Các phương pháp giải HPT không mẫu mực (Phần 2)

Tạo ra phương trình một ẩn Ví dụ 1... Cộng vế với vế hai phương trình của hệ ta được: 3.

phần 2

Biên soạn: Trịnh Phương Liên

II PHƯƠNG PHÁP CỘNG

Ta có thể cộng vế với vế, trừ vế với vế hoặc nhân cho một hằng số thích hợp rồi cộng hoặc trừ vế với vế ể tạo ra một ph ơ trì h mớ ể hỗ trợ cho việc gi i hệ ã cho h :

Ph ơ trì h một ẩ , ph ơ trì h ha ẩ , ph ơ trì h tích số…

Kỹ thuật 1 Tạo ra phương trình một ẩn

Ví dụ 1 Giải phương trình

2 2

x y x y







Giải

Nhân phương trình (1) với 3 rồi trừ đi phương trình (2) ta được

5

y

y





     



3 1 0

2

Với y  5 ta được 2

3 4 0

x  x  (vô nghiệm)

Vậy nghiệm của phương trình là   3 13

2

x y   

Kỹ thuật 2 Tạo ra phương trình bậc nhất hai ẩn

Ta có thể sử dụ các ph ơ pháp b ế ổ t ơ ơ ể tìm ợc ph ơ trì h bậc nhất ối với hai ẩn

- Biế ổi một ph ơ trì h th h ph ơ trì h tích của các biểu thức bậc nhất

- Gi i ph ơ trình với ẩn là một trong hai ẩ ã cho, coi ẩn khác là tham số

- Cộng, trừ ại số các vế của ph ơ trì h ể xuất hiệ ph ơ trì h bậc nhất hai ẩn

Mục ích của việc tạo ra ph ơ trì h bậc nhất hai ẩn là ta rút một ẩn theo ẩn còn lại, sau

ó thế v o ph ơ trì h của hệ, ể có ợc ph ơ trì h 1 ẩ ã b ết cách gi i

 

2 2







Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 rồi trừ cho phương trình (2) ta được

 

2 2

x y x y

x y x y

x y



 

Thế phương trình (3) vào (1) ta được

2

1

y y

y



Vậy nghiệm của hệ phương trình là

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình  

 

3 3

x y

  







Giải

Lấy phương trình (1) trừ đi 3 lần phương trình (2) ta được

  



       

 Vậy phương trình có hai nghiệm là      x y;  1; 2 , 2;1

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 1 32 2 3

1

xy x y

x y







Giải

(Chú ý: Ta có phương trình thứ nhất của hệ là phương trình tích)

Hệ phương trình đã cho tương đương với

2 2

2 2

1

1

2 2 1

3

y

x y

x x

x y

x y

y

  













Hệ phương trình có nghiệm là     1 2 2

; 0;1 , ;

   

Ví dụ 4 Giải phương trình     

 

2







Giải

2 y  4x 8 y 5x  16x 16  0 * Coi (*) là phương trình bậc hai đối với ẩn y, tham số x, ta có 2

9x

 

Ta có  * 5 4

4

 



   

 Với y 5x 4 thay vào (1) ta có :   2  

4

0

    





  

 Với y  4 x thay vào (1) ta có :   2   4 0

  



 Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm là       4

; 0; 4 , 4;0 , ;0

5

Bài tập

Giải hệ phương trình

1

2 2

x y x y

x y x y







Hướng dẫn: Nhân phương trình (1) với 2 rồi trừ đi phương trình (2) vế với vế ta được

4x 3y 1

   

2 22 32 4 6

xy x y







Hướng dẫn: Thế 2xy   3x 4y 6 ở phương trình (1) vào phương trình (2) ta được

x y

x y

  



 Đáp số: 1;1 , 2; 3 , 2; 7 , 6; 3

          

30 120

xy x y

x y xy

 







Lấy vế (1) chia cho vế hai ta được 3 5 0

 Đáp số:  5;3

4   







  



  

 Đáp số:   15 10

1;1 , ;

  

5

2 2

1 2 2

x y y

x x

y y









Hướng dẫn:

3 3

1 2

3 1

6

x y hpt

x

x

y y

  







Cộng vế với vế hai phương trình của hệ ta được:

3