Phép đẳng cự trên một số đa tạp Riemann

Một trong những phần quan trọng của đa tạp Riemann được khảo sát là ánh xạ đẳng cự.. Với mong muốn được tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về các bất biến của ánh xạ đẳng cự giữa các đa tạp

MỞ ĐẦU

Trong quá trình phát triển lý thuyết hình học vi phân, đa tạp Riemann là một nội dung quan trọng đã được các nhà toán học trên thế giới khảo sát Một trong những phần quan trọng của đa tạp Riemann được khảo sát là ánh xạ đẳng cự

Đa tạp Riemann, được biết như là một đa tạp khả vi sao cho với mỗi phần tử của đa tạp, không gian tiếp xúc tại điểm đó được trang bị một metric Riemann, tức là một tích vô hướng tương thích với cấu trúc khả vi của đa tạp đó Với mong muốn được tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về các bất biến của ánh xạ đẳng cự giữa các đa tạp Riemann và đặc biệt các phép biến đổi đẳng cự trên mô hình nửa phẳng Poincaré và được sự hướng dẫn tận tình

của Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình, chúng tôi đã chọn đề tài “Phép đẳng cự trên một số đa tạp Riemann” để nghiên cứu

Nội dung nghiên cứu của luận văn là khảo sát ánh xạ đẳng cự trong mối quan hệ với các khái niệm trên đa tạp Riemannn đặc biệt là tính bất biến đẳng cự, ứng dụng để khảo sát phép biến đổi đẳng cự của nửa phẳng Poincaré, đĩa mở Poincaré, đặc biệt là mở rộng của nửa phẳng Poincaré trên 3– nửa không gian trên Ngoài phần mở đầu, kết luận, và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm hai chương

Chương 1: Đa tạp Riemann

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi và đa tạp Riemann có liên quan đến việc nghiên cứu ánh xạ đẳng cự giữa các đa tạp Riemann, kiểm tra các bất biến đẳng cự

Chương 2: Phép đẳng cự trên một số đa tạp Riemann

Trong chương này, chúng tôi tập trung khảo sát phép biến đổi đẳng cự của nửa phẳng Poincaré, đĩa mở Poincaré, thể hiện qua việc xác định metric Riemann, khảo sát các phép biến đổi đẳng cự và mở rộng một số kết quả cho trường hợp nửa không gian trên, được xét như một đa tạp Riemann 3 – chiều

Chương 1 ĐA TẠP RIEMANN

Trong chương này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi và

đa tạp Rienmann như đa tạp tôpô, đa tạp khả vi, đa tạp Riemann, ánh xạ đẳng cự, một số tính chất của ánh xạ đẳng cự, và một số bất biến trong ánh xạ đẳng cự Các kiến thức trình bày ở đây được trích dẫn trong tài liệu [1], [3], [4], [5]

1.1 Đa tạp tôpô và đa tạp khả vi

1.1.1 Đa tạp tôpô (xem [1])

Cho M là không gian tôpô Haudorff Một bản đồ trên M là cặp (V,) trong đó V là một tập mở của M và  : V → V’ là một đồng phôi từ V lên một tập mở V’ của n

Giả sử (V,) là một bản đồ trên M Khi đó với mỗi x V, (x)V’được hiển thị dưới dạng (x) = (x1, x2, , xn) trong đó x1, x2, , xn  Ta gọi các số xi là các toạ độ địa phương của x

Một họ các bản đồ {(V ,i i )}iI của M sao cho {V )}i iI là một phủ mở của M được gọi là một atlas của M Không gian tôpô M có một atlas được gọi là một đa tạp tôpô

1.1.2 Đa tạp khả vi (xem [1])

Cho M là không gian tôpô Hausdorff Atlas {(V ,i i )}iI của M được gọi là atlas khả

vi của M nếu với hai bản đồ tùy ý (V1,1),(V2,2) của atlas sao cho V1∩V2 và

hệ hai ngôi ở trên là một quan hệ tương đương và mỗi lớp tương đương được gọi là một cấu trúc khả vi trên M

Do mỗi lớp tương đương hoàn toàn được xác định bởi một đại diện của nó nên một atlas khả vi hoàn toàn xác định một cấu trúc khả vi

