĩ năng đều có mối liên hê ̣

mâ ̣t thiết với nhau, kỹ năng này là cơ sở để hình thành kỹ năng kia và ngược lại

b) Con đươ ̀ ng hình thành kỹ năng phân tích giải bài tâ ̣p

Theo lý luâ ̣n da ̣y ho ̣c thì kỹ năng hình thành được do tâ ̣p luyê ̣ n mà nên, do đó có thể hình thành kỹ năng phân tích bằng nhiều cách thức khác nhau:

Luyê ̣n tâ ̣p theo mẫu : Cho ho ̣c sinh phân tích giải bài toán bài tâ ̣p tương tự bài

tâ ̣p mẫu Viê ̣c luyê ̣n tâ ̣p tiến hành ngay trong tiết ho ̣c cũng có thể len lỏi qua một số bài tập về nhà.Viê ̣c da ̣y ho ̣c sinh kỹ năng phân tích đề là rất quan trọng, giúp học sinh

đi ̣nh hướng mô ̣t cách đúng đắn nhất để đưa ra cách giải cho mô ̣t bài toán cu ̣ thể

Luyê ̣n tâ ̣p không theo mẫu : cho ho ̣c sinh luyê ̣n tâ ̣p khi những điều kiê ̣n và yêu cầu của bài toán được thay đổi từ đơn giản đến phức ta ̣p Hê ̣ thống các bài tâ ̣p sắp xếp từ dễ đến khó, giúp học sinh phát triển kỹ năng dần dần nâng cao

Luyê ̣n tâ ̣p thường xuyên: kỹ năng phân tích phải được hình thành cho học sinh

mô ̣t cách thành tha ̣o vì thế cần tạo điều kiện để học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích trong tiết ho ̣c, trong hoa ̣t đô ̣ng ho ̣c ở nhà

1.2 Phương pha ́ p kỹ năng phân tích trong tìm lời giải bài toán

Kỹ năng phân tích chung, cũng tuân theo bốn bước sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài (Phân tích đề bài)

Phát biểu đề bài ở những dạng khác nhau để hiểu rõ, hiểu sâu nô ̣i dung bài toán Phân biệt được cái đã biết (giả thiết) và cái cần phải tìm, phải chứng minh (kết luâ ̣n) Xét xem chúng đã ở dạng tổng quát nào chưa nếu rồi thì thực hiện giải theo cách giải của dạng nó, nếu chưa thì tìm cách biến đổi đưa về mô ̣t da ̣ng đã biết hướng giải

(Có thể dùng công thức , kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ trong việc diễn tả phân tích

mô phỏng bài toán mô ̣t cách rõ ràng nhất có thể)

Bước 2: Tìm cách giải

Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán : biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh ; và liên hệ chúng với những tri thức đã biết; liên hê ̣ bài toán với mô ̣t bài toán tương tự, mô ̣t bài bài toán tổng quát hơn hay mô ̣t bài toán có liên quan

Sử du ̣ng những phương pháp đă ̣c thù với từng da ̣ng bài toán như : quy na ̣p toán học, chứng minh phản chứng, toán dựng hình…

Kiểm tra bài toán bằng cách xem kỹ từng bước hoă ̣c đối chiếu với mô ̣t số kết quả có liên quan…

Tìm ra những cách giải khác nhau rồi so sánh chúng , tìm ra cách giải tối ưu nhất cho bài toán

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ viê ̣c đã biết được cách giải , ta sắp xếp thành mô ̣t quy trình giả i gồm các bước theo trình tự thích hợp và thực hiê ̣n lần lượt các bước đó

( đảm bảo được tính đúng, logic, chính xác )

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rô ̣ng hay lâ ̣t ngược vấn đề; nghiên cứu khả năng ứng du ̣ng kết quả của lời giải

Lưu ý: Chú trọng nhất là bước1 phân tích đề bài; vì chỉ có thể hiểu rõ hiểu sâu bài

toán, nắm được bài toán cho cái gì và phải tìm cái gì để từ đó ta mới đi tìm cách giải

Như vâ ̣y, ta thấy viê ̣c phân tích đề bài là bước quan trọng nhất để giải quyết một bài toán nào đó Nó giúp ta định hướng tìm được nhanh chóng cách giải bài toán môt cách dễ ràng hơn

1.3 Phương tri ̀nh lươ ̣ng giác trong chương trình lớp11-THPT

Phương trình lượng giác được trình bày ở chương I của sách giáo khoa Đa ̣i số

và giải tích 11 với 20 tiết gồm các nô ̣i dung sau:

