Một vài đặc trưng của tính lồi liên quan đến lý thuyết điểm bất động

Định nghĩa không gian định chuẩn Ta gọi không gian định chuẩn hay không gian tuyến tính định chuẩn là không gian tuyến tính X cùng với một ánh xạ đi từ X vào tập hợp số thực , thường

LỜI NÓI ĐẦU

Trong khi giải các bài toán khác nhau của toán học, khoa học kỹ thuật

dẫn đến việc nghiên cứu vấn đề:

Cho X là một không gian nào đó và T A: X là ánh xạ đi từ tập

AX vào chính nó Xét phương trình phi tuyến Txx x, A, dưới điều

kiện cụ thể hãy khẳng định sự tồn tại nghiệm của phương trình này Điểm

xA thỏa mãn phương trình Txx được gọi là điểm bất động của ánh xạ

T trên tập hợp A

Việc giải quyết bài toán trên đã dẫn đến sự ra đời của một hướng nghiên

cứu mới trong toán học, dó là lý thuyết điểm bất động

Lý thuyết điểm bất động là một trong những kiến thức quan trọng của

giải tích hàm phi tuyến và cho tới nay có thể khẳng định rằng lý thuyết

điểm bất động đẫ được phát triển hết sức sâu rộng trở thành công cụ không

thể thiếu được để giải quyết những bài toán thực tế đặt ra Sự phát triển của

lĩnh vực này gắn liền với các tên tuổi của các nhà khoa học như: Banach,

Browder, Lifschitz, Goebel, Kirk,…

Những kết quả kinh điển đồng thời cũng là kết quả đầu tiên của lý thuyết

điểm bất động như nguyên lý ánh xạ co, nguyên lý điểm bất động Browder

đã được áp dụng vào ngành toán học hiện đại như: phương trình vi phân,

phương trình tích phân, giải tích hàm, …

Với các lý do đó em đã chọn đề tài “ Một vài đặc trưng của tính lồi

liên quan đến lý thuyết điểm bất động ” Mục đích của khóa luận này là

trình bày một số kết quả tổng quan do Browder và kirk tìm ra

Nội dung khoa luận (gồm 3 chương):

Chương 1 Một số kiến thức cơ sở

Chương 2 Không gian Banach lồi đều

Chương 3 Một số định lý liên quan đến tính lồi của lý thuyết điểm bất động

Qua đây em xin được bày tỏ long biết ơn sâu sắc đến thầy Phùng Đức

Thắng đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành khoa luận em xin chân thành

cảm ơn sự giúp đỡ chỉ bảo tận tình của các thầy cô trong tổ giải tích của

trường ĐHSP Hà Nội 2

Xuân Hòa, ngày ….tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Hà Đức Tâm

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này có mục đích xác định một số ký hiệu, nhắc lại một số lý

thuyết của giải tích hàm về không gian tập hợp được sử dụng ở chương sau

1.1 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN, KHÔNG GIAN BANACH,

KHÔNG GIAN TÔPÔ

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử Klà một trường số thực hoặc trường số

Gọi là không gian tuyến tính ( hoặc không gian véc tơ) nếu các điều kiện

sau đây thỏa mãn :

1 X cùng với một phép cộng là một nhóm Abel, tức là :

a x  y y x với mọi , K, xX

b x y  z x yz với mọi , ,x y zX

c Tồn tại phần tử X sao cho x  x với mọi xX

d Với mỗi phần tử xX tồn tại một phần tử x X sao cho x  ( x) 

2 x yxy với mọi K, x y, X

3   xxx với mọi , K, xX

4   x  x với mọi , K, xX

5 1.xx với mọi xX

Định nghĩa 1.2.2 ( Định nghĩa không gian định chuẩn)

Ta gọi không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định

chuẩn) là không gian tuyến tính X cùng với một ánh xạ đi từ X vào

tập hợp số thực , thường ký hiệu là và đọc là chuẩn, thỏa mãn

các điều kiện sau :

i) Với mọi xX ta có x 0

Và x   0 x 0

ii) Với mọi xX , với mọi K ta có

x y  x  y

Số x gọi là chuẩn của phần tử x

Kí hiệu không gian định chuẩn là X, 

Định nghĩa 1.2.3 ( Định nghĩa không gian Banach)

Nếu không gian định chuẩn X là không gian metric đầy đủ ( khoảng

cách d x y ,  x y ) thì X được gọi là không gian định chuẩn đầy đủ

hay gọi là không gian Banach

Định nghĩa 1.2.4 ( Định nghĩa không gian Tôpô)

Một họ các tập con  2X của tập hợp X được gọi là một Tôpô trong

X nếu thỏa mãn các điều kiện sau :

Tập X được trang bị một Tôpô  được gọi là một không gian Tôpô

và được ký hiệu bởi X, hoặc đơn giản là X

1.2 KHÔNG GIAN HILBERT, KHÔNG GIAN PHẢN XẠ

Định nghĩa 1.3.1 Ta gọi tích vô hướng trong không gian tuyến tính trên

trường K (K R hoặc ) mọi ánh xạ f từ tích đề các X X vào

trường K, thường viết dưới dạng f x y ,  x y, thỏa mãn điều kiện :

i) x y,  y x, , x y, X;

ii) x y z,  x,z  y,z x y z, , X;

iii) x y,  x y, ,   K,x y, X

iv) x x, 0,  x X và x x,   0 x 0

Các phần tử , ,x y z được gọi là các nhân tử của tích vô hướng

Định nghĩa 1.3.2 (Định nghĩa không gian Hilbert)

Ta gọi tập hợp H khác rỗng gồm các phần tử , , x y z nào đó là không

gian Hilbert nếu :

i) H là một không gian tuyến tính trên trường K ;

ii) H trang bị tích vô hướng x, y với ,x yH ;

iii) H đủ với chuẩn x  x x, với xH

Định nghĩa 1.3.3 (Định nghĩa không gian phản xạ)

Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ

nếu phép nhúng chuẩn tắc H từ không gian X vào không gian liên hợp

thư hai **

X của nó là một toàn ánh

Như vậy không gian tuyến tính định chuẩn X là một không gian phản

xạ khi và chỉ khi với mỗi phần tử x bất kì x**X** tồn tại một phần tử

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử X là một không gian tuyến tính, là tập các

số thực tập A X được gọi là lồi nếu

Mệnh đề 1.4.2 Giả sử tập A iX lồi, i , i1,2, ,m Khi đó

1A1 2A2 m A m

    là tập lồi

Mệnh đề 1.4.3 Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính, T : X Y

là toán tử tuyến tính Khi đó

m

i i i

x x





Định nghĩa 1.4.3 Giả sử AX , giao của tất cả các tổ hợp lồi chứa A

gọi là bao lồi của tập hợp A và ký hiệu là coA

Chương 2 KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU

1.1 KHÔNG GIAN LỒI ĐỀU

Trong giáo trình giải tích hàm, ta đã biết không gian Hilbelt là trường

hợp riêng của không gian Banach với hai tính chất quan trọng :

Mọi không gian Hilbert đều phản xa

Mọi tập hợp lồi đóng trong không gian Hilbert đều chứa một điểm gần

nhất đối vối một điểm cho trước bất kì của không gian

Trong số các không gian Banach, có một lớp đặc biệt chứa không gian

Hilbert mà vẫn giữ được tính chất trên đó là các không gian Banach lồi

đều do Clarkson đề xuất năm 1936

Đến năm 1965 Browder và Gohde đã độc lập chứng minh được một số

định lý quan trọng về sự tồn tại điểm bất động cho ánh xạ không giãn

trong lớp không gian này Đó là lý do chúng tôi dung mục đích này để

giới thiệu những khái niệm của không gian lồi đều cần sử dụng ở chương

khoảng cách này chỉ phụ thuộc vào ,x y chứ không phụ thuộc vào vị

trí của chúng (tính đều) Khái niện này được Clackson đề xuất năm

1936

Ví dụ 2.1.1 Không gian 2 với chuẩn x  x12 x22 là không gian

Banach lồi đều

Không gian 2 với chuẩn x  x1  x2 và x2 max x1 , x2  là các

không gian lồi đều

Tổng quát hơn l và p L a b p , , 1  p là lồi đều còn p1 và

p  là lồi khồn đều

Dễ kiểm tra được rằng không gian C a b , là không lồi đều

Để tiện kiểm trình bày ta kiểm với không gian C 0,1

Do đó mọ không gian Hilbert là lồi đều

Không gian Banach X,  được gọi là lồi chặt ( Strictly convex)

hoặc tròn (rotund) nếu x  y mà x 1, y 1 ta luôn có

12

phải là điểm trong của hình cầu đó

Dễ thấy rằng đây cũng như trong định nghĩa 2.1.1 và 2.1.2 ta có thể thay

thế bất đẳng thức x 1, y 1 bằng một đẳng thưc kép x  y 1

Vậy nếu X lồi chặt thì biên của hình cầu đơn vị gồm toàn những

điểm cực biên

Chú ý :

Từ các định nghĩa 2.1.1 và 2.1.2 suy ra không gian lồi đều là trường

hợp riêng của không gian lồi chặt

Để chứng minh tính phản xạ của không gian lồi đều ta cần sử dụng bổ

Định lý 2.1.1 Một không gian lồi đều là không gian phản xạ

Chứng minh Cho X là lồi đều, ta cần chứng minh BxBx** với

B là hình cầu đóng trong không gian tương ứng

Lấy x o**X** với x o** 1 ta cần chứng minh x**o Bx

o

x x  

** *

14

x x  Lấy  0 bất kì và chọn      (trong Định nghĩa 2.1.1) theo bổ đề

Vậy X là phản xạ và một trong hai tính chất quan trọng thứ hai của

không gian lồi đều đã được chứng minh

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh tính chất quan trọng thứ hai của

không gian lồi đều

Định lý 2.1.2 Cho C là một tập hợp lồi đóng trong không gian lồi đều

X Khi đó với mọi xX tồn tại duy nhất một điểm yC là điểm gần

nhất đến X trong C

Chứng minh

a Tồn tại

Đặt f z  x z z, C

Dễ dàng kiểm tra được f là phiến ham lồi trên C , hơn nữa f liên tục

có thể giả thiết C bị chặn vì nếu cần có thể thay C bằng giao của C với

mọi  0 các tập hợp mức dưới zC f z,   là lồi ( do f lồi) và

đóng

( do f liên tục) và vì vậy cũng đóng yếu Điều đó chứng tỏ f liên tục

dưới yếu (trong tôpô yếu trên C ) Do X phản xạ ( theo định lý 2.1.1) và

C lồi đóng bị chặn trên nên C compact yếu ( Định lý Kabutani) Do f

nửa liên tục dưới yếu nên f đạt cực tiểu trên C

b Duy nhất

Trước hết ta nhận xét rằng trong điều kiện (1) của định nghĩa 2.1.2, số

1 có thể thay thế bằng  0 bất kỳ, bằng cách thay hình cầu đơn vị bằng

x y  y  (6)

Do X lồi nên cũng lồi chặt (theo Định nghĩa 2.1.1) và ta có

 1  2  1 2

2 xy  xy  x 2 y  y Điều này mâu thuẫn với (6)

Chú ý

Theo dõi chứng minh trên ta thấy kết luận của định lý 2.1.2 và đúng

nếu X là lồi chặt và phản xạ

Người ta cũng chứng minh điều ngược lại

Nếu X là không gian Banach mà với mọi tập hợp lồi đóng của

nó đều tồn tại duy nhất một điểm gần nhất đến một điểm cho trước

thì X là chặt và phản xạ

2.2 ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

Nguyên lý ánh xạ co phát biểu cho các ánh xạ co, nguyên lý đấy

không được áp dụng choc ho một lớp ánh xạ rộng hơn như ta sẽ

thấy dưới đây

Định nghĩa 2.2.1 Cho X là một không gian metric, ánh xạ

:

T X X được gọi là không gian giãn (nonex pansive) nếu

 ,   , , ,

d Tx Ty d x y x yX

Định nghĩa 2.2.2 Tập D X được gọi là có tính chất điểm bất động đối

với ánh xạ không giãn nếu mọi ánh xạ không giãn từ D vào D đều có

điểm bất động trong D

Chú ý

Mọi không gian Banach không nhất thiết có tính chất điểm bất động

đối với ánh xạ không giãn (ví dụ X R, Tx x 1, là ánh xạ không

giãn nhưng X không có tính chất điểm bất động)

Mọi tập hợp lồi đóng, bị chặn trong không gian Banach không nhất

thiết có tính chất điểm bất động đối với ánh xạ không giãn

Hiển nhiên TxD hơn nữa T là ánh xạ không gian giãn vì

Hiển nhiên

*

o

x C

Vậy T không có điểm bất động trong C o

Vấn đề đặt ra là : cần đặt điều kiên gì trên không gian Banach X để

cho mọi tập hợp lồi đóng, bị chặn trong nó đều có tính chất điểm bất

động đối với ánh xạ không giãn

Hiển nhiên câu hỏi này chỉ chỉ có nghĩa khi X là không gian vô hạn

chiều, vì nếu X hữu hạn chiều thì mọi tập hớp đóng bị chặn đều

compact và mọi ánh xạ không giãn đều liên tục, nên ta có ngay câu trả lời

khẳng định, theo nguyên lý điểm bất động Browder:

Mọi tập hợp lồi, compact trong không gian * đều có tính chất

điểm bất động đối với ánh xạ liên tục

Câu trả lời tổng quát cho câu hỏi trên Browder và Gohdel độc lập

đưa ra năm 1965 Trước khi phát biểu và đưa ra định lý ta cần một định

nghĩa và một mệnh đề quan trọng sau đây

Định nghĩa 2.2.3 Cho X là không gian Banach, D X ánh xạ

: D X

  được gọi là nửa đóng trên D nếu với mọi dãy  x n  X sao

cho nếu x n x (yếu) và Sx n  y mạnh khi n  thì xD và

Sx y

Mệnh đề 2.2.1 Cho X là không gian Banach lồi đều, M X là một

tập hợp lồi đóng, bị chặn và T : M X là ánh xạ không giãn Khi đó

ánh xạ I T là nửa đóng trên X (ở đây I là ánh xạ đồng nhất trên X )

Định lý 2.2.1 (Browder Gohde) Cho X là không gian Banach lồi đều,

M là tập hợp lội đều đóng bị chặn trong X T : M M là ánh xạ

không giãn Khi đó tập hợp các điểm bất động của T , kí hiệu là Fix T  

Vì X phản xạ và M là tập lồi đóng, bị chặn nên M compact yếu vậy

có thể trích được dãy con  x n sao cho x n  x M (yếu)

 , 0

t t

Tx x    

Vì a  0 khi  0 ta được Tx t x t

Do đó x tFix T  nếu x iFix T , i0,1 (vì x tconv x x 1, 2)

Vậy Fix T là tập lồi  

Vậy T là ánh xạ Lipschitz với hệ số 1

Cuối cùng ta chứng minh T không có điểm bất động trong B

Giả sử ngược lại

Vì vậy

Nếu x*  1 x i* 0,i1, 2,  x* 0

Nếu x* 1, x i*=const 0,  i 1, 2  x* l2

Cả hai trường hợp trên đều gặp mâu thuẫn

Do đó T không có điểm bất động trong B

Từ ví dụ trên ta rút ra kết luận sau : Dù l là không gian Hilbert tức là 2

có nhiều tính chất tốt, nhưng hệ số Lipschitz bằng 1 (với  0 tùy ý)

thì hình cầu đơn vị đóng cũng không có tính chất điểm bất động đối với ánh

xạ loại này

Mặt khác nếu T K: K (với K là một tập hợp nào đó trong không

gian Banach X ) là ánh xạ không giãn thì ta luôn có

Định nghĩa 2.3.3 Ánh xạ :T K K được gọi là ánh xạ Lipschitz đều (

chính xác hơn ánh xạ k-Lipschitz) nếu tồn tại số k0 sao cho

T x T y n  n k x y , x y, K n,  * (5)

