Định lý điểm bất động và một số ứng dụng

Nghiên cứu việc áp dụng định lí điểm bất động trong việc giải phương trình giá trị thực, giải phương trình ma trận, giải phương trình tích phân và giải phương trình vi phân.. CHƯƠNG 1 MỘ

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận là những nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy Bùi Kiên Cường Bên cạnh đó em cũng được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy, cô giáo trong khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2

Vì vậy em xin khẳng định nội dung của đề tài: “Định lí điểm bất động và một số ứng dụng” không có sự trùng lặp với các đề tài khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

ĐINH THỊ NHÂM

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy, cô giáo trong

tổ Giải tích, các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô giáo trong trường ĐHSP Hà Nội 2 và các bạn sinh viên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo Bùi Kiên Cường – người đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Hơn nữa do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế, mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên

để khóa luận của em được hoàn thiện và có nhiều ứng dụng trong thực tế

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

ĐINH THỊ NHÂM

MỤC LỤC

Phần mở đầu 3

1 Lí do chọn đề tài 3

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 Cấu trúc của khóa luận 4

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Không gian metric 5

1.2 Không gian Hilbert 7

1.3 Không gian L2a, b 12

1.4 Toán tử tích phân 16

Chương 2: Định lí điểm bất động và một số ứng dụng 24

1 Định lí Banach về ánh xạ co 24

2 Ứng dụng của định lí Banach ánh xạ co 31

2.1 Ứng dụng trong việc giải phương trình giá trị thực 31

2.2 Ứng dụng trong việc giải phương trình ma trận 32

2.3 Ứng dụng trong việc giải phương trình tích phân 36

2.4 Ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân 41

Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 49

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lí thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của giải tích hàm phi tuyến - một môn toán học cơ bản vừa mang tính lí thuyết vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Ngay từ đầu thế kỉ 20, các nhà toán học trên thế giới đã quan tâm đến vấn đề này và cho tới nay có thể khẳng định rằng lí thuyết điểm bất động đã được phát triển hết sức sâu rộng, trở thành công

cụ không thể thiếu được để giải quyết nhiều bài toán khác nhau do thực

tế đặt ra Nói đến lí thuyết điểm bất động không thể không nhắc đến định

lí điểm bất động Vậy, nội dung định lí đó như thế nào? Định lí ấy có ứng dụng gì trong toán học, cụ thể trong việc giải phương trình giá trị thực, giải phương trình ma trận, giải phương trình tích phân và giải phương trình vi phân? Đó chính là lí do em chọn đề tài: “Định lí điểm bất động và một số ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và khóa luận tốt nghiệp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu định lí điểm bất động

Nghiên cứu việc áp dụng định lí điểm bất động trong việc giải phương trình giá trị thực, giải phương trình ma trận, giải phương trình tích phân và giải phương trình vi phân

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận

Phương pháp phân tích, tổng hợp và đánh giá

5 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Định lí điểm bất động và một số ứng dụng

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi là không gian metric một tập hợp X   cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X X vào tập hợp số thực thỏa mãn các tiên đề sau đây:

Do đó hệ thức (1.1.1) thỏa mãn tiên đề (iii) về metric

Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric M X d, , dãy điểm

 x n  X , điểm x oX Dãy điểm  x n được gọi là hội tụ tới điểm x o

trong không gian M khi n   , nếu   0 n o   n n o thì

Ví dụ 1.1.2 Sự hội tụ của một dãy điểm  x n trong không gian 1

là sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học

Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian metric M X d,  Dãy điểm

 x n  X gọi là dãy cơ bản trong M nếu   0 n o 

Định nghĩa 1.1.5 Cho không gian metric M X d,  Tập hợp K chứa trong X được gọi là tập hợp compact trong không gian M nếu mọi dãy vô hạn các phần tử của tập hợp K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc K

Khi K  X thì M gọi là không gian compact

Tập K gọi là tập compact tương đối trong không gian M nếu mọi dãy vô hạn phần tử của tập K đều chứa một dãy con hội tụ (tới phần tử thuộc X )

1.2 Không gian Hilbert

1.2.1 Tích vô hướng

Định nghĩa 1.2.1

Cho không gian tuyến tính X trên trường ( P P  hoặc P  ) Ta

gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X Xvào trường P , kí hiệu (.,.) thỏa mãn các tiên đề:

Các phần tử x, y, z gọi là các phần tử của tích vô hướng Số ( , )x y

gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y , các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi là

hệ tiên đề tích vô hướng

1.2.2 Bất đẳng thức Schwarz

Định lí 1.2.1

(x y X,  ), ta có ( , )x y  ( , ) ( , )x x y y

Đối với mỗi x X , ta đặt: x  ( , )x x

Định nghĩa 1.2.2 (định nghĩa không gian Hilbert)

Ta gọi một tập hợp H  gồm các phần tử , , , x y z nào đấy là

không gian Hilbert, nếu tập hợp H thỏa mãn các điều kiện:

1) H là không gian tuyến tính trên trường P

2) H được trang bị một tích vô hướng (.,.)

3) H là không gian Banach với chuẩn x  ( , ),x x x H

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert

H là không gian Hilbert con của không gian H

1.2.3 Phần bù trực giao, tập con trực giao

Định nghĩa 1.2.3

Cho không gian Hilbert H , hai phần tử , x y H gọi là trực giao với

nhau, kí hiệu x y, nếu ( , ) 0x y 

Định nghĩa 1.2.4

Cho không gian Hilbert H và tập hợp AH A,   Phần tử x H

gọi là trực giao với tập hợp A , nếu x y( y A), kí hiệu x A

1.2.4 Phần bù trực giao

Định nghĩa 1.2.5

Cho không gian Hilbert H và không gian con E của H Tập con

FH gồm các phần tử của không gian H trực giao với tập E gọi là phần bù trực giao của tập E trên không gian H và kí hiệu: F H E

Dễ thấy F cũng là không gian con của H khi đó ta có biểu diễn:

 1 2, 1 , 2 

H E F x x x x E x F

Định lí 1.2.2 (định lí về hình chiếu lên không gian con)

Cho không gian Hilbert H và H o là không gian con của H Khi đó phần tử bất kỳ x H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:

Cho không gian Hilbert H Một tập hợp (còn gọi là hệ thống) gồm

hữu hạn hay đếm được các phần tử (e n n) 1H gọi là một hệ trực chuẩn nếu:

1.2.6 Cơ sở trực chuẩn  Đẳng thức Paseval

Cho (e n n) 1 là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H Năm

mệnh đề sau tương đương:

1) Hệ (e n n) 1 là cơ sở trực chuẩn của không gian H ;

5) Bao tuyến tính của hệ (e n n) 1 trù mật khắp nơi trong không gian

H (nghĩa là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn bất kỳ các phần tử thuộc hệ (e n n) 1 trù mật khắp nơi trong không gian H )

1.2.7 Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục

Định lí 1.2.4 (F Riesz)

Mọi phiến hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H đều

có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

( ) ( , ),

f x  x a x H

Trong đó phần tử a H được xác định du nhất bởi phiến hàm f và

f  a

Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào

chính nó được gọi là tự liên hợp, nếu:

(Ax, ) ( ,y  x Ay),x y H, Toán tử liên hợp còn được gọi là toán tử đối xứng

Định lí 1.2.5

Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào

chính nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng (Ax, )x là một số thực

đối với mọi x H

1.2.10 Sự hội tụ yếu

Định nghĩa 1.2.10

Cho không gian Hilbert H Dãy điểm ( x n)H gọi là hội tụ yếu tới

điểm x H , nếu với mọi điểm y H ta có: lim ( n, ) ( , )

biến mọi dãy hội tụ yếu trong không gian X thành dãy hội tụ mạnh (còn gọi là hội tụ theo chuẩn) trong không gian Y

Định lí 1.2.7

Nếu X là một không gian Hilbert, thì liên hợp của mọi toán tử compact trong X đều là một toán tử compact

1.2.12 Điều kiện Lipschitz

Ta nói rằng trên a b,  ánh xạ A thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y , nếu tồn tại số L  sao cho với mọi 0 y y, 'a b,  ta có bất đẳng thức:

b a

x t dt  

1.3.2 Không gian tuyến tính L a b 2 , 

Tập hợp L a b định nghĩa trên cùng với phép cộng hai hàm số và 2 , 

phép nhân với một số thực là một không gian tuyến tính trên R

Thật vậy: Ta sẽ chứng minh các phép toán trên L a b2 , thỏa mãn 8 tiên đề về không gian tuyến tính

Tiên đề 1: x y L a b,  2 , :x y  y x

Vì ( )x t y t( )y t( )x t( ) h.k.n / a b , 

Tiên đề 2: x y z L a b, ,  2 , : (x y )  z x (y z )

Vì x t( )y t( )z t( )x t( )y t( )z t( )x t( )y t( )z t( ) h.k.n / a b , 

Vậy L a b2 ,  là một không gian tuyến tính thực

1.3.3 Không gian định chuẩn L a b 2 , 

Với mỗi x L a b 2 ,  ta đặt tương ứng với một số thực kí hiệu là x

xác định bởi công thức:

1 2 2

( )

b a

x  x t dt

Theo định lí tập L a b2 ,  thì  x L a b2 , : 0 ( )2

b a

L a b là một không gian định chuẩn

Thật vậy: Ta chứng minh thỏa mãn 3 tiên đề của không gian định chuẩn

Tiên đề 1:  x L a b2 , , x 0, x   0 x 

Vì:

1 2 2

b a

2 2

( )

b a

( ) ( )

b a

xy  x t  y t dt

L a b còn là không gian Banach

1.3.4 Không gian Hilbert 2 

Tiên đề 4:  x L a b2 , ,( , ) 0;( , ) 0x x  x x   x 

Thật vậy: ( , ) 2( ) 0

b a

x x x s ds x

2

( , ) 0x x  x s( ) 0 x s( ) 0 h.k.n / a b ,    x 

Theo trên đã chứng minh L a b2 ,  không gian tuyến tính trên trường

số thực R và được trang bị tích vô hướng (1.3.2) Ngoài ra nó còn là không

gian Banach do đó là một không gian Hilbert

1.4 Toán tử tích phân

1.4.1 Toán tử tích phân với hạch liên tục

Giả sử X là một tập hợp compact trong không gian m , K là một hàm số liên tục trên X X Ta sẽ chứng minh rằng nếu L X2( ) thì tích phân:

( )( ) ( , ) ( )

X

tồn tại với mỗi x X và A là một hàm số liên tục trên X

Trước hết chú ý rằng nếu X có độ đo hữu hạn và L X2( ) thì ta có:

Ta sẽ chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục

+) Do K là hàm số liên tục trên X X , mà X là không gian compact nên K sẽ liên tục đều trên X X , nghĩa là:

(ở đây ta xét trường hợp  Nếu 0  thì 0 A ) 0

Khi đó với mọi ', "x x X , nếu x'x"  thì 

( )1

xạ từ không gian L X2( ) vào chính nó

+) Dễ thấy A là một toán tử tuyến tính

1.4.2 Toán tử tích phân với hạch bình phương khả tích

Giả sử X là tập hợp đo được (theo nghĩa Lesbesgue) trong không

gian m,K là một hàm số thuộc L X X2(  ), tức K là hàm số đo được trên

tồn tại với hầu hết x X và AL X2( )

Thật vậy theo định lí Fubini ta có: ( , )2

Do đó từ bất đẳng thức Bunhiacopxki suy ra tích phân ở vế phải của

(1.4.2) tồn tại với hầu hết x X , và:

Ta đã chứng minh A là một ánh xạ từ không gian L X vào chính nó 2( )

Dễ dàng thấy A là một toán tử tuyến tính

( , )

X

A   K x s dxds

A được gọi là toán tử tích phân với hạch bình phương khả tích

1.4.3 Toán tử tích phân trong không gian L a b 2 , 

Định nghĩa: Cho một hàm hai biến K t s( , ) có bình phương khả tích Nghĩa là: 2( , ) 2

gọi là toán tử tích phân sinh bởi hạch K t s với ( , ) xL a b2 , 

Ví dụ:

1 0

Ax( )t tsds

1 1

Ax( )t (t s sds)



  Tính tuyến tính và tính bị chặn của toán tử tích phân

Trong không gian L a b2 ,  toán tử tích phân cho bởi công thức (1.4.6) L a b2 ,  là toán tử tuyến tính bị chặn

Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có:

2 2

A là toