Một số đa tạp trong đại số tuyến tính

Bảng ký hiệudimM Số chiều của đa tạpM C∞M tập tất cả các hàm trơn trên M C∞E tập các lát cắt trơn củaE, M, π C∞T M tập các trường vectơ trơnX : M → T M Sm mặt cầu đơn vị trong Rm TpRm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH

MỘT SỐ ĐA TẠP

TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH

MỘT SỐ ĐA TẠP

TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN THANH SƠN

Thái Nguyên - 2017

Mục lục

1 Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hình học vi phân 3

1.1 Khái niệm đa tạp 3

1.1.1 Đa tạp tô pô 3

1.1.2 Đa tạp khả vi 4

1.1.3 Đa tạp con 5

1.1.4 Hàm, ánh xạ trên đa tạp 7

1.1.5 Nhóm Lie 8

1.2 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc 10

1.2.1 Không gian tiếp xúc Rm 10

1.2.2 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc của đa tạp 12

1.2.3 Đạo hàm của ánh xạ 13

1.2.4 Một số ánh xạ khả vi đặc biệt 14

1.3 Phân thớ tiếp xúc 15

1.3.1 Phân thớ tiếp xúc của đa tạp tô pô 16

1.3.2 Phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi 18

1.3.3 Móc Lie 21

1.3.4 Đại số Lie 22

1.3.5 Trường véc tơ bất biến trên nhóm Lie 24

1.4 Đa tạp Riemann 24

1.4.1 Khái niệm 24

1.4.2 Khoảng cách 26

1.4.3 Nhóm đẳng cự 27

1.4.4 Không gian thuần nhất Riemann 27

1.4.5 Phân thớ chuẩn tắc 29

1.5 Liên thông Levi- Civita 30

1.5.1 Liên thông trong Rm 30

1.5.2 Liên thông Levi- Civita 30

1.5.3 Trường chuẩn tắc 32

1.5.4 Dạng cơ bản thứ hai và liên thông Levi- Civita trên đa tạp con 33 1.6 Đường trắc địa 34

1.6.1 Trường véc tơ tiếp xúc 34

1.6.2 Cung trắc địa 35

1.6.3 Ánh xạ mũ 37

2 Một số đa tạp trong đại số tuyến tính 39 2.1 Đa tạp Grassmann 39

2.1.1 Cấu trúc tô pô củaG(k, n) 40

2.1.2 Cấu trúc vi phân củaG(k, n) 41

2.1.3 Cấu trúc Riemann của đa tạp Grassmann 44

2.1.4 Đường trắc địa, ánh xạ mũ và ánh xạ logarith 45

2.2 Đa tạp các ma trận đối xứng nửa xác định dương 48

2.2.1 Định nghĩa và đặc trưng 48

2.2.2 Không gian tiếp xúc 49

2.2.3 Mêtríc Riemann 50

2.2.4 Không gian pháp và phép chiếu 51

2.2.5 Liên thông Riemann 52

2.2.6 Đường trắc địa 53

Bảng ký hiệu

dimM Số chiều của đa tạpM

C∞(M ) tập tất cả các hàm trơn trên M

C∞(E) tập các lát cắt trơn của(E, M, π)

