Lý thuyết điểm bất động

Điểm xM thỏa mãn phương trình Ax = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ A trên tập M.. Ngay từ đầu thế kỷ 20, các nhà toán học trên thế giới quan tâm về vấn đề này và cho tới nay, có

LỜI CẢM ƠN

Bản khoá luận này được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng

dẫn của thây Nguyễn Văn Hùng Em xin bày tỏ lòng biết ơn sự chỉ bảo hướng dẫn tận tình và

nghiêm khắc để em có thể hoàn thành khoá luận này

Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện khoá luận, em nhận được sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ bảo của các thầy cô Qua đây cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Giải tích, khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Bùi Thị Thanh

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 3

1.Lý do chọn đề tài 3

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Cấu trúc khóa luận 3

PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH 4

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Không gian metric ……… 4

1.2 TôPô trong không gian metric 7

1.3 Ánh xạ liên tục 8

1.4 Không gian metric đầy đủ 8

1.5 Tập hợp compact và bị chặn 9

1.6 Không gian định chuẩn không gian Banach 9

1.7 Tính lồi 12

1.8 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều: 16

CHƯƠNG 2: CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 17

2.1 Nguyên lý ánh xa co banach 17

2.2 Định lý điểm bất động Brouwer 23

2.3 Định lý điểm bất động Schauder 26

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 32

3.1 Áp dụng vào phương trình vi phân thường 32

3.2 Áp dụng vào phương trình tích phân 39

KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong khi giải quyết các bài toán khác nhau của khoa học kĩ thuật dẫn đến việc nghiên cứu vấn đề

Cho X là một không gian nào đó và A: M Xlà ánh xạ từ tập M  X

vào chính nó, xét phương trình phi tuyến Axx x M,  Điểm xM thỏa mãn phương trình Ax = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ A trên tập M

Việc giải quyết bài toán trên dẫn đến sự ra đời của một hướng nghiên cứu trong toán học, đó là lí thuyết chiến bất động của ánh xạ

Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực quan trọng của tích hàm phi tuyến Ngay từ đầu thế kỷ 20, các nhà toán học trên thế giới quan tâm về vấn đề này và cho tới nay, có thể khẳng định rằng, lý thuyết điểm bất động đã được phát triển hết sức sâu rộng, trở thành công cụ không thể thiếu được để giải quyết nhiều bài toán khác nhau do thực tế đề ra Sự phát triển của lĩnh vực này gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn trên thế giới như: Banach, Brouwer, Schauder, conebel,…

Nhưng kết quả kinh điển và đầu tiên của lý thuyết về điểm bất động như: nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Brouwer, định lý điểm bất động Schauder đã được áp dụng vào ngành toán học hiện đại như: phương trình vi phân, giải tích hàm, giải tích đại số…

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số định lý điểm bất động trong không gian Banach và không gian định chuẩn hữu hạn chiều

Nghiên cứu việc áp dụng các định lý điểm bất động trong việc giải bài tập về phương trình tích phân và phương trình vi phân thường

4 Cấu trúc của khoá luận

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của khoá luận gồm 3 chương

Chương 1: Nêu một số kiến thức chuẩn bị quan trọng sẽ sử dụng trong

chương 2 và chương 3

Chương 2: Nêu nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động

Schauder, chứng minh định lý, các ví dụ áp dụng

Chương 3: Áp dụng các định lý điểm bất động vào việc giải phương

trình tích phân và phương trình vi phân thường

PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này có mục đích xác định một số kí hiệu, nhắc lại một số lý thuyết của giải tích hàm về một số không gian, tập hợp được sử dụng các chương sau

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1

Ta gọi là một không gian metric một tập hợp X≠  cùng với một ánh xạ

d từ tích Descartes X x X vào tập số thực ℝ thỏa mãn các điều kiện sau:

i) x y, X d x y  , 0,d x y ,   0 x y (tiên đề đồng nhất)

ii) x y, X d x y    , d y x, (tiên đề đối xứng)

iii) x y z, , X d x y      , d x z, d z y, (tiên đề tam giác)

Ánh xạ d được gọi là metric trên X, số d(x,y) được gọi là khoảng cách giữa các phần tử x và y, các phần tử của X gọi là các điểm

Kí hiệu không gian metric là cặp : (X,d)

y

y ( )1

tương đương x = y (tiên đề (i) được thỏa mãn)

Vậy d x y     , d x z, d z y, (Tiên đề iii) đƣợc thỏa mãn)

