TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2LƯƠNG THỊ THU ĐIẺM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ ĐEU TRONG KHÔNG GIAN METRIC CATO VÀ KHÔNG GIAN METRIC SIÊU Lồi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2014...
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
LƯƠNG THỊ THU
ĐIẺM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ ĐEU
TRONG KHÔNG GIAN METRIC CAT(O) VÀ KHÔNG GIAN METRIC SIÊU Lồi
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2014
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
LƯƠNG THỊ THU
ĐIẺM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ ĐEU TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CAT(O) VÀ KHÔNG GIAN MÊTRIC
SIÊU Lồi
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
TS NGUYỄN VĂN KHIÊM HÀ NỘI, 2014
Trang 3Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Khiêm, người đã địnhhướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạycao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôitrong suốt quá trình học tập
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luônđộng viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoànthành luận văn
giả
Lương Thị Thu
Trang 4Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khiêm, luận văn Thạc sĩchuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều trongkhông gian mêtric CAT(O) và không gian mêtric siêu lồi” được hoàn thành bởi nhậnthức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn
Tác giả
Lương Thị Thu
Trang 5Chương 2.
4
Lời nói đầu
Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(O) và
Một số khái niệm về hình học của không gian Banach
Môđun lồi và đặc trưng lồi của không gian Banach
Cấu trúc chuẩn tắc và cấu trúc chuẩn tắc đều Đặc trưng Lifschitz và hệ số Lifschitz
Kiến thức chuẩn bị
✓ v Anh xạ Lipschitzđều
✓ v v Anh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồiÁnh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(O)
Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồi Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(O)
không gian mêtric siêu lồi
Tính chất hình học của không gian CAT(O) Không gian mêtric trắc địa
Không gian mêtric siêu lồi Không gian CAT(O)
Kết luậnTài liệu tham khảo
Trang 61 Lí do chọn đề tài
Các định lý điểm bất động là một trong những công cụ nghiên cứu sự tồntại nghiệm của nhiều bài toán trong phương trình vi phân, phương trình tíchphân, phương trình đạo hàm riêng, sự tồn tại điểm cân bằng và tồn tại nghiệmcủa bài toán tối ưu trong lý thuyết tối ưu
Lý thuyết điểm bất động đã ra đời cách đây khoảng một thế kỷ Sự ra đờicủa Nguyên lý điểm bất động Brouwer năm 1912 và Nguyên lý ánh xạ coBanach năm 1922 đã hình thành hai hướng chính của lý thuyết điểm bất độnglà: sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục và sự tồn tại điểm bất động chocác ánh xạ dạng co
Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) là kết quả khởi đầu cho lý thuyết điểmbất động dạng co Hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ vào những năm
60 của thế kỷ 20 và đã thu được những kết quả quan trọng cho lớp ánh xạkhông giãn
Các kết quả về tồn tại điểm bất động cho lớp ánh xạ Lipschitz đều trongkhông gian Banach đã được xây dựng khá hoàn chỉnh vào những năm 70 và 80của thế kỷ 20 Trong những năm gần đây người ta tìm cách mở rộng các kếtquả về tồn tại điểm bất động cho ánh xạ Lipschitz đều trong không gianBanach sang lớp không gian metric với cấu trúc lồi sinh bởi các hình cầu đóng,hoặc không gian metric với cấu trúc lồi trắc địa (xem [4], [7], [8])
Bởi tầm quan trọng của các định lý điểm bất động, cùng với mong muốntìm hiểu về một số kết quả gần đây về điểm bất động cho lớp ánh xạ Lipschitzđều chúng tôi đã chọn đề tài "Điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều trongkhông gian mêtric CAT(O) và không gian mêtric siêu lồi"
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận
Trang 7văn gồm hai chương.
Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm về hình học của khônggian Banach, về ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều và một số kết quảchính về điểm bất động của lớp ánh xạ Lipschitz đều trong không gianBanach
Chương 2 của luận văn gồm hai phần Phần thứ nhất của chương 2 trìnhbày về lớp không gian CAT(O) cùng với những tính chất hình học của nó.Phần thứ của chương 2 trình bày về không gian mêtric siêu lồi và chứng minhĐịnh lý Casini-Maluta về điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều trong khônggian mêtric siêu lồi
2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn trình bày một cách có hệ thống về lý thuyết điểm bất động củaánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric CAT(O) và không gian mêtricsiêu lồi
3 Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đíchnghiên cứu
Áp dụng một số phương pháp Giải tích, Giải tích hàm, Giải tích lồi, lý thuyết
tô pô
4 Đóng góp của đề tài
Trình bày một số kết quả về điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều
trong không gian metric CAT(0)và không gian metric siêu lồi
Trang 8x +
y < 1.
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số khái niệm về hình học của không gian Banach
1.1.1 Môđun lồi và đặc trưng lồi của không gian Banach
Cho X là một không gian Banach với chuẩn II • II.
chặt nếu
MI — 1 {V x,y e X) \\y\\ < 1
đều nếu với mọi số £ G (0, 2] đều tồn tại một số ỗ = ỗ(e) > 0 sao cho
Thật vậy, giả sử ||x|| < 1, \\y\\ < 1 và ||x — y\\ > £ Từ đẳng thức hình
Trang 9niệm môđun lồi
của không gian
Trang 11không gian Hilbert
Trang 22xác định bởi:
K 0 {X) = inf {/í(C) : c ỉà tập hợp con lồi, đóng, bị chặn không rỗng của Nhận xét Nếu X là không gian Hilbert thì K ữ (X ) = y/2 (xem [5]).
1.2 Ánh xạ không giãn
xạ không giãn nếu
d ( T x , T y ) < d ( x , y ) Va;,y G c
Lớp ánh xạ không giãn là sự mở rộng tự nhiên của lớp ánh xạ co Tuy nhiênkhác với ánh xạ co, ánh xạ không giãn có thể không có điểm bất động, hoặc điểmbất động có thể không duy nhất
chuẩn sup và B ỉà hình cầu đơn vị đóng trong c 0 Với mỗi X = (xi,x 2 , ) € B ta đặt Tx = (1, Xị, x2 , .)• Khi đó T : B —> B là ánh xạ không giãn nhưng không có điểm bất động.
Thật vậy, giả sử tồn tại X * = ( X Ị , X % , £3, ) € B sao cho X * = T X * Khi đó
( X Ị , X2,Xg, ) = (1, X \ , X*2, ) nên X * = 1 với mọi i Do đó X * không thuộc c0
Vậy T không có điểm bất động.
Để đảm bảo cho lớp ánh xạ không giãn có điểm bất động ta cần thêm nhữngđiều kiện chặt chẽ hơn về cấu trúc hình học của không gian Năm 1965, ba nhàtoán học F Browder, D Gohde, w A Kirk đã tìm ra điều
Trang 23kiện đảm bảo cho sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ không giãn Các điều kiệnbao gồm: tính compact yếu, tính lồi và cấu trúc chuẩn tắc.
yếu, có cấu trúc chuẩn tắc của không gian Danach X Khi đó mọi ánh xạ không giãn từ c vào c đều có điểm bấ t động.
1.3 Ánh xạ Lipschitz đều
Sau khi thu được kết quả về tồn tại điểm bất động cho lớp ánh xạ không giãn, mộtcách rất tự nhiên người ta nghiên cứu bài toán đó cho lớp ánh xạ Lipschitz với hằng sốLipschitz lớn hơn 1 Tuy nhiên, s Kakutani đã xây dựng được một phản ví dụ về mộtánh xạ (1 + e) - Lipschitz từ hình cầu đóng đơn vị của không gian Hilbert vào chính
nó mà không có điểm bất động
gian Hilbert £ 2 Với mỗi £ e (0,1), xét ánh xạ T : B —> B xác định bởi
Trang 24Với X = (x 1:x2,x3, ) G B, y = (ỉ/i,ỉ/2,ỉ/3, •••) e B ta có:
\\Tx-Ty\\ 2 = 6*{\\x\\-\\y\\) 2 + \\x-y\\ 2
< £ 2 \\x - y\\ 2 + \\x - y\\ 2 = ự + 1) \\x-y\\
2 <(e+ir \\x-y\\ 2 Vậy T là ánh xạ (1 + e)" Lipschitz.
Cuối cùng ta kiểm tra rằng T không có điểm bất động trong B.
Giả sử tồn tại X* = (xl,x 2, £3, ) G B mà Tx* = a;* Khi đó ta có
(e(l - 11^*11);x*i,x*2ĩ •••) =
(a;ĩ,a;2,X3, )-Từ đây suy ra X* = e(l — \\x*\\) với mọi ỉ = 1,2, 3,
- Nếu ||a;*|| < 1 thì X* = const Ỷ 0 với mọi ỉ = 1,2,3, Điều này kéo theo X* Ệ
(hay k - Lipschitz đều) nếu tồn tại một số k > 1 sao cho
Nhận xét Ánh xạ T là ánh xạ fc-Lipschitz đều nếu và chỉ nếu tất cả các ánh xạ T n (n
= 0,1, 2, ) đều là ánh xạ Lipschitz với cùng một hằng số Lipschitz k.
Trang 25Rõ ràng mọi ánh xạ không giãn từ c vào c cũng là ánh xạ Lipschitz đều với k = 1.
K.Goebel và w A Kirk là những người đầu tiên chứng minh được sự tồn tại điểmbất động cho các ánh xạ Lipschitz đều
Định lí 1.3.3 (Goebel - Kirk [6]) Cho c là một tập con lồi, đóng, bị
Giả sử T : c —> c là một ánh xạ k-Lipschitz đều với k £ (l,7o), trong
đó 7o là nghiệm duy nhất của phương trình 7(1 — ỗx {—)) = 1 Khi đó T
7
cớ điểm bất động trong c.
Năm 1975, E A Lifschitz đã đưa ra một cách tiếp cận mới dựa trên đặc trưngLifschitz của không gian metric để chứng minh sự tồn tại điểm bất động của ánh xạLipschitz đều trong không gian metric Kết quả của Lifschitz khi quy về trường hợpkhông gian Hilbert mạnh hơn hẳn kết quả trên đây của Goebel và Kirk
chặn và có đặc trưng Lifschitz k(X) > 1 Khi đó, nếu T : X —> X là ánh
xạ k-Lipschitz đều với k < k(X) thì T có điểm bấ t động trong X.
Áp dụng kết quả của Lifschitz cho không gian Banach ta thu được hệ quả sau
Banach X với hệ số Lifschitz Kữ (X ) > 1 Giả sử T : c —> c là một ánh xạ k-Lipschitz đều với к < K 0 (x) Khi đó T có điểm bất động trong
c
л/5
Trong trường hợp không gian Hilbert H ta biết rằng 7o(#) = —— < V2 — K 0 (H)
nên kết quả của Lifschitz là tốt hơn thực sự kết quả của Goebel - Kirk ở trên
Trang 26Năm 1985, E Casini và E Maluta cũng thu được một kết quả quan trọng nữa vềtồn tại điểm bất động của lớp ánh xạ Lipschitz đều trong không gian Banach có cấutrúc chuẩn tắc đều.
trúc chuẩn tắc đều N(X) < 1 và с là một tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong
X Khi đó, nếu T : с —> с là một ánh xạ k-Lipschitz đều với к < -y//V(X) -1
thì T có điểm bất động trong с.
Chương 2 Ánh xạ Lỉpschitz đều trong không gian CAT(O)
và không gian mêtric siêu lồi
2.1.1 Không gian mêtric trắc địa
Cho (X,d) là một không gian mêtric và x,y là hai điểm thuộc X, d(x , y ) = l Một cung trắc địa nối hai điểm X, y trong X là một ánh xạ c : [0, 1] —> X sao cho
c(0) = X , c ( l) = y và d { c ( t), c ự ) ) = 11 — t'I v t , t r e [0,/]
Khi đó ảnh của đoạn [0,/] qua ánh xạ c là tập c([0,Z]), được gọi là một đoạn thẳngtrắc địa nối X và Y Nếu đoạn thẳng trắc địa đó là duy nhất thì nó được kí hiệu là
[x,y].
địa nếu hai điểm bất kỳ thuộc X đều được nối với nhau bằng một đoạn
t h ẳ n g trắc địa trong X.
Không gian mêtric ( X , d ) được gọi là một không gian trắc địa duy nhất
Trang 27nếu hai điểm bất kỳ thuộc X đều có duy nhất một đoạn thẳng trắc địa trong X nối chúng.
Nhận xét Nếu (x,d) là một không gian mêtric trắc địa duy nhất và X, y là hai điểm thuộc X thì với bất kì số thực t e [0,1], tồn tại duy nhất
điểm Z Ị G [ X , Y ]sao cho D ( Z T , X) = (1 — T ) D ( X , Y) và D ( Z T , Y)=
T D ( X , Y ) Ta
kí hiệu điểm như trên là điểm tx © (1 — t)y.
c của X được gọi là một tập lồi trắc địa nếu với hai điểm bất k ì x , y G c
t h ì đ o ạ n t h ẳ n g t r ắ c đ ị a n ố i X v ớ i y c ũ n g c h ứ a
t r o n g c
Bao lồi trắc địa của một tập con Ả c X, kíhiệu là conv(A) ; là giao
của tất cả các tập lồi trắc địa trong X chứa A.
2.1.2 Không gian CAT(O)
Cho (X , d ) là một không gian mêtric trắc địa Một tam giác trắc địa trong X là tam giác có ba đỉnh XI,X 2 ,X 3 € X và ba cạnh là ba đoạn thẳng trắc địa nối các đỉnh của
tam giác Kí hiệu tam giác trắc địa này là A ( X U X 2 , X 3 )
Với mỗi tam giác trắc địa A(xi,x 2 , x 3 ) trong X luôn tồn tại một tam giác A(xi,x 2,x 3) trong mặt phẳng Euclid M2 sao cho:
d R 2 ( x i , x j ) = d ( x i : x j ) Vi, j G {1,2,3}.
ở đây ta kí hiệu d R2( x i , X j ) là khoảng cách Euclid giữa hai điểm X i và Xj trong
M2 Tam giác A(ãf 1, ãf2, ĨẼ3) gọi là tam giác so sánh của tam giác A(x 1 ,x 2 ,x 3 ).
Với mỗi điểm X € A ( x i , x 2 , x 3 ) , nếu X thuộc cạnh [ x ị , x j ] thì tồn tại (duy
Trang 28nhất) điểm X thuộc cạnh [xị,xj] của tam giác A(xi,ÌẼ2) 2Í3) sao cho
d ( x , X i ) = d R 2 ( x , X i ) và d ( x , x j ) = d R 2 ( x , X j )
Điểm X được gọi là điểm so sánh của X .
bất đẳng thức sau:
V ớ i m ọ i u , V €E A ( x i , x 2 , x 3 ) t a c ó d ( u , v ) < d R 2( ũ , v ) , t r o n g đ ó ũ
A(x u x 2ì x 3 ).
Các không gian CAT(O) được đặc trưng bởi bất đẳng thức trung tuyến như sau
CAT(O) khi và chỉ khi ( X , d ) là không gian mêtric trắc địa duy nhất và thỏa mãn bất đẳng thức trung tuyến sau đây:
d 2 (x,ịy x © ịy 2 ^ ^ ìư 2 (z,yi) + ịd 2 {x,y 2 ) - ịd 2 (y u y 2 )
với mọi x,yi,y 2 ẽ X và -yi ® -y2 là trung điểm của đoạn thẳng trắc địa
[2/1,2/2]
-Nhờ bất đẳng thức trung tuyến, các không gian CAT(O) có nhiều tính chất hìnhhọc khá gần với không gian Hilbert như các tính chất lồi đều, phản xạ, cấu trúc chuẩntắc,
2.1.3 Tính chất hình học của không gian CAT(O)
trắc địa.