C∞(T M ) tập các trường vectơ trơnX : M → T M

Sm mặt cầu đơn vị trong Rm

TpRm tập các toán tử vi phân tuyến tính tại p

TpM không gian tiếp xúc củaM tạip

G đại số Lie của G

⊗ tích tenxơ của các không gian vectơ

Ap hạn chế đa tuyến tính củaAtrên tích tenxơTpM ⊗ ⊗

TpM G(k, n) tập tất cả các không giankchiều của R

O(k, n) tập các ma trận có các cột trực chuẩn trong Rn

ST (k, n) tập các ma trận hạng đủ n hàng, k cột

colsp(Y ) không gian con của Rn sinh bởi các cột củaY

Ink tập tất cả các đa chỉ số J với J = (j1, , jk) ∈ Nk với

1 ≤ j 1 < < jk ≤ n

AJ ma trận con cỡ k × k chứa các hàngj1, , jk củaAvới

A ∈Rk×n

ACJ ma trận bù củaAJ trongA

Mở đầu

Đa tạp là một trong những đối tượng cơ bản của hình học và giải tích Nó là mộtcấu trúc phong phú không chỉ về tính chất mà ta còn có thể xây dựng rất nhiều kháiniệm khác trên đó Thông thường, chúng ta được làm quen với đa tạp trong Rn haycác đa tạp trừu tượng trong không gian tôpô ở bậc đại học Trên thực tế, nhiều vấn đềtính toán, tối ưu có ràng buộc được quy về bài toán trên các tập các đối tượng trongđại số tuyến tính có tính chất đặc biệt, chẳng hạn như tập các không gian conk chiềucủa Rn, hay tập các ma trận đối xứng nửa xác định dương có hạng cố định Ta khôngthể tính toán trên các tập đó, chẳng hạn nội suy, chiếu từ không gian lớn hơn lên đónếu không có hiểu biết đầy đủ về chúng Hóa ra, các tập đó có những cấu trúc phongphú và lập lên những đa tạp khả vi Luận văn này sẽ trình bày một số đa tạp mà cácphần tử của nó lại là các đối tượng trong đại số tuyến tính Chúng tôi sẽ trình bày cấutrúc hình học của chúng, cũng như khía cạnh tính toán các đối tượng liên quan đến

đa tạp Những kiến thức này vô cùng quan trọng và là nền tảng không thể thiếu đượccho việc tính toán trong đại số tuyến tính số cũng như ứng dụng trong những thuậttoán tối ưu trên đa tạp Nội dung của luận văn được dự kiến như sau Chương I trìnhbày, có phần chi tiết, lý thuyết hình học vi phân, lý thuyết đa tạp đã được nghiên cứu

ở bậc đại học Tài liệu về vấn đề này bằng tiếng Việt, thậm chí cả tiếng Anh tươngđối phong phú Tuy nhiên, chúng tôi đã không thể tìm được một cuốn sách có đầy đủnhững nguyên liệu cần cho chương sau, chẳng hạn ánh xạ mũ, liên thông Riemann,đường trắc địa và phương trình xác định nó, Do vậy, chúng tôi đã dựa vào tập bàigiảng [7]và chọn cách trình bày lại chi tiết các khái niệm một cách hệ thống Nội dung

chính của luận văn nằm ở chương II Cụ thể, chúng tôi trình bày các cấu trúc hình họcphong phú của đa tạp Grassmann - tập các không gian con có số chiều cố định của Rn

và của đa tạp các ma trận đối xứng nửa xác định dương Còn rất nhiều chủ đề hay đãkhông được trình bày tại đây do giới hạn về thời gian cũng như khuôn khổ một luậnvăn thạc sĩ Mặc dù đã rất nghiêm túc và cố gắng thực hiện luận văn này, nhưng luậnvăn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định Kính mong sự góp ý của cácthầy cô để luận văn này được hoàn chỉnh và ý nghĩa hơn

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thanh Sơn Tác giả xin được bày

tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người

đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm

để tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác

và nghiên cứu của bản thân Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cácThầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K9Y; Nhà trường và cácphòng chức năng của Trường, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, ủng

hộ và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và học tập

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Tuyết Thanh

1.1 Khái niệm đa tạp

1.1.1 Đa tạp tô pô

Định nghĩa 1.1.1 Cho(M, τ )là không gian tô pô Hausdorff với một cơ sở đếm được.Khi đó M được gọi là một đa tạp tô pô nếu có một số nguyên không âm m sao chovới mỗi điểmp ∈ M, tồn tại một lân cậnU củapvà một tập con mở V ⊂Rm và mộtphép đồng phôix : U → V

Cặp (U, x) được gọi là một bản đồ hay một tọa độ địa phương trongM

Số nguyên m được gọi là chiều của M Ta viết Mm để thể hiện đa tạp M có m

chiều

Như vậy, một không gian tô pô Hausdorff với một cơ sở đếm được là một đa tạp

tô pô m chiều nếu về mặt địa phương, nó đồng phôi với Rm

1.1.2 Đa tạp khả vi

Trước tiên, ta nhắc lại ký hiệu Cr(U,Rn), trong đó U là một tập mở bất kỳ của

Rmlà tập tất cả các ánh xạ khả vi liên tục tới cấp rtừU vào Rn;Cω(U,Rn)là tập tất

