Phương pháp Nguyên tắc chung: Khử bớt ẩn để quy về giải các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn.. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số hay phương
Trang 1HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
-phần 2 -
Biên soạn: Đặng Thị Phượng
Phạm Thị Thêu
III ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ĐỂ XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cách giải:
Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình tổng quát là:
d A x B y C
d A x B y C
Bước 1: Thiết lập hệ phương trình được tạo bởi d1 và d2 là:
0 0
A x B y C A x B y C
A x B y C A x B y C
Bước 2: Biện luận hệ phương trình để xác định vị trí tương đối của d1 và d2
+ Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì d1/ /d2
+ Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì 1 2 D x;D x
+ Nếu hệ vô nghiệm thì d1 d2
Ví dụ: Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình:
1
2
d kx y k
a) Chứng minh rằng khi k thay đổi thì đường thẳng d1 luôn đi qua một điểm cố định
b) Với mỗi giá trị của k hãy xác định giao điểm của d1 và d2
c) Tìm quỹ tích giao điểm đó khi k thay đổi
Giải:
Gọi M x y ; là điểm cố định mà đường thẳng d1 luôn đi qua với k
0
kx y k
với k
1
0
x
y
Vậy với k đường thẳng d1 luôn đi qua một điểm cố định M 1;0
kx y k
k x ky k
Trang 2Vì 2
D k knên d1 và d2 luôn cắt nhau tại 1 22 2 2
M x y M
2
2
2 2
2 2
2
2
1
1
1
1
1
k
k
x y
y k
Vậy quỹ tích giao điểm của đường thẳng d1 và d2 là đường tròn 2 2
1
x y
Bài tập vận dụng
0
a b và hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình:
1
( ) : axd by a b và d2 :bxay a b
a) Xác định giao điểm của d1 và d2
b) Tìm quỹ tích tọa độ giao điểm khi d thay đổi
0
a b và hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình:
1
( ) : (a-b)xd y 1 và 2 2
2 :
d a b x ay b
a) Xác định giao điểm của d1 và d2
b) Tìm điều kiện của a và b để giao điểm đó thuộc trục hoành
V HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN
Dạng tổng quát:
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
trong đó các hệ số cả ba ẩn x y z, , trong mỗi phương trình của hệ không đồng thời bằng 0
Phương pháp
Nguyên tắc chung: Khử bớt ẩn để quy về giải các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn
ít hơn Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số hay phương pháp thế giống như đối với hệ phương trình hai ẩn
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
2 1
x y z
x y z
x y z
Giải
Từ 1 ta có: z 2 x y 4
Thay thế z trong 4 vào 2 và 3 ta được:
Trang 3Ta thu được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn quen thuộc:
x y
Nhân cả 2 vế của 6 với 2 và giữ nguyên 7 ta được: 4 2 10
Trừ vế với vế của 2 phương trình này ta được: 3x 3 x 1
Thay vào 4 và 6 tính được y 3; z 2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 1;3; 2
1
2
x y z
Giải
Cách 1: Nhân hai vế phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng vào phương trình thứ 2 theo từng
vế tương ứng, nhân 2 vế của phương trình thứ nhất với 4, rồi cộng vào phương trình thứ 3
theo từng vế tương ứng, ta được hệ phương trình ( đã khử x ở 2 pt cuối)
1
2 3
y z
y z
Tiếp tục cộng các vế tương ứng của phương trình thứ 2 và pt thứ 3 của hệ mới nhận được, ta
được hệ phương trình dạng tam giác
1
2 3
y z z
Ta dễ dàng giải được 1; 5; 7
z y x
Vậy nghiệm của hệ pt là: ( ; ; ) ( 7 5; ; 1)
2 2 2
Cách 2: Rút 1 nghiệm từ 1 pt thế vào 2 pt còn lại , ta được 1 hệ pt bậc nhất 2 ẩn và dễ dàng
giải được
Bài tập tự luyện:
Giải các hệ phương trình sau:
1
x y z
x y z
x y z
5
3
x y z
y z z
2
3
3
x y z
x y z
x z
6
x y z
x y z
x y z
Trang 43
4 3 3 / 2
x y z
y z
z
7
x y z
x y z
x y
4
2 2 1/ 2
x y z
x y z
x y z
8
16 28 22
x y
y z
z x