Trang 29Chứng minh Giả sử (X , d ) là một không gian CAT(O) và B(c , r) là hình cầu đóng tâm c bán kính r trong X Với x,y € B(c,r), áp dụng bất
đẳng thức trung tuyến ta có d 2 (c, ịx 0 ịy) < ịd 2 (c, X) + ịd 2 {c, y) - ịd 2 {x, y) <
ịr 2 + ịr 2 = r 2
Từ đây suy ra -X® -y £ B(c, r ) Vậy B(c, r ) là một tập lồitrắcđịa □
gian lồi đều nếu với mọi r > 0 và mọi £ > 0 ta có
õx (r, e) := inf 11 - -d (a , ịx © ịy) :
x,y,a £ X, d(x,a ) < r, d(y,a ) < r,d(x,y ) > re| > 0.
Chứng minh Giả sử (X, d) là một không gian CAT(O) Với r > 0 và £ >
Từ bất đẳng thức trung tuyến ta suy ra
Trang 30một dẫy giảm các tập con lồi trắc địa, đóng và khác rỗng trong
Trang 31X Giả sử X là điểm thuộc X sao cho lim d(x : C n ) := d € (0, +00) Khi
đó, nếu dãy {x n} với xn e C n (Vn > 1) thỏa mẫn lim d(x,x n ) = d thì
dãy {x n} hội tụ.
Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh dãy {xn} là dãy Cauchy Giả sử phản
chứng rằng dãy {x n } không là dãy Cauchy Khi đó tồn tại một số £ 0 > 0 vàhai dãy con {x m k } và dãy {x n k \ của dãy {xn} sao cho d(x m k ,x nk ) > £0 VẢ:
> 1 Khi đó từ bất đẳng thức trung tuyến của không gian CAT(O) ta có
là một tập con lồi trắc địa, đóng và khác rỗng của X Khỉ đó, với mỗi X € X t ồ n t ạ i d u y n h ấ t m ộ t đ i ể m x 0 G c s a o c h o d ( x , x ữ ) =
d ( x , c ) := inf {d(x,y) : y <E Ơ}.
Vậy dãy {a^n} phải là dãy Cauchy Do (X, d) là không gian đầy đủ nên
Trang 32Chứng minh Nếu d(x , C) = 0 thì do с đóng ta có X € c Chọn x ữ = X ta có d(x, x 0) = 0 = d(x, C).
Xét trường hợp d ( x , C ) = d > 0 Theo định nghĩa d ( x , с ) := inf{ii(æ, y ) :
Giả sử I/o € С cũng thỏa mãn d(æ, Уо) — C)- Do с lồi nên — жо0-уо ẽ
ơ Từ bất đẳng thức trung tuyến ta có:
d 2 < d 2 ( x , ^ x Q @ ^ y Q ) < ^ d 2 ( x , x Q ) + ^ d 2 ( x , y Q ) - ^ d 2 ( x 0 , y 0 ) = d 2
-^ d 2 ( x Q , y Q ) Vậy d ( x 0 , У о ) = 0, hay y Q = X Q □
Mệnh đề 2.1.10 (Tính phản xạ) Giả sử (X,d) ỉà một không gian
Xét trường hợp d > 0 Do mỗi tập C n là tập lồi, đóng, khác rỗng, theo Mệnh
đề 2.1.9 ta chọn được x n G C n sao cho d(x,x n ) = d(x, C n ) —> d.
Áp dụng Mệnh đề 2.1.8 ta nhận dãy {x n } hội tụ tới x ữ nào đó Với mỗi m cố
định, do dãy {Cn} là dãy giảm nên x n G C m Vn > m Do C m đóng nên x 0 =