MộtCr- atlasA ˆđược gọi là cực đại nếu nó chứa tất cả các bản đồ tương thích với

nó Khi đóA ˆcũng được gọi là một Cr- cấu trúctrênM

Cặp (M, ˆ A)được gọi là mộtCr- đa tạp hay một đa tạp khả vi lớpCr trong đóM

là một đa tạp tô pô vàA ˆlà mộtCr- cấu trúctrênM

Đa tạp khả vi được gọi là trơn nếu các ánh xạ chuyển tiếp của nó thuộc lớp C∞,

giải tíchnếu các ánh xạ chuyển tiếp là các hàm giải tích

Nhận xét 1.1.3 MộtCr- atlas Atrên một đa tạp tô pôM xác định duy nhất mộtCrcấu trúc trênM Nó xác định bằng cách gộp tất cả các bản đồ tương thích với nó

-Ví dụ 1.1.4 a) Không gian tô pô Rm với tô pô Euclide có một cấu trúc Cω- cấutrúc tầm thường

A = {(Rm, x), x : p → p}.

b) Ký hiệuSm là mặt cầu đơn vị trong Rm+1 được trang bị tô pô Euclide Ký hiệu

N,S lần lượt là cực bắc và cực nam củaSm Đặt

Phát biểu sau đây xây dựng tích Descartes của hai đa tạp

Mệnh đề 1.1.5 Cho (M1, ˆ A1) và (M2, ˆ A2) là hai đa tạp khả vi lớp Cr Cho M =

M1× M2 là tích Descartes của hai không gian tô pô Khi đó, tồn tại một atlasAtrên

M sao cho(M, ˆ A)là một đa tạp khả vi lớpCr có số chiều

dim M = dim M1+ dim M2.

Định nghĩa Đa tạp (M, ˆ A) được gọi là đa tích Descartes của hai đa tạp (M1, ˆ A1)

và(M2, ˆ A2)

1.1.3 Đa tạp con

Định nghĩa 1.1.6 Chom ≤ nlà các số nguyên dương và(Nn, ˆ AN)là một đa tạp khả

vi lớpCr Một tập conM củaN được gọi là một đa tạp con củaN nếu với mỗi điểm

p ∈ M, tồn tại một bản đồ(Up, xp) ∈ ˆ AN sao chop ∈ Upvàxp : Up⊂ N →Rm ×Rn−m

thỏa mãn

xp(Up∩ M ) = xp(Up) ∩ (Rm× {0}).

sốn − mđược gọi là đối chiếu củaM trongN

Phát biểu sau đây cung cấp chi tiết hơn về cấu trúc khả vi trên đa tạp con

Mệnh đề 1.1.7 Chom ≤ n là các số nguyên dương và(Nn, ˆ AN) là một đa tạp khả

vi lớpCr ChoM là một đa tạp con củaN và được trang bị tô pô con Ký hiệu

π :Rm×Rn−m →Rm

là phép chiếu lên thành phần thứ nhất Khi đó

AM := {(Up∩ M, π ◦ xp)|Up∩M|p ∈ M }

là một atlas lớpCr trênM Vì thế cặp(M, ˆ AM)một đa tạp khả vi m chiều lớpCr.

Cấu chúc khả vi A ˆM trên M xác định trong mệnh đề trên được gọi là cấu trúc cảm sinhtừ A ˆN

Một ma trận cỡ m × nđược gọi là hạng đủ nếuA = min(m, n) Định lý sau đâycho ta một nguồn dồi dào những ví dụ về đa tạp con

Định lí 1.1.8 (Ánh xạ ẩn) Cho m ≤ nlà các số nguyên dương và F : U → Rm là một ánh xạ lớpCr từ một tập mởU ⊂Rn Nếup ∈ U, F (p) = q và

Dễ thấyF thuộc lớpCω Khi đó, đạo hàm của F được tính bằngdFp = 2p Có thể thấyngayu ∈R là giá trị thỏa mãn điều kiện của định lý ánh xạ ẩn và vì thế bó

