ứng dụng phép biến hình giải một số bài tập tọa độ trong mặt phẳng

Sau nhiều năm giảng dạy và ôn luyện học sinh thi vào đại học tôi nhậnthấy nội dung của chương I hình học lớp 11 có thể ứng dụng vào giải một số bàitập tọa độ trong mặt phẳng chương III h

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 3

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2013

ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn học cơ bản, nếu học tốt môn Toán thì những kiến thứctrong Toán cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành cơ sở để họctốt những môn học khác và ứng dụng trong cuộc sống

Môn Toán góp phần phát triển nhân cách học sinh, ngoài việc cung cấpcho các em hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rènluyện cho các em đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chínhxác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ

Thực tế tính sáng tạo trong việc học môn Toán của học sinh còn thấp Các

em chưa có ý thức tham gia sáng tạo, liên kết kiến thức giữa các phần này vàphần khác, phân môn này và phân môn khác để tạo ra kiến thức và phương pháplàm toán một cách tổng hợp

Điều đó, ai cũng nhận thấy Nhiệm vụ của các thầy cô đang trực tiếpgiảng dạy là làm cho học sinh hiểu và nắm được logic giữa các phần và các phânmôn để các em có được thói quen suy luận logic, kỹ năng làm bài tập một cáchtổng hợp, nâng cao hiệu quả trong học tập và đạt kết quả cao trong các kỳ thi

Sách giáo khoa toán sử dụng trong nhà trường phổ thông cung cấp chongười dạy và người học các mảng kiến thức cơ bản Trên cơ sở của các bài tậptrong sách giáo khoa, chúng ta có thể giúp học sinh sáng tạo ra các bài tập khác

Sau nhiều năm giảng dạy và ôn luyện học sinh thi vào đại học tôi nhậnthấy nội dung của chương I hình học lớp 11 có thể ứng dụng vào giải một số bàitập tọa độ trong mặt phẳng chương III hình học 10 và giải một số bài tập ở câuIV.1 trong đề thi vào đại học hàng năm

Vì vậy để giúp học sinh học giải quyết tốt lớp các bài tập tọa độ trong mặtphẳng và câu VI.1 trong các kỳ thi vào đại học cao đẳng Tôi đã chọn đề tài

“Ứng dụng phép biến hình giải một số bài tập tọa độ trong mặt phẳng”

2 Mục đích và đối tượng nghiên cứu:

Bổ sung phương pháp làm bài tập cho học sinh, tạo hứng thú trong họctập, giảm căng thẳng Giúp học sinh hiểu rõ các phép biến hình, sau đó ứngdụng các phép biến hình vào giải một số bài toán tọa độ trong mặt phẳng

Từ đó nâng cao kết quả của học sinh trong khi giải bài tập tọa độ trongmặt phẳng

Đối tượng ngiên cứu: Các phép biến hình và ứng dụng của nó trong giảibài tập hình học tọa độ trong mặt phẳng

3 Giới hạn của đề tài:

Xuất phát từ nhiệm vụ: Là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán và ônluyện cho học sinh thi vào ĐH - CĐ Vì vậy trong nội dung của SKKN này, tôi

chủ yếu tập trung vào việc “Hướng dẫn học sinh sử dụng phép biến hình vàoviệc giải một số bài tập tọa độ trong mặt phẳng”.

4 Phương pháp nghiên cứu:

Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:

- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, các thông tin trên internet có liên quanđến đề tài

- Phương pháp quan sát

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn

- Phương pháp thực nghiệm

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Chương I:

THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

1 Thời gian và đối tượng thực nghiệm:

Tìm hiểu đối tượng học sinh lớp 11T2, 11T6 năm học 2007-2008, 11T3,11T5 năm học 2010-2011 và áp dụng trên học sinh lớp 11T3, 11T4 năm học2012-2013

2 Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:

Qua nhiều năm giảng dạy và tham gia các lớp bồi dưỡng, tôi suy nghĩ, tìmtòi, thử nghiệm và rút ra được kinh nghiệm dạy cho học sinh nắm vững kiếnthức chương 1 hình học lớp 11 nâng cao

Với cách dạy này đa số học sinh giải được các bài toán phù hợp với khảnăng và năng lực của mình; làm tốt các bài thi và kiểm tra cũng như có thể sángtạo ra các bài toán mới

Phạm vi của đề tài chỉ nghiên cứu ở việc dạy, hướng dẫn học sinh giảitoán theo các hoạt động nhằm nâng cao năng lực giải toán cũng như vận dụngcác kiến thức

Trước khi áp dụng trên các đối tượng học sinh của 2 lớp 11 trong 2 khóakhác nhau Tôi nhận thấy các em ít sử dụng kiến thức được học ở lớp 11 vàogiải một số bài tập phần tọa độ trong mặt phẳng mà hầu hết các em chỉ sử dụngkiến thức của lớp 10 để giải