Không gian tô pô Hausdorff M cùng với một cấu trúc khả vi xác định bởi atlas

1.1.3 Ví dụ

1 n là đa tạp khả vi n – chiều với atlas {( n,id)}

2 Cho M là một đa tạp khả vi với atlas {(V ,i i )}iI và N là một tập con mở của M Khi đó N là một đa tạp khả vi với atlas   i i N V i 

Xét phép chiếu nổi PN lên siêu phẳng xn + 1 = 0 sao cho với mỗi x  UN, ảnh PN(x) là giao của đường thẳng nối điểm đó và điểm cực bắc đến siêu phẳng xn + 1 = 0 Phép chiếu nổi từ cực nam PS được xác định tương tự Khi đó Sn là đa tạp khả vi với atlas {(UN,PN),(US,PS)}

1.1.4 Ánh xạ khả vi (xem [1])

Cho M và N là các đa tạp khả vi lần lượt có số chiều là m, n Ánh xạ f: M → N được gọi là ánh xạ khả vi nếu f là ánh xạ liên tục và với mọi bản đồ (U,) của M, bản đồ (V,) của N sao cho U ∩ f-1(V )   ta có ánh xạ ◦ f ◦  1 từ tập con mở (U ∩ f-1(V )) của

m vào n là ánh xạ khả vi Ánh xạ khả vi f : M → N có ánh xạ ngược f-1 : N → M khả vi được gọi là vi phôi

1.1.5 Trường mục tiêu trên đa tạp khả vi

1.1.5.3 Định nghĩa (xem [3])

a Cho M là một đa tạp khả vi Khi đó T(M) = p M T Mp  được gọi là một phân thớ tiếp xúc trên M và không gian véc-tơ Tp(M) được gọi là thớ đi qua p Mỗi ánh xạ X : M → TM sao cho với mọi p  M, X(p)  Tp(M) được gọi là một trường véctơ trên M

b Trường mục tiêu trên đa tạp n – chiều M là họ n trường véctơ {X1, X2, , Xn} trên M sao cho tại mọi p  M, hệ véctơ {X1(p), X2(p), , Xn(p)} là một cơ sở của không gian véc-tơ

TpM

1.2 Đa tạp Riemann

1.2.1 Đa tạp Riemann (xem [1])

Cho M là một đa tạp khả vi Một cấu trúc metric Riemann trên M là việc đặt tương ứng với mỗi p  M một tích vô hướng trên TpM sao cho với hai trường véctơ (tiếp xúc) khả

vi X, Y trên M, hàm số p → X p , Y p là hàm khả vi    

Đa tạp M cùng với một metric Riemann xác định trên M được gọi là một đa tạp Riemann Kí hiệu (M, , M)

1.2.2 Độ dài cung (xem [4])

Cho α : I → M là một đường cong lớp C1 trên đa tạp Riemann (M,

M, ) Độ dài của α được xác định như sau:

tích vô hướng chính tắc là một đa tạp Riemann

2 Xét M = n và tại mỗi p  M ta xác định một tích vô hướng :

M, , là một đa tạp Riemann n – chiều

Bây giờ ta sẽ xét độ dài của một đường cong trên đa tạp Rienmann  n 

M, , Cho γ:   n là đường cong được xác định bởi γ(t) = (t, 0, , 0), với mọi t 

Khi đó độ dài L(γ) của γ được xác định như sau:

  0   0 ' t , ' t   2 0 dt2

0

1 t1

là một đường cong xác định bởi γ(t) = (t, 0, , 0), với mọi

t  (0,1) Khi đó độ dài L(γ) của γ được xác đinh như sau:

Trường hợp ánh xạ đẳng cự f đồng thời là vi phôi được gọi là một vi phôi đẳng cự

Một ánh xạ đẳng cự f: M → M còn gọi là phép biến đổi đẳng cự của đa tạp Riemann

M

Từ định nghĩa trên ta có nhận xét sau:

1.3.2 Nhận xét

1 Ánh xạ đồng nhất id là một phép biến đổi đẳng cự

2 Nghịch đảo của phép biến đổi đẳng cự là phép biến đổi đẳng cự

3 Tích của các phép biến đổi đẳng cự là phép biến đổi đẳng cự

Nói cách khác, tập hợp các phép biến đổi đẳng cự của M lập thành một nhóm gọi là nhóm đẳng cự

  f là ánh xạ đẳng cự thì ánh xạ tiếp xúc Tpf bảo tồn môđun của véctơ

Suy ra Tpf: T Mp Tf(p)N bảo tồn tích vô hướng

Tức là Tpf bảo tồn môđun của véctơ

  Ánh xạ tiếp xúc T f bảo tồn môđun của véctơ nên ta có:

  Ánh xạ đẳng cự  ánh xạ khả vi bảo tồn độ dài cung

Vì f là ánh xạ đẳng cự  T fp bảo tồn tích vô hướng Mà độ dài cung được tính theo công thức:

b aL( )  ( '(t) dt

b aL(f  )  f ) '(t) dtTheo mệnh đề 1.3.3.1 ta có (fo )'(t)  '(t)

Vậy L( ) L(  f ) tức là f bảo tồn độ dài cung

  f bảo tồn độ dài cung  f là ánh xạ đẳng cự

Để chứng minh f là ánh xạ đẳng cự, ta chứng minh ánh xạ:T f:Tp pMTf(p)N bảo tồn tích

vô hướng tức là:

<T f  ,T f    , > T f    , với mọi  p T Mp (3)

Giả sử:   p '(t) với ' là một cung trên đa tạp M, suy ra để chứng minh f là đẳng cự ta cần chứng minh f thoả mãn (3)

Thật vậy: Do f là một ánh xạ (khả vi) bảo tồn độ dài cung tức là:

d : M M R  p,q infL(p)

là cung nhẵn từng khúc trên M nối p với q)

Thật vậy, lấy véc tơ  bất kỳ tại p

Qua p tồn tại đường trắc địa cực tiểu

(độ dài nhỏ nhất)  sao cho:

 0 p, ' 0 

Theo chứng minh f  là đường trắc địa và f   ' f*

Suy ra tồn tại lân cận U của f(p) sao cho trong U:f  là cung trắc địa cực tiểu suy ra tồn tại

t0 đủ nhỏ sao cho

0

t td(p, (t))  '(t) dt  t t0

và

0

t tp), (t)) ) '(t) dtd(f( f   (f   t t0 vì: d(p, (t)) d(f(p),f (t))

f là vi phôi đẳng cự: MN giữa các đa tạp Riemann n – chiều khi và chỉ khi f là

vi phôi bảo giác và đẳng diện

Chứng minh

  f là vi phôi đẳng cự  f là vi phôi bảo giác và đẳng diện

Trước hết ta chứng minh f là vi phôi đẳng cự  f đẳng diện tức là phải chứng minh

f bảo tồn diện tích các miền compact với bờ trên các đa tạp đó

Thật vậy M’ compact của Mff(M ')N

N

f

f*:TpM  T(f)pN

Từ đó suy ra det(gij) = det (g’ij) tức f bảo tồn diện tích miền compact với bờ Bây giờ

ta chứng minh f đẳng cự  f bảo giác

( ) ( )

T f T fcos(T f T f

Ta chứng minh  là liên thông Riemann trên M trước hết ta chứng minh nó là liên thông tuyến tính, muốn vậy ta kiểm tra nó có thoả mãn hai điều kiện của liên thông tuyến tính không?

+  là F(M) tuyến tính đối với biến X tức là:

Cho cung trắc địa  trên đa tạp Riemann M, qua vi phôi đẳng cự f : MN , khi đó f ( )

là cung trắc địa trên đa tạp N

Thật vậy, theo định nghĩa  là cung trắc địa suy ra   ' ' 0

R( , , ),K( )

     

 

           

1.3.4.5 Mệnh đề (xem [5])

Độ cong tiết diện của đa tạp Riemann bất biến qua vi phôi đẳng cự

Chứng minh

f : MN là vi phôi đẳng cự Giả sử tại p có không gian véc tơ con hai chiều p Qua f*

có không gian véc tơ con hai chiều f*p (f*: Không gian tiếp xúc của M tại p  không gian tiếp xúc của N tại điểm f(p))

Ta phải chứng minhK( p) K(f* p )

Theo định nghĩa ta có:

R( , , ),K( )

