Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ lipschitz

Sự phát triển của lý thuyết điểm bất động đã gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà Toán học trên thế giới như: Banach, Browder, Lipschitz, Goebel, Kirk, Lim-Xu… Những kết quả kinh điển đồn

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận

tình của thầy giáo, Thạc sỹ Phùng Đức Thắng khóa luận của em đến nay đã

được hoàn thành

Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Phùng

Đức Thắng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo cho em nhiều kinh nghiệm

quý báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này Em cũng xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện tốt nhất cho em trong thời gian em làm khóa luận

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa

do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên mặc dù đã có nhiều cố gắng song bản khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và của các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2011

Sinh viên

Lê Mai Oanh

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp của em với đề tài “Điểm bất động của nửa nhóm

ánh xạ Lipschitz” hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, Thạc sỹ Phùng Đức Thắng cùng với sự cố gắng của bản thân Trong quá trình nghiên

cứu em có sử dụng tài liệu của một số tác giả trong nước cũng như nước ngoài (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2011

Sinh viên

Lê Mai Oanh

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu 4

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Không gian metric 7

1.2 Không gian định chuẩn, không gian Banach 10

1.3 Không gian Hilbert, không gian phản xạ 11

1.4 Tập hợp lồi 12

1.5 Nửa nhóm 13

1.6 Ánh xạ Lipschitz và một số khái niệm khác 14

1.7 Nguyên lý ánh xạ co Banach 15

Chương 2 Không gian lồi đều Định lý Browder-Gohde 17

2.1 Không gian lồi đều Môđun lồi 17

2.2 Cấu trúc chuẩn và cấu trúc chuẩn đều 22

2.3 Ánh xạ không giãn, ánh xạ Lipschitz đều 26

Chương 3 Mở rộng định lý Goebel-Kirk và định lý Lipschitz ra nửa nhóm 30

3.1 Định nghĩa và kí hiệu 30

3.2 Các định lí điểm bất động và cận trên 31

3.3 Mở rộng định lí Lipschitz ra nửa nhóm 48

Kết luận 52

Tài liệu tham khảo 53

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong khi giải quyết các bài toán của Toán học, khoa học kỹ thuật đã dẫn đến việc nghiên cứu bài toán sau:

Cho X là một không gian nào đó và :T X X là ánh xạ từ tập hợp

A X vào chính nó Xét phương trình phi tuyến Tx x Dưới điều kiện cụ

thể hãy khẳng định sự tồn tại nghiệm của phương trình này Điểm x A thỏa mãn phương trình Tx x được gọi là điểm bất động của ánh xạ T trên

tập hợp A Để giải quyết bài toán đó đã dẫn tới sự ra đời của một lý thuyết mới - lý thuyết điểm bất động của ánh xạ

Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực quan trọng của giải tích hàm phi tuyến Ngay từ đầu thế kỷ XX các nhà Toán học trên thế giới đã quan tâm đến vấn đề này và có thể khẳng định cho đến nay lý thuyết điểm bất động đã phát triển hết sức sâu, rộng và trở thành công cụ quan trọng để giải quyết nhiều bài toán do thực tế đặt ra Sự phát triển của lý thuyết điểm bất động đã gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà Toán học trên thế giới như: Banach, Browder, Lipschitz, Goebel, Kirk, Lim-Xu…

Những kết quả kinh điển đồng thời cũng là kết quả đầu tiên của lý thuyết điểm bất động như: nguyên lý ánh xạ co Banach, nguyên lý điểm bất động của Brouwer đã được áp dụng vào các lĩnh vực toán học hiện đại như: Phương trình vi phân, Phương trình tích phân, Giải tích hàm, Giải tích số…

Trên cơ sở các nguyên lý cơ bản trên đây, lý thuyết điểm bất động đã được phát triển theo hai hướng chính:

- Hướng thứ nhất: nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric

- Hướng thứ hai: nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ compact trong không gian vectơ Tôpô

Vào những năm 60 của thế kỷ trước, một hướng có thể được xem là hướng trung gian của hai hướng trên đã xuất hiện trong lý thuyết điểm bất động Đó là nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach Một câu hỏi đặt ra là: “Cần đặt điều kiện gì trên tập hợp A và không gian X để đảm bảo sự tồn tại điểm bất động của một ánh xạ không giãn T A: A?” Vì mọi ánh xạ co đều không giãn và mọi ánh xạ không

giãn đều liên tục nên các điều kiện này phải mạnh hơn các điều kiện trong nguyên lý ánh xạ co Banach đồng thời phải yếu hơn nguyên lý điểm bất động của Brouwer

Câu trả lời chính xác phải đợi đến năm 1965 mới được Browder và Gohde độc lập tìm ra Để giải quyết được bài toán này, hai nhà toán học trên đã phải sử dụng kĩ thuật độc đáo đưa vào những thành tựu của một hướng nghiên cứu mới có tên là “Hình học các không gian Banach” do Clarkson khởi xướng năm 1936

Tiếp tục xu hướng trên, trong một vài thập niên gần đây người ta chú

ý nhiều đến các ánh xạ Lipschitz đều Có thể kể đến một kết quả tiêu biểu mang tính chất mở đường đó là kết quả nghiên cứu của Goebel-Kirk

Chính vì những lí do trên em đã chọn đề tài “Điểm bất động của nửa

nhóm ánh xạ Lipschitz”

2 Mục đích nghiên cứu

Giúp sinh viên bước đầu làm quen với lý thuyết điểm bất động Là cơ

sở để nghiên cứu các môn chuyên ngành giải tích và vận dụng được các định

lí điểm bất động vào giải phương trình tích phân và phương trình vi phân…

3.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng: Sinh viên đại học và sinh viên sau đại học

+ Phạm vi nghiên cứu: Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ Lipschitz

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhắc lại các kiến thức cơ bản về không gian Banach, không gian Hilbert, Giúp sinh viên nắm chắc định lí điểm bất động của ánh xạ Lipschitz

Nội dung của khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1: Nhắc lại một số khái niệm cơ bản, tính chất cơ bản của một số

không gian, tập hợp là công cụ cho nội dung nghiên cứu của những chương sau như: không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, không gian phản xạ, tập hợp lồi, nửa nhóm, ánh xạ Lipschitz và nguyên lý ánh xạ co Banach

Chương 2: Trình bày một số khái niệm về cấu trúc hình học của không gian

Banach và những khái niệm về ánh xạ không giãn, Lipschitz, Lipschitz đều

Chương 3: Giới thiệu và mở rộng kết quả của Goebel-Kirk và trình bày chi

tiết định lí Goebel-Kirk và Thele cho nửa nhóm ánh xạ Ngoài ra còn đưa ra một cách chứng minh trực tiếp định lí trên cho nửa nhóm ánh xạ Lipschitz Tiếp theo giới thiệu định lí Lipschitz (1975) và một số kết quả mở rộng định lí này ra nửa nhóm của Đỗ Hồng Tân (2000)

d thỏa mãn các điều kiện của mêtric Vậy ( [ , ], )C a b d là một không gian

mêtric, gọi tắt là mêtric [ , ]C a b

Cho không gian mêtric ( , )X d Với x X r, 0 ta gọi là:

a, Hình cầu mở tâm x, bán kính r trong X , kí hiệu là B x r( , ) là tập hợp xác định như sau:

b, Hình cầu đóng tâm x, bán kính r trong X , kí hiệu là [ , ]B x r là tập hợp

được xác định như sau:

Định nghĩa 1.1.3

Giả sử A là một tập con của không gian metric X d Điểm , x của 0

X gọi là điểm trong của tập hợp họp A nếu tồn tại hình cầu mở B x r0, A

Định nghĩa 1.1.4

Tập hợp G gọi là mở nếu mỗi điểm của G đều là điểm trong của nó

Quy ước là tập hợp mở

Định nghĩa 1.1.5

Cho A là một tập con trong không gian mêtric X d Điểm x, X

được gọi là điểm dính của tập hợp A nếu mọi hình cầu mở tâm x, bán kính 0

r giao với A đều khác rỗng

Trong không gian mêtric:

a, Giao của một họ tùy ý những tập hợp đóng là một tập hợp đóng

là đường kính của tập hợp A, nó có thể là một giá trị hữu hạn hay vô hạn

Từ định nghĩa trên ta suy ra các điều kiện sau:

a, Để tập hợp A là bị chặn điều kiện cần và đủ là tồn tại một hình cầu chứa A

x hội tụ đến một điểm thuộc K

1.2 Không gian định chuẩn Không gian Banach

, là không gian Banach với chuẩn

k j j

1.3 Không gian Hilbert Không gian phản xạ

Định nghĩa 1.3.1

Ta gọi là tích vô hướng trong không gian tuyến tính trên trường K

(K = ¡ £ ) với mọi ánh xạ từ tích Descartes X X và trường K thường viết dưới dạng thỏa mãn các điều kiện:

Các phần tử x, ,y z được gọi là các nhân tử của tích vô hướng

Định nghĩa 1.3.2

Ta gọi một tập hợp H gồm các phần tử , , x y z … nào đó là không

gian Hilbert nếu:

i) H là một không gian tuyến tính trên trường K;

ii) H được trang bị một tích vô hướng x y với , x y, H ;

iii) H đủ với chuẩn x x x với , x H

Định nghĩa 1.3.3

Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ nếu phép nhúng chuẩn tắc H từ không gian X vào không gian liên hợp thứ hai X của nó là một toàn ánh **

Như vậy không gian tuyến tính định chuẩn X là một không gian phản

xạ khi và chỉ khi với một phần tử bất kỳ ** **

x X tồn tại một phần tử x X

sao cho x**( )x* x x*( ) x* X *

1.4 Tập hợp lồi

Định nghĩa 1.4.1

Giả sử X là một không gian tuyến tính, ¡ là tập các số thực Tập

A X được gọi là lồi nếu

Thật vậy, lấy x x1, 2 A Khi đó x x1, 2 A I

Với I và do A lồi nên:

Cho không gian mêtric X d , ánh xạ :, T X X được gọi là ánh xạ

k-Lipschitz ( k-Lipschitzian mapping) nếu

Định nghĩa 1.6.2

Cho không gian mêtric X d , ánh xạ :, T X X được gọi là ánh xạ

k-Lipschitz đều ( uniformly k - lipschitzian mapping) nếu

Cho X d là một không gian mêtric đầy đủ, :, T X X là một ánh xạ

co trên X Khi đó tồn tại duy nhất z X sao cho Tz z (Nghĩa là T có điểm bất động duy nhất trên X )

Suy ra x n là dãy cơ bản

Theo giả thiết X là không gian đủ, suy ra tồn tại lim x n

Vậy z z nghĩa là điểm bất động z là duy nhất

Định lí hoàn toàn được chứng minh.

Chương 2

KHÔNG GIAN LỒI ĐỀU

ĐỊNH LÍ BROWDER-GOHDE

2.1 Không gian lồi đều, mô đun lồi

Trong giáo trình giải tích hàm, ta đã biết: không gian Hilbert là trường

hợp riêng của không gian Banach với hai tính chất quan trọng:

- Mọi không gian Hilbert đều phản xạ

- Mọi tập hợp lồi đóng trong không gian Hilbert đều chứa một điểm gần nhất đối với một điểm bất kỳ của không gian

Trong số các không gian Banach, có một lớp đặc biệt chứa lớp các không gian Hilbert mà vẫn giữ được hai tính chất trên đó là không gian Banach lồi đều do Clarkson đề xướng năm 1936

phải có khoảng cách dương đến biên của hình cầu đó Khoảng

cách này chỉ phụ thuộc vào khoảng cách của x và y chứ không phụ thuộc

vào vị trí của chúng (tính đều) Tính lồi đều thường được kí hiệu là UC

(uniformly convex)

Chú ý : Điều kiện (1) có thể thay bởi x d y, d và x y

Nhận xét:

X là hàm không giảm;

Không gian X lồi đều khi và chỉ khi X 0 với mọi 0;

Trong không gian X lồi đều nếu x n , y n X thỏa mãn

Đặc trưng lồi (hay hệ số) của không gian Banach X là số 0 0( )X

định nghĩa bởi 0( )X sup 0 : X( ) 0

0 là độ dài đoạn thẳng lớn nhất nằm trên mặt cầu đơn vị

Vậy X là hàm liên tục trên [0, 2)

Tuy nhiên môđun lồi không bất biến với các chuẩn tương đương do đó đặc trưng lồi cũng không bất biến với các chuẩn tương đương Ví dụ sau cho thấy tính chất đó

víi

Bất đẳng thức trên trở thành đẳng thức nếu thay L p bởi l p

2.2 Cấu trúc chuẩn và cấu trúc chuẩn đều

Cho không gian Banach X, , D là tập con bị chặn của X ký hiệu: ,

Một tập con lồi D của không gian Banach X được gọi là có cấu trúc

chuẩn nếu mọi tập con lồi, đóng, bị chặn D 1 của D với (D1) 0 thì

Định nghĩa 2.2.2

Một tập con lồi, đóng, bị chặn khác rỗng D X được gọi là có cấu trúc chuẩn đều nếu tồn tại hằng số k (0,1) sao cho r D( 1) k (D với mọi 1)

tập con lồi, đóng D 1 của D

Một không gian Banach X được gọi là có cấu trúc chuẩn đều nếu tồn tại hằng số k 0,1 sao cho r D( ) k ( ),D với mọi tập con lồi, đóng, bị

K lồi, bị chặn của X

- ¶ ( ) 1N X nếu và chỉ nếu X có cấu trúc chuẩn đều

- Các khái niệm trên vẫn còn đúng khi X là không gian mêtric nếu ta thay d x y( , ) x y và các tập K F là một cấu trúc lồi trên X

Định lí 2.2.1

Nếu môđun lồi X của không gian Banach X thỏa mãn X(1) 0 thì

X có cấu trúc chuẩn đều và ¶ N X( ) 1 X(1)

Theo tính chất môđun lồi ta có

Thật vậy, chọn sao cho ¶ ( ) N X 1.

Với mỗi tập con C lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng và ( )C 0, ta đặt

Mọi không gian Banach X với 0( ) 1X là phản xạ

2.3 Ánh xạ không giãn, ánh xạ Lipschitz đều

Định nghĩa 2.3.1

Tập hợp D X được gọi là có tính chất điểm bất động đối với ánh xạ không giãn nếu mọi ánh xạ không giãn từ D vào D đều có điểm bất động trong D

Chú ý: Một tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong không gian Banach không nhất

thiết có tính chất điểm bất động đối với ánh xạ không giãn

Thật vậy, xét X C không giãn các dãy hội tụ về 0 với chuẩn 0

Giả sử tồn tại điểm bất động x0 D Tx: 0 x0, ở đó x0 x x10, 20,

Từ Tx0 x0 kéo theo x i0 1, i 1 (trái với x0 C ) 0

Vậy T không có điểm bất động trong D

Câu hỏi đặt ra là: Cần đặt điều kiện gì trong không gian Banach X để mọi tập lồi, đóng, bị chặn trong nó đều có tính chất điểm bất động đối với ánh

xạ không giãn ? Câu trả lời tổng quát cho câu hỏi trên được Browder và Gohde độc lập đưa ra năm 1965

Định lí 2.3.1 (Định lí Browder - Gohde)

Cho X là không gian Banach lồi đều, M là tập con lồi, đóng, bị chặn trong X và : T M M là ánh xạ không giãn Khi đó tập các điểm bất động của T, ký hiệu Fix T( ) lồi, đóng và khác rỗng

Ví dụ sau đây chứng tỏ định lí Browder-Gohde không còn đúng cho ánh xạ Lipschitz với k 1

Cho B là hình cầu đơn vị đóng trong l2, (0,1) với x x x1, 2, l2

kéo theo T B( ) B hay T B: B

Bây giờ ta sẽ chứng minh T là ánh xạ Lipschitz Thật vậy, xét:

2

2 2

Cuối cùng ta chứng minh T không có điểm bất động trong B Thật vậy, giả

sử trái lại, tồn tại x x x1, 2, B sao cho Tx x Khi đó ta có:

1, 2, , 1 , ,1 2, ,

nếu x 1 thì x i 0, i 1 (vô lý),

nếu x 1 thì x l (vô lý) 2

Như vậy, dù trong không gian Hilbert 2

l và hệ số Lipschitz bằng 1 (với 0 nhỏ tùy ý) hình cầu đơn vị đóng cũng không có tính chất điểm bất

động đối với loại ánh xạ này

Mặt khác, nếu :T K K ( K là tập con của không gian Banach X ) là

ánh xạ không giãn thì ta luôn có

Ánh xạ T K: K ( K X - không gian metric) được gọi là ánh xạ

Lipschitz đều nếu tồn tại k 0 sao cho

Rõ ràng lớp ánh xạ Lipschitz đều với k 1 là lớp trung gian giữa ánh

xạ Lipschitz và ánh xạ không giãn

Ta biết rằng, nếu X có tính chất tốt nào đó (chẳng hạn lồi đều) và K

là một tập lồi, đóng, bị chặn trong X thì K có tính chất điểm bất động đối

với ánh xạ không giãn Đối với ánh xạ Lipschitz, tập hợp K như trên có thể

không có tính chất điểm bất động, như ví dụ trên đã chỉ ra

Câu hỏi đặt ra: đối với ánh xạ Lipschitz đều với k 1, k đủ gần 1 thì

các tập lồi, đóng, bị chặn có tính chất điểm bất động hay không ?

Năm 1973 Goebel-Kirk đã chỉ ra cận trên đối với hệ số k :