Điểm bất động của ánh xạ k lipschitz đều

Đó là việc nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ không giãn trong các không gian Banach.. Chương 3: Giới thiệu Định lý Casini-Maluta về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ k Lipschitz

Lý thuyết điểm bất động phát triển theo hai hướng chính:

Hướng thứ nhất nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ dạng co trong các không gian mêtric

Hướng thứ hai nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ compact trong các không gian tôpô

Vào đầu những năm 60 của thế kỉ XX, một hướng mới có thể xem như hướng trung gian của hai hướng trên đã xuất hiện trong Lý thuyết điểm bất động Đó là việc nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ không giãn trong các không gian Banach

Tiếp tục nghiên cứu xu hướng mới này, trong vài thập kỉ gần đây người ta chú ý nhiều đến ánh xạ Lipschitz đều Có thể kể đến ba kết quả mang tính chất mở đường, đó là các kết quả của Goebel-Kirk (1973), Lifschitz (1975) và Casini-Maluta (1985)

Mục đích của khóa luận là hệ thống lại một số kết quả của các bài báo về các điều kiện để đảm bảo sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ k 

Lipschitz đều T M: M , trong đó M là một tập hợp trong không gian Banach X Đó là điều kiện của không gian X , tập hợp M và hệ số lipschitz k

Nội dung khóa luận chia làm 3 chương:

Chương 1: Nhắc lại một số kiến thức cơ bản làm công cụ nghiên cứu

ở chương sau như: khái niệm không gian lồi đều , ánh xạ không giãn, ánh

xạ Lipschitz đều

Chương 2: Giới thiệu và mở rộng kết quả của Goebel-Kirk và của Lipschitz

Phần đầu chương là hai Định lý về sự tồn tại điểm bất động của nửa nhóm

ánh xạ k  Lipschitz đều và của ánh xạ k  Lipschitz đều trong không gian Banach X với điều kiện đăc trưng lồi của X là 0 x  và 1 k 0 X , trong đó 0 X được xác định bởi modul lồi của X

Tiếp theo là định lý của Lifschitz (1975) và một kết quả mở rộng của định

lý này ra nửa nhóm của Đỗ Hồng Tân (2000)

Chương 3: Giới thiệu Định lý Casini-Maluta về sự tồn tại điểm bất

động của ánh xạ k Lipschitz đều trong không gian Banach với cấu trúc chuẩn tắc

Khóa luận này được hoàn thành tại khoa Toán dưới sự hướng dẫn của thầy Phùng Đức Thắng Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc về sự giúp đỡ và chỉ bảo tận tình của thầy trong quá trình em làm khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo khoa toán, ban chủ nhiệm khoa Toán cùng các thầy cô giáo đã quan tâm giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập tại trường ĐHSP Hà Nội 2

Xuân Hòa, ngày 9 tháng 5 năm 2013 Sinh viên

Nguyễn Thị Kim Dung

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 KHÔNG GIAN LỒI ĐỀU

Trong giáo trình Giải tích hàm, ta đã biết : không gian Hilbert là trường hợp riêng của không gian Banach với hai tính chất quan trọng :

- Mọi không gian Hilbert đều phản xạ

- Mọi tập hợp lồi, đóng trong không gian Hilbert đều chứa một điểm gần nhất đối với một điểm bất kì cho trước của không gian

Trong số các không gian Banach, có một lớp đặc biệt chứa lớp các không gian Hilbert mà vẫn giữ được hai tính chất trên, đó là các không gian Banach lồi đều do Clarkson đề xuất năm 1936

Đến năm 1965, hai nhà toán học Browder và Gohde đã độc lập chứng minh được một định lý quan trọng về sự tồn tại điểm bất động cho ánh xạ không giãn trong lớp không gian này Đó là lí do chúng tôi dung mục này

để giới thiệu những khái niệm của không gian lồi đều cần sử dụng trong chương sau

Nói cách khác, với hai điểm khác nhau bất kỳ ,x y thuộc hình cầu đơn vị,

điểm

2

x y phải có khoảng cách dương đến biên của hình cầu đó, mà

khoảng cách này chỉ phụ thuộc vào khoảng cách của x và y , chứ không

phụ thuộc vào vị trí của chúng (tính đều) Tính lồi đều thường được kí hiệu

x  x x là không gian lồi đều

- Không gian  với chuẩn: 2 x 1 x1  x2 và x  max x x1 , 2 

là các không gian lồi đều (ở đây   2

1, 2

x  x x  )

- Tổng quát hơn, l và p L a b với 1 p p ,    là lồi đều, còn với 1p

và p  là không lồi đều

- Dễ kiểm tra được rằng không gian C a b là không lồi đều Để tiện  ,trình bày, ta kiểm tra đối với không gian C 0,1

Thật vậy, ta xét hai hàm sau trên  0,1 :

Do đó C 0,1 là không lồi đều

được gọi là không giãn (nonexpansive) nếu :

d T T d x y x y X

với ánh xạ không giãn từ D vào D đều có điểm bất động trong D

Chú ý:

- Một không gian Banach không nhất thiết có tính chất điểm bất động đôi với ánh xạ không giãn (Phản ví dụ: X  ,Tx x 1là ánh xạ không giãn nhưng không có tính chất điểm bất động )

- Một tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong một không gian Banach không nhất thiết có tính chất điểm bất động đối với ánh xạ không giãn

Thật vậy, xét c0 là không gian các dãy hội tụ về 0 với chuẩn sup n

n

x  x

Đặt Dx c 0: x  là hình cầu đơn vị đóng trong 1 c0 Ta xét ánh xạ

x  Vậy T không có điểm bất động trong c0 c 0

Vấn đề đặt ra là: Cần điều kiện gì trên không gian Banach X để mọi

tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong nó đều có tính chất điểm bất động đối với ánh xạ không giãn?

Câu trả lời tổng quát cho câu hỏi trên được Brouwer và Gohde độc lập đưa ra năm 1965

Cho X là không gian Banach lồi đều, M là tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong X : T M M là ánh xạ không giãn Khi đó tập hợp các điểm bất động của T , ký hiệu là Fix T , không rỗng, lồi và đóng  

1.3 ÁNH XẠ LIPSCHITZ ĐỀU

xạ T được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại hằng số k  sao cho: 0

Vậy T là ánh xạ Lipschitz với hệ số   1

Cuối cùng ta chứng minh T không có điểm bất động trong B Giả sử

ngược lại: Tồn tại *  * * * 

Từ ví dụ trên ta rút ra kết luận sau : Dù l là không gian Hilbert tức 2

là có nhiều tính chất tốt, nhưng hệ số Lipschitz bằng 1 (với 0   tùy ý) thì hình cầu đơn vị đóng cũng không có tính chất điểm bất động đối với ánh

Điều này gợi ý cho ta xét các ánh xạ thỏa mãn điều kiện:

(chính xác hơn ánh xạ k  Lipschitz đều) nếu tồn tại số k  sao cho : 0

T K  là ánh xạ không giãn thì T có điểm bất động trong K K

Đối với ánh xạ Lipschitz, tập hợp K như trên có thể không có tính

chất điểm bất động như ví dụ đã chỉ ra

Vấn đề đặt ra là : Đối với ánh xạ Lipschitz đều với k  và đủ gần 1 1

thì các tập lồi đóng, bị chặn có tính chất điểm bất động hay không ?

Cho đến nay thì đã có ba loại cận trên cho k để nếu k nhỏ hơn cân trên đó thì ánh xạ k  Lipschitz đều có điểm bất động Cận trên thứ nhất do Goebel-Kirk nêu ra năm 1973, cận trên thứ hai do Lifschitz nêu ra năm

1975, cận trên thứ ba do Casini-Maluta nêu ra năm 1985 Các kết quả chính liên quan đến 3 loại cận trên này sẽ được lần lượt trình bày ở các chương sau

Chương 2 ĐIỀU KIỆN GOEBEL – KIRK – THELE

VÀ MỞ RỘNG ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ

2.1 ĐỊNH LÝ GOEBEL – KIRK – THELE

trong không gian Banach X với 0 x  Khi đó mọi ánh xạ k  1

Lipschitz đều từ C vào C đều có điểm bất động nếu k  với 0 0 là nghiệm của phương trình:

và U là một tập con khác rỗng trong X Khi đó một họ ánh xạ

S đều có giao khác rỗng Khi đó S, và một định hướng với quan hệ hai 

ngôi được định nghĩa bởi: a b  a aS  b bS

Định nghĩa 2.1.2 Một nửa nhóm Lipschitz trên U được gọi là một

k Lipschitz đều nếu k k,   nghĩa là tồn tại một số  A k  sao 0

cho:

T x T y k x y x y U    A

xét nửa nhóm  các ánh xạ : T U  Giả sử  là khả nghịch trái, tức U

là hai ideal phải bất kỳ của  đều có giao khác rỗng

Khi đó với T  ta gọi là chuẩn Lipschitz của T đối với U và kí hiệu là T có giá trị xác định bởi: L

Vì vậy, để đo tính lồi của không gian Banach người ta đưa ra định nghĩa sau

Định nghĩa 3.1.4 Modul lồi của không gian Banach X là hàm

Ta có kết quả sau đây :

- Hàm X tăng ngặt trên đoạn  0,2 và liên tục trên 0;2 , hơn nữa: 