Chương 2 PHÉP ĐẲNG CỰ TRÊN MỘT SỐ ĐA TẠP RIEMANN

Trong chương này chúng tôi tập trung khảo sát cấu trúc đa tạp Rienmann 2 – chiều của nửa phẳng Poincaré và đĩa mở Poincaré thể hiện qua việc xác định metric Rienmann, các phép biến đổi đẳng cự, Từ đó mở rộng một số kết quả cho nửa không gian trên, được xét như một đa tạp Riemann 3 – chiều Các kiến thức trình bày ở đây được trích dẫn trong tài liệu [1], [3], [4]

2.1 Mô hình nửa phẳng Poincaré của hình học phi Ơclit

2.1.1 Xây dựng nửa phẳng Poincaré (xem [4], xem [1])

Xét đa tạp 2 – chiều H2 = {(x, y)  2/ y > 0} trong 2 Kí hiệu can là cấu trúc Riemann chính tắc xác định bởi tích vô hướng thông thường trong 2 và

ψ: H2 → ,(x, y) ψ(x, y) = 12

  ) là một đa tạp Riemann 2 – chiều được gọi là nửa mặt phẳng Poincaré Ta có thể biểu diễn H2 = {z = x + iy  /Im z > 0}

Khi đó có thể biểu thị metric Riemann 2

H,

2.1.2 Độ dài cung trong H 2 (xem [1])

Trong H2 độ dài cung của một cung đoạn cho trước cũng được xác định như trong trường hợp tổng quát Để minh họa, ta xét các ví dụ sau:

a Xét cung trong H2 xác định bởi tham số hoá

t   (t) x t x , y t t ,

với x0 là một hằng số cho trước

Độ dài cung đoạn  t ,t1 2nối điểm P = ρ(t1), Q = ρ(t2) xác định bới:

b Xét cung trong H2 xác định bởi tham số hoá

0 < t < π ( x(t) = x0 + Rcost, y(t) = Rsint), với x0 là một hằng số cho trước và R > 0

Độ dài cung đoạn ρ[t1,t2] nối điểm P = ρ(t1),Q = ρ(t2) xác định bởi:

tsin t

tant

2.1.3 Biến đổi đẳng cự của (H 2 , 2

H,

  ) 2.1.3.1 Mệnh đề (xem [1])

Cho biến đổi f: H2 → H2

,(x, y) (u,v) Khi đó điều kiện cần và đủ để f là phép biến đổi đẳng cự của (H2, 2

H,

  ) khi và chỉ khi với p = (x,y)  H2

(1) z z a, a    (phép tịnh tiến với phương song song Ox);

(2) z kz, k   (vị tự tâm O với hệ số dương);

(3)z z, (đối xứng thẳng góc qua Oy);

Vậy phép biến đổi (1) là phép biến đổi đẳng cự

2 Phép biến đổi (2) biểu diễn được dưới dạng h2: H2 → H2, (x, y) (u = kx, v = ky) Giả sử z x, y  ta có kz = (u, v) = (kx, ky) Khi đó

Vậy phép biến đổi (2) là phép biến đổi đẳng cự

3 Phép biến đổi (3) biểu diễn được dưới dạng h3: H2 → H2, (x, y) (u = − x, v = y) Giả sử z x, y  ta có z = (u, v) = (- x, y) Khi đó

Vậy phép biến đổi (3) là phép biến đổi đẳng cự

4 Phép biến đổi (4) biểu diễn được dưới dạng

Vậy phép biến đổi (4) là phép biến đổi đẳng cự

5 Phép biến đổi (5) được viết dưới dạng 5  az b

  Vậy (6) là tích của các phép biến đổi đẳng cự h1, h2, h3, h4 của (H2, , H) như sau:

2.1.3.3 Mệnh đề (xem [4]: Tính bất biến của phép biến đổi đẳng cự)

a) Phép tịnh tiến với phương song song Ox, phép đối xứng qua trục Oy và phép vị tự tâm O

tỉ số a  bảo tồn đường dạng a (ảnh của nửa đường thẳng mở trực giao với Ox) và đường dạng b(ảnh của nửa đường tròn mở trực giao với Ox )

b) Tồn tại phép nghịch đảo tâm thuộc Ox, phương tích dương biến đường dạng b (ảnh của nửa đường tròn mở trực giao với Ox) thành đường dạng a (ảnh của nửa đường thẳng mở trực giao với Ox)

Chứng minh:

a) Phép tịnh tiến với phương song song Ox, phép đối xứng qua trục Oy và phép vị tự tâm O

tỉ số a  bảo tồn đường dạng a (ảnh của nửa đường thẳng mở trực giao với Ox) và đường dạng b(ảnh của nửa đường tròn mở trực giao với Ox )

2.2.1 Đĩa Poincaré (xem [1])

Kí hiệu D là hình tròn mở, tâm O, bán kính 1 trong 2,

D = {(x,y)  2/x2 + y2 < 1} = {z = x + iy  / |z| = x2y2 1}

Khi đó, tương tự như trường hợp nửa phẳng Poincaré, ta có D là một đa tạp Riemann

2-chiều với cấu trúc Riemann  , D= ψ.can, trong đó  

2.2.2 Vi phôi đẳng cự giữa nửa phẳng Poincaré và đĩa Poincaré (xem [1])

Kết quả dưới đây cho ta mối liên hệ vi phôi đẳng cự giữa nửa phẳng Poincaré và đĩa Poincaré

Định lí : Đĩa Poincaré (D, , D) vi phôi đẳng cự với nửa phẳng Poincaré (H2

H,

  )

Chứng minh

Ta chứng minh tồn tại một ánh xạ f từ D vào H2

là song ánh, khả vi, ánh xạ ngược khả vi và

Do với mỗi z = x + iy  D, ta có x2 + y2 < 1 nên

x1-y

Do f là hàm phân thức hửu tỷ nên khả vi trên tập xác định của nó

Vậy f là một vi phôi từ tập mở D lên tập mở H2 của 2 do f và g đều khả vi

Từ đó ta có f là một vi phôi đẳng cự từ D đến H2

2.2.3 Các phép biến đổi đẳng cự của đĩa mở Poincaré (xem [3])

Cho f: D → H2 là vi phôi đẳng cự trong Định lý trên và h: H2 → H2 là phép biến đổi đẳng cự của H2 Khi đó f-1◦h◦f là một phép biến đổi đẳng cự của D

Từ các phép biến đổi đẳng cự của H2 và nhận xét trên ta có thể xác định được các phép biến đổi đẳng cự của D

2 2

2 2

   là một phép biến đổi đẳng cự của D trong 2

c Xét phép biến đổi đẳng cự của H2

h3: z z, k   Khi đó (g ◦ h3 ◦ f)(z) là một phép biến đổi đẳng cự của D

2 2

2 2

2 2

2 2

2.3 Nửa không gian trên

2.3.1 Nửa không gian trên

Tập hợp H3

:= {(x, y, t) | x, y, t ; t > 0} là một tập con mở của 3 và được gọi là nửa không gian trên Xét H = {s + tj|s, t } là đại số quaternion (chuẩn tắc) Khi đó ta có thể biểu thị H3 dưới dạng sau:

p  nên có thể cảm sinh lên không gian này metric Riemann chính tắc trong 3 xác định bởi |dz|2 = dx2 + dy2 + dt2

Cấu trúc metric Riemann của nửa không gian trên H3

trong không gian 3 – chiều 3

có thể xét như là mở rộng từ metric Riemann của nửa mặt phẳng Poincare H2 trong không gian 2 – chiều 2

2.3.3 Biến đổi đẳng cự của H 3

Để khảo sát các biến đổi đẳng cự của đa tạp Riemann H3, trước hết chúng ta xét các điều kiện để một ánh xạ f: H3 → H3 trở thành biến đổi đẳng cự của H3 thể hiện trong mệnh

đề dưới đây

2.3.3.1 Mệnh đề (xem [3])

Cho ánh xạ f: H3 → H3, (x, y, t) f(x, y, t) = (u, v, w) Khi đó f là một phép biến đổi đẳng

cự khi và chỉ khi f thỏa mãn hai điều kiện sau:

(2)z kz, k  \ 0  ; phép vị tự tâm O tỉ số k

(3)z z; phép đối xứng qua mặt phẳng (Oyt)

(4) z s tj ks k tj, k \ 0 ;  tích của phép quay quanh trục Ot với góc

quay  ký hiệu O  xác định bởi 1

2 2

1 2

kc