Luận văn sư phạm Điểm bất động của ánh xạ K-Lipschitz đều

Fixed points of uniformly lipschitzian mappings in spaces with uniformly normal structure, Nonlinear Analysis 91985,103-108.. Some properties of the characteristic of converxity relati

M U

Lý thuy t đi m b t đ ng là m t trong nh ng l nh v c quan tr ng c a

Gi i tích hàm phi tuy n Nhi u bài toán quan tr ng trong toán h c nói riêng

và khoa h c k thu t nói chung d n đ n vi c nghiên c u s t n t i đi m b t

đ ng c a các ánh x Chính vì v y mà Lý thuy t đi m b t đ ng đ c nhi u nhà toán h c trên th gi i quan tâm

Lý thuy t đi m b t đ ng phát tri n theo hai h ng chính:

H ng th nh t nghiên c u đi m b t đ ng c a các ánh x d ng co trong các không gian mêtric

H ng th hai nghiên c u đi m b t đ ng c a các ánh x compact trong các không gian tôpô

Vào đ u nh ng n m 60 c a th k XX, m t h ng m i có th xem

nh h ng trung gian c a hai h ng trên đã xu t hi n trong Lý thuy t đi m

b t đ ng ó là vi c nghiên c u đi m b t đ ng c a các ánh x không giãn trong các không gian Banach

Ti p t c nghiên c u xu h ng m i này, trong vài th p k g n đây

ng i ta chú ý nhi u đ n ánh x Lipschitz đ u Có th k đ n ba k t qu mang tính ch t m đ ng, đó là các k t qu c a Goebel-Kirk (1973), Lifschitz (1975) và Casini-Maluta (1985)

M c đích c a khóa lu n là h th ng l i m t s k t qu c a các bài báo v các đi u ki n đ đ m b o s t n t i đi m b t đ ng c a ánh x k 

Lipschitz đ u :T M M , trong đó M là m t t p h p trong không gian Banach X ó là đi u ki n c a không gian X , t p h p M và h s lipschitz k

N i dung khóa lu n chia làm 3 ch ng:

Ch ng 1: Nh c l i m t s ki n th c c b n làm công c nghiên c u

ch ng sau nh : khái ni m không gian l i đ u , ánh x không giãn, ánh

x Lipschitz đ u

Ch ng 2: Gi i thi u và m r ng k t qu c a Goebel-Kirk và c a Lipschitz

Ph n đ u ch ng là hai nh lý v s t n t i đi m b t đ ng c a n a nhóm

ánh x k  Lipschitz đ u và c a ánh x k  Lipschitz đ u trong không gian Banach X v i đi u ki n đ c tr ng l i c a X là 0 x  và 1 k 0 X , trong đó 0 X đ c xác đ nh b i modul l i c a X

Ti p theo là đ nh lý c a Lifschitz (1975) và m t k t qu m r ng c a đ nh

lý này ra n a nhóm c a H ng Tân (2000)

Ch ng 3: Gi i thi u nh lý Casini-Maluta v s t n t i đi m b t

đ ng c a ánh x k  Lipschitz đ u trong không gian Banach v i c u trúc

chu n t c

Khóa lu n này đ c hoàn thành t i khoa Toán d i s h ng d n c a

th y Phùng c Th ng Em xin t lòng bi t n sâu s c v s giúp đ và ch

b o t n tình c a th y trong quá trình em làm khóa lu n này

Em xin chân thành c m n ban lãnh đ o khoa toán, ban ch nhi m khoa Toán cùng các th y cô giáo đã quan tâm giúp đ em trong su t th i gian h c t p t i tr ng HSP Hà N i 2

Xuân Hòa, ngày 9 tháng 5 n m 2013 Sinh viên

Nguy n Th Kim Dung

Ch ng 1 M T S KI N TH C C S

Trong giáo trình Gi i tích hàm, ta đã bi t : không gian Hilbert là

tr ng h p riêng c a không gian Banach v i hai tính ch t quan tr ng :

- M i không gian Hilbert đ u ph n x

- M i t p h p l i, đóng trong không gian Hilbert đ u ch a m t đi m

g n nh t đ i v i m t đi m b t kì cho tr c c a không gian

Trong s các không gian Banach, có m t l p đ c bi t ch a l p các không gian Hilbert mà v n gi đ c hai tính ch t trên, đó là các không gian Banach l i đ u do Clarkson đ xu t n m 1936

n n m 1965, hai nhà toán h c Browder và Gohde đã đ c l p ch ng minh đ c m t đ nh lý quan tr ng v s t n t i đi m b t đ ng cho ánh x không giãn trong l p không gian này ó là lí do chúng tôi dung m c này

đ gi i thi u nh ng khái ni m c a không gian l i đ u c n s d ng trong

Nói cách khác, v i hai đi m khác nhau b t k ,x y thu c hình c u đ n v ,

đi m

2

xy

ph i có kho ng cách d ng đ n biên c a hình c u đó, mà

kho ng cách này ch ph thu c vào kho ng cách c a x và y , ch không

ph thu c vào v trí c a chúng (tính đ u) Tính l i đ u th ng đ c kí hi u

- Không gian  v i chu n: 2 x 1 x1  x2 và x  max x1 , x2 

là các không gian l i đ u ( đây   2

đ c g i là không giãn (nonexpansive) n u :

- M t t p h p l i, đóng, b ch n trong m t không gian Banach không

nh t thi t có tính ch t đi m b t đ ng đ i v i ánh x không giãn

Th t v y, xét c0 là không gian các dãy h i t v 0 v i chu n sup n

n

x  x

t Dxc0: x  là hình c u 1 đ n v đóng trong c0 Ta xét ánh x :

x  V y T không có c0 đi m b t đ ng trong c 0

V n đ đ t ra là: C n đi u ki n gì trên không gian Banach X đ m i

t p h p l i, đóng, b ch n trong nó đ u có tính ch t đi m b t đ ng đ i v i ánh x không giãn?

Câu tr l i t ng quát cho câu h i trên đ c Brouwer và Gohde đ c

l p đ a ra n m 1965

Cho X là không gian Banach l i đ u, M là t p h p l i, đóng, b

ch n trong X : T M M là ánh x không giãn Khi đó t p h p các đi m

b t đ ng c a T , ký hi u là Fix T , không r ng, l i và   đóng

1.3. ÁNH X LIPSCHITZ U

x T đ c g i là ánh x Lipschitz n u t n t i h ng s k  sao cho: 0

T ví d trên ta rút ra k t lu n sau : Dù l là không gian Hilbert t c 2

là có nhi u tính ch t t t, nh ng h s Lipschitz b ng 1 (v i 0   tùy ý) thì hình c u đ n v đóng c ng không có tính ch t đi m b t đ ng đ i v i ánh

x lo i này

M t khác n u :T K  (v i K là m t t p h p nào K đó trong không

gian Banach X ) là ánh x không giãn thì ta luôn có:

n n n n

T x T y  T  x T  y   x y   n

i u này g i ý cho ta xét các ánh x th a mãn đi u ki n:

Do đó l p các ánh x k  Lipschitz đ u v i 1 k  là l p trung gian

gi a l p các ánh x không giãn và l p các ánh x Lipschitz

Ta bi t r ng n u không gian Banach X có m t s tính ch t t t nào đó (ch ng h n l i đ u) và K là t p h p l i, đóng, b ch n trong X ,

:

T K  là ánh x không giãn thì T có K đi m b t đ ng trong K

i v i ánh x Lipschitz, t p h p K nh trên có th không có tính

ch t đi m b t đ ng nh ví d đã ch ra

V n đ đ t ra là : i v i ánh x Lipschitz đ u v i k  và 1 đ g n 1 thì các t p l i đóng, b ch n có tính ch t đi m b t đ ng hay không ?

