Định nghĩa đổi vai trò của x và y thì mỗi phương trình của hệ đều không thay đổi.. nh n thôn qua phép ặt ẩn phụ thích hợp, bài toán sẽ trở về dạn ối xứng loại I quen thuộc.. Giải các hệ
Trang 1HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I
-phần 1 -
Biên soạn: Phạm Thị Hải Yến
I Định nghĩa
đổi vai trò của x và y thì mỗi phương trình của hệ đều không thay đổi
II Phương pháp giải
P xy
2
4 0
Giải hệ mới này, tìm được nghiệm (So ; Po) của hệ
x, y là nghiệm của phương trình: X2 – SoX + Po = 0
Biện luận hệ
Hệ đã cho vô nghiệm nếu hệ mới chứa S, P vô nghiệm hoặc có nghiệm (S,P) nhưng không
4 0
S P
4 0
S P
2
2
1
4 2
1
4 2
2
2
1
4 2
1
4 2
; ;
2 2
o o
Chú ý
nh n thôn qua phép ặt ẩn phụ thích hợp, bài toán sẽ trở về dạn ối xứng loại I quen thuộc
Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau:
a
2 2
1 3
3
3 3
17 5
x y xy
9
5.
Trang 2Giải
a
2 2
1 3.
3.
xt P
2
4 0
2 ( ) 1 5 ( ) 8.
S tm P
S
L P
1
S P
2 1
x t xt
– 2X + 1 = 0 (1)
1
1.
x
y
Vậy nghiệm của hệ là (x ; y) = (2 ; –1)
17 5
x y xy
xy P
2
4 0
S P , Thay vào hệ ta được:
3
18 90 108 0
5 5
3
2 2 ( ) 3.
S
tm P
S
L P
Trang 3 Với 3
2
S P
3 2,
x y xy
1 2 1
(3)
1.
x y X
y
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là: (1 ; 2), (2 ; 1)
c
9
1 1
5.
x y
0.
x y
Đặt:
1 1
x
y
2.
u v
6
5,
uv
u v
3 2 3
(4)
3.
u v X
v
2
u v
2 2
2 1
3
1
2
2 1.
x x
y
x
y
y
Trang 4 Với 2
3
u v
2 2
1
2
3
2
x
x
x
y y
y
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
3 5
;1 2
3 5
;1 2
3 5 1;
2
3 5 1;
2
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình:
2 2
.
a
2
1
.
1
b x
Giải
a Ta thấy y = 0 không thỏa mãn pt (1) nên hệ đã cho Do đó hệ đã cho
2
2
1
4
1
2 1.
x
y x y
x
y x y
Đặt:
2
1 2
x u
y
1,
u v uv
2
– 2X + 1 = 0
X X X u v
2
1 2
1
5.
x y
y
Vậy hệ có 2 nghiệm (x ; y) là (1 ; 2), (–2 ; 5)
b Điều kiện: x y 0,
Trang 5Khi đó ta có:
2 2
2
,
x y
Ta được hpt:
2 2
2
5
2.
uv
,
u v
2 1
3 2 0
2
u v
v
(vì u 2 )
1
u
v
1
1
x y
x y
Vậy hệ có một nghiệm là: (x ; y) = (1;0)
Ví dụ 3. (Học viện Công nghệ bưu chính viễn thông – 1997) Giải hệ phương trình:
2
3 2 ( 1) 12
2 4 8 0.
Giải
3 2 ( 1) 12 3 2 ( ) 12
3 2 ,
Trang 62 2
6
6
8
2.
v v
u
v
u
6
v u
2
1
2
2 2
3 2 6
2
3 2 6
6.
x x
y
x
x
y
2
v u
2
2
6
3 2 2
2
x
y
Ví dụ 4 Giải hệ phương trình:
3 3 2
7 8 6 ( 2 ) 9
Giải
2 ,
3 3
P uv
2
4 ,
3
3 2
2
1
( )
tm
Trang 7Với 2
3
P
S
2 1 2
2.
u v uv
v
1
4
x
y
1;1 , ;
2 4
Ví dụ 5 Cho hệ phương trình sau:
2 2
.
a Giải hệ phương trình với m = 5
b Xác định m để hệ đã cho có nghiệm
Giải
xy P
2
4 0,
S P
a Với m = 5:
3 ( ) 2 5 ( ) 10.
S tm P
S
L P
2
S P
3 2.
x y xy
1 2 1
(*)
1.
x y X
y
Trang 8Vậy hệ có 2 nghiệm là: (1 ; 2) ; (2 ; 1)
2
4 0
S P
3
4 0
S P
2
m
3
1 3 1.
Do đó hệ ban đầu có nghiệm
3
2
m m
3
2
m m m m tm
Ví dụ 6 Cho hệ phương trình sau:
2 2
(tron ó (x; y; z) l n h ệm của hệ) Định a để hệ có nghiệm duy nhất
Giải
Ta nhận thấy trong hệ này, vai trò của x và y là như nhau
Nên nếu gọi (xo ; yo ; zo) là một nghiệm của hệ thì (yo ; xo ; zo) cũng là nghiệm của hệ
Do đó, để hệ có nghiệm duy nhất (xo ; yo ; zo) thì điều kiện cần là xo = yo
Trang 92 0
2 0
2.
a
a
Thử lại:
Do đó a = 0 thỏa mãn
- Nếu a = –2 ta có hệ:
2 2
2 2
1
2 2
2 2
1
2,
x
y
z
Đây cũng là nghiệm duy nhất của hệ nên a = –2 thỏa mãn điều kiện
KL: Vậy với a = 0 , a = –2 thì hệ có nghiệm duy nhất
Ví dụ 7 Cho (x ; y; z) là nghiệm của hệ phương trình:
2 2 2
8 4.
Giải
xy P
2
4 0,
S P
2
2
4 2 4
2
Với
4 2
Trang 10Ta có: 2 2 2 2
S P z z z z
3
Với
4 2
S P z z z z
3
3 3
z
3 3
x
và
8 8
;
3 3
y
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1 Giải các hệ phương trình sau:
1)
2
4 2 2
y x xy
y xy x
2) 2 2 7
3 3 16
x y xy
3)
30
11 2 2
xy y x
y x xy
4)
0 9 2 ) ( 3
13 2 2
xy y x
y x
5)
35
30
3 3
2 2
y x
xy y x
6)
20
6 2 2
xy y x
x y y x
Đáp số:
1) (0;2); (2;0)
3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2)
5) (2;3);(3;2)
Trang 116) (1;4),(4;1)
.