Điểm bất động và ứng dụng

xMdưới các điều kiện cụ thể hãy khẳng định sự tồn tại nghiệm của phương trình đó.Điểm x  M thỏa mãn phương trình Ax = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ A trên tập M.. Điều này dẫn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

************

LÊ THỊ VÂN

ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG  

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội, 2013 

LỜI CẢM ƠN

Khóa  luận  này  được  thực  hiện  và  hoàn  thành  dưới  sự  hướng  dẫn  tận tình của TS.Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã luôn quan tâm động viên và truyền  cho  tôi  những  kinh  nghiệm  quí  báu  trong  quá  trình  hoàn  thành  khóa luận.Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy. 

Tôi xin chân thành cảm ơn BGH trường ĐHSP Hà Nội 2, khoa Toán và 

tổ giải tích cùng toán thể các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi kết thúc tốt đẹp chương trình đại học và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.  

Hà Nội, ngày 28tháng 04 năm 2013

Người thực hiện

Lê Thị Vân

LỜI CAM ĐOAN

Tôi  xin  cam  đoan  đề  tài  do  chính  tôi  nghiên  cứu  và  tìm  hiểu  dưới  sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng. Đề tài được tôi nghiên cứu và hoàn thành  trên  cơ  sở  kế  thừa  và  phát  huy  những  công  trình  nghiên  cứu  có  liên quan. Kết quả đề tài không trùng lặp với đề tài nào khác. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. 

Người thực hiện

Lê Thị Vân

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU   

1. Lý do chọn đề tài   1 

2. Mục đích nghiên cứu   2 

3. Nhiệm vụ nghiên cứu   2 

4. Cấu trúc khóa luận   2 

PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH   

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ   

1.1. Không gian metric, không gian metric đầy đủ   4 

1.2. Tô pô trong không gian metric   6 

1.3. Ánh xạ liên tục   7 

1.4 .Tập hợp compact và bị chặn   7 

1.5. Không gian vectơ   8 

1.6. Không gian định chuẩn không gian Banch   10 

1.7. Tính lồi   12 

1.8. Không gian định chuẩn hữu hạn chiều   15 

1.9. Phương trình vi phân thường   16 

CHƯƠNG 2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG    

2.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach   19 

2.2. Định lý điểm bất động Brouwer   22 

2.3. Định lý điểm bất động Schauder   29 

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG   

3.1. Áp dụng vào phương trình vi phân thường   31 

3.2. Áp dụng vào phương trình tích phân   37 

3.3. Áp dụng vào đại số giải tích   42 

KẾT LUẬN   47 

TÀI LIỆU THAM KHẢO   48 

xMdưới  các  điều  kiện  cụ  thể  hãy  khẳng  định  sự  tồn  tại  nghiệm  của  phương trình đó.Điểm x  M thỏa mãn phương trình Ax = x được gọi là  điểm bất động của ánh xạ A trên tập M. 

Việc nghiên cứu vấn đề trên góp phần đắc lực cho việc giải quyết hàng loạt các bài toán trong toán học nói riêng và trong khoa học kĩ thuật nói chung. Điều này dẫn tới một hướng nghiên cứu mới trong toán học 

và đã hình thành nên lý thuyết điểm bất động. 

Lý thuyết điểm bất động là  một trong những lĩnh vực quan trọng của  giải  tích  hàm  phi  tuyến.  Ngay  đầu  thế  kỉ  20,  các  nhà  toán  học  đã quan tâm đến vấn đề này và cho tới nay có thể khẳng định lý thuyết điểm bất  động  đã  phát  triển  hết  sức  sâu  rộng,  trở  thành  công  cụ  không  thể thiếu để giải quyết những bài toán khác nhau do thực tế đặt ra. 

Sự phát triển  của lĩnh vực  này gắn liền với tên tuổi các nhà toán học  lớn trên thế giới  như: Banach, Brouwer,  Schauder   nhưng  kết quả kinh  điển  của  lý  thuyết  điểm  bất  động  đồng  thời  cũng  là  những  công trình  khởi  đầu  cho  lĩnh  vực  này  đó  là  nguyên  lý  ánh  xạ  co  Banach, nguyên lý  điểm bất động  Brouwer được áp dụng  ở  những lĩnh vực của toán học hiện đại như: phương trình vi phân, phương trình tích phân, lý thuyết điều khiển, lý thuyết tối ưu hóa… 

Trên  cơ  sở  các  nguyên  lý  cơ  bản  trên  điểm  bất  động  được  phát triển theo hai hướng chính: 

Hướng thứ nhất là nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ liên tục, mở đầu là nguyên lý điểm bất động Brouwer. 

Hướng thứ hai là nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ dạng  

co, mở đầu là nguyên lý ánh xạ co Banach. 