Cho đ n nay thì đã có ba lo i c n trên cho k đ n u k nh h n cân trên đó thì ánh x k  Lipschitz đ u có đi m b t đ ng C n trên th nh t do Goebel-Kirk nêu ra n m 1973, c n trên th hai do Lifschitz nêu ra n m

1975, c n trên th ba do Casini-Maluta nêu ra n m 1985 Các k t qu chính liên quan đ n 3 lo i c n trên này s đ c l n l t trình bày các ch ng sau

Ch ng 2 I U KI N GOEBEL – KIRK – THELE

VÀ M R NG I U KI N LIPSCHITZ

trong không gian Banach X v i 0 x  Khi đó m i ánh x k  1

Lipschitz đ u t C vào C đ u có đi m b t đ ng n u k  v i 0 0 là nghi m c a ph ng trình:

và U là m t t p con khác r ng trong X Khi đó m t h ánh x

T: A

   trong đó : T U  U đ c g i là m t n a nhóm Lipschitz trên U n u th a mãn các đi u ki n sau :

i) T x T T  x v i ,  và x U A 

ii) V i m i  t n t i A k  sao cho 0

T x T y k x y x y U 

M t n a nhóm S đ c g i là kh ngh ch trái n u b t kì hai ideal ph i c a

S đ u có giao khác r ng Khi đó S, và m t  đ nh h ng v i quan h hai ngôi đ c đ nh ngh a b i: a b  a aS  b bS

là hai ideal ph i b t k c a  đ u có giao khác r ng

Khi đó v i T  ta g i là chu n Lipschitz c a T đ i v i U và kí

Vì v y, đ đo tính l i c a không gian Banach ng i ta đ a ra đ nh ngh a sau

Sau đây ta s xét thêm m t s tính ch t c a modul l i c a không gian Banach s đ c s d ng sau này

kf k

  

 

  v i

11,

V i m i  0,dist T x K  ,  v i m i T thu c idean ph i J2  ; thì

v i m t idean ph i nào đó J  , t n t i x0 sao cho: K

ta có th ch n  sao cho A  là Lipschitz  đ u v i h ng s Lipschitz k

và đ ng th i:

 

1.2

b) N u  

o o

x  x  z x x  d x   d x

i u này cùng v i i) ch ng t s t n t i đi m b t đ ng chung c a ideal  nêu trong nh lý, và n u t t c các ánh x c a  là liên t c thì  có đi m

N m 1974 Kirk đ a ra khái ni m ánh x ki u không giãn (m r ng

c a ánh x không giãn ti m c n) và ch ng minh m t đ nh lý đi m b t đ ng cho l p ánh x này đây chúng tôi đ a ra m t khái ni m và k t qu t ng quát h n, mà khi k  chúng ta l i tr v khái ni m và k t qu trên 1 đây

nh ngh a 2.2.2 Gi s C là m t t p h p trong không gian Banach

 

 , n 

A C x khác r ng L y b t k z1A C x , n  và kí hi u rrz ,1  x n  Theo đ nh ngh a 2.2.2 ta có:

o n

X m

m

z T z kr

z T z kr

Cho M là m t không gian mê tric đ y đ và b ch n, T là ánh x

k  Lipschitz đ u trong M Khi đó T có đi m b t đ ng n u k   M

nh lý 2.3.2 (D.H.Tân)

Cho M là m t không gian metric đ y đ ,  T s s: S là n a

 

limsup s

s

k  k  M Gi s t n t i x0M , s0S sao cho: s0 x0 b

ch n Khi đó t n t i z M sao cho: Tz  v i m i T  z

Ch ng minh L y b t kì k'k,  M  Theo gi thi t:

Suy ra Ty  y, T i

L y k,  M  Ch n 1  sao cho v i m i ,u vM và r  th a 0mãn d u v ,  thì t n t i w M r  sao cho:

T đây suy ra:

Ch ng 3 : I U KI N CASINI-MALUTA

Trong ph n này, chúng tôi gi i thi u m t cách v n d ng c u trúc chu n t c vào Lý thuy t i m b t đ ng xu t phát t m t k t qu đã bi t b i Goebel và Kirk V n đ là ph i ch ng trong không gian Banach X , tính

đ c Lipschitz [9] ch ng minh trong không gian metric i v i không gian Banach: đi u ki n 0 X  t ng 1 đ ng v i đi u ki n 0 X  1 đã

đ c ch ng minh trong [6], còn đ nh lý Lipschitz cho ta c n trên c a k t t

h n 0 X , đ c bi t là trong không gian Hilbert M t k t qu t ng t

đ c Casini và Maluta ch ng minh n m 1985 [5] nh lý phát bi u r ng:

trong không gian có c u trúc chu n t c đ u, ánh x k  Lipschitz đ utrong

Gi s  x n  X là m t dãy b ch n, xX Khi đó các khái ni m:

đ ng kính, bán kính và tâm ti m c n trong A c a dãy  x n đ c đ nh ngh a t ng ng nh sau:

l n p là không gian n chi u v i chu n p

N X đ c g i là h ng s c a c u trúc chu n t c đ u (the constant

of uniformity of normal structure)

N X  thì X đ c g i là không gian v i c u trúc chu n t c

đ u (spaces with uniformly normal structure)

Hi n nhiên không gian có c u trúc chu n t c đ u thì c ng có c u trúc chu n t c ngoài ra ng i ta đã ch ng minh đ c r ng không gian v i c u trúc chu n t c đ u thì ph n x

th a mãn tính ch t  i và  ii , đ ng th i do K là ánh x k  Lipschitz đ u nên ta có:

Ta xây d ng dãy  x n trong K nh sau: L y tùy ý x1 (K đi u này có th

vì K   ) và đ t:

 1

n n

  đ i v i không

gian Hilbert, còn c n trên c a Lifschitz là 0  2 )

2. C n trên m i c a k đã nh n đ c g n đây cho không gian L b i Lim p

b ng cách s d ng k thu t đ c bi t c a L Ngh ch p đ o c a biên này

có kh n ng là giá tr c a ~  

p

N L nh ng ch a đ c kh ng đ nh

K T LU N

Nh đã nói trong ph n m đ u, m c đích c a khóa lu n là gi i thi u

m t h ng quan tr ng c a Gi i tích hàm phi tuy n ó là lý thuy t đi m b t

đ ng đ i v i ánh x k  Lipschitz đ u

Các k t qu chính c a lu n v n d a trên c u trúc hình h c và các đ c

tr ng c a không gian Banach liên quan đ n đi m b t đ ng Vì th ch ng 1

c a Khóa lu n gi i thi u m t s ki n th c b tr cho các ch ng sau

Ch ng 2 là đi u ki n Goebel-Kirk-Thele và đi u ki n Lifschitz K t qu

c a ch ng 3 là nh lý đi m b t đ ng trong không gian Banach v i c u trúc chu n t c

M c dù đã có nhi u c g ng, xong do kh n ng và ki n th c còn h n

ch nên b n khóa lu n v n không tránh kh i nh ng thi u xót, r t mong

nh n đ c nh ng ý ki n đóng góp c a các th y cô giáo

 5 Casini.E., Maluta.E Fixed points of uniformly lipschitzian mappings

in spaces with uniformly normal structure, Nonlinear Analysis

9(1985),103-108

 6 Downing.D.J, Turett.B Some properties of the characteristic of

converxity relating to fixed point theory, Pacific J Math 104(1983),

343-350

 7 Gobel.K., Kirk.W.A A fixed point theorem for transformations whose

iterates have uniform Lipschitz constant, Studia Math 47(1973), 135-140

 8 Gobel.K., Kirk.W.A., Thele.R L Uniformly Lipschitzian families of

trasformations in Banach spaces, Canad J Math 26(1974), 1245-1256

 9 Lifschitz E.A Fixed point theorems for operators in strongly convex

spaces,Voronez Gos Univ Trudy Math Fak 16(1975), 23-28.(Ti ng Nga)

 10 Do Hong Tan, Ha Duc Vuong On eventually and asymptotically

Lipschitzian mappings, Vietnam J Math