Tôi nhận thấy đa số học sinh không chú tâm học phần phép biến hình Vìvậy việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh chưa hiệu quả Sựnhận thức của học sinh thể hiện khá rõ:

- Các em còn lúng túng trong việc tìm ảnh của một hình qua một phépbiến hình

- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc

- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế

- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt

- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học

Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em Thực sự là khókhông chỉ đối với HS mà còn khó đối với cả GV trong việc truyền tải kiến thứctới các em Nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học sinh Nhiều emhổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định đượcđộng cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn hình học trong đờisống

Chương II:

GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

Trong các tiết học của chương I hình học lớp 11NC: “Phép dời hình vàphép đồng dạng trong mặt phẳng” Học sinh ít hứng thú dẫn đến nắm kiến thứcchưa chắc, chưa hiểu bản chất Khả năng tư duy hàm, suy luận lôgíc, khả năngkhái quát phân tích còn hạn chế, đặc biệt là phần ứng dụng các phép biến hình

Vì vậy học sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích được nhucầu học tập của học sinh Để các em tiếp thu bài một cách có hiệu quả tôi xinđưa ra biện pháp mà tôi đã từng sử dụng:

I.3: Phép đối xứng tâm:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho I a b( , ), M(x; y), M’(x’; y’)

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm M(2; 3) tìm tọa độ điểm N đối

xứng với M qua đường thẳng d: y = x

Bình luận: Đây là một bài toán cơ bản đối với việc giải toán tọa độ Các em

thường giải bằng các bước:

- Lập phương trình đường thẳng d’ qua M và vuông góc với d.

- Xác định tọa độ giao điểm của d và d’.

- xác định tọa độ N sao cho I là trung điểm MN.

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho véctơv ( 2;3), đường thẳng d cóphương trình: 3x-5y+3=0 Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d quaphép tịnh tiến theo vectơ v

Giải

Cách 1:

Ta có: d’//d nên d’ có phương trình 3x-5y+C=0 M’ thuộc d’

Chọn M(-1; 0) thuộc d, Gọi M’=Tv(M) =(-3; 3) và M’ thuộc d’

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: 3x-5y+24=0

Bình luận: Trước khi có phép biến hình, các em thường giải bằng các bước:

- Lấy M, N bất kì thuộc d.

- Tìm ảnh M’, N’ tương ứng của M và N qua phép tịnh tiến theo vectơ v

 M (x ;y ) (C ) : (x 1)  2(y 2) 2 1

Vậy đường tròn cần lập có phương trình: (x 1) 2(y 2) 2 1.

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho M(1; 5), đường tròn (C) có

phương trình x2+y2-2x+4y-4=0, đường thẳng d có phương trình: x-2y+4=0.a) Tìm ảnh của M, (C) và d qua phép đối xứng trục Ox

b) Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục d

Thay vào phương trình của d ta được: x’ 2y’ 4 0  

Vậy phương trình của d’ là x 2y 4 0  

b) Đường thẳng d1 đi qua M và vuông góc với d có phương trình là:

2x y-7 0   Gọi M0 là giao điểm của d và d1 thì toạ độ của M0 là nghiệm của hệ:

Vậy M0(2; 3)

Gọi M1 là ảnh của M qua phép đối xứng trục d thì M0 là trung điểm đoạn thẳng

MM1 nên M1(3; 1)

Bài 5 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình:

2x+3y-3=0 Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tựtâm O tỉ số k=-2

Giải:

Cách 1:

V(O,k)(d)=d’ d’//d  d’ có phương trình: 2x+3y+C=0

Lấy M(0; 1) thuộc d.Gọi M’(x’; y’) là ảnh của M qua phép vị tự đã cho, ta có:

'2

Bình luận: Trước khi có phép biến hình, các em thường giải bằng các bước:

 



2 2

a) CMR f là phép dời hình

b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x + 2y 5 = 0

c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1) + (y 2) = 2

2 Cấp độ 2: Các bài tập có suy luận dùng phép biến hình để giải (Thường

thông qua một bước dựng hình):

Phương pháp: Để dựng điểm M ta làm như sau:

Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép biến hình Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép biến hình.

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(-1; -1), B(3; 1) và C(2; 3).

Tìm toạ độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

Giải:

Ta có: BA    ( 4; 2)

Giả sử điểm D(x; y) CD x 2;y 3

ABCD là hình bình hành  T C BA ( ) D  2 4 2

- Bài tập này học sinh thường giải bằng cách này, nhưng ít em nhận ra

được đây là kết quả của phép tịnh tiến mà thường cho là tính chất của hình bình hành.

- Giáo viên khi hướng dẫn HS giải nên chỉ ra đây là phép tịnh tiến để HS

cẩm thấy phép biến hình gần với chúng ta hơn từ đó có thêm hứng thú với phép biến hình.

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(-2; 0), B(-1; 0) Tìm toạ độ

điểm C và D để tứ giác ABCD là hình bình hành Biết tọa độ giao điểm haiđường chéo I(1; 2)

Giải

- Đối với bài tập này các em HS lớp 10 thường giải bằng cách:

- Gọi C(x; y), vì I là trung điểm nên:

- Tương tự cho điểm D.

- Về cơ bản hai lời giải này giống nhau Tuy vậy các em nên biết thêm cách sử

dụng phép tịnh tiến.

Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình bình hành OBCD Có: A(-2; 1) và

B thuộc đường thẳng () có phương trình: 2x y 5 = 0   Tìm tập hợp điểm C?

- Đối với bài tập này giáo viên cần chỉ rõ cho HS việc xuất hiện phép tịnh tiến.

- Phân tích cho HS kỹ thuật áp dụng phép biến hình.

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho: B (-2; 2) và C(-3; 1) nằm trên đường

tròn có tâm I(-3; 2), điểm A thay đổi trên đường tròn đó Tìm quỹ tích trực tâm

Ta có: phương trình đường tròn (C): (x+3) 2  (y 2)  2  1.

phương trình đường thẳng BC: x y + 4= 0 

Theo kết quả bài toán 1 trang 7 SGK hình học 11 NC

Gọi (C’) là đường tròn đối xứng với (C) qua BC

phương trình đường tròn (C’):   2  2 

(C ) : (x 1) y 1 1.Vậy quỹ tích H là đường tròn (C’) trừ hai điểm B và C

Nhận xét: Khi giải bài tập này, chúng ta đã sử dụng một kết quả đẹp trong SGK

hình học 11 NC.

Bài 5: Cho A(1; 2) và B(3; 4) Tìm P trên Ox sao cho tổng khoảng cách từ P đến

A và B là nhỏ nhất

Giải:

Ta có A, B khác phía đối với Ox

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua Ox  A’(1; -2)

x y

Nhận xét: Khi hướng dẫn HS giải bài tập này, chúng ta đã sử dụng một kết quả

đẹp trong mục 4 Áp dụng- bài phép đối xứng trục, trang 12 SGK hình học 11 NC.

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(3; 1) và đường thẳng (): x – y = 0.

Tìm B và C lần lượt trên Ox và  sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất

Giải:

Gọi A1 là ảnh của A qua phép đối xứng trục Ox suy ra A1(3; -1)

Gọi A2 là ảnh của A qua phép đối xứng trục  suy ra A2(1; 3)

Phương trình đường thẳng A A1 2: 2x y 5 0   

Ta có: CVi = AB+BC+CA = A B+BC+CA1 2  A A1 2

Suy ra B là giao của A A1 2với Ox Tọa độ B là nghiệm của hệ:

Nhận xét: Để giải được bài tập này, chúng ta đã sử dụng kết quả của bài 5 và

tổng các đoạn gấp khúc: AB+BC+CA = A B+BC+CA1 2  A A1 2

Bài 7 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn     2  2 

C : x 4 y 4 8

và hai đường thẳng   : x y 3 0 ;     d : x 2 Tìm điểm M thuộc () và Nthuộc (C) sao cho M, N đối xứng qua d

Giải

M và N đối xứng qua (d)  tồn tại phép đối xứng trục Dd: M → N

Gọi (’) là đường thẳng đối xứng với () qua (d)  (’) x y 5 0   

Ta có: M  () N  (’)

Theo giả thiết N  (C) N  (’)  (C)

Tọa độ N là nghiệm của hệ:      

2+) Với x1  5 7

2 





1 5 7 y

Nhận xét: Đối với bài tập này, ta nhận thấy rất rõ tác dụng của việc ứng dụng

phép biến hình trong khi giải.

Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho:    

M và N đối xứng qua (d)  tồn tại phép đối xứng trục Dd: M → N

Gọi (’) là đường thẳng đối xứng với () qua (d)  (’) 2x y 3 0   

+) Với x2  6

9 y

Bài 9 (Đề thi KSCL ôn khối lần 2 THPT Quảng Xương 3 năm 2013)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn  C1 :

TH1: M và N nằm về hai phía của A               AN                2AM

hay tồn tại phép vị tự tâm A

 tọa độ N là nghiệm của hệ:

TH2: M và N cùng nằm về một phía của A               AN                2AM

hay tồn tại phép vị tựtâm A tỷ số k = 2 biến M thành N; hay VA;2  :M  N

M thuộc đường tròn  C1 suy ra N thuộc đường tròn C1 ' là ảnh của  C1 quaphép vị tự VA; 2 .

C1 ' có tâm I1'5;0 là ảnh của I qua phép vị tự VA; 2  và bán kính '

 tọa độ N là nghiệm của hệ:

ĐS: có hai đường: x y   1 0 hoặc 3x y  5 0 

Cách 2:

Đường thẳng  qua A với véc tơ pháp tuyến n a b ; (điều kiện a, b không đồngthời bằng 0) có phương trình dạng: a x  1b y  2   0 ax by a   2b 0 ()Gọi H1 và H2 lần lượt là trung điểm của AM và AN

- So sánh giữa hai lời giải ta nhận thấy ứng dụng của phép vị tự.

- Và để kết thúc cho phần này tôi xin giới thiệu tiếp một ví dụ nữa minh

chứng cho sự ứng dụng đó:

Bài 10 (Đề thi HSG lớp 12 môn Toán tỉnh Thanh Hóa năm học 2012-2013).

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G1; 2 Phương trình đường tròn đi qua trung điểm của hai cạnh AB, AC và chânđường cao hạ từ đỉnh A đến cạnh BC của tam giác ABC là (C)

x 32  y22 25 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Trước khi giải bài toán này Chúng ta cùng nhắc lại một tính chất

đẹp trong hình học phẳng:

Chân ba đường cao của một tam giác bất kì, ba trung điểm của ba

cạnh, ba trung điểm của ba đoạn thẳng nối ba đỉnh với trực tâm, tất

cả chín điểm này cùng nằm trên một đường tròn Đường tròn này

thường được gọi là đường tròn Euler hay còn gọi là đường tròn

Feuerbach, đường tròn Terquem hay đường tròn chín điểm,

đường tròn trung bình.

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác thì đường tròn

Euler có bán kính là R/2 và tâm của nó là trung điểm đoạn nối trực

tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

(Nguồn:http://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%C6%B0%E1%BB

%9Dng_tr%C3%B2n_Euler)

Giải

Đường tròn (C) có tâm I(3; -2) và bán kính R = 5

Gọi H, J lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

Ta có:

232

C

Gọi D, E, F là trung điểm BC, CA, AB A’ là

chân đường cao hạ từ A xuống BC K là giao

điểm của EF và AA’ G là trọng tâm tam giác

ABC I, J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác A’EF và ABC

Ta có K là trung điểm của AA’ và EFAA' nên

A’ đối xứng với A qua EF Suy ra AEFA EF'

J

E F

A

III Các bài tập biến hình trong mặt phẳng có thể dùng để xây dựng các bài tập tọa độ mà khi giải có sử dụng phép biến hình:

1 Dùng phép biến hình để giải một số bài toán dựng hình.

Bài 1: Hai thôn nằm ở vị trí A, B cách nhau một con sông (Xem hai bờ sông là

hai đường thẳng song song) Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc quasông (cầu vuông góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường AM, NB (như hìnhvẽ) Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN sao cho AM+NB ngắn nhất

Bài 2: Cho góc nhọn xOy, điểm A thuộc miền trong của góc đó Hãy tìm mộtđường thẳng đi qua A, cắt Ox, Oy lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểmcủa MN

Bài 3: Cho đường tròn (O; R) và (O1; R1) cắt nhau tại A và B Hãy dựng đườngthẳng d đi qua A và cắt (O; R) và (O1; R1) lần lượt tại M và M1 sao cho A làtrung điểm của MM1

Bài 4: Cho đường tròn (O) với dây cung PQ Dựng hình vuông ABCD có hai

đỉnh A, B nằm trên đường thẳng PQ và hai đỉnh C, D nằm trên đường tròn

2 Dùng phép biến hình để giải một số bài toán tìm tập hợp điểm.

Phương pháp:

Chứng minh tập hợp điểm cần tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phépbiến hình

Bài 1: Cho đường tròn (O) và tam giác ABC Một điểm M thay đổi trên đường

tròn(O) Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua A, M2 là điểm đối xứng của M1

qua B, M3 là điểm đối xứng của M2 qua C Tìm quỹ tích của điểm M3

Bài 2: Cho hai điểm phân biệt B,C cố định (BC không phải là đường kính) trên

đường tròn (O), điểm A di động trên (O) Chứng minh rằng khi A di động trên(O) thì trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn

Bài 3: Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi trên

đường tròn đó Dựng hình vuông ABCD Tìm quỹ tích điểm B và điểm D

Bài 5: Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn đó Một đường

thẳng thay đổi đi qua P, cắt (O) tại hai điểm A và B Tìm quỹ tích điểm M saocho: PM PA PB

  