Như vậy, nếu T không giãn thì với k1 và  n *

Do đó lớp các ánh xạ k-Lipschitz đều với k 1là lớp trung gian giữa

lớp các ánh xạ không giãn và lớp các ánh xạ Lipschitz

Ta biết rằng nếu không gian Banach X có một số tính chất tốt nào đó

(chẳng hạn lồi đều) và K là tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong X ,

:

T K K là ánh xạ không giãn thì T có điểm bất động trong K

Đối với ánh xạ Lipschitz, tập hợp K như trên có thể không có tính chất

điểm bất động như ví dụ đã chỉ ra

Chương 3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN ĐẾN

TÍNH LỒI CỦA LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Các định lý điểm bất động cho các ánh xạ Lipschitz đồng đều nhưng

đều có hạn chế của không gian Banach o X 1 Điều kiện này đã được

thảo luận; đặc biệt người ta đã chỉ ra rằng điều kiện đối với không gian

Banach tương đương với điều kiện được đưoa ra bởi E.A.Lifschitz cho một

không gian metric bất kỳ Tính ổn định của điều kiện này cũng được xem

xét đối với khoảng cách Banach – Mazur và các không gian hàm Lebesgue

– Bochner

Giả sử K là tập hợp đóng không rỗng bị chặn trong không gian

Banach X Một ánh xạ T K: K được gọi là k -Lipschitz đồng đều

(k 1) nếu x y, K và mọi số tự nhiên n1,2, , ta có

,

T x T y k x y (1)

Những ánh xạ này là một lớp trung gian giữa các lớp ánh xạ không

giãn và lớp các ánh xạ Lipschitz với hằng số Lipschitz lớp hơn một Ta biết

rằng lớp ánh xạ thứ hai này có thể không có điểm bất động ngay cả đối với

không gian Hilbert và hằng số Lipschitz gần 1 bao nhiêu tùy ý Hơn nữa ta

đã nhận được các định lý điểm bất động cho các ánh xạ Lipschitz đồng đều

bởi Goebel và Kirk; Goebel, Kirk và Thele; Lifschitz…

Trong các kết quả họ nhận được, có hai kết quả mang ý nghĩa hình học

khác nhau về hình thức được đặt ra trong bài toán Trong luận văn này, mối

liên hệ giữa hai điều kiên được khám phá Ta sẽ chỉ ra rằng trong các không

gian Banach, các điều kiện này tương đương về mặt định tính, mặc dù

không tương đương về mặt định lượng

Hơn nữa, tính ổn định của các điều kiện này đã được bàn luận; đặc biệt

ta chỉ ra rằng trong các không gian Banach X vào một không gian hàm

Lebegue – Bochner L p,X tương ứng với 1  p và  là độ đo bất

kỳ

Các ánh xạ Lipschitz đồng đều được nghiên cứu bởi Goebel và Kirk,

và sau đó bởi Goebel, Kirk và Thele [9] theo một nửa nhóm tổng quát hơn

Họ đã phát hiện ra quan hệ giữa modol lồi của X và các điểm bất động của

ánh xạ Lipschitz đồng đều

3.1 TÍNH LỒI TRONG ĐỊNH LÝ GOEBEL, KIRK, THELE

Ta biết rằng X là lồi đều (tương ứng không vuông đều) nếu và chỉ

nếu o X 0 [6, p.154] (tương ứng : o X 2 [6, p.146]) Ý tưởng

chính của [8] và [9] có thể phất biểu như sau

Định lý 3.1.1 (Goebel, Kirk) Cho C là một tập hợp lồi đóng, bị chặn

trong không gian Banach X với o X 1 Khi đó mọi ánh xạ k 

Lipschitz đều từ C vào C đều có điểm bất động nếu ko với o là

nghiệm của phương trình