Định nghĩa 1.1.10 Cho(Mm, ˆ AM)và(Nn, ˆ AN)là các đa tạp khả vi lớpCr Ánh xạ

φ : M → N được gọi là khả vi lớpCrnếu với mỗi bản đồ(U, x) ∈ ˆ AM và(V, y) ∈ ˆ AN,ánh xạ

yφx−1|x(U ∩φ−1 (V )) : x(U ∩ φ−1(V )) ⊂Rm →Rn

Có thể dễ dàng chỉ ra tích hợp của hai ánh xạ khả vi là một ánh xạ khả vi

Định nghĩa 1.1.11 Hai đa tạp lớpCr (M, ˆ AM)và (N, ˆ AN) được gọi là vi phôi (với

nhau) nếu tồn tại một song ánh khả vi lớp Cr φ : M → N sao cho ánh xạ ngược

φ−1 : N → M cũng là một ánh xạ khả vi lớpCr Khi đó ta cũng gọiφ là một vi phôi.Tương tự như trên, tích hợp của hai vi phôi là một vi phôi

Định nghĩa 1.1.12 Cho trước một đa tạp khả vi(M, ˆ A), tập tất cả các đa tạp vi phôivớiM được ký hiệu làD(M ) Tập(D(M ), ◦), trong đó◦là ký hiệu tích hợp, được gọi

Bài toán đếm số cấu trúc khả vi trên những đa tạp số chiều thấp tự thân của nó rất

dễ hiểu nhưng đôi khi là bài toán khó Việc giải quyết nó tạo nên những công trìnhquan trọng Ta tổng kết chúng trong các phát biểu sau đây

Mệnh đề 1.1.14. • Đa tạp tô pô một chiều thực R có vô số cấu trúc khả vi.

• Măt cầu 7 chiềuS7 có 28 cấu trúc khả vi khác nhau.

• Cặp đa tạp đồng phôi với nhau, có cùng số chiều không quá 3 mà là các đa tạp khả vi cùng lớpCr thì sẽ vi phôi với nhau.

1.1.5 Nhóm Lie

Định nghĩa 1.1.15 Một nhóm Lie là một đa tạp trơnG với phép toán “ · “ sao choánh xạ

ρ : G × G → G (p, q) 7→ p.q−1

là trơn

Một phép tịnh tiến trái bởip,p ∈ G, là ánh xạ

L p : G → G

q 7→ p · q.

Ví dụ 1.1.16 Đa tạp m chiều với cấu trúc khả vi thông thường Rm cùng với phépcộng+lập thành một nhóm Lie với ánh xạρđược định nghĩa bởi

ρ(p, q) = p − q.

Mệnh đề 1.1.17 Cho G là một nhóm Lie vàp ∈ G Khi đó, phép tịnh tiến tráiLp là một vi phôi trơn.

Phát biểu sau đây khẳng định cấu trúc nhóm Lie có thể cảm sinh ra nhóm con

Mệnh đề 1.1.18 Cho(G, ·) là một nhóm Lie vàK đồng thời là một nhóm con và đa tạp con củaG Khi đó,(K, ·)cũng là một nhóm Lie.

Định nghĩa 1.1.19 Cho(G, ·) và V lần lượt là một nhóm và một không gian vectơ.Khi đó, một biểu diễn tuyến tính củaGtrênV là một ánh xạ từGvào tập các tự đẳngcấu củaV

ρ : G → Aut(V )

thỏa mãn

ρ(g · h) = ρ(g)ρ(h).

Ví dụ 1.1.20 Các số phức khác không cùng với phép nhân thông thường lập thành

một nhóm Lie (C∗, ·) Các phần tử của nó có thể biểu diễn thông qua phần tử trong

Thật vậy ta có thể kiểm tra

ρ((a + ib)(x + iy)) = ρ(ax − by) + i(ay − bx)

1.2 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc

Trước khi xây dựng khái niệm không gian tiếp xúc trừu tượng, ta sẽ xem xét kháiniệm đó trên không gian Rn để ta có hình dung tốt về khái niệm này

1.2.1 Không gian tiếp xúc Rm

Với Rm là đa tạp khả vimchiều với cấu trúc khả vi tiêu chuẩn Nếuplà một điểmtrong Rm vàγ : I →Rm là một cung trơn cấp1sao choγ(0) = pthì vectơ tiếp xúc