Vào  những  năm  60  của  thế  kỉ  20  một  hướng  mới  có  thể  xem  là trung gian của hai hướng trên đó là việc nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach. 

Tất cả kết quả của những nghiên cứu trên đã mang lại nhưng ứng dụng rất hiệu quả cho ngành toán học hiện đại. 

Vì các lý do đó mà em đã lựa chọn đề tài:“Điểm bất động và ứng dụng”. 

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và thực hiện khóa luận tốt nghiệp. 

Nghiên  cứu  một  số  vấn  đề  cơ  bản  về  điểm  bất  động  và  việc  áp dụng nó vào ngành toán học hiện đại. 

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên  cứu  một  số  định  lý  điểm  bất  động  trong  không  gian Banach, không gian định chuẩn hữu hạn chiều. 

Nghiên cứu việc áp dụng các định lý điểm bất động trong việc giải bài tập về phương trình vi phân thường, phương trình tích phân và đại số giải tích. 

4 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài  phần  mở  đầu  và  phần  kết  luận,  nội  dung  chính  của  khóa luận gồm 3 chương. 

PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian metric, không gian metric đầy đủ

 Ta có mỗi cặp ( , )x y  XX  có duy nhấtd(x, y)

1.2 Tô pô trong không gian metric

Định lý 1.2.2: Cho không gian metric (X,d), F  X. Khi đó

F là tập đóng   x n  F và x n  x thì x  F  Định lý 1.2.3: Cho (X,d) là không gian metric thì: 

A bị chặn  B(a,R): A  B(a,R). 

Tập hoàn toàn bị chặn: A được  gọi là tập  hoàn  toàn  bị  chặn nếu 

j

0, x X ( j 1, n)

1( , )

n j j

1.5 Không gian vectơ (không gian tuyến tính)

Định nghĩa 1.5.1:

Giả sử X là một tập hợp, K là một trường (K =  ) trên có hai phép toán “+” và “.”  thỏa mãn 8 tiên đề sau: 

1)x y X x,  :  y yx 

2)x y z, , X : (x y)  z x (yz) 

4)xC a b ,  x C a b :x ( x) x t( ) ( x t( )) xx 

[ , ]5) x C a b, ,  : ( x) ( x t( ))() ( )x t ()x 

  (  0) ( n0 ) :( n n0) ( p 1, 2, )

         thì  x n p x n   

Định nghĩa 1.6.4:

Không gian Banach:

Không gian  định  chuẩn  X  là  không  gian  Banach nếu  mọi  dãy  cơ  bản trong X đều hội tụ. 

Mệnh đề 1.7.1.1:

Giả sử A X ( I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ. Khi đó

Nhận xét 1.7.2.1: 

a) CoA là một tập lồi và là tập lồi nhỏ nhất chứa A. 

b) A lồi CoA = A. 

Định nghĩa 1.7.2.2:

Giả sử tập A X, giao của tất cả các tập lồi, đóng chứa A được gọi là bao  lồi đóng của tập A và kí hiệu là  CoA. 

Toán tử compact: Cho X, Y là các không gian định chuẩn 

Toán  tử  tuyến  tính  A: X  Y được gọi  là toán tử  compact nếu A  biến tập bị chặn bất kỳ trong X thành tập compact tương đối trong Y. 

n

u M

1Sup Au A u

n



  vàdim(Span A M n( ))  Cũng như 

gọi là các phần tử của u 

Mệnh đề 1.8.1:

Cho (u n ) là một dãy trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều X dimX > 0, khi đó u n u trong X khi n , nếu và chỉ nếu dãy các thành 

phần tương ứng (với một cơ sơ cố định) hội tụ đến các tọa độ tương ứng 

của u trong X 

Hệ quả 1.8.1: Mỗi không gian định chuẩn hữu hạn chiều là một không gian Banach 

Hệ quả 1.8.2: Cho M là một tập con của không gian định chuẩn hữu hạn  chiều X, khi đó: 

1.9 Phương trình vi phân thường

1.9.1 Một số khái niệm:

Phương trình vi phân thường bậc n là một hệ thức có dạng: 

  F(x,y,y’,y”,…,y (n) ) =0   ; (1.4) 

Trong đó: x là biến độc lập, y là hàm số cần tìm,y’,y”,…,y (n) là các 

đạo hàm của hàm số y (y là hàm số của x). 

Cấp  của  phương  trình  là  đạo  hàm  cấp  cao  nhất  có  mặt  trong phương trình 

Hàm  số  y=(x)được  gọi  là  nghiệm  của  phương  trình  (1.4)  nếu  thayy = (x),y’=’(x),…, y (n) =(n) (x)  vào  (1.4)  thì  (1.4)  trở  thành  đồng 

nhất thức. 

Hàm số y = (x,c) thỏa mãn (1.4) khi (x,y) chạy khắp D, với mọi 

1.9.2 Một số phương trình vi phân đã biết cách giải:

a) Phương trình vi phân có biến số phân li:

Dạng tổng quát:  P(x,y) dx + Q(x,y) dy =0 (1.5)

trong đó : P(x,y) , Q(x,y)  là các hàm số liên tục cùng với các đạo  hàm riêng trên miền đơn liên D và thỏa mãn :  Q’ x (x,y) =P’ y (x,y)  trên D.  Nếu D= 2, giả sử (x 0 ,y 0 )D thì tích phân tổng quát của (1.5) là: 

dy ax by c f

Một ánh xạ co f: X  X từ không gian metric đủ (X,d X ) vào chính

nó thì có duy nhất một điểm bất động nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm

Giải:  Ta  có  [1,)là  tập  con  đóng  của    với  metric ( , )

10

Khi đó các kết quả sau là đúng:

i) Tồn tại và duy nhất nghiệm x của phương trình x = Ax (**) ii) Với mỗi x 0 M dãy {x n } tạo bởi x n+1 = Ax n , (n = 0, 1, 2…) hội

tụ đến nghiệm duy nhất x của phương trình (**)

Định nghĩa 2.1.1:

Cho X là một không gian tuyến tính, tập hợp S trong X được gọi là  n-đơn hình nếu S = Co{u 0 , u 1 , ,u n } với u 0 , u 1 , ,u n X và các vectơ  

u 1 -u 0 , u 2 -u 0 , ,u n -u 0   độc  lập  tuyến  tính.  Các  điểm  u i  được  gọi  là 

đỉnh, bao lồi của k+1 đỉnh được gọi là k-diện của S. 

Phép tam giác phân một đơn hình S là một phép phân chia S thành  các n-đơn hình con nếu giao nếu giao nhau phải là một diện chung của 

hai đơn hình đó. 

Đối  với  một  tam  giác  phân  của  S,  Sperner  (1928)  đã  đưa  ra  một  phép gán cho mỗi đỉnh của các đơn hình con một trong các số 0, 1, , n  theo qui tắc sau đây: Nếu Co{u 0 , u 1 , ,u n } là diện nhỏ nhất của S chứa v  thì v được gán cho một trong các số i 0 , i 1 , , i k. 

Như  vậy,  đỉnh  u i   phải  được  gán  số  i.  Ta  gọi  đó  là  phép  gán  số 

Gọi k là số đỉnh (của các đơn hình con) nhận giá trị0 (nếu là đỉnh  chung được tính hai lần). Ta có k là số lẻ vì chỉ có một đỉnh nhận số 0 ở 

n j j

Cho  một  đơn  hình  S = Co{u 0 , ,u n}.Khi đó,  mỗi  điểm  xS  được 

biểu  diễn duy  nhất  dưới  dạng 

0

n

i i i

Lấy  một  đỉnh  v  bất  kỳ  của  S j   (của  đơn  hình  con)  j=1,2, ,J,  với  vCo

Từ (2.2.2) suy ra có một tập C k  sao cho vC k  Ta sẽ gán cho v số k 

đó và kí hiệu là v k  Vậy với mỗi h{0,1, ,n} ta đều có v h C h. Đặc biệt 

các đỉnh v i của S phải thuộc C i  ( i=0,1, ,n ). Cách gán số này cũng thỏa 

mãn điều kiện của Sperner. Vì vậy theo bổ đề 2 Sperner phải có ít nhất 

một đơn hình con tốt ( được gán các số từ 0 đến n), tức có một đơn hình  con S j  mà đỉnh mang các số 0,1, ,n. Vì vậy các đỉnh v 0 , ,v n của S j thỏa 

Định lý điểm bất động Brouwer

Cho M là một tập khác rỗng, lồi, compact trong không gian định chuẩn hữu hạn chiềuX trên trường K Khi đó, toán tử liên tục A:M M

có một điểm bất động

Chứng minh

Bước 1: Các đơn hình 

Cho S là một đơn hình n chiều trong không gian định chuẩn hữu  hạn chiều và cho toán tử A: S S liên tục trong đó n=0,1,  ta cần chứng  minh rằng A có 1 điểm bất động 

Đặt C j uS:j(Au)j( )u  j1, 2 

Vì đặtj(.)và A liên tục trên S nên tập C j đóng (j=1, 2) 

Hơn nữa điều kiện quan trọng (2.2.2) trong bổ đề KKM thỏa mãn nghĩa là: 



nghĩa là i m(Au)i u m( ), m=0, ,k và k=0,1,2  (2.2.5) Điều này mâu thuẫn với (2.2.5). Thật vậy, nếu đổi số các đỉnh thì điều kiện (2.2.5) có nghĩa là: 

Nếu k=1 hoặc k=0 thì uCo{u 0 ,u 1 }hoặc u{u 0} và do vậy 

α 2 (u) = 0 hoặc α 1 (u) = α 2 (u) = 0

Vậy định lý điểm bất động Brouwer được chứng minh. 

Hệ quả 2.2:

Toán tử B: K K có một điểm bất động nếu K là tập con của một không gian định chuẩn sao cho nó đồng phôi với tập M như đã xét trong định lý điểm bất động Brouwer

Chứng minh

Cho C: MK là một phép đồng phôi. Khi đó toán tử 

C -1 B.C: M→ → ⎯  liên tục. 

Theo định lý điểm bất động Brouwer, có một điểm bất động u của  A=C -1 B.C nghĩa là: C -1 (B(Cu))=u; uM 

khác rỗng, đóng, lồi, bị chặn. 

Định lý điểm bất động Schauder

Toán tử compact A: MM có một điểm bất động u nếu tập M là tập con khác rỗng, đóng, lồi , bị chặn trong không gian Banach X trên trường K

Chứng minh

Cho u 0M; thay thế u bởi u-u 0 , nếu cần có thể giả sử 0M 

Theo định lý xấp xỉ đối với toán tử compact ta có, với mỗi n=1,2,  

có một không gian con hữu hạn chiều X n  của X và một toán tử A n : MX n sao cho: 

1( ) n( )  ; 

Theo  định  lý  điểm  bất  động  Brounwer,  toán  tử  A n : M n M n  có 

một điểm bất động u n , nghĩa là A n u n = u n , u n M n ; n=1,2    (2.2.9) 

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

3.1 Áp dụng vào phương trình vi phân thường

Với  mỗi số nguyên  dương n tồn tại một hằng số  L=L(n) > 0 sao  chot [-n,n] ta đều có: 

Dễ dàng kiểm tra dn là một metric trong Cn. Hơn nữa nếu 

Theo  nguyên  lý  ánh  xạ  co  Banach  có  duy  nhất  một  hàm  x n  = 

x x

n n

Với uM, hàm số u: [x 0 -h,x 0 +h]ℝ tại  

(x,u(x)) S, x[x 0 -h,x 0 +h] 

Suy ra hàm số F: xF(x,u(x)) cũng liên tục trên [x 0 -h,x 0 +h]và hàm  sốAu: [x 0 -h,x 0 +h]ℝ liên tục 

x

y u S x

Bước 2: Sự tương đương. Gọi u là một nghiệm của phương trình (3.4) 

Ngược lại, gọi u là một nghiệm của (3.3) – (3.3’).Tích phân (3.3)  cho  thấy  hàm  số  u  cũng  là  nghiệm  của  phương  trình  tích  phân 

1

2 2

x

u e  x  x  3.2 Áp dụng vào phương trình tích phân

(1 )(1 )

n n

Định nghĩa toán tử: 

b a

Đặt  M  X C a b[ , ].Khi  đó,  định  lý  điểm  bất  động  được  thỏa mãn.Vậy bài toán được chứng minh. 

Bài  toán  ban  đầu  (3.7)  được  gọi  là  phương  trình  tích  phân  tuyến tính. 

3.2.2 Bài toán 4:

Ta cần giải phương trình tích phân: 

b a

Au x  F x y u y dy axb  Khi đó phương trình tích phân tương ứng với bài toán về điểm bất động. 

Au  f x y u y dy  M r A M M

 

3.3 Áp dụng vào đại số giải tích

1 2 2

KẾT LUẬN

Trên đây là toàn bộ nội dung khóa luận: “Điểm bất động và ứng dụng”.Nội dung chính của khóa luận được đề cập đến là: 

-Nêu lên các khái niệm; định lý quan trọng của không gian metric, không gian  Bamach,  không  gian định  chuẩn hữu hạn  chiều, hệ phương trình vi phân. 

-Nêu nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Brouwer, định  lý  điểm  bất  động  Schauder;  chứng  minh  định  lý  và  các  ví  dụ  áp dụng. 

-Nêu lên một số ứng dụng của định lý điểm bất động. Tuy nhiên do thời  gian  và  kiến  thức  có  hạn  nên  khóa  luân  không  tránh  khỏi  những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn sinh viên. 

Hà Nội, ngày 28 tháng 04 năm 2013

Người thực hiện

Lê Thị Vân   

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.   Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội. 

2.   Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung (1979), Bài tập phương trình vi phân, Nxb Đại học và Trung học chuyên nghiệp.