Ngược lại, theo định nghĩa của  X   thì x y B,  X, x y  , ta 

x y   

Vậy X là không gian lồi đều

Định nghĩa 2.1.5 Đặc trưng lồi của không gian Banach được ký hiệu là:

     Điều này tương đương với X là lồi đều 

- Nếu 0 2 thì không gian Banach X là không vuông đều và đẳng

cấu với không gian lồi đều, do đó phản xạ

Sau đây ta sẽ xét thêm một số tính chất của modul lồi của không gian Banach sẽ được sử dụng sau này

Với  0;2 ta định nghĩa:

f   x y x  y  x y  Thế thì: f    2 1  X   

Do đó :

1) f liên tục trên  0,2  1 2) f giảm nghiêm ngặt trên  0,2  2 3) f 2    nếu   0,2  3 Thật vậy, giả sử  0,2 và lấy 0,1 X    Chọn ,x y trong hình cầu đơn vị của X thỏa mãn x y  và 

5) Nếu 0  thì từ tính liên tục của f suy ra tồn tại 1 r 0,1thỏa mãn f r 2r Vậy nếu 1 k 1

kf k

  

 

  với

11,

i) T L   với mọi k  T thuộc ideal phải J1 ;

Với mỗi  0,dist T x K  ,  với mọi T thuộc idean phải J2  ; thì

với một idean phải nào đó J  , tồn tại x0 sao cho: K

 0 0,

T x  x   T Hơn nữa, nếu mọi ánh xạ của  liên tục thì:

  được định hướng bởi quan hệ bao hàm, do

đó C là lồi Vì X là không gian phản xạ, các tập hợp C  0 lập thành một họ các tập hợp compact yếu với tính giao hữu hạn, vì thế tồn tại điểm

Chú ý rằng nếu 0  thì kết quả của Định lý được khẳng định vì với 00  

ta có thể chọn  sao cho A  là Lipschitz đều với hằng số Lipschitz k 

và đồng thời:

z T y  T

nào đó và vì với mỗi A, z  B z d z ,   , nên tồn tại T dể J

sự lựa chọn thứ nhất là đúng)

Theo định nghĩa của :o   sao cho:  A

z T y     T 

Vì T T   với T  A Nhờ tính khả nghịch trái của  nên tồn tại:  A

sao cho T   Nếu   T thì tồn tại  T sao cho T T T  , do đó:

 

1.2

b) Nếu  

o o

x  x  z x x  d x   d x

x  khi w n  Giả sử n và A n  được chọn để cho: 0

n L

Điều này cùng với i) chứng tỏ sự tồn tại điểm bất động chung của ideal  nêu trong Định lý, và nếu tất cả các ánh xạ của  là liên tục thì  có điểm

bất động chung trong K

2.2 ÁNH XẠ KIỂU LIPSCHITZ ĐỀU

Định nghĩa 2.2.1. Giả sử  x là một dãy bị chặn trong môt không gian n

Banach , X C là một tập hợp lồi đóng trong X Với mỗi x X  , ta kí hiệu:

Định nghĩa 2.2.2 Giả sử C là một tập hợp trong không gian Banach

X T C:  được gọi là ánh xạ kiểu k  Lipschitz đều nếu với mỗi x C C 

Rõ ràng là mỗi ánh xạ k Lipschitz đều được đưa ra bởi Goebel và Kirk là

ánh xạ kiểu k  Lipschitz đều

Giả sử C là một tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong không gian Banach X với o X  và giả sử :1 T C  là ánh xạ liên tục kiểu k  Lipschitz đều C với k o, trong đó o là nghiệm của phương trình:

 

 , n 

A C x khác rỗng Lấy bất kỳ z1A C x , n  và kí hiệu r r z ,1  x n  Theo định nghĩa 2.2.2 ta có:

o n

Ta sẽ chỉ ra rằng o X k  , muốn vậy ta chỉ cần chứng minh 1 o X   1

là đủ Giả sử trái lại: o X   , khi đó ta có: 1

được xác định như sau:

Trong đó B r kí hiệu hình cầu đóng tâm z, bán kính r  ,

sHằng số Lipschitz 0 X của không gian Banach X,  xác định bởi:

     là một tập lồi, đóng , bị chặn trong X 

Định lý 2.3.1 (Lipschitz [9]}

Cho M là một không gian mê tric đầy đủ và bị chặn, T là ánh xạ

k  Lipschitz đều trong M Khi đó T có điểm bất động nếu k   M

Cho M là một không gian metric đầy đủ,  T s S s:   là nửa

Từ đây suy ra:

Chương 3 : ĐIỀU KIỆN CASINI-MALUTA

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một cách vận dụng cấu trúc chuẩn tắc vào Lý thuyết Điểm bất động xuất phát từ một kết quả đã biết bởi

Goebel và Kirk Vấn đề là phải chăng trong không gian Banach X , tính

phản xạ và cấu trúc chuẩn tắc đủ đảm bảo cho với 1k  thích hợp, mọi tập

hợp không rỗng, lồi, đóng và bị chặn của X đều có tính chất điểm bất động đối với ánh xạ k Lipschitz đều

Trong [7] các tác giả đã chứng minh rằng nếu đặc trưng lồi của X là

 

  thì ánh xạ k  Lipschitz đều sẽ có điểm bất động nếu k 0 X , trong đó 0 X được xác định bởi modul lồi của X Một kết quả khác đã được Lipschitz [9] chứng minh trong không gian metric Đối với không gian Banach: điều kiện 0 X  tương đương với điều kiện 1 0 X  đã 1

được chứng minh trong [6], còn định lý Lipschitz cho ta cận trên của k tốt

hơn 0 X , đặc biệt là trong không gian Hilbert Một kết quả tương tự được Casini và Maluta chứng minh năm 1985 [5] Định lý phát biểu rằng:

trong không gian có cấu trúc chuẩn tắc đều, ánh xạ k  Lipschitz đềutrong

một tập hợp lồi, đóng và bị chặn sẽ có điểm bất động nếu  

Một số kí hiệu

Cho X lầ một không gian thực hay phức vô hạn chiều với mỗi tập

A trong X ta sử dụng kí hiệu sau:

A là bao đóng, coA là bao lồi của tập hợp A , co A là bao lồi  

đóng của tập A và d A là đường kính của tập hợp A  

x X thì r A x , sup x y y A :   là bán kính Chebyshev của

Giả sử  x n  X là một dãy bị chặn, x X Khi đó các khái niệm:

đường kính, bán kính và tâm tiệm cận trong A của dãy  x n được định nghĩa tương ứng như sau:

n

p

l là không gian n chiều với chuẩn p

tắc (normal structure) nếu mọi tập hợp H lồi, bị chặn của nó với

Khi đó N X đươc gọi là hằng số của cấu trúc chuẩn tắc đều ~   (the constant

of uniformity of normal structure)

Lưu ý rằng ta có thể tính N X~   theo cách sau:

Hiển nhiên không gian có cấu trúc chuẩn tắc đều thì cũng có cấu trúc chuẩn tắc ngoài ra người ta đã chứng minh được rằng không gian với cấu trúc chuẩn tắc đều thì phản xạ

thì hàm r a  x n ,. là nửa liên tục dưới yếu

đó, với mọi dãy  x bị chặn trong X , đều tồn tại n z co x  n thỏa mãn:

   Khi đó, với mỗi

x K , dãy  T x n là bị chặn trong K Theo bổ đề 4.1.2, tồn tại z z x  

thỏa mãn tính chất  i và  ii , đồng thời do K là ánh xạ k  Lipschitz đều nên ta có:

Ta xây dựng dãy  x trong n K như sau: Lấy tùy ý x1 (điều này có thể K

vì K   ) và đặt:

 1

x  z x Thế thì ta có:

n n

Cho n  thì biểu thức cuối cùng của bất đẳng thức trên tiến đến 0 Do

đó y Ty  hay Ty y0  Vậy T có điểm bất động trong K Định lý

được chứng minh

Nhận xét

1 Trong [4] đã chứng minh rằng N x~   1 X  1 Do đó 0 x  1

thì suy ra X có cấu trúc chuẩn tắc đều

Tuy nhiên , chỉ có một hệ thức liên quan giữa N x và ~    X   là

~

1 X 1

N x   Hệ thức này quá thô để có câu trả lời chung cho câu hỏi:

Phải chăng điều kiện  

2 Cận trên mới của k đã nhận được gần đây cho không gian L bởi Lim p

bằng cách sử dụng kĩ thuật đặc biệt của L Nghịch đảo của biên này p

có khả năng là giá trị của ~  

p

N L nhưng chưa được khẳng định

KẾT LUẬN

Như đã nói trong phần mở đầu, mục đích của khóa luận là giới thiệu một hướng quan trọng của Giải tích hàm phi tuyến Đó là lý thuyết điểm bất

động đối với ánh xạ k Lipschitz đều

Các kết quả chính của luận văn dựa trên cấu trúc hình học và các đặc trưng của không gian Banach liên quan đến điểm bất động Vì thế chương 1 của Khóa luận giới thiệu một số kiến thức bổ trợ cho các chương sau Chương 2 là điều kiện Goebel-Kirk-Thele và điều kiện Lifschitz Kết quả của chương 3 là Định lý điểm bất động trong không gian Banach với cấu trúc chuẩn tắc

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, xong do khả năng và kiến thức còn hạn chế nên bản khóa luận vẫn không tránh khỏi những thiếu xót, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo