Phép đang cự trên một số đa tạp hcrranrt

quan trọng của đa tạp Riemann được khảo sát là ánh xạ đang cự.Đa tạp Riemann, được biết như là một đa tạp khả vi sao cho với mỗi phần tử HcrranrT để nghiên cứu.. Cho M là một đa tạp khả

quan trọng của đa tạp Riemann được khảo sát là ánh xạ đang cự.

Đa tạp Riemann, được biết như là một đa tạp khả vi sao cho với mỗi phần tử

HcrranrT để nghiên cứu

Nội dung nghiên cứu của luận văn làkliảo sát ánh xạ đang cự trong mối quan

Chương 1 ĐA TẠP raEVhNN

Trong chương này chúrg tồi trình bày lại một số kiến thức cơ bản về đa tạp khả

bày ở đây được trích dẫn trong tài liệu [1], [3], [4], [5|

1.1 Đa tạp tôpô và đa tạp khả vi

1.11. Đa tạp tôpô (xem[l])

Cho M là không gian tôpô Haudorff Một bán đồ trên M là cặp (V, cp) trong đó

atlas khả vi hoàn toàn xác định một cấu trúc khả vi

Không gian tô pô Hausdorff M cùng với một cấu trúc khả vi xác định bởi atlas

2

I. 13 Ví dụ

1. M11 là đa tạp khả vi n- chiều với atlas {(ỊẠid )}

2. Cho M là một đa tạp khả vi với atlas {(Vị,(pị ) }ieI và Nlà một tập con mở

giao của đường thẳng nối điểm đó và điểm cực bắc đến siêu phẳng Xn +1 = 0 Phép

chiếunổi từ cực nam ps được xác định tương tự Khi đó sn là đa tạp khả vi với atlas{(LTO,APS)}

của N sao cho u n f!(V) ^ 0 ta có ánh xạ cp0 f0 (p 1 từ tập con mở (p (U n f1(V )) của

vào M11 là ánh xạ khả vi Ánh xạ khả vi f: M —*• N có ánh xạ ngược r1: N —»•

được gọi là vi phôi

115. Truờng inục tiêu trên đa tạp khả vi 115.1. Đinh nghĩa (xem [3])

Giả sử M là một đa tạp khả vi, c° (]V^ là tập các hàm khả vi trên M khi đó ánh

1.1.53 Đinh nghĩa (xem [3])

a. Cho M là một đa tạp khả vi Khi đó T(M) = Ị^J lp {M) được gọi là một phân thớ tiếp

xúc trển Mvàkhông gianvéc-tơ Tj/M) được gọi là thớ đi qua p Mỗi ánh xạ X : M —► TM

sao cho với mọi peM X(p) e Tp(M) được gọi là một trường véctơ trên M

b. Trường mục tiêu trên đa tạp n- chiều M là họ n trường véctơ {Xi, X?, , Xn}

Cho M là một đa tạp khả vi Một cấu trúc metric Riemann trên M là việc đặt tương

ứng với mỗi p G M một tích vô hướng trên TpMsaocho với hai trường véctơ (tiếp

\ĨX, Y trên M, hàm số p —► ^X(p),Y(p)|) làhàmkhả vi

Đa tạp M cùng với một metric Riemann xác định trên M được gọi là một đa tạp

Riemann Kí hiệu (M, (,) )

1.22. Độ dài cung (xem [4])

M là một đường cong lớp c1 trên đa tạp Riemann (M (,)lvl) Độ dài của a đượcxác định như sau:

Chứng minh

Ta có Rn là một đa tạp khả vi

Mặt khác ta có tích vô hướng tại điểm p e Kn trên không gian tiếp xúc Rp được

cảm sinh từ tích vô hướng chính tắc trên Rn Do đó tích vô hướng như trên xác định một

iTEtric Rienxnn trén MIL Vậy ỊlRn,QM ) là một đa tạp Riemann n- chiều

Cho y: M+ —>• Rn là đường cong được xác định bởi y(t) = (t, 0, , 0),

Khi đó độ dài L(y) của y được xác định như sau:

0Eỉa là hình cầu mở n - chiều, tức là Bỉ1 = Ịxe Rn ||x| < Trên Ba ta trang bị metric

Riemamsau: (Lí =

MìKhi đó là một đa tạp Riemann và được gọi là không gian Hypebolicn- chiều Kí hiệu Hn

Bây giờ ta sẽ xét độ dài của một cung tham sổ trên Bn

Cho y : (0,1) —► Hnlà một đường cong xác định bởi y(t) = (t, 0, , 0),

đẳng cự trên đa tap Rỉeinann

1.3.1. Anh xạ đẳng cự (xcm [ĩ])

Cho ìs/ị N là các đa tạp Riemann n- chiều Khi đó ánh xạ f : M —» N được gọi

làánh xạ đăng cự nếu với mọi điểm p e 1VỊ ta có : T^, 1VI—» TĩỊp) Nlà một ánh xạ tuyến

Một ánh xạ đẳng cự f: M —► M còn gọi là phép biến đổi đãng cự của đa tạp Riemann

M

Từ định nghĩa trên ta có nhận xét sau:

1.32 Nhận xét

1. Ánh xạ đồng nhất id là một phép biến đổi đăng cự

2. Nghịch đảo của phép biến đổi đẳng cự là phép biến đổi đắng cự

3. Tích của các phép biến đối đẳng cự là phép biến đối đắng cự

Nói cách khác, tập hợp các phép biến đổi đẩng cự của M lập thành một nhóm gọi là nhóm

) <=> Tpf(ap).Tpf([3p) = Op-Pp <=> = ||ap||2 <=> |TẸ,hap)| = ||ap||2

Tức là Tpf bảo tồn môđun của véctơ

(<=) Ánh xạ tiếp xúc Tpf bảo tồn môđun của véctơ nên ta có:

6

||Tp^ap + Pp)||= |Ịap + Pp||

Mà theo địiili nghĩa Tpf là ánh xạ tuyến tính nên ta có:

Tpfi;ap + Pp)=T^o^+T^p)Suy ra điều kiện (2) tương đương với (Tpf(ap)+T^f(ị3p))2 = (0Cp+Pp)2

o Tpf2(ap)+ 2Tpf (ap)-Tpf (Pp)+Tpf 2(pp)=ap2+2XpPp+Pp2 => Tpf(ap).Tpf(Pp)= Op.pp

(do Tpf bảo tồn môđun của véctơ)

(=>) Ánh xạ đãng cự => ánh xạ khả vi bảo tồn độ dài cung

Vì f là ánh xạ đang cự => bảo tồn tích vô hướng Mà độ dài cung được tính theo công

thức:

up)=(’|fp'<yỊcitL(fcp) = £l'||r°pv<t)|itTheo mệnh đề 1.3.3.1 taoó ||(fqp)Xt)|| = ||p'(0||

Vậy L(p)= L(f op) tức là f bảo tồn độ dài cung

(<=) f bảo tồn độ dài cung => f là ánh xạ đẳng cự

Đê chứng minh f là ánh xạ đãng cự, ta chứng minh ánh xạ: » T^p)N bảo tồn

tích

Giả sử: otp = p'(t) với p' là một cung trên đa tạp M, suy ra để chứng minh f là đãng cự ta

khi và chỉ khi ánh xạ (khả vi) f bảo tồn dạng cơ bản thứ nhất

Chứng minh mệnh đề này tương tự như chứng minh mệnh đề 1.3.3.1

(=>) f:M—»N là ánh xạ đang cự => f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ Hiển

nhiên vì điều này suy ra được từ mệnh đề 1.3.3.2

8

Thật vậy, lấy véc tơ a bất kỳ tại p.

y(0) = p?y,(0) = aTheo chứng minh f c Ỵ là đường trắc địa và (f o y)' = ha

Suy ra tồn tại lân cận Ư của f(p) sao cho trong Uf o y là cung trắc địa cực tiểu suy ra tồn tại

(=>) f là vi phôi đăng cự => f là vi phôi bảo giác và đăng diện

Trước hết ta chứng minh f là vi phôi đắng cự => f đẳng diện tức là phải chứng minh

f bảo tồn diện tích các miền compact với bờ trên các đa tạp đó

Thật vậy M’ compact của M——> fỢVT) cz N

Ta chứng minh Vci(M’) - Vd(f(M’))

Giả sử: IVT = o r(T-Ị7) : Uơ—^r(Ua) và {cPot} là phân hoạch đơn tương ứng phủ

a

Va |(pơ f~1| là phần hoạch đơn vị tương ímg với phủ {f or(Ươ )]

Tacó Vo 1(M’) = £ I {<ọa o ryựdetígi^dư

Voi(í’(M’) = X J

%rNf«i-\/d^ũ^)du

a 4Thật vậy, ta thấy từ công thức tính diện tích các miền compact với bờ ta thấy diện

tích chỉ phụ thuộc vào định thức Gr = (gij) Trang M diện tích miền compact với bờ được

tính theo công thức với định thức băng

Trong N diện tích miền compact với bờ được tính bởi công thức với định thức bằng:

Đe chứng minh f bảo tồn diện tích miền compact ta cần chứng minh det(gj) = det (g’ij)vì f

đẳng cự <£r'u.,£r'u > = < >

Từ đó suy ra det(gij) = det (g’ịj) tức f bảo tồn diện tích miền compact với bờ

ta chứng minh f đẳng cự => f bảo giác

Vì f đang cự nên Va,p e M ta có Tpf(a).T^f(Ị3) = (p(p).a.p,Vpe M (chọn cp(p)= 1)

=> f bảo giác

(<=) f bảo giác + đang diện => f đang cự

iij =<(f °r) Uj’ ° r ) Uj >=<tữ)'lli5(£ỵUj>=<r;^ >=(p.gij(dofbảogiác)

Ụõ{uv uu)đJ= I^VVõdu >JU,Vq.(u, Hl)đu

Đối với mọi miền u=> <^9“ = 1=> f đẳng cự

ap||

pp|

T;f(Pp» =

Do f là ánh xạ đẳng cự nên TpfI‘(Op).Tpf(pp) = ap.pp

Mặt khác, theo mệnh đề 133.l|Tpf(ap)| = |ap|;|rlpf(Pp)Ị = |pp|

Từ đó suy ra (4)=(5) Vậy oos(ap, Pp)=aũs(T^f(ap),T^f(Pp))

+ V là/^M) tuyến tính đối với biến X tức là:

Yxi+x.Y = ^lvt;pặ+x2)^^= s VS4ỄY+t VB4fiY= ỸXY+ỸX,YV^Y = f'(VtÌFf,Y) = <pf»-Vtixf»Y=

<pVxY

VXl5 X2, X, Y e B(M), cp G F(M)+ Đối với biến Y nó là K - cộng tính

VX(Yl + Y>)= + Y>) = í* 1[(V f^k=X) + (V:

Ya Ỹx (<pY) = X [cp] Y + <pVxY

Vi Vt^Kũ(ẹY) = Vt^ẹ.r1)f*Y= f^(p.r1jf*Y+((p.r1)Vf^Y

=> Vx(<pY) = ^V^ặpY) = £T1(Êx[(p.r1]£Y+fr1((p.r1)Vfô^Y

= X[(p]Y+(pVxY

Vậy V thoả mãn các điều kiện của liên thông tuyến tính vậy V là liên thông

tuyếntính Ta chứng minh V là liên thong Lâvi- Q\ita

Ta cũng kiểm tra V oó thoả mãn hai điều kiện của liên thông Lêvi - Q\itakhôrg.Tức là ta kiểm tra hai điều kiện:

) ta có:

Vt<xf«Y-f.-|V(4ự^-[XYl=> i;T(XY) = VtxC,Y- V 1AY,X-r,|XY|

(Ta chứng minh f*ỊX, Y] = [f*x, f*Y]

\ỉ [f*Xi*Y|[(p] = ÊcX[ÊY[(pJJ-ÊYIÊX[(plj =XC£HY[(P]O fj o r1 - Y[kX[cpJ ofj o f-]

12

p < a,a >< > - < cụp >2

=x[Y[cp o fJ o f-1 o fj o r1 - Y[X[(p o fj o r1 o fj o r1 =XỊY[(p o f - YLXLcp

o fj o r1

^X,Y]f(p<f|of-1 =f*[X,Y][(pJ

Vậy Lf*X,f*Y] = f4X,Y]>

=> £T(XY) = V^Y- vf YÊX- [£KX£Y] = T(f*x,f*Y) = 0 (vì f đơn ánh)

Vi vf%zg= 0 suy ra: ũ(ZỊị < £KX£Y> ] =< Víiz&X,£Y> + <

£^V£KZ&Y>

VfiZ£cX£:LEcY> +X&1Vfe£Y> =<vzx,Y> + <X,VZY>

Vậy V làhên thôngLêvi- GvitatrânMchonâi V = V Do đóVXY= C1Vfixf,Y= f»VxY= Vf<x£,Y

13.43 Hệ quả (xem [5])

Qua vi phôi đấng cự cung trắc địa biến thành cung trắc địa

Chứng minh.

Cho cung trắc địa y trên đa tạp Riemann M, qua vi phôi đăng cự f: M—» N , khi đó f(y)

là cung trắc địa trên đa tạp N

Thật vậy, theo định nghĩa y là cung trắc địa suy ra Vy.y' = 0

Ta có: Vfoy,f o y' = Vf ,.f*y = £=(Vy-y *)= 0 (do V bất biến qua vi phôi đăng cự f) hay

vf ,f o y1 = 0 => fof cũng là cung trắc địa

13.4.4 Đinh nghĩa (xem[l])

p là một điểm của đa tạp Riemann (M,g) ơp là một 2-phẳng trong TpMỢđiổrggLanvéc tơ con 2 chiều của Tp(M) lấy một cơ sở (a?p) của ap thì độ cong tiết diện K(ơp) làsổ:

K(o )

= -<R(a,P,p).a> -p < X £*p,£p > - < £„a,£sp >2

13.4.5 Mệnh đề (xem [5])

Độ cong tiết diện của đa tạp Riemann bất biến qua vi phôi đấng cự

Chứng minh.

f :M—»N là vi phôi đắng cự Giả sử tại p có không gian véc tơ con hai chiều ơp Q.iaf*

có không gian véc tơ con hai chiều f*a Không gian tiếp xúc của M tại p —» ldiôrggian tiếp xúc của N tại diêm f(p))

mnhK(ơp) = K(f*ap).

Theo định nghĩa ta có:

-< a,a >-< p,p > - -< a,p >21- < R(Êa,Ê|3,Ê|3).Ka >

Vi /ì bảo tồn tích vô hướng nên:

<a,a >=< íkx, f=a > , < [3 [3 >=< f43, f=43 >, < a, |3 >=< f*a, f*p >

Nên ta chỉ cần chứng minh:< R(oc, p, p), a >=< R(f*a, f*p, f=43), Ra >

Theo định nghĩa, taoó: R(a,p,P) = VaVpp - VpVơp - VỊ-a p|P(a,P e B(]VỊ))

R(£xx,£.[35f43) = V^V^Rp - VfsHpVfHÍX£ị3 - V|£i0^fipj£ị3 = f*v aVp[3 - £fcV pVaỊ3 - f*v Laj3jP

(do V bất biến qua vi phôi đang cự)

=x R(Ro Rp, RP), Ra =< RR(a, p p), Ra =< R(a, p p), a >

Vậy độ cong tiết diện của đa tạp Riemann bất biến qua vi phôi đăng cự

14

Chương 2 PHÉP ĐẲNG cự TRÊN MỘT SÓ ĐA TẠP RIEMANN

Trong chương này chúng tôi tập trung khảo sát cấu trúc đa tạp Rienmann 2 - chiều

của nửa phăng Poincaré và đĩa mở Poincaré thể hiện qua việc xác định rrtínc Rienmann,

các phép biến đổi đăng cự, Từ đó mở rộng một số kết quả cho nửa không gian trên, được

xét như một đa tạp Riemann 3 - chiều Các kiến thức trình bày ờ đảy được trích dẫn trong

2.12. Độ dài cung trong H2 ộm[l])

Trong kí độ dài cung của một cung đoạn cho trước cũng được xác định như trong

trường hợp tông quát Đê minh họa, ta xét các ví dụ sau:

a Xẳt citt^trcrgkí xác định bởi tham số hoáteM+ I—>p(t) = (x(t) = Xo,y(t) = t),

ịt t j nối điểm p = p(ti), Q = p(t2) xác định bới:

qp)=ft2-=int2

■ ’ Jh t t

cnng trang kí xác định bởi tham số hoá ( x(t) =XQ +RCOSL y(t) =Rsint), với x0 là một hằng số cho trước và R > 0

Độ dài cung đoạn p[tl5t2] nối điểm p = p(ti),Q = p(t2) xác định bởi:

đối với mỗi trường mục tiêu song song chính tắc trên H2

ị ỔU^Ị 2 (ỡv^l2 1 _ 1

^ IỔXJ VJ v^xy) _ y2"

16

Xét nửa phẳng Poincaré tí = {(x, y) € M2 / y > 0} = {z e c/frnz> 0} Khi đó các phép

biến đổi h: H2 —*■ H2 sau là các phép biến đối đang cự:

(1) ZM> z+a,(a EĨRJ (phép tịnh tiến với phương song song Ox);

(2) ZI—> kz,(k e ]R+ Ị (vị tự tâm Ovới hệ số dương);

1 Phép biến đôi (1) biểu diễn được dưới dạng:

h:: tí —► H2 (x,y) (u=xH- a v=y),(a e K )

Giả sử z= (x,y) E c ta có z + a = (u, v) = (x + a, y) Khi đó

ổxổy ổxỡxyVậy phép biến đôi (1) là phép biến đôi đãng cự

2. Phép biến đổi (2) biểu diễn được dưới dạng tỉ —*■ H2, (x, y) I—>

(u=kx, v=ky)

ổu t ổu _ ỡv _ ổv t

— = k,— = 0,— = OL— = k

3 Phép biến đổi (3) biểu diễn được dưới dạng hy tỉ —*■ H2, (x, y) M> (u = - X, v=y).

Giả sử z= (x,y) E c taoó —z =(u, v) =(- X, y) Khi đó

4 Phép biến đôi (4) biểu diễn được dưới dạng

hậi lí —»• H2,(x,y)

(u= x2-^5,v Hy2

3^-x2 x2+y2)

Vậy phép biến đổi (4) là phép biến đổi đăng cự

ổxổy õs.Õsy~ ự^Ỷự + y2)2 ự + ^ Ỵ ự + y 2 ) = 0

cz+d

Phép biến đôi (5) được viết dưới dạng hL5(z)

=Xét các trường hợp sau:

a) Trường hợp c = 0, khi đób

—-— = — z+ —

do ad - bc = ad > 0 và — e M Khi đó

tacódh,°h2( z ) = h ^ | z j = M z ) •Vậy (5) là tích 2 phép biến đôi đãng cự Hay (5) là phép biến đổi đăng cự