˙γ(0) = lim

t→0

γ(t) − γ(0) t

của cungγ tạiplà một phần tử trong Rm Ngược lại với mỗi vectơvtrong Rm, ta luôntìm được cungγ trơn cấpC1sao cho

Định nghĩa 1.2.1 Cho p là một điểm trong Rm và ký hiệu TpRm là tập các toán tử

vi phân tuyến tính tạiptriệt tiêu hằng số Tức làT pRm gồm các ánh xạ α : ε(p) →R

Định lí 1.2.2 Choplà điểm trong Rm Khi đó, ánh xạ

Rõ ràng việc chọn cungγ không ảnh hưởng đến tác động củav lênf

Hệ quả 1.2.4 Choplà một điểm trong Rm và{ek} m

k=1 là cơ sở chính tắc trong Rm Khi đó, tập{∂e } m

k=1 là một cơ sở của không gian tiếp xúcTpRm tạip.

1.2.2 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc của đa tạp

Định nghĩa 1.2.5 ChoM là một đa tạp khả vi, p ∈ M và ε(p)là tập các hàm thựcđịnh nghĩa trên một lân cận mở của p Một vectơ tiếp xúc Xp tại p là một ánh xạ

Giả sử γ : I → M là một cung trênM sao cho γ(0) = p và ˙γ(0) = X p Ký hiệu

c : I → N là ảnh của cungγquaφ, tức làc = φ ◦ γ với ˙c(0) = φ(p)và đặtYφ(p)= ˙c(0).Khi đó, vớif ∈ ε(φ(p)),

Một hệ quả trực tiếp của mệnh đề trên là

Hệ quả 1.2.9 Choφ : M → N là một vi phôi với ánh xạ ngượcψ : N → M Khi đó, đạo hàmdφp: TpM → Tφ(p)N tạiplà một song ánh và(dφp)−1 = dψφ(p).

Định lý sau đây cung cấp cho ta thông tin về số chiều của không gian tiếp xúc

Định lí 1.2.10 ChoMm là một đa tạp khả vim chiều và p ∈ M Khi đó, không gian tiếp xúc củaM tạip,T p M, là một không gian vectơm chiều.

Cụ thể hơn, ta có thể xây dựng một cơ sở cho không gian tiếp xúc như sau

Mệnh đề 1.2.11 ChoMm là một đa tạp khả vi,(U, x) là một bản đồ trên M chứap

và {ek}mk=1 là cơ sở chính tắc trong Rm Ta định nghĩa toán tử vi phôi (∂x∂

Định nghĩa 1.2.14 Cho M là một đa tạp khả vi m chiều và U là một tập mở trong

Rm Một phép ngậpφ : U → M được gọi là một tham số hóa địa phương củaM Nếu

φđồng thời là một toàn ánh thì nó được gọi là một tham số hóa toàn cục.

Kết quả sau đây mở rộng Định lý Ánh xạ ngược

Định lí 1.2.15 Cho φ : M → N là một ánh xạ khả vi giữa các đa tạp cùng chiều Nếup ∈ M thỏa mãn dφ : T p M → Tφ(p)N là song ánh thì tồn tại một lân cận mởU p

củap vàUq của q = φ(p) sao cho ψ = φ|Up : Up → Uq là song ánh và ánh xạ ngược

Tpφ−1({q}) = {X ∈ TpM |dφp(X) = 0}.

Định nghĩa 1.2.18 Choφ : Mm → N nlà một ánh xạ khả vi giữa các đa tạp vớim ≥ n

φ được gọi là phép tràn nếu với mỗip ∈ M, đạo hàm của nódφp : TpM → Tφ(p)N làmột toàn ánh