- Phương trình lượng giác là phương trình chứa mô ̣t hay nhiều hàm số lượng giác

- Giải ph ương trình lượng giác là tìm tất cả các giá tri ̣ của ẩn số thỏa mãn phương trình đã cho Các giá trị này là số đo của các cung (góc) tính bằng radian hoặc bằng đô ̣

Trong thực tế , có nhiều bài toán dẫn đến việc giải c ác phương trình có một trong các da ̣ng sau: sin x  m ,cos x  m ,tan x  m ,cot x  m

(trong đó: x là ẩn số và m là hằng số cho trước )

Đó chính là phương trình lượng giác cơ bản

1.3.1 Phương tri ̀nh lươ ̣ng giác cơ bản

*Dạng1: Phương trình sin x m (1)

Cách giải:

Để giải và biện luâ ̣n phương trình (1) ta thực hiê ̣n các bước sau:

Bước1: Nếu m  1 thì phương trình vô nghiệm

Bước2: Nếu m  1 thì có hai trường hợp xảy ra:

+TH1: Nếu m biểu diễn qua sin củ a các cung đă ̣c biê ̣t

+TH2: Nếu m không biểu diễn qua sin củ a các cung đă ̣c biê ̣t

*Dạng2: Phương trình osc xm (2)

Cách giải:

Để giải và biện luâ ̣n phương trình (2) ta thực hiê ̣n theo các bước sau:

Bước1: Nếu m  1 thì phương trình vô nghiệm

Bước2: Nếu m  1 thì có hai trường hợp xảy ra:

+TH1: Nếu m biểu diễn qua cos củ a các cung đă ̣c biê ̣t

+TH2: Nếu m không biểu diễn qua cos củ a các cung đă ̣c biê ̣t

* Dạng3: Phương trình tan x m (3)

Cách giải:

Để giải và biê ̣n luâ ̣n phương trình (3) ta thực hiê ̣n theo các bước sau:

Bước1: Phân tích đă ̣c điểm của bài toán ta đă ̣t điều kiê ̣n:

cos 0 ,( )

2

Bước2: Xét 2 trường hợp xảy ra:

+TH1: Nếu m biểu diễn qua tan củ a các cung đă ̣c biê ̣t

+TH2: Nếu m không biểu diễn qua tan củ a các cung đă ̣c biê ̣t

(Nhâ ̣n xét : Với mọi giá trị của tham số m thì phương trình (3) luôn luôn có

nghiê ̣m.)

* Dạng 4: Phương trình cot x m (4)

Cách giải:

Để giải và biê ̣n luâ ̣n phương trình (4) ta thực hiê ̣n theo các bước sau:

Bước1: Đặt điều kiện:

sin x    0 x k  ,( k  Z )

Bước2: Xét 2 trường hợp xảy ra:

+TH1: Nếu m biểu diễn qua cot củ a các cung đă ̣c biê ̣t

+TH2: Nếu m không biểu diễn qua cot củ a các cung đă ̣c biê ̣t

(Nhâ ̣n xét : Với mo ̣i giá tri ̣ của tham số m thì ph ương trình (4) luôn luôn có

nghiê ̣m.)

1.3.2 Mô ̣t số da ̣ng phương trình lượng giác tổng hợp có thuâ ̣t giải

* Phương tri ̀nh bâ ̣c nhất đối với mô ̣t hàm số lươ ̣ng giác

* Phương tri ̀nh bâ ̣c hai đối với mô ̣t hàm số lươ ̣ng giác

* Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

* Phương tri ̀nh đối xứng với sinx và cosx

1.4 Thư ̣c tra ̣ng của viê ̣c da ̣y và ho ̣c kỹ năng phân tích giải phương trình lượng giác của học sinh lớp 11-THPT

Để tìm hiểu thực tra ̣ng viê ̣c da ̣y và ho ̣c ở trường THPT Mường Bi, tôi tiến hành điều tra hai đối tượng là giáo viên và ho ̣c sinh trường THPT Mường Bi như sau:

- Giáo viên: trườ ng THPT Mường Bi

- Học sinh: lớ p 11A1 và 11A2

1.4.1 Đối với giáo viên

Bảng1: Đội ngũ giáo viên của trường

1.4.2 Đối với học sinh

Qua bảng điều tra ta thấy đ a số các ho ̣c sinh trong trường có phương pháp ho ̣c

tâ ̣p truyền thống ít mang la ̣i hứng thú ho ̣c tâ ̣p Phần lớn các em đêu biết làm và cũng có kỹ năng mềm dẻo , linh hoa ̣t, sáng tạo Do đó, giáo viên cần nắm bắt tình hình học sinh để có thể hướng dẫn kỹ hơn mô ̣t số kỹ năng giải PTLG cho các em như : Kỹ năng phân tích, suy luâ ̣n,…để các em hiểu sâu và vâ ̣n du ̣ng giải các bài toán phức ta ̣ p hơn cũng có thể làm được

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11 2.1 Nguyên tắc re ̀n luyê ̣n kỹ phân tích năng giải phương trình lươ ̣ng giác lớp 11 Để rèn luyê ̣n kỹ năng phân tích giải PTLG c ần dựa vào mức độ và trình độ kỹ

năng phân tích giải bài tâ ̣p toán ho ̣c

- Rèn luyện kỹ năng phân tíc h giải PTLG ở các nô ̣i du ̣ng : phương trình lượng

giác cơ bản, và phương trình lượng giác tổng hợp có thuật giải

2.2 Rèn luyện kỹ năng phân tích một số phương trình lượng giác tích hợp

* Mô ̣t số ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình

*) Phân ti ́ch tìm hướng giải

Cách 1: Sử du ̣ng công thức ha ̣ bâ ̣c:

Cách 2: -Đánh giá cosx=0 xem có thỏa mãn phương trình hay không,

- Nếu cos x  0 chia cả 2 vế cho 2

cos x, ta đưa phương trình về da ̣ng phương trình bậc hai đối với tanx Khi đó phương trình (*) trở thành:

2

*) Phân ti ́ch xây dựng chương trình giải

Cách 1: Sử du ̣ng công thức ha ̣ bâ ̣c: 2 1 cos 2

*) Phân ti ́ch trong thực hiê ̣n chương trình giải

+ Sử du ̣ng hằng đẳng thức 2 2 2 2

sin x  cos x   1 sin x   1 cos x Khi đó phương trình (*) lúc này trở thành:

Ta thấy cos x  0 Nên ta chia cả 2 vế cho 2

cos x ta đưa về phương trình bâ ̣c hai đối với tanx Giải phương trình đó tìm nghiệm

- Sáng tạo bài toán mới : Sư ̉ du ̣ng các hằng đẳng thức sau:

và công thức nhân đôi sin 2 2 tan2

1 tan

x x

*) Phân ti ́ch tìm lời giải

Đây là phương trình lượng giác chứa cả hàm sin và cos

Cách 1: Ta đưa về da ̣ng cơ bản cotx

Phương tình (*) 3 cos( 5 2 ) sin( 5 2 )

6

x x

Cách 2: Ta đưa về da ̣ng cơ bản tanx

Phương tình (*) 3 cos( 5 2 ) sin( 5 2 )

6

x x

- Giải tìm nghiệm, kết hợp với điều kiê ̣n (2) rồi kết luâ ̣n nghiê ̣m

*) Phân ti ́ch xây dựng chương trình giải

Cách 1: Là phương trình lượng giác chứa cả hàm sin và cos , ta đưa về phương

trình cơ bản của hàm cot để giải

Phương tình (*) 3 cos( 5 2 ) sin( 5 2 )

6

x x

- Đối chiếu nghiệm với điều kiện (1*), thỏa mãn

KL: Vậy phương trình (*) có nghiệm là: ,( )

- Đối chiếu nghiệm với điều kiện (1*) thỏa mãn

KL: Vậy phương trình (*) có nghiệm là: ,( )

x    k  k  Z

*) Phân ti ́ch nghiên cƣ́u sâu lời giải

- Cách khác : (Sử du ̣ng phương pháp giải của phương trình bâ ̣c nhất đối với sinx và cosx.)

Ta thấy: (*) có pt dạng: 5 5

    , nên +Ta chia cả hai vế phương trình (*) cho 2, ta được:

- Sáng tạo bài toán mới

+ Áp dụng công thức cộng, ta có:

+Từ đó, thay vào (*) biến đổi thu go ̣n ta được: 3sin 2 x  cos2 x  0

Vâ ̣y ta có bài toán mới:

3sin 2 x  cos 2 x  0

Ví dụ 3: Giải phương trình

2

2sin x  sin 2 x  0 (*) Giải

*) Phân tích tìm lời giải

Đây chưa phải là phương trình bâ ̣c nhất đối với mô ̣t hàm lượng giác , nên ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác và công thức lượng giác để đưa chúng về da ̣ng đó

Cách 1: Dùng công thức hạ bậc 2 1 cos 2

Dẫn đến phương trình (*) trở thành phương trình :2(1 cos  2 x ) sin 2  x  0,

biến đổi bằng cách thu go ̣n ta được : 2

1 cos  x  sin cos x x  0 (2*) _Phương trình này là phương trình đẳng cấp bậc hai, đã có phương pháp giải

*) Phân ti ́ch xây dựng chương trình giải

Cách 1: Sử du ̣ng công thức ha ̣ bâ ̣c biến đổi 2 1 cos 2

Đặt sinx ra ngoài làm nhân tử chung, đưa về phương trình da ̣ng tích

Do vâ ̣y, phương trình (1)  2sin x  sin x  cos x   0 sin 0

Ta chia cả 2 vế cho 2,ta được: 1 sin 1 cos 0

Phương trình (a)

Cách 3: Sử du ̣ng công thức biến đổi 2

sin x thành (1 cos  2 x ), dựa vào hằng đẳng thức 2 2

sin x  cos x  1 Dẫn đến phương trình (*) trở thành phương trình :2(1 cos  2 x ) sin 2  x  0, biến đổi bằng cách thu go ̣n ta được:

2

1 cos  x  sin cos x x  0 (2*) ( Xét 2TH: cosx=0 và cosx# 0)

TH1:cosx=0 Khi đó pttt: (*) vô nghiê ̣m

TH2: cosx# 0 Khi đó ta chia cả 2 vế pt(2*) cho 2

*) Phân ti ́ch trong thực hiê ̣n chương trình giải

2sin x  sin 2 x   0 2sin x  2sin cos x x  0 (2*)

- Ta xét hai trường hợp:

+TH1: sin x    0 x k  ,( k  Z ) thay vào phương trình , nếu thỏa mãn thì

x  k  k  Z là nghiệm của phương trình (1) +TH2: sin x    0 x k  ,( k  Z )thì chia cả hai vế phương trình cho 2

sin x,

ta được phương trình bâ ̣c nhất đối với cotx

( Chia cả 2 vế phương trình (2*) cho 2

,( )

x  k  k  Z hoặc ,( )

4

x    k  k  Z

- Sáng tạo bài toán mới

(Sử dụng công thức theo sin của góc nhân ba:

8sin x  2sin3 x  9sin 2 x  0

Ví dụ 4: Giải phương trình

sin2x- 3cos2x=3 (*)

Giải

*) Phân ti ́ch tìm lời giải

Cách 1: Ta đưa về phương trình cơ bản của hàm sin

Ta thấy phương trình có da ̣ng: asinx+bcosx=c (a, b, cR) là dạng phương trình

bâ ̣c nhất đối với sinx và cosx Ở loại này ta đã có phương pháp giải (Ktra điều kiê ̣n:

a  b  c haya  b  c ? )

- Nếu a2  b2  c2thì (*) vô nghiê ̣m

- Nếu a2  b2  c2thì (*) có nghiệm Khi đó, chia cả hai vế phương trình (*)

cho 10 ta được : 1 sin 2 3 cos 2 3

- Sử d ụng công thức hạ bậc : 2 1 cos 2 2

2

x

, và công thức nhân đôi: sin 2 x  sin cos x x

 cos (sin x x  3cos ) x  0

Giải tìm được nghiệm là: ( )

Do đó: Phương trình (*) có nghiệm

-Ta chia cả 2 vế của phương trình (*) cho 2 2 2 2

Lúc đó pt (*) viết được dưới da ̣ng:

cos sin 2  x  sin cos 2  x  sin 

Hay: sin 2 cos x   cos 2 sin x   sin  (1)

Ta thấy VT có da ̣ng công thức cô ̣ng sin (a-b)=sinacosb-cosasinb, nên

Phương trình (1)  sin(2 x   )  sin x (2)

Đối với phương trình (2) để giải ta sử dụng công thức nghiệm của dạng phương trình lượng giác cơ bản sin x  sin , nên

Phương trình (2)

- Mà: công thứ c nhân đôi sin2x=2sinxcosx (2)

- Mặt khác: công thức ha ̣ bâ ̣c 2 1 cos 2

suy ra: 1 cos 2  x  2cos2x (3)

Thay (2), (3) vào (1), ta được:

2

2

2

Từ pt (4) chuyển 3cosx sang VT, VT xuất hiê ̣n nhân tử chung là cosx Ta được

phương trình mới:

2

Ta thấy do 3 không biểu diễn qua tan củ a cung đă ̣c biê ̣t , giả sửlà số đo bằng rad của cung lượng giác sao cho: tan   3, khi đó:

Tức là: Tan x   3 Tan     x  k  ( k  Z )

Vâ ̣y phương trình có nghiê ̣m là: ( )

- Sáng tạo bài toán mới

(Sử du ̣ng công thức theo tan góc chia đôi), ta có:

2

2 tan sin 2

1 tan

x x

1 tan

x x

x







Khi đó bài toán trở thành bài toán mới: Tanx=3

Ví dụ 5: Giải phương trình

2

2 3 cos x  6sin cos x x   3 3