Vậy (ℝn, d ) là không gian metric

Định nghĩa 1.1.2

Cho không gian metric M = (X, d), dãy điểm  x n  X, điểm x oX

Dãy  x n đƣợc gọi là hội tụ tới điểm x trong không gian M khi o

Điểm x còn gọi là giới hạn dãy (0 x ) trong không gian M n

1.2.Tô Pô trong không gian metric

Định nghĩa 1.2 1:

Cho không gian metricM = (X, d), a  X, số thực r0 Ta gọi

Tập S(a, r) = {x  X; d(x, a) < r } là hình cầu mở tâm a, bán kính r

Tập S a r' ,  x X d x a;  , r là hình cầu đóng tâm a, bán kính r

Định nghĩa 1.2.2:

Cho không gian metric M X d,  và tập A X Tập A gọi là tập mở trong không gian M, nếu điểm thuộc A là điểm trong của A hay nói cách

khác, nếu điểm xA, thì tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A

Tập A gọi là tập đóng trong không gian M nếu mọi điểm không thuộc

A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếu điểm xA thì tồn tại một lân cận của điểm x không chứa điểm nào thuộc tập A

Định lý 1.2.2

Trong không gian metric X d, , hình cầu đóng là một tậo hợp đóng

Định lý 1.2.3: Cho X d,  là một không gian metric thì:

Định nghĩa 1.3.3: Ánh xạ f đƣợc gọi là liên tục đều trên tập A X

nếu:     0,  0 sao cho x x, 'A d x x: 1 , '  thì d2 f x   , f x' 

1.4 Không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.4.1: Cho không gian metric M X d,  Dãy điểm

 x n  X gọi là dãy cơ bản trong M nếu

Định nghĩa 1.4.2: Không gian Metric M X d,  gọi là không gian đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ

1.5 Tập hợp compact và bị chặn

Định nghĩa 1.5.1: Tập hợp K trong không gian metric X gọi là compat nếu

mọi dãy điểm {x } trong K đều có một dãy con { n

k

n

x } hội tụ đến một điểm

thuộc K

Định lý 1.5.1.(Định lý về ánh xạ liên tục trên compact)

Cho 2 không gian metric M1 X d, 1,M2X d, 2 và ánh xạ f ánh xạ

1

M vào M Nếu ánh xạ f liên tục trên tập compact K 2  X thì

1.f liên tục đều trên K

2 f(K) là tập compact trong không gian M 2

Từ định nghĩa ta có điều sau:

a) Để tập A là bị chặn, điều kiện cần và đủ là tồn tại một hình cầu S x R 0, 

c,Tồn tại một phần tử  của X sao cho: x +  = x, x  X

d,Với mỗi xX , tồn tại phần tử  x của x sao cho x   x 0

ℝ, thường kí hiệu là ||.|| đọc là chuẩn, thỏa mãn các điều kiện:

i)Với  x X , ta có || || 0x  và || || 0x   x  (kí hiệu phần tử không là ) ii)Với  x X và với   R, ta có: x   x ;

iii) Với x y, X,ta có: x y x  y

số || ||x gọi là chuẩn của phần tử x

kí hiệu không gian định chuẩn là X, 

Định lý 1.6.1: Cho không gian định chuẩn X Đối với 2 vectơ bất kì ,u vX

Định nghĩa 1.6.3: Dãy điểm ( )u trong không gian định chuẩn X gọi là một n

dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu:

Định nghĩa 1.6.4: Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach

nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ

Nhận xét 1.6.4:

*Trong không gian Banach, một dãy là hội tụ nếu nó là dãy Cauchy

*Không gian Banach cũng là một không gian định chuẩn đầy

Định nghĩa 1.6.5 (Tính liên tục)

Cho X, Y là không gian định chuẩn trên trường K, khi đó:

* Toán tử A M:  X Y đƣợc gọi là liên tục theo dãy điểm nếu với mỗi dãy

1.7 Tính lồi

1.7.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.7.1:

Giả sử X là một không gian tuyến tính, ℝ là tập các số thực Tập

A X đƣợc gọi là lồi nếu:

1.7.2 Bao lồi và bao đóng

Định nghĩa 1.7.3: Giả sử tậpAX , giao của tất cả các tổ hợp chứa A đƣợc gọi là bao lồi của tập A và kí hiệu là CoA

Nhận xét 1.7.2

a) CoA là một tập lồi và là tập lồi nhỏ nhất chứa A

b) A lồi CoA A

Định nghĩa 1.7.4 Giả sử tập AX , giao của tất cả các tập lồi, đóng chứa A

đƣợc gọi là bao lồi đóng của tập A và kí hiệu là CoA

spanM: không gian con tuyến tính nhỏ nhất chứa M

1.7.3.Liên tục trên tập compact

Mệnh đề 1.7.3: Cho M  ℝ là một hàm liên tục trên tập compact khác rỗng M của không gian định chuẩn X Khi đó f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên M

Mệnh đề 1.7.4: Cho X và Y là các không gian định chuẩn trên cùng

trường K, và cho A M:  X Y là toán tử tuyến tính liên tục trên tập compact khác rỗng M của X, khi đó A là liên tục đều trên M

Định nghĩa 1.7.6 (Toán tử compact) Cho X,Y là các không gian định chuẩn

trên trường K Toán tử A M:  X Y được gọi là compact nếu:

(i)A liên tục

(ii)A biến các tập bị chặn thành các tập compact tương đối Hay là nếu

 u n ,n 1,2, là dãy bị chặn trong M thì có một dãy con  u n' , ' 1,2, n  của

 u n sao cho dãy Au n' hội tụ trong Y

Mệnh đề 1.7.5 (Định lý xấp xỉ đối với các toán tử compact)

Cho A M:  X Y là một toán tử compact, ở đây X, Y là các không gian Banach trên trường k, và M là tập con bị chặn, khác rỗng của X Khi đó, với mọi n1,2, ,, có một dãy toán tử liên tục A M n: Y sao cho

2) M là compact nếu và chỉ nếu nó bị chặn và đóng

CHƯƠNG 2: CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

2.1 Nguyên lý ánh xạ co banach

Định nghĩa 2.1.1 (định nghĩa ánh xa co)

Giả sử X và Y là hai không gian metric tùy ý, ánh xạ f :X Y được gọi là ánh xạ co nếu  một số [0,1) sao cho x x1, 2X ta đều có

Giả sử X là một không gian metric đầy đủ và A X: X là một ánh xạ

co của X vào chính nó Khi đó, tồn tại một và chỉ một điểm xX sao cho

p n

Nhƣng theo giả thiết 0 x t  1 nên x: 0,1    0,1

Ta kiểm tra x là ánh xạ co không ?

A có điểm bất động không? Vì sao?

Giải: Ta có [1,+ ) là tập con đóng của ℝ với metric d x y ,  x y

Do đó [1,+ ) cùng với metric ℝ lập thành một không gian metric đầy

x  (vô lý) Vậy A không có điểm bất động do đó A không là ánh xạ co

Ví dụ 2.1.3 :

Cho không gian metric đầy M = (X, d), một ánh xạ f ánh xạ hình cầu đóng

là ánh xạ co, do đó f có điểm bất động duy nhất trong S’(x 0 , r)

2.1.2 Với metric xác định trong định lí 1.6.1 ta có cách phát biểu khác của nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian định chuẩn như sau

Giả sử rằng

(a) M là một tập đóng, khác rỗng trong không gian Banach X trên trường K. (b) Toán tử A M: M thỏa mãn AuAv k u v u v, M (2.1.2) và

k cố định, k[0,1)

Khi đó các kết quả sau là đúng:

i) Tồn tại và duy nhất nghiệm u của phương trình u=Au (2.1.3)

ii)Với mỗi u 0  M đã cho dãy  u n tạo bởi

k 0 khi n  Vậy dãy  u n là dãy Cauchy do X

là không gian Banach nên dãy  u n hội tụ tới một phần tử uX hay u n u

khi n 

Tiếp theo ta chỉ ra rằng giới hạn u của phương trình (2.1.3)

Từ u0M và u1Au0 cùng với A M( )M và u1M Tương tự bằng quy nạp ta được u n1 Au n và u nM, n 0,1,

2.2 Định lý điểm bất động Brouwer

Định lý điểm bất động Brouwer là định lý trung tâm của lí thuyết điểm bất động, đó cũng là một trong định lý cơ bản của giải tích phi tuyến Ở đây, tôi sẽ nêu lên cách chứng minh của Knaster, Kuratowski và Maurarkiewicz, dựa trên một số kết quả tổ hợp của Sperner Trước tiên ta hãy nhắc lại một vài định nghĩa sau

Định nghĩa 2.2.1

Cho X là một không gian tuyến tính, tập hợp S trong X được gọi là n – đơn hình nếu SCo{u , , , }0 u1 u n với u , , ,0 u1 u nX và các véctơ

1 0, 2 0, , n 0

u u u u u u độc lập tuyến tính Các điểm u được gọi là đỉnh, i

bao lồi của k 1 đỉnh được gọi là k- diện của S

Phép tam giác phân một đơn hình S là một phép phân chia S thành các

n – đơn hình con nếu giao nhau phải là một diện chung của hai đơn hình đó

Đối với một tam giác phân của S, sperner (1928) đã đưa ra là một phép gán cho mỗi đỉnh của các đơn hình con một trong các số 0,1, ,n theo qui tắc

sau đây: Nếu Co{u , , , }0 u1 u là diện nhỏ nhất của S chứa v thì v được gán n cho một trong các số i 0 , i 1 , … i k

(Như vậy đỉnh u phải được gán số i) i

Ta gọi đó là phép gán số Sperner

Ví dụ 2.2.1:

Trong tam giác u u u ba đỉnh được gán số lần lượt 0,1,2, các đỉnh của 0 1 2

đơn hình con nằm trên cạnh u u được gán số i hoặc k các đỉnh thuộc phần i k

trong tam giác được gán số 0 hoặc 1 hoặc 2

Sau khi gán số, đơn hình con nào có các đỉnh được gán đủ các số 0,1,…,n thì được gọi là đơn hình “tốt”

Trong ví dụ trên có 5 đơn hình tốt

Gọi h là đỉnh nhận số 0 mà đỉnh còn lại (Của đơn hình con chứa đỉnh đó) cũng nhận số 0

Gọi k là số các m – diện (diện m chiều), mà các đỉnh được gán các số 0,1,…,m (gọi tắt là diện tốt) của (m+1) – đơn hình con

Khi đó k k1 k2

Với k là số diện tốt nằm trên biên của đơn hình gốc S 1

k là số các diện tốt thuộc phần trong của S 2

Vì biên của biên S chứa các diện tốt chính là m – diện Co{u , , }0 u của n

S, cũng là một m – đơn hình, theo giả thiết qui nạp k lÎ,1 k2ch½n v× mçi diÖn tèt thuéc phÇn trong là chung cho hai đơn hình con nên được tính 2 lần Vậy k lẻ

Gọi h là số diện tốt mà đỉnh còn lại không được gán số m+1 Vậy đỉnh

đó sẽ được gán một số trong các số 0,1,…,m Vì vậy (m+1) – đơn hình con của chứa diện đó phải chứa 2 diện tốt Do đó h là số chẵn Vì vậy (m+1) – đơn hình tốt bằng k – h Nên phải là số lẻ

Bổ đề được chứng minh

* Trước khi đến bổ đề KKM Ta đưa ra 1 số định nghĩa

Định nghĩa 2.2.2: Cho n = 1,2,…, và cho X là không gian tuyến tính trên

trường K, n- đơn hình S Co{u , , }0 u n

Khi đó, điểm

1

1b=

n+1

n j j

u



 được gọi là trọng tâm của hình S

Định nghĩa 2.2.3: Một phép chia nhỏ bởi trọng tâm của 1- đơn hình,

Định nghĩa 2.2.4: Cho một đơn hình S Co{u , , , }0 u1 u n Khi đó, mỗi điểm

xS được biển diễn duy nhất dạng

n i i=0

x=xu i với x i 0,

1

1

n i i

x được gọi là tọa độ trọng tâm của x, nó cũng biến đổi liên tục theo x

Bổ đề 2.2.2: Bổ đề knaster, kusutowski, Mazurkirwicz (bổ đề KKM)

Cho S Co{u , , }0 u n là một n – đơn hình trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều X, n=0,1,2, , giả sử đã cho các tập đóng C , ,C trong X o nsao cho

0

k i

Với tất cả các bộ chỉ số {i , , }0 i và mọi k=0,1, ,n Khi đó có một k

điểm bất động v trong S sao cho v  C ,j j  1,2, ,n

Chứng minh:

Nếu n=0 thì S gồm 1 điểm riêng lẻ và kết quả của bổ đề là hiển nhiên đúng

Bây giờ ta xét với n1

Bước 1: Ta xét một phép tam giác phân S1, ,S J của S và thực hiện phép gán

vCo u với k= 0 ,1, …, n

Từ (2.2.2) suy ra có một tập Ck sao cho v  Ck Ta sẽ gán cho v số k đó

và kí hiệu là v Vậy với mỗi k h{0,1, n} ta đều có vhC h Đặc biệt, các đỉnh v của S phải thuộc i C i i  0,1, ,n Cách gán số này cũng thỏa mãn điều kiện của Sperner Vì vậy theo bổ đề 2 sperner, phải có ít nhất một đơn