Kiến thức chuẩn bị
Không gian metric
Một hàm d có giá trị thực, xác định cho mọi cặp phần tử x, y trong một tập hợp X, được gọi là metric trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện nhất định cho mọi x, y, z thuộc X.
3 d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, x) ( bất đẳng thức tam giác).
Một tậpX cùng với metric xác định như trên được gọi là mộtkhông gian metric và d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa x và y.
Trong không gian metric (X, d), các phần tử được gọi là điểm Một dãy các điểm {x_n} trong không gian này được coi là hội tụ đến một điểm x thuộc X nếu giới hạn khi n tiến đến vô cùng của khoảng cách d(x_n, x) bằng 0.
Ta kí hiệu n→∞ lim x n = x. Định nghĩa 1.3 Cho hai không gian metric (X, d) và (Y, ρ) Một ánh xạ T từ
X được gọi là liên tục tại x₀ ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà d(x, x₀) < δ thì ρ(Tx, Tx₀) < ε Ánh xạ T được xem là liên tục nếu nó thỏa mãn tính liên tục tại mọi điểm x ∈ X Định nghĩa 1.4 cho biết dãy {xₙ} là dãy Cauchy hay dãy cơ bản trong không gian metric X nếu với mọi ε > 0, tồn tại nₑ sao cho d(xₙ, xₘ) < ε với mọi n, m ≥ nₑ.
Không gian metric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong không gian đó đều hội tụ Một dãy hình cầu {B n} với bán kính tương ứng {r n} được xem là thắt dần nếu {B n+1} nằm trong {B n} cho mọi n ≥ 1 và giới hạn của r(n) khi n tiến tới vô cùng bằng 0.
Nguyên lý Cantor khẳng định rằng trong không gian metric đầy đủ, mọi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có một điểm chung duy nhất Định nghĩa ánh xạ T từ không gian metric (X, d) đến (Y, ρ) được thiết lập khi thỏa mãn điều kiện ρ(T x, T z) ≤ M d(x, z) với một hằng số cố định M cho mọi x, z thuộc không gian.
X được gọi là ánh xạ Lipschitz.
Số nhỏ nhất trong các số M như thế được gọi là hằng số Lipschitz của ánh xạ
Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.7 Cho H là không gian tuyến tính trên R Một tích vô hướng trên H là một ánh xạ, kí hiệu h., i : H × H →R thỏa mãn các điều kiện sau:
4 hx + y, xi = hx, zi + hy, zi , ∀x, y, z ∈ H
Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng h., i được gọi là không gian tiền Hilbert. Định nghĩa 1.8 Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi làkhông gian Hilbert.
Phép chiếu metric
Định nghĩa 1.9 Cho C khác rỗng và y là vectơ bất kỳ không thuộc C, đặt d C (y) = inf x∈C ||x − y||;
Ta nói d C (y) là khoảng cách từ y đến C.
Nếu tồn tại π ∈ C sao cho d C (y) = ||π − y|| thì ta nói π là hình chiếu của y trên
C Ta ký hiệu hình chiếu của y trên C là P C (y)
Thông thường sẽ ký hiệu π = P C (y) hoặc đơn giản hơn là P (y) nếu không cần nhấn mạnh đến tập chiếu C.
Chú ý rằng, nếuy ∈ C thìd C (y) = 0 NếuC 6= ∅thìd C (y)hữu hạn vì0 ≤ d C (y) ≤
||y − x|| với mọi x thuộc C. Định nghĩa 1.10 Cho C là tập con, khác rỗng của không gian Hilbert H, ánh xạ P : H → C Với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử P x ∈ C sao cho
||x − P x|| = d(x, C ); Ánh xạ P như vậy được gọi là phép chiếu metric trên C. Định nghĩa 1.11 Một tập C ⊆ H được gọi là nón nếu
Một nón được gọi là nón lồi nếu nó là nón và là một tập lồi. Định nghĩa 1.12 Cho x ∈ C, nón pháp tuyến ngoài của C tại x, kí hiệu là
N C (x), được xác định bởi công thức
Mệnh đề 1.1 (xem [1], Chương 5, Mệnh đề 5.1) khẳng định rằng, cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert H, thì phép chiếu metric P C từ H lên C sẽ thỏa mãn những điều kiện nhất định.
2 P C là ánh xạ đơn điệu mạnh, nghĩa là hx − y, P C (x) − P C (y)i ≤ ||P C (x) − P C (y)|| 2 , ∀x, y ∈ H;
3 P C là ánh xạ không giãn, nghĩa là
4 P C là ánh xạ đơn điệu, nghĩa là hP C (x) − P C (y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ H.
Mệnh đề 1.2 (xem [1], Chương 5, Mệnh đề 5.1).Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng,khác rỗng Khi đó với mọi y ∈ H, hình chiếu P C (y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất.
Điểm bất động của ánh xạ co
Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào không gian metric (Y, ρ) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho ρ(T x, T y) ≤ kd(x, y) với mọi x, y thuộc X Định lý ánh xạ co Banach (1922) là định lý điểm bất động phổ biến nhất, chỉ ra sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ Cụ thể, nếu (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X → X là ánh xạ co với hằng số Lipschitz k ∈ (0, 1), thì tồn tại duy nhất x ∗ ∈ X mà T x ∗ = x ∗ Hơn nữa, với mọi x 0 ∈ X, ta có T n x 0 → x ∗ khi n → ∞.
Chứng minh Lấy x 0 là điểm tùy ý trong X và đặt x n+1 = T x n với n ∈N.
Bằng quy nạp ta được d(x n , x n+1 ) = d(T x n−1 , T x n ) ≤ kd(x n−1 , x n )
Do đó{x n } là một dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ và x n → x ∗ ∈ X. Với mỗi n ta có
Cho n → ∞ và do tính liên tục của T ta được d(x ∗ , T x ∗ ) = 0, tức là T x ∗ = x ∗ Giả sử còn có y ∗ ∈ X mà T y ∗ = y ∗ thì ta có d(x ∗ , y ∗ ) = d(T x ∗ , T y ∗ ) ≤ kd(x ∗ , y ∗ ).
Vậy điểm bất động là duy nhất. Định lý 1.1 (xem [8], Chương 1, Định lý 1.3) Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ và
B(x 0 , r) = {x ∈ X : d(x, x 0 ) < r} trong đó x 0 ∈ X và r > 0 Giả sử rằng T : B (x 0 , r) → X là ánh xạ co (nghĩa là, d(T (x), T (y)) ≤ Ld(x, y), ∀x, y ∈ B(x 0 , r), với 0 ≤ L < 1 ) và d(T (x 0 ), x 0 ) < (1 − L)r
Khi đó T có duy nhất điểm bất động trong B(x 0 , r).
Chứng minh Giả sử tồn tại r 0 thỏa mãn 0 ≤ r 0 < r, khi đó d(T (x 0 ), x 0 ) 0 cho mỗi ε > 0 Nếu khoảng cách d(x, T(x)) nhỏ hơn δ(ε), thì ánh xạ T sẽ giữ cho hình cầu B(x, ε) nằm trong chính nó, tức là T(B(x, ε)) ⊆ B(x, ε), với B(x, ε) = {y ∈ X : d(x, y) < ε}.
Nếu với mỗi u ∈ X, ta có n→∞ lim T n (u) , T n+1 (u)
= 0 thì dãy {T n (u)} hội tụ tới một điểm bất động của T.
Chứng minh Với mỗi u ∈ X, ta lấy u n = T n (u) Ta chứng minh {u n } là dãy Cauchy.
Với ε > 0 cho trước, chọn δ(ε) > 0 như trên Ta chọn N đủ lớn sao cho d(u n , u n+1 ) < δ(ε), ∀n ≥ N Từ đó d(u N , T (u N )) < δ(ε) và T (B(u N , ε)) ⊆ B(u N , ε).
Do vậy u n là dãy Cauchy Hơn nữa, tồn tại y ∈ X sao cho lim n→∞ u n = y.
Ta đi chứng minh tiếp y là điểm bất động của T.Giả sử ngược lại, khi đó d(y, T (y)) = γ > 0.
Chọn và cố định u n ∈ B(y, γ/3) sao cho d(u n , u n+1 ) < δ (γ/3).
Từ điều kiện định lý ta có
Do đó T (y) ∈ B(u n , γ/3) Điều này mâu thuẫn d(T (y), u n ) ≥ d(T (y), y) − d(u n , y) > γ − γ/3 = 2γ/3.
Trong không gian metric đầy đủ (X, d), nếu tồn tại hàm φ : [0, ∞) → [0, ∞) thỏa mãn điều kiện d(T(x), T(y)) ≤ φ(d(x, y)) cho mọi x, y ∈ X, với φ là hàm đơn điệu, không giảm và lim n→∞ φ^n(t) = 0 cho mọi t > 0 cố định, thì tồn tại một điểm bất động duy nhất x* ∈ X sao cho lim n→∞ T^n(x) = x* cho mọi x ∈ X.
Chứng minh Giả sử t ≤ φ(t), t > 0 Khi đó φ(t) ≤ φ(φ(t)) và do đó t ≤ φ 2 (t). Theo quy nạp, ta có t ≤ φ n (t), ∀n ∈ {1, 2, }. Điều này mâu thuẫn với giả thiết Do đó φ(t) < t, ∀t > 0.
Lấy ε > 0 và chọn δ(ε) = ε − φ(ε) Nếu d(x, T (x)) < δ(ε), thì với mọi z ∈ B (x, ε) = {y ∈ X : d(x, y) < ε}, ta có d(T (z), x) ≤ d(T (z), T (x)) + d(T (x), x)
Theo Định lý 1.2 thì T có điểm bất động sao cho lim n→∞ T n (x) = x ∗ với ∀x ∈ X. Cuối cùng dễ thấy rằng T chỉ có một điểm bất động trong X.
Ví dụ 1.1 Cho X = [a, b] và T : X → X là khả vi và thỏa mãn |T 0 (x)| ≤ k < 1 với mọi x ∈ (a, b) Khi đó nếux, y thuộc X, tồn tại ξ nằm giữa x và y sao cho
Ánh xạ T là ánh xạ co và có duy nhất một điểm bất động Định lý ánh xạ co được áp dụng để chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cho phương trình vi phân với điều kiện ban đầu.
Xét phương trình vi phân dx(t)/dt = T(t, x(t)) với điều kiện ban đầu x(t₀) = x₀, trong đó t₀ và x₀ là các số cho trước, và T(t, u) là hàm liên tục của hai biến t và u Giả thiết hàm T(t, u) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến u, tức là với mỗi số nguyên dương n, tồn tại một hằng số L = L(n) > 0 sao cho với mọi t thuộc khoảng [-n, n].
Ta sẽ chỉ ra rằng phương trình vi phân với điều kiện ban đầu có một và chỉ một nghiệm x(t) xác định và liên tục trên đường thẳng thực.
Thật vậy, vì hàm T liên tục nên phương trình vi phân với điều kiện ban đầu tương đương với phương trình vi phân x(t) = x 0 + t
Chọn một số nguyên dương n lớn và t 0 ∈ [−n, n], ta định nghĩa C n = C[−n, n] là không gian các hàm x(t) liên tục trên đoạn [−n, n] Với λ > 1 là một số cố định, ta đặt d n (x, y) = max |t|≤n e −λL|t−t 0 | |x(t) − y(t)| cho x, y ∈ C n Như vậy, d n trở thành một metric trong không gian C n, và với mọi x, y, z ∈ C n, ta có thể áp dụng các tính chất của metric.
Do đó d n là một không gian metric trong C n
Mặt khác, ta có d(x, y) = max |t|≤n |x(t) − y(t)| với x, y ∈ C n thì e −λLA d(x, y) ≤ d n (x, y) ≤ d (x, y ) ; với A = max {n − t 0 , n + t 0 }.
Các không gian metric \(d\) và \(d_n\) là tương đương, và không gian metric \((C_n, d)\) cũng đầy đủ Do đó, \((C_n, d_n)\) cũng là một không gian metric đầy đủ.
Xét ánh xạ F : C n → C n xác định bởi công thức
Ta sẽ chứng tỏ rằng F là một ánh xạ co đối với metric d n Thật vậy, với x, y thuộc C n , ta có d n (F (x) , F (y)) = max
Với I t là đoạn [t 0 , t] nếu t > t 0 , hay là đoạn [t, t 0 ] nếu t < t 0 Từ định nghĩa của metric d n , ta có
Từ đó ta suy ra d n (F (x) , F (y)) ≤ λ −1 d n (x, y) Áp dụng định lý ánh xạ co, ta suy rax n = x n (t) là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân được xác định trên [−n, n].
Mỗi số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện |t 0 | ≤ n, phương trình vi phân có một nghiệm duy nhất x n = x n (t) xác định trên đoạn [−n, n] Nếu n và m là hai số nguyên dương với |t 0 | ≤ n < m, thì tính duy nhất của x n dẫn đến kết luận rằng x m (t) = x n (t) khi |t| ≤ n.
Vì vậy hàm x(t) = x n (t) khi |t| ≤ n được xác định với mọi t ∈ R, và là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân trên toàn bộ đường thẳng thực.
Nhận xét 1.1 Như vậy, ánh xạ co là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển nhiên là liên tục.
Nhiều tác giả đã chứng minh rằng định lý ánh xạ co vẫn giữ tính đúng đắn khi thay thế hằng số k < 1 bằng một hàm số phụ thuộc vào khoảng cách d(x, y), với giá trị trong một miền xác định.
Ánh xạ T trong không gian metric (X, d) được định nghĩa là (ε, δ), và để hiểu rõ hơn về khái niệm này, chúng ta sẽ xem xét kết quả mạnh nhất từ nghiên cứu của Meir và Keeler.
- co nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại δ > 0 sao cho: nếu ε ≤ d(x, y) < ε + δ thì d(T x, T y) < ε.
Có thể xác nhận rằng lớp ánh xạ (ε, δ)-co bao gồm lớp ánh xạ co bằng cách chọn δ = ε(1 − k) k Đồng thời, mọi ánh xạ (ε, δ)-co đều đáp ứng điều kiện: nếu x khác y thì khoảng cách d(T x, T y) nhỏ hơn khoảng cách d(x, y).
Thật vậy, nếu x 6= y thì đặt ε = d(x, y) > 0
Lớp ánh xạ thỏa mãn điều kiện d(T x, T y) < d(x, y) được gọi là "co yếu" Nếu ánh xạ thuộc lớp này có điểm bất động, thì điểm đó phải duy nhất Định lý 1.4 (Meir - Keeler, 1969) khẳng định rằng trong không gian metric đầy đủ (X, d) và với ánh xạ T là (ε, δ)-co trong X, tồn tại một điểm bất động duy nhất x ∗ Hơn nữa, với mọi x 0 ∈ X, chuỗi T n x 0 sẽ hội tụ về x ∗ khi n tiến đến vô cùng.
Giả sử x₀ ∈ X và đặt xₙ₊₁ = T(xₙ) cùng với cₙ = d(xₙ, xₙ₊₁) cho n = 0, 1, 2, Có thể coi cₙ > 0 Vì T là ánh xạ co yếu, nên cₙ là dãy không âm và giảm, dẫn đến cₙ → ε ≤ 0 Nếu ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu ε ≤ d(x, y) < ε + δ thì d(T(x), T(y)) < ε Chọn k ∈ N sao cho nếu n ≤ k thì cₙ < ε + δ Điều này dẫn đến cₙ₊₁ < ε, tạo ra mâu thuẫn Do đó, ε phải bằng 0, tức là cₙ → 0.
Ta sẽ chứng minh x n là dãy Cauchy bằng phản chứng Giả sử có ε > 0 sao cho với mọi k ∈ N, tồn tại n, m ≤ k mà d(x n , x m ) ≤ 2ε Chọn k sao cho nếu i ≥ k thì c i < α
4 với α = min {δ, ε} Chọn m > n ≥ k để cho d(x n , x m ) ≥ 2ε và xét các số d(x n , x n+1 ), d(x n , x n+2 ), , d(x n , x m ) Khoảng cách giữa hai số liên tiếp là
4, còn d(x n , x m ) ≥ 2ε nên tồn tại j ∈ {n, n + 1, , m} sao cho ε + α
2 Điều này mâu thuẫn vớid(x n x j ) ≥ ε+ α
2 Vậy{x n }là dãy Cauchy vàx n → x ∗ ∈ X. Để ý rằng T là ánh xạ co yếu, với mọi n ta có d(x ∗ , T x ∗ ) ≤ d(x ∗ , x n+1 ) + d(x n+1 , T x ∗ )
Cho n → ∞ ta được d(x ∗ , T x ∗ ) = 0, tức là x ∗ = T x ∗
Vì T là ánh xạ co yếu nên x ∗ là điểm bất động duy nhất.
Điểm bất động của ánh xạ không giãn
Định nghĩa 1.15 Ánh xạ T từ không gian metric (X, d)vào không gian metric (z, ρ) được gọi là không giãn nếu với mọi x, y ∈ X ta có ρ(T x, T y) ≤ d(x, y).
Ánh xạ co là một loại ánh xạ không giãn, trong đó điểm bất động có thể không duy nhất và không phải lúc nào cũng tồn tại.
Ký hiệu B là hình cầu đơn vị nằm trong C 0, không gian của các dãy hội tụ đến 0 với chuẩn sup Đối với mỗi x = (x1, x2, ) thuộc B, ta định nghĩa T x = (1, x1, x2, ) Ánh xạ T là không giãn trong B, nhưng không tồn tại điểm bất động cho T Cụ thể, nếu giả sử có x* = T x*, thì điều này dẫn đến một mâu thuẫn.
Khi đó, ta có x ∗ i = 1 với mọi i, do đó x ∗ không thuộc C o Điểm bất động của ánh xạ không giãn có thể không duy nhất, ví dụ như trong trường hợp ánh xạ đồng nhất Theo Định lý 1.5 (xem [8], Chương 2, Định lý 2.3), trong không gian Hilbert H, với u, v ∈ H và các hằng số r, R thỏa mãn 0 ≤ r ≤ R, nếu tồn tại x ∈ H.
R 2 − r 2 Chứng minh Theo đẳng thức hình bình hành ta có
≤ 4(R 2 − r 2 ). Định lý 1.6 (xem [8], Chương 2, Định lý 2.4) Cho H là không gian Hilbert,
C ⊆ H là tập bị chặn và T : C → C là ánh xạ không giãn Giả sử x ∈ C, y ∈ C và a = x + y
2 ∈ C Kí hiệu δ(C) là đường kính của C và cho ε ≤ δ(C) sao cho
Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng
Theo Định lý Brouwer - Gohde - Kirk, nếu C là một tập bị chặn, lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert H, thì ánh xạ không giãn T : C → C sẽ có ít nhất một điểm bất động trong C.
Chứng minh Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng 0 ∈ C, T (0) 6= 0, với mỗi n = 2, 3, ta đặt
T n := (1 − 1 n )T : C → C là ánh xạ co, nên theo định lý Banach, tồn tại duy nhất x n ∈ C với x n = T n (x n ) = (1 − 1 n )T (x n ).
Do đó k|x n − T (x n )|| = 1 n ||T (x n )|| ≤ 1 n δ(C) (1.1) trong đó δ(C) là kí hiệu đường kính của C Với mỗi n ∈ {2, 3, }, ta có
Q 2 ⊇ Q 3 ⊇ Q n ⊇ là dãy giảm của tập đóng, khác rỗng. Đặt d n = inf {||x|| : x ∈ Q n }
Từ Q n s là giảm nên ta có d 2 ≤ d 3 ≤ ≤ d n ≤ , d i ≤ δ(C) với mỗi i ∈ {2, 3, }.
Ta có A n là dãy giảm của tập đóng, khác rỗng Bây giờ ta chỉ ra rằng n→∞ lim δ (A n ) = 0.
Từ Định lý 1.6 ta suy ra rằng:
Từ (1.2),(1.3) và Định lý 1.5 ta suy ra
Theo Định lý Cantor, tồn tại x 0 ∈ ∞ ∩ n=2 A n Từ x 0 ∈ ∞ ∩ n=2 Q 8n 2
Bổ đề 1.1 (xem [8], Chương 2, Bài tập 2.1) Cho H là không gian Hilbert,
B r = {x ∈ H : ||x|| ≤ r} là hình cầu đóng Định nghĩa ánh xạr : H → B r xác định bởi r (x) =
Khi đó r : H → B r là ánh xạ không giãn.
Chứng minh Ta có, với ∀u, v 6= 0, thì
(u − r(u), r(v) − r(u)) ≤ 0. Điều này đúng với ||u|| ≤ r, r(u) = u, và nếu ||u|| ≥ r, ta có
Theo định lý 1.8 trong không gian Hilbert thực H, với B r = {x ∈ H : ||x|| ≤ r} và r ≥ 0, mỗi ánh xạ không giãn T : B r → H sẽ có ít nhất một trong hai tính chất sau đây: (a, r(x) − r(y)) = −(x − r(x), r(y) − r(x)) − (y − r(y), r(x) − r(y)) ≥ 0, dẫn đến ||x − y||² ≥ ||r(x) − r(y)||².
1 T có điểm bất động trong B r
2 Tồn tại x ∈ δ(B r ) và λ ∈ C sao cho x = λT (x)
Chứng minh Xác định ánh xạ r : H → B r bởi: r (x) =
Theo Bổ đề 1.1 thì ánh xạr : H → B r là ánh xạ không giãn Do đór ◦T : B r → B r cũng là ánh xạ không giãn.
Theo Định lý 1.6, tồn tại x ∈ B r , với r(T (x)) = x Nếu T (x) ∈ B r thì x = r(T (x)) = T (x).
Tức là T có một điểm bất động, nghĩa là (1) thỏa mãn.
||T (x)|| < 1Nghĩa là tồn tại x ∈ δ(B r ) và λ ∈ C sao cho x = λT (x). Định lý 1.9 (xem [8], Chương 2, Định lý 2.6) Cho H là không gian Hilbert thực, B r = {x ∈ H : ||x|| ≤ r} với r ≥ 0 Ánh xạ không giãn T : B r → H Giả sử
∀x ∈ B r , một trong bốn điều kiện thỏa mãn
Khi đó T có điểm bất động trên B r
Chứng minh Chúng ta chứng minh định lý với điều kiện (2) Nếu T không có điểm bất động, thì theo Định lý 1.8, tồn tại z ∈ B r và λ ∈ (0, 1), sao cho z = λT (z).
Do đó 1 ≤ 1 − λ Điều này mâu thuẫn.
Điểm bất động của ánh xạ giả co, giả co mạnh
Ánh xạ T trong không gian Hilbert H được gọi là ánh xạ giả co nếu tồn tại một hằng số k dương, thỏa mãn điều kiện liên quan đến miền xác định D(T) và miền giá trị R(T) của T.
Với k = 1 thì ánh xạ T trên là ánh xạ giả co mạnh.
Chú ý 1.1 Ánh xạ không giãn (co) là ánh xạ giả co (giả co mạnh ) Nhưng ngược lại không đúng.
Chúng tôi đưa ra ví dụ sau chứng tỏ ánh xạ giả co không là ánh xạ không giãn
Ví dụ 1.4 Cho H =R 2 là không gian Hilbert Nếux = (a, b) ∈ H, ta định nghĩa x ⊥ = (b, −a) ∈ H Ta có x, x ⊥
Cho C là hình cầu đóng trong H,
C 1 = {x ∈ H : ||x|| ≤ 1/2} và C 2 = {x ∈ H : 1/2 ≤ ||x|| ≤ 1}. Ánh xạ T : C → C xác định bởi
Ta cần chỉ ra T là liên tục Lipschitz Ta có
Lấy x, y tương ứng thuộc phần trong của C 1 , C 2 Khi đó tồn tại λ ∈ (0, 1) và z ∈ C 1 ∩ C 2 , trong đó z = λx + (1 − λ)y Do đó
Do đó ||T x − T y|| ≤ 5||x − y||, ∀x, y ∈ C Khi đó T là Lipschitz trên C
Ta đi chỉ ra T là ánh xạ giả co
Với ∀x, y ∈ C, đặt Γ(x, y) := ||x − y|| 2 − hT x − T y, x − yi Vì vậy để chỉ ra T là ánh xạ giả co, ta cần chứng minh Γ(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ C Ta xét các trường hợp sau:Trường hợp 1 Nếu x, y ∈ C 1 : Hiển nhiên Γ(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ C.
Do 1 − 2||y|| ≤ 0, ∀y ∈ C 2 , hx, yi / (||x||||y||) có giá trị nhỏ nhất, mọi cố định ||x|| và ||y|| khi hx, yi / (||x||||y||) = 1 Ta có Γ(x, y) ≥ 2||y|| 2 − ||y|| + ||x|| − 2||x||||y||
≥ 0, ∀x ∈ C 1 , y ∈ C 2 Trường hợp 3 Nếu x, y ∈ C 2 : Ta có hT x − T y, x − yi = ||x|| − ||x|| 2 + ||y|| − ||y|| 2 +
Ta thấy 4||x||||y|| − ||x|| − ||y|| ≥ 0, ∀x, y ∈ C 2 Vì vậy, với mỗi cố định ||x|| và
||y||, Γ(x, y) có giá trị nhỏ nhất khi hx, yi
||x||||y|| = 1 Giá trị nhỏ nhất này là 2||x|| 2 + 2||y|| 2 − 4||x||||y|| = 2(||x|| − ||y||) 2 Vì thế Γ(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ C 2 Do đó, T là ánh xạ giả co, liên tục Lipschitz, nhưng T không là ánh xạ không giãn.
Ví dụ 1.5 Cho T : D(T ) = [0, 1] → H xác định bởi
Vì T là đơn điệu giảm, T là giả co.
Suy ra T không là ánh xạ không giãn.
Vậy ánh xạ giả co liên tục chưa hẳn là ánh xạ không giãn.
Trong không gian Hilbert H, nếu T là ánh xạ phi tuyến với miền xác định D(T), thì T được coi là ánh xạ giả co mạnh nếu nó thỏa mãn một bất đẳng thức nhất định.
Chứng minh Từ bất đẳng thức
2k Mệnh đề 1.4 (xem [7], Chương 5, Mệnh đề 5.7.18) Cho {x n } là dãy bị chặn trong không gian Hilbert H và {r n } là dãy giảm nghiêm ngặt trên R + sao cho hr n x n − r m x n , x n − x m i ≤ 0, ∀m, n ∈N
Khi đó tồn tại x ∈ H sao cho x n → x.
2 hr n x n − r m x n , x n − x m i = (r n + r m )||x n − x m || 2 + (r n − r m )(||x n || 2 − ||x m || 2 ) với mọi m, n ∈N. Điều này chỉ ra rằng {x n } là dãy Cauchy và vì thế tồn tại x ∈ H sao cho x n → x.
Các phương pháp lặp tìm điểm bất động
Chương này giới thiệu các phương pháp lặp, bao gồm phương pháp lặp Mann-Halpern, phương pháp lai ghép để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn, và phương pháp lặp Ishikawa nhằm xác định điểm bất động của ánh xạ giả co trong không gian Hilbert Các kết quả được trình bày trong chương này được tham khảo từ tài liệu [4], [5] và [7].
Một số phương pháp lặp tìm điểm bất động
Định nghĩa 2.1 ChoC là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert
H và T : C → C Cho {α n } là dãy không âm thỏa mãn điều kiện
P n=1 α n = ∞ Định nghĩa {x n } như sau x 0 ∈ C x n+1 = M (x n , α n , T ) , n ∈ N (2.1) trong đó M (x n , α n , T ) = (1 − α n )x n + α n T x n Khi đó dãy {x n } được gọi là dãy lặp Mann.
Năm 1974, Ishikawa nghiên cứu một mở rộng của dãy lặp Mann, được gọi là dãy lặp Ishikawa Theo định nghĩa, C là tập con lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert.
H và T : C → C Với bất kỳ x 0 ∈ C, định nghĩa dãy {x n } ⊂ C như sau y n = (1 − β n ) x n + β n T x n , n ∈ N x n+1 = (1 − α n ) x n + α n T y n (2.2) trong đó α n , β n là hai dãy số thực thuộc [0,1] thỏa mãn điều kiện sau
Khi đó {x n } được gọi là dãy lặp Ishikawa. Định nghĩa 2.3 ChoC là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert
H và T : C → C là ánh xạ không giãn Với bất kỳ x 0 ∈ C, định nghĩa dãy lặp Halpern {x n } ⊂ C như sau x n+1 = α n u + (1 − α n )T (x n ), n ≥ 0 (2.3) trong đó u, x 0 ∈ C, {α n } ⊂ (0, 1).
Halpern đã chứng minh rằng nếu α n = n − α với α thuộc khoảng (0, 1), thì dãy {x n } xác định bởi (2.3) sẽ hội tụ về điểm bất động của ánh xạ T Định nghĩa 2.4 nêu rõ rằng C là tập con lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert.
H, P C là phép chiếu metric từ H lên C, T : C → H là một ánh xạ không giãn. Với x 0 bất kỳ, định nghĩa phương pháp lặp Mann - Halpern như sau
Trong không gian Hilbert thực H, cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng Định nghĩa ánh xạ không giãn T : C → H và phương pháp lai ghép được thiết lập với một điểm x0 bất kỳ.
Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn
Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu hai phương pháp lặp Mann - Halpern và phương pháp lai ghép để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Trước tiên, chúng tôi sẽ trình bày một số bổ đề hỗ trợ cần thiết cho các phương pháp này.
Bổ đề 2.1 (xem [4], Bổ đề 2.1).Cho C là tập con lồi, đóng trong không gianHilbert thực H Khi đó ||x − y|| 2 = ||x|| 2 − ||y|| 2 − 2 hx − y, yi , ∀x, y ∈ H.
Bổ đề 2.2 khẳng định rằng, với tập con lồi C đóng trong không gian Hilbert thực H, cho bất kỳ x ∈ H, tồn tại duy nhất z ∈ C sao cho ||z − x|| ≤ ||y − x|| với mọi y ∈ C Điều này được biểu diễn bằng cách z = P C (x) nếu và chỉ nếu hz − x, y − zi ≤ 0 với mọi y ∈ C Định nghĩa 2.6 chỉ ra rằng dãy {x n } hội tụ yếu đến x, ký hiệu x n * x, nếu giới hạn lim n→∞ hw, x n i = hw, xi.
Bổ đề 2.3 nêu rõ nguyên lý nửa đóng trong không gian Hilbert thực H Nếu C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H, và T là ánh xạ không giãn trên C, thì với dãy {x_n} trong C thoả mãn điều kiện x_n * x và x_n - T x_n → 0, ta có x - T x = 0.
Bổ đề 2.4 (xem [4], Bổ đề 2.4) Mọi Không gian Hilbert H đều có tính chất Randon - Riesz hoặc tính chất Kadec-Klee, nghĩa là, với mọi dãy {x n } ∈ H mà x n * x và ||x n || → x, thì x n → x.
Phương pháp lặp Mann - Halpern đã khắc phục một số nhược điểm của các phương pháp hiện có bằng cách thay thế việc chiếu lên tập lồi đóng bằng chiếu lên các nửa không gian Sự hội tụ mạnh của phương pháp này được thể hiện qua định lý 2.1, trong đó cho rằng nếu C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H và T : C → H là ánh xạ không giãn với F ix(T ) không rỗng, thì dãy {x n }, {y n } và {z n } sẽ hội tụ mạnh tới điểm u 0 = P F ix(T ) (x 0 ) khi n tiến tới vô cùng, với các dãy số {α n } và {β n } trong khoảng [0, 1] thỏa mãn α n → 1 và β n → 0.
||y n − z|| 2 ≤ ||x n − z|| 2 + β n (||x 0 || 2 + 2 hx n − x 0 , zi) tương đương với h(1 − β n )x n + β n x 0 − y n , zi ≤ hx n − y n , x n i − 1
Vì vậy, H n là một nửa không gian.
F ix(T 1) − F ix(T 1 P C) được định nghĩa là tập hợp các điểm p thuộc H sao cho T 1 P C(p) = p, với T 1 là ánh xạ từ C đến C Khi đặt T 1 = P C T, ta có F ix(T) = F ix(P C T P C) Bằng cách áp dụng tính lồi của hàm ||.|| 2 và tính không giãn của phép chiếu P C, với bất kỳ p thuộc F ix(T) mà p = P C T P C(p), ta có thể đưa ra các kết luận quan trọng.
Bằng cách biến đổi tương tự và sử dụng Bổ đề 2.1, với x − x 0 − p và y = x n − p ta nhận được
Vì vậy, p ∈ H n với mọi n ≥ 0 Điều đó có nghĩa là F ix(T ) ⊂ H N , ∀n ≥ 0.
Chúng ta chứng minh rằng F ix(T ) ⊂ H n ∩ W n cho mỗi n ≥ 0 bằng phương pháp quy nạp Đối với n = 0, ta có W 0 = H, do đó F ix(T ) ⊂ H 0 ∩ W 0 Giả sử rằng với một x i cho trước, F ix(T ) ⊂ H i ∩ W i cho i > 0 Khi đó, tồn tại duy nhất một phần tử x i+1 ∈ H i ∩ W i sao cho x i+1 = P H i ∩W i (x 0 ) Theo Bổ đề 2.2, ta có hx i+1 − x 0 , p − x i+1 i ≥ 0 với mọi p ∈ H i ∩ W i.
Vì F ix(T ) là tập con của H i ∩ W i, nên nó cũng thuộc W i+1 Do đó, F ix(T ) sẽ nằm trong H i+1 ∩ W i+1 Hơn nữa, F ix(T ) là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H, nên tồn tại duy nhất một phần tử u 0 ∈ F ix(T ) sao cho u 0 = P F ix(T ) (x 0 ) Từ mối quan hệ x n+1 = P H n ∩W n (x 0 ), ta có thể rút ra những kết luận quan trọng.
Suy ra dãy {x n } bị chặn Do P C , T là các ánh xạ không giãn nên các dãy {P C T P C (x n )} , {z n } và {T z n } cũng bị chặn.
Bây giờ ta chỉ ra rằng n→∞ lim ||x n+1 − x n || = 0 (2.7)
Từ định nghĩa của W n và Bổ đề 2.2, suy ra x n = P W n (x 0 ) Vì x n+1 ∈ H n ∩ W n , nên
Vì vậy, dãy {||x n − x 0 ||} là dãy không giảm và bị chặn Do đó tồn tại giới hạn hữu hạn lim n→∞ ||x n − x 0 || = c Mặt khác, từ x n+1 ∈ W n , ta có hx n − x 0 , x n+1 − x n i ≥ 0 và suy ra
Vì vậy (2.7) được suy ra từ bất đẳng thức trên và n→∞ lim ||x n − x 0 || = c.
Vì α n → 1 và các dãy {x n }, {P C T P C (x n )} bị chặn Từ (2.4) suy ra n→∞ lim ||z n − P C (x n )|| = lim n→∞ (1 − α n )||P C (x n ) − P C T P C (x n )|| = 0 (2.8) Mặt khác, vì x n+1 ∈ H n , nên
Vì vậy, từ (2.7), tính bị chặn của dãy {x n }, β → 0 và bất đẳng thức trên, ta suy ra n→∞ lim ||y n − x n+1 || = 0 (2.9) Kết hợp với (2.7) suy ra n→∞ lim ||y n − x n || = 0 (2.10) Chú ý rằng
Từ (2.6) và bất đẳng thức cuối ta suy ra
Vìβ n → 0, (β n ≤ 1 − β), với β ∈ (0, 1), (2.10) và bất đẳng thức trên ta nhận được n→∞ lim ||x n − P C T z n || = 0 (2.11) Hơn nữa, ta có P C T z n = P C T C T z n và do đó
Từ (2.8), (2.11), bất đẳng thức cuối suy ra n→∞ lim ||z n − P C T z n || = 0 (2.12)
Do dãy {x_n} bị chặn, tồn tại dãy con {x_{n_j}} ⊂ {x_n} hội tụ yếu tới một phần tử p ∈ H khi j → ∞ Từ các công thức (2.10) và (2.11), ta cũng có {z_{n_j}} hội tụ yếu tới p Vì {z_n} ⊂ C, nên p ∈ C theo Bổ đề 2.3 và công thức (2.12), dẫn đến p ∈ F ix(P_C T) = F ix(T) Từ (2.6) và tính nửa liên tục yếu của chuẩn, ta suy ra rằng
Vì vậy ta được j→∞ lim ||z 0 − x n j || = ||x 0 − u 0 || = ||x 0 − p||.
Từ đó suy ra x n j → p = u 0 theo Bổ đề 2.4 Sử dụng tính duy nhất của phép chiếu u 0 = P F ix(T ) (x 0 ), ta có x n → u 0 Từ (2.10) và (2.12) ta cũng có y n → u 0 và z n → u 0 Định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.1 (xem [4],Hệ quả (2.6)) Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H và T : C → H là ánh xạ không giãn sao cho
F ix(T ) 6= ∅ Giả sử {β n } là dãy số trong [0, 1] thỏa mãn β n → 0 Khi đó, dãy {x n } , {y n } được định nghĩa bởi
W n = {z ∈ H : hx n − z, x 0 − x n i ≥ 0} ; x n+1 = P H n ∩W n (x 0 ) , n ≥ 0. hội tụ mạnh tới một điểm u 0 = P F ix(T) (x 0 ) khi n → ∞.
Chứng minh Sử dụng Định lý 2.1 với α n = 1, ta thu được điều cần chứng minh.
Hệ quả 2.2 (xem [4],Hệ quả (2.7)) Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H và T : C → H là ánh xạ không giãn sao cho
F ix(T ) 6= ∅ Giả sử {α n } là dãy số trong [0, 1] thỏa mãn α n → 1 Khi đó, dãy {x n } , {y n } được định nghĩa bởi
W n = {z ∈ H : hx n − z, x 0 − x n i ≤ 0} ; x n+1 = P H n ∩W n (x 0 ) , n ≥ 0. hội tụ mạnh tới một điểm u 0 = P F ix(T) (x 0 ) khi n → ∞.
Trong Định lý 2.1, khi đặt β n = 0, chúng ta có thể chứng minh được điều cần thiết Định lý 2.2, như đã nêu trong tài liệu [5], khẳng định rằng C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, với ánh xạ không giãn T : C → H.
F ix(T ) 6= ∅ Giả sử {x n } là dãy số trong khoảng (a, 1) với a ∈ (0, 1] Khi đó, dãy {x n } , {y n } được định nghĩa bởi (2.5) hội tụ mạnh tới một điểm u 0 = P F ix(T ) (x 0 ) khi n → ∞.
Chứng minh Đầu tiên ta chú ý rằng ||y n − z|| ≤ ||x n − z|| là tương đương với hy n − x n , x n − zi ≤ −1
Vì vậy, H n là nửa không gian.
Tiếp theo ta chỉ ra rằng F ix(T ) ⊂ H 0, với ∀n ≥ 0 Rõ ràng
F ix(T ) = F ix(T P C ) := {p ∈ H : T P (CP ) = p} với bất kỳ ánh xạ T : C → C Vì vậy, ta có với mỗi p ∈ F ix(T ):
Hơn nữa, vìF ix(T )là tập con, lồi, đóng, khác rỗng củaH, theo Bổ đề 2.2, tồn tại duy nhất một phần tửu o ∈ F ix(T )sao chou 0 = P F ix(T ) (x 0 ) Từx n+1 = P H n+1 (x 0 ), ta được
Bây giờ ta chỉ ra rằng n→∞ lim ||x n+m − x n || = 0 (2.14) Với mỗi số nguyên cố định m > 0 Thật vậy, từ định nghĩa của H n+1 , ta suy ra rằng H n+1 ⊂ H n , vì vậy ta có
Vì vậy, tồn tại lim n→∞ ||x n − x 0 || = c Tiếp theo, theo Bổ đề (2.1), x n+m ∈ H n và x n = P H n (x 0 ), ta có hx n − x 0 , x n+m − x n i ≥ 0.
Từ đó và lim n→∞ ||x n − x 0 || = c, ta có được (2.14) Vì vậy {x n } là dãy Cauchy Ta giả sử rằng x n → p ∈ H Mặt khác, từ (2.14) và bất đẳng thức sau
Vì vậy, p = T P C p Điều đó cũng có nghĩa p ∈ F ix(T ) Bây giờ từ (2.13) và Bổ đề 2.2, suy ra p = u 0 Sự hội tụ mạnh của dãy {u n } tới u 0 là do n→∞ lim ||y n − x n || = lim n→∞ à n ||x n − T P C x n || = 0 và x n → u 0
Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co
Trong phần này, chúng tôi xin trình bày phương pháp lặp Ishikawa tìm điểm bất động của ánh xạ giả co trong không gian Hilbert.
Mệnh đề 2.1 (xem [7], Chương 6, Mệnh đề 6.6.3) Cho C là tập con lồi, khác rỗng của không gian Hilbert H và ánh xạ giả co T : C → C Khi đó
Chứng minh Lấy x, y ∈ C Ta có
Mệnh đề 2.2 (xem [7], Chương 6, Mệnh đề 6.6.4) đề cập đến tập con lồi C, khác rỗng của không gian Hilbert H và ánh xạ giả co T : C → C Đối với mỗi 0 ≤ α ≤ β ≤ 1, ánh xạ T α,β : C → C được xác định bởi công thức T α,β x = (1 − α)x + αT [(1 − β)x + βT x], với x thuộc C.
Chứng minh Lấy x, y ∈ C Theo Mệnh đề 2.1, ta có
Do T là ánh xạ giả co nên
− α(β − α)||x − y − (T u x − T u y )|| 2 + αβ||T x − T y − (T u x − T u y )|| 2 Định lý 2.3 (xem [7], Chương 6, Định lý 6.6.5) Cho C là tập con lồi, compact, khác rỗng của không gian Hilbert H và T : C → C là ánh xạ giả co Lipschitz với
F ix(T ) 6= ∅ Cho {x n } là dãy lặp Ishikawa xác định bởi (2.2) Khi đó {x n } hội tụ mạnh tới điểm bất động của T.
Chứng minh Lấyp ∈ F ix(T ) ĐặtT n x n := T α n ,β n x n = (1− α)x n +αT [(1 − β)x n + βT x n ]
Từ Mệnh đề 2.2, ta có
||x n+1 − p|| 2 ≤ ||x n − p|| 2 − α n β n (1 − 2β n )||x n − T x n || 2 + α n β n ||T x n − T y n || 2 (2.15) Giả sử T là ánh xạ L -Lipschitz Khi đó
Do đó từ (2.15) ta có
Do lim n→∞ β n = 0, tồn tại n 0 ∈N sao cho 2β n + L 2 β n 2 ≤ 1
Do C bị chặn, {||x n+1 − p||} bị chặn Do đó chuỗi bên trái là dãy bị chặn.
Từ điều kiện (2.16), suy ra rằng lim n→∞ inf||x n − T x n || = 0. Điều này ngược lại tính compact của C rằng tồn tại dãy con x n j sao cho n→∞ lim x n j = v, v ∈ F ix(T ).
Do v ∈ F ix(T ), từ (2.16) suy ra
||x n+1 − v|| ≤ ||x n − v ||, ∀n ≥ n 0 (2.17) Với ∀ε > 0, tồn tại N i,0 sao cho
Do đó, từ (2.17), chúng ta có
||x n − v|| ≤ ε, ∀n ≥ N i,0 Áp dụng giải bất đẳng thức biến phân
Bài toán bất đẳng thức biến phân, xuất hiện vào những năm 1960, đã phát triển thành nhiều dạng khác nhau như bất đẳng thức biến phân vectơ và giải bất đẳng thức biến phân Sự quan tâm từ các nhà toán học đối với bài toán này ngày càng tăng Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày bài toán bất đẳng thức biến phân cùng với nguyên lý ánh xạ co Banach để giải quyết bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh Các kết quả được trình bày trong chương này được trích dẫn từ các tài liệu [3],[6].
Bài toán bất đẳng thức biến phân
Phát biểu bài toán
Định nghĩa 3.1 Cho một tập con C của không gian Hilbert H và ánh xạ
Bài toán bất đẳng thức biến phân được kí hiệu là V IP (C; F ), là bài toán tìm x ∗ sao cho x ∗ ∈ C, hF (x ∗ ), x − x ∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C (3.1)
Tập hợp những điểm x ∗ thỏa mãn (3.1) được gọi là tập nghiệm của V IP (C, F ) và kí hiệu là SOL − V IP (C; F ).
Khi xét bài toán (3.1), Auslender đã đưa ra hàm chắn (gap) bằng cách với mọi x ∈ C, đặt g 1 (x) = max {hF (x ∗ ), x − yi /y ∈ C}
Ta dễ dàng nhận thấy rằng g 1 (x) ≥ 0, ∀x ∈ C Do đó, bài toán (3.1) có thể viết dưới dạng bài toán tối ưu min {g 1 (x) /x ∈ C}
Một thách thức trong bài toán này là hàm g1 có thể không khả vi, dẫn đến việc bài toán xác định hàm chắn có thể không có nghiệm Để khắc phục khó khăn này, Fukushima đã đề xuất một hàm chắn mới với dạng g2(x) = max n − 1.
(3.2) trong đó, G là ma trận đối xứng, xác định dương.
Cũng như hàm chắn g 1 , ta có g 2 (x) ≥ 0 với mọi x ∈ C và khi ấy bài toán (3.1) có thể được đưa về dạng bài toán tối ưu min {g 2 (x) /x ∈ C}
Sự tồn tại nghiệm
Dựa vào định lý điểm bất động Brouwer, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của nghiệm cho bất đẳng thức biến phân (3.1) Trước tiên, chúng tôi sẽ trình bày bổ đề liên quan.
Bổ đề 3.1 (xem [3], Bổ đề 2.1) Cho C là tập con lồi đóng của không gian Hilbert H Khi đó với mỗi x ∈ H, có duy nhất y ∈ C, sao cho:
||x − y|| = min η∈C ||x − η||. Điểm y thỏa mãn đẳng thức này được gọi là hình chiếu của x lên C và ta viết y = P C x.
Chú ý rằng với mọi x thuộc tập C, ta có P C x = x Định lý 3.1 khẳng định rằng nếu C là một tập hợp không rỗng, compact và lồi nằm trong H, thì tồn tại ánh xạ F liên tục từ C đến C Do đó, bài toán bất đẳng thức biến phân (3.1) sẽ có nghiệm, tức là sẽ có ít nhất một điểm x ∗ thuộc C sao cho hF (x ∗ ), x − x ∗ i ≥ 0 cho mọi x thuộc C.
Chứng minh Xây dựng ánh xạ φ bằng cách với mỗi x ∈ C đặt φ(x) := P C (x − F (x)).
Do F liên tục trên C và phép chiếu P C liên tục nên φ liên tục Vậy theo định lý điểm bất động Brouwer tồn tại x ∗ = φ(x ∗ ).
Theo định nghĩa của φ, thì x ∗ = φ(x ∗ ) = P C (x ∗ − F (x ∗ )).
Theo tính chất của hình chiếu, ta có hF (x ∗ ), x − x ∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C.
Vậy bài toán bất đẳng thức biến phân (3.1) có nghiệm.
Chú ý rằng bài toán (3.1) không phải luôn luôn có nghiệm khi C không bị chặn, ví dụ nếu C =R, thì bài toán
F (x)(y − x) ≥ 0, ∀y ∈ C không có nghiệm khi F (x) = e x Định lý sau đây là điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm
R là hình cầu đóng bán kính
R và tâm O ∈R n Khi đó C R là tập compact yếu.
Vậy theo định lý trên ta có x R ∈ C R : hF (x R ), y − x R i ≥ 0; ∀y ∈ C R (3.3) Định lý 3.2 (xem [3], Định lý 4.2) Cho C ∈ H là tập lồi, đóng và ánh xạ
Để bài toán bất đẳng thức biên phân (3.1) có nghiệm, cần và đủ là tồn tại một số R > 0, sao cho tồn tại một nghiệm x R ∈ C R của bài toán (3.3) thỏa mãn điều kiện F : C → H liên tục trên C.
Chứng minh Rõ ràng là nếu tồn tại một nghiệm x của bài toán (3.1) thì x là nghiệm của bài toán (3.4), miễn là ||x|| < R.
Giả sử x R ∈ C R thỏa mãn ||x R || < R, thì x R cũng là nghiệm của bài toán (3.1). Thật vậy, vì ||x R || < R, cho y ∈ C, ω = x R + ε(y − x R ) ∈ C R với ε ≥ 0 đủ nhỏ
= ε hF (x R ), y − x R i , ∀y ∈ C. Điều này có nghĩa là x R là một nghiệm của bài toán (3.1).
Từ định lý này ta có thể rút ra được điều kiện đủ để tồn tại nghiệm Ta cần đến khái niệm về tính chất tự bức sau
Hệ quả 3.1 (xem [3], Hệ quả 4.3) Nếu F : C → H thỏa mãn hF (x) − F (x 0 ), x − x 0 i
||x − x 0 || → ∞ khi x ∈ C, ||x|| → +∞, với x 0 nào đó thuộc C, thì tồn tại một nghiệm đối với bài toán (3.4).
Chứng minh Chọn H > |f (x 0 )| và R > |x 0 | sao cho: hF (x) − F (x 0 ), x − x 0 i ≥ H|x − x 0 |, |x| ≥ R, x ∈ C thì hF (x), x − x 0 i ≥ H|x − x 0 | + hF (x 0 ), x − x 0 i
Bây giờ, ta cho x R ∈ C R là nghiệm của bài toán (3.4) thì hF (x R ), x R − x 0 i ≥ − hF (x R ), x 0 − x R i ≤ 0.
Vì vậy, dựa vào (3.5), ta có |x| 6= R Nói cách khác,|x| < R.
Nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân thường không duy nhất, nhưng có một điều kiện cơ bản đảm bảo tính duy nhất Cụ thể, nếu x và x0 là hai nghiệm khác nhau thuộc tập C, thì với x thuộc C, điều kiện hF(x), y - x ≥ 0 được thỏa mãn với mọi y thuộc C, và x0 cũng thuộc C.
Từ đây ta thấy, nếu
> 0 miễn là x, x 0 ∈ C, x 6= x 0 Điều kiện này kéo theo tính duy nhất nghiệm và điều kiện này được gọi là điều kiện đơn điệu chặt.
Nguyên lý ánh xạ co Banach giải bất đẳng thức biến phân
Để đơn giản, ta coi G = αI, trong đó α > 0 và I là ma trận đồng nhất.
Bổ đề 3.2 (xem [6], Bổ đề 3.1) Giả sử h(x) là nghiệm duy nhất của bài toán tối ưu lồi (3.2) Khi đó
Chứng minh DoG là xác định dương, bài toán (3.2) là lồi mạnh Vì thếh(x) là xác định duy nhất và là nghiệm của bài toán sau: min n 1
2 hy − x, G(y − x) + hF (x), y − xi + δ C (y)/y ∈ Hio trong đó δ C (y) =
0 nếu y ∈ C, +∞ nếu y 6∈ C là hàm chỉ thị của C Chú ý rằng dưới vi phân của hàm chỉ thị của C là nón pháp tuyến ngoài của
0 ∈ G(h(x) − x) + F (x) + N C (h(x)). Điều này suy ra rằng tồn tại z ∈ N C (h(x)) sao cho
G(h(x) − x) + F (x) + z = 0 trong đó N C (h(x)) kí hiệu nón pháp tuyến ngoài của C tại h(x).
Từ tính dưới vi phân của hàm lồi là đơn điệu, ta có
Định lý 3.3 khẳng định tính chất co của ánh xạ nghiệm h khi F là ánh xạ đơn điệu mạnh trên tập C Cụ thể, nếu F(x) là lồi, đóng và khác rỗng với mọi x ∈ C, đồng thời F cũng là ánh xạ đơn điệu mạnh với hệ số β > 0 và Lipschitz với hằng số L > 0 trên C, thì điều kiện ||h(x) − h(x 0 )|| ≤ ||x − x 0 − 1 α (F (x)) − F (x 0 )|| sẽ được thỏa mãn khi α > L².
2β, ánh xạ h là co trên C với hệ số δ := r
Chứng minh Giả sử rằng F (x) là ánh xạ đơn điệu mạnh với hệ số β > 0 và Lipschitz với hằng số L > 0 trên C, ta có
+ 1 α 2 ||F (x) − F (x 0 )|| 2 Theo Bổ đề 3.1, ta có
Vì F là ánh xạ đơn điệu mạnh với hệ số β > 0 và Lipschitz với hằng số L > 0 trên K, ta có
Do đó h là co trên C với hệ số δ như trên.
Luận văn đã trình bày các vấn đề chính sau đây
Kết quả liên quan đến ánh xạ co cho thấy sự quan trọng của nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian metric đầy đủ, từ đó mở rộng đến các ứng dụng của định lý Meir trong lý thuyết ánh xạ Những nghiên cứu này không chỉ làm rõ tính chất của ánh xạ co mà còn mở ra hướng đi mới cho các bài toán trong toán học.
- Keeler Các định lý về điểm bất động của ánh xạ không giãn, ánh xạ giả co, ánh xạ giả co mạnh trong không gian Hilbert
Bài viết giới thiệu về các dãy lặp quan trọng trong toán học, bao gồm dãy lặp Mann, dãy lặp Ishikawa và dãy lặp Halpern Nó cũng đề cập đến các phương pháp lặp như phương pháp Mann - Halpern, phương pháp lai ghép nhằm tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn, và phương pháp Ishikawa để tìm điểm bất động của ánh xạ giả co trong không gian Hilbert.
Bài toán bất đẳng thức biến phân và định lý Brouwer về sự tồn tại nghiệm của nó là những khái niệm quan trọng trong toán học Nguyên lý ánh xạ co Banach được áp dụng để giải quyết bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh, từ đó cung cấp những phương pháp hiệu quả trong việc tìm kiếm nghiệm Việc hiểu rõ các lý thuyết này không chỉ giúp nâng cao kiến thức mà còn mở ra nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.