Mệnh đề (xem [4]: Tính bất biến của phép biến đổi đãng cự)

a) Phép tịnh tiến với phương song song Ox, phép đổi xứng qua trục Oy và phép

tỉ số a e1R+ bảo tồn đường dạng a (anh của nửa đường thẳng 111Ở trực giao

đường dạng b(ảnh của nửa đường tròn mở trực giao với Ox )

b) Tồn tại phép nghịch đáo tâm thuộc Ox, phương tích dương biến đường dạng b

Phép tịnh tiến với phương song song Ox, phép đoi xứng qua trục Oy và phép vị tự tâm o

tỉ số aeR+ bảo tồn đường dạng a (ảnh của nửa đường thẳng mở trực giao với Ox) và

đường dạng b(ảnh của nửa đường tròn mở trực giao với Ox )

i) Ánh xạf:zh->z + ăae]K)là phép tịnh tiến với phương song song Oi màf: z.z - k.z - k.z + k2 - R2 = 0 h-> (z+ a) (z+ a) - k( z+ a) - k(z+ a) + k2 - R2

= z.z + az + az + a2 - kz - ka - kz - ka + k2 - R2

=zz+ (a- k).z+ (a- k).z+ (a- k)2 - R2 = 0

f :z+z-2b= OH> z + a+z + a-2b=z+z-2a-2b= 0

ii) Ánh xạ f: zt—> az Ịae R.+ Ị là phép vị tự tâm o tỉ số a mà

f: z.z -k.z-k.z + k2-R2 = 0 h-» az.az- kaz -kaz + k2-R2

= ậz - ak.z + ak.z +k2 - R2 = 0

f :z+z-2b= 0 az+ az- 2b = 0

iii) Ánh xạ f: ZI—> —z là phép đối xứng qua trục Oy màf: z.z -k.z - k.z + k2- R2 = 0 -z(-z) + kz+ kz+ k2-R2

= z.z + k.z + k.z + k2 - R2 = 0

b) Ánh xạf: ZỊ—» =■ là phép nghịch đảo tâm o, phương tích

zf: z.z - k.z - k.z + k2 - R2 = 01-> = kỉ-k- + k2-R2 = 0

221 Đĩa Poincaré (xem [11)

Kí hiệu D là hình tròn 1Ĩ1Ở, tâm o, bán kính 1 trong R2,

D={(x,y) eK^/^+y2 <l}={z=x+iy eC/|zj = ^/x2+y2 <1}

Khi đó, tương tự như trường hợp nửa phăng Poincaré, ta có D là một đa tạp

cấu trúc Riemann chính tắc trên D cảm sinh từ tích vô hướng thông thường trong R2 Ta

gọi D với cấu trúc Riemann nói trên là dĩa Poincaré, kí hiệu (D, <,>0)

cự 2Íữa nửa phắii2 Poincaré và đĩa Poincaré (xm| 1Ị)

Kết quả dưới đây cho ta mối liên hệ vi phôi đăng cự giữa nửa phăng Poincaré và đĩa

Râncaté

Đinh lí: Đĩa Poincarẻ (D, <,>n) vi phôi đang cư với nửa phang Poincaré (H2,<,> o)

Chứng minh.

Ta chứng minh tồn tại một ánh xạ f từ D vào H2 làsorg ánh, khả vi, ánh xạ ngược khả vi và

f là một phép biến đôi đăng cự

Thật vậy, xét tương úng

1.Chứng minh f là ánh xạ từ D vào H2

22

Do với mỗi z = x + iy e D, tncóx2 -t-y2 < 1 nên

Thật vậy, với mỗi co = u + iv E tí, dou, VE Rvàv>0nên

_ -co + i _ -u- iv+ i _ -u+ i( 1- v) _ (u- i(l- v))(l+ v+ iu)im—1 1 1 4 - — 1 —í 14-17^4-111 /ì I Ig(co)=-

ico-l i(u+iv)-l -(l+v) + iu

-õ -+ i -õ -= x+iy,(l+v) +u2 (l+v) +u2

— -^<0

((l+v)2 + u2)