Ví dụ 1.2.19 Phép chiếu chính tắc từ Rm+1 lên Rn+1,m ≥ nlà một phép tràn

1.3 Phân thớ tiếp xúc

Tương tự như Mục 1.2, ta sẽ bắt đầu khái niệm trong Rm Theo Định lý 1.2.2mỗi

p ∈Rm, không gian vectơ tiếp xúcTpRm có thể được đồng nhất với không gian vectơ

Rm Một cách trực quan, nếu ta đính mỗi không gian vectơ tiếp xúcTpRmvào Rmtại

pthì ta nhận được phân thớ tiếp xúc của đa tạp Rm

trong đóak, bk : Rm → R là các hàm khả vi Giả sử f : Rm →R là một hàm khả vi,

giao hoán tử[X, Y ]tác động lênf như sau

Từ đó, giao hoán tử[X, Y ]cũng là một trường véc tơ khả vi trên Rm

Ta sẽ khái quát hóa những điều trên cho đa tạp khả vi tổng quát

1.3.1 Phân thớ tiếp xúc của đa tạp tô pô

Định nghĩa 1.3.1 ChoE, M là các đa tạp tô pôn chiều và π : E → M là một toànánh liên tục Bộ ba(E, M, π)được gọi là một chùm vectơ tô pônchiều trênM nếu

i) Với mỗip ∈ M, bóEp = π−1({p}) là một không gian vectơnchiều.

ii) Với mỗi p ∈ M, tồn tại một bản đồ chùm(π−1(U ), ψ), trong đóU là một lân cận

mở của pvàψ : π−1(U ) → U ×Rn là một đẳng cấu sao cho với mọiq ∈ U, ánh

Các phần tử của{Aα,β|α, β ∈ I}được gọi là ánh xạ dịch chuyển của atlas chùmB

Định nghĩa 1.3.2 Cho (E, M, π) là một chùm vectơ tô pô trên M Một ánh xạ σ :

M → Eđược gọi là một lát cắt của chùm(E, M, π)nếuπ ◦ σ(p) = pvới mỗi p ∈ M

Định nghĩa 1.3.3 Chùm vectơ tô pô (E, M, π) trên M số chiều n được gọi là tầm thườngnếu tồn tại một bản đồ chùm toàn cụcψ : E → M ×Rn

Ví dụ 1.3.4 Cho M là đường trònS1, E là một mặt trụ hai chiều E = S1×R1 và

π : E → M là ánh xạ chiếu π(z, t) = z Khi đó, chùm (E, M, π)là tầm thường do ánh

xạ đồng nhấtψ : S1×R1 → S1×R1 là một bản đồ chùm toàn cục

Tổng quát hơn chùm vectơ tô pô (M ×Rn, M, π)trong đóM là một đa tạp tô pô

nchiều,πlà ánh xạ chiếu từM ×Rn → M

Ví dụ 1.3.5 ChoM là đường trònS1 trong R4 được tham số hóa bởi

γ :R2 →R4

s 7→ (cos s, sin s, 0, 0)

Gọi E là dải M¨obius trong R4 tham số hóa bởi

φ :R2 →R4

(s, t) 7→ (coss, sins, 0, 0) + t(0, 0, sin(s/2) cos(s/2)).

Khi đó, ta có thể kiểm tra được rằngE là một mặt chính quy (tức là các điểm của nó

là giá trị chính quy) và ánh xạ chiếu tự nhiên

π : E → M (x, y, z, ω) 7→ (x, y)

là liên tục và toàn ánh Khi đó, chùm (E, M, π) là một chùm đường thẳng trên S1.Tuy nhiên, do dải M¨obius là một mặt không định hướng nên nó không thể đồng phôivới mặt trụS1×R1, vốn là một mặt định hướng Do vậy, chùm (E, M, π)không tầmthường

1.3.2 Phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi

Định nghĩa 1.3.6 ChoE, M là các đa tạp khả vi vàπ : E → M là một ánh xạ khả visao cho (E, M, π) là một chùm vectơ tô pôn chiều Một atlas chùmB của (E, M, π)

được gọi là khả vi nếu các ánh xạ dịch chuyển tương ứng là khả vi Một chùm vectơ khả vilà một chùm vectơ tô pô cùng với một atlas chùm khả vi cực đại Ta sẽ ký hiệu

C∞(E)là tập các lát cắt trơn của(E, M, π)

Từ đây trở đi, ta chỉ xét các chùm vectơ trơn Sau đây ta sẽ trang bị phép toán cholát cắt trơn của chùm vectơ

Định nghĩa 1.3.7 Cho (E, M, π) là một chùm vectơ trên đa tạp M Ta định nghĩaphép cộng và phép nhân trên tậpC∞(E)như sau

i) (v + ω)p = vp+ ωp,

ii) (f v)p = f (p)v p,

với mọi p ∈ M, v, ω ∈ C∞(E) và f ∈ C∞(M ) Nếu U là một tập mở của M thì tập

{v1, , vn} các lắt cắt trơn từU vào E được gọi là một khung địa phương của E nếu

với mỗip ∈ U, tập {(v 1 ) p , , (v n ) p }là một cơ sở của không gian vectơE p

Định nghĩa 1.3.8 ChoMm là một đa tạp khả vi với atlas cực đạiA ˆ Định nghĩa tập

T M = {(p, v)|p ∈ M, v ∈ TpM }

và π : T M → M là phép chiếu π(p, v) = p Khi đó, bóπ−1({p}) là không gian tiếpxúcmchiềuTpM Tập (T M, M, π)được gọi là phân thớ tiếp xúc củaM

Sau đây ta sẽ xây dựng một cấu trúc khả vi cho bó vectơ này Với mỗi bản đồ

x : U →Rm từ atlas cực đạiA ˆcủaM, ta định nghĩa bản đồ

Tương tự như trên, cho p ∈ M, bóπ−1({p})là không gian tiếp xúcTpM và vì vậy

là một không gian vectơm chiều Với một bản đồx : U → Rm trong atlas cực đạiA ˆ

của M, ta định nghĩa

x : π−1(U ) → U ×Rm(p,

.

B = {(π−1(U ), x)|(U, x) ∈ ˆ A}

là một atlas chùm biến (T M, M, π) thành một bó vectơ tô pô m chiều Như vậy,

(T M, M, π)cùng với atlas cực đạiB ˆlà một bó vectơ khả vi

Định nghĩa 1.3.9 ChoM là một đa tạp khả vi, một lát cắt X : M → T M của phân

thớ tiếp xúc được gọi là một trường vectơ Tập các trường vectơ trơn X : M → T M

được ký hiệu bởiC∞(T M )

1.3.3 Móc Lie

Định nghĩa 1.3.10 ChoM là một đa tạp trơn với hai trường vectơX, Y ∈ C∞(T M ),

móc LiecủaXvàY tạiplà hàm số

ii) [X, Y ]p(f g) = [X, Y ]p(f )g(p) + f (g)[X, Y ]p(g).

Mệnh đề này cũng chỉ ra ánh xạ

[X, Y ] : M → T M

p 7→ [X, Y ] p

là một lát cắt của phân thớ tiếp xúc Thậm chí, nó còn là một lát cắt trơn

Mệnh đề 1.3.12 Với các giả thiết ở Mệnh đề 1.3.11 lát cắt[X, Y ] : M → T M của phân thớ tiếp xúc xác định bởip 7→ [X, Y ] p là trơn.

Phát biểu sau đây sẽ cung cấp thêm một số tính chất của nhóm móc Lie

Bổ đề 1.3.13 ChoM là một đa tạp trơn và[·, ·]là móc Lie trên phân thớ tiếp xúcT M Khi đó,

i) [X, f Y ] = X(f )Y + f [X, Y ],

ii) [f X, Y ] = f [X, Y ] − Y (f )X,

với mọiX, Y ∈ C∞(T M )vàf ∈ C∞(M ).

1.3.4 Đại số Lie

Định nghĩa 1.3.14 Một không gian véc tơ (V, +, ·) được trang bị một phép toán

[·, ·] : V × V → V được gọi là một đại số Lie nếu nó thỏa mãn các đẳng thức sau

i) [λX, µY, Z] = λ[X, Z] + µ[Y, Z],

ii) [X, Y ] = −[Y, X],

iii) [X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y ]] + [Y, [X, Z] = 0,

với mọiX, Y, Z ∈ V vàλ, µ ∈R Đẳng thức thứ ba được gọi là đồng nhất thức Jacobi.

Ví dụ 1.3.15 R3 cùng với tích ngoài lập thành một đại số Lie

Định lí 1.3.16 Cho M là một đa tạp trơn Không gian vectơ C∞(T M ) các trường vectơ trênM cùng với móc Lie lập thành một đại số Lie.

Định nghĩa 1.3.17 Nếuφ : M → N là một toàn ánh giữa các đa tạp khả vi thì haitrường vectơX ∈ C∞(T M )vàX ∈ C∞(T N ) được gọi là φ- quan hệ nếudφp(Xp) =

Xφ(p), với mọip ∈ M Khi đó, ta cũng viếtdφ(X) = X

Ví dụ 1.3.18 Chof :R→R là một toàn ánh lớpC1và thỏa mãn∀x, y ∈R màx 6= y

và f (x) = f (y)thìf0(x) 6= f0(y) Choγ : R → R là một cung vớiγ(t) = α và địnhnghĩa trường vectơX ∈ C1(R)bởiX t = γ0(t) Khi đó, với mỗit ∈R, ta có

dft(Xt) = (f ◦ γ(t))0 = f0(t).

Ta sẽ chỉ ra không tồn tại một trường vectơ mà f- quan hệ với X Giả sử ngược lại,tồn tạiX, theo định nghĩa ta phải có

Xf (x) = dfx(Xx) = f0(x) 6= f0y = dfy(Xy) = Xf (y).

Như vậy khẳng định được sáng tỏ

Mệnh đề 1.3.19 Cho φ : M → N là một toàn ánh giữa các đa tạp khả vi, X, Y ∈

C∞(T M ), X, Y ∈ C∞(T N ) sao chodφ(X) = X, dφ(Y ) = Y Khi đó, dφ([X, Y ]) = [X, Y ]

Mệnh đề 1.3.20 Choφ : M → N là một vi phôi giữa các đa tạp khả vi NếuX, Y ∈

C∞(T M )là các trường vectơ trênM, thìdφ(X)là một trường vectơ trênN và ánh xạ tiếp xúc dφ : C∞(T M ) → C∞(T M ) là một đồng cấu đại số Lie, tức là nó bảo toàn móc Lie

dφ([X, Y ]) := [dφ(X), dφ(Y )].

Định nghĩa 1.3.21 ChoM là đa tạp khả vi Hai trường vectơX, Y ∈ C∞(T M )được

gọi là giao hoán nếu móc Lie của chúng triệt tiêu.

Phát biểu sau đây cung cấp cho ta một ví dụ về trường vectơ giao hoán.

Mệnh đề 1.3.22 ChoM là một đa tạp khả vi, (U, x)là một bản đồ trênM và

1.3.5 Trường véc tơ bất biến trên nhóm Lie.

Định nghĩa 1.3.23 ChoGlà một nhóm Lie Khi đó trường vectơX ∈ C∞(T G) trên

G được gọi là bất biến trái nếu nó Lp- quan hệ với chính nó với mọi p ∈ G Tức là

(dLp) − q(Xq) = Xpqvới mọip, q ∈ G Tập các trường vectơ bất biến trên Gđược gọi

là đại số Lie củaGvà được ký hiệu làG

Mệnh đề sau đây chỉ ra mối quan hệ giữa đại số Lie củaGvà trường vectơ của nó

Mệnh đề 1.3.24 NếuGlà một nhóm Lie thì đại số LieGcủa nó là một đại số Lie con củaC∞(T G), tức là, nếuX, Y ∈ Gthì[X, Y ] ∈ G.

Định nghĩa 1.4.1 ChoM là một đa tạp khả vi Một trường tenxơ trơnAtrênM loại

(r, s)là một ánh xạ đa tuyến tính trên vành giao hoánC∞(M )

A : Cr∞(T M ) → Cs∞(T M ).

Để cho gọn, ta sẽ ký hiệuA(X 1 ⊗ ⊗ X r )bởiA(X 1 , , X r ).

Mệnh đề 1.4.2 Cho A : Cr∞(T M ) → Cs∞(T M ) là một trường tenxơ loại (r, s) và

p ∈ M Giả sử X1, , Xr và Y1, , Yr là các trường vectơ trơn trên M sao cho

được gọi là những tính chất nội tại.

Ví dụ 1.4.4 Không gian EuclideEm là một đa tạp Riemann với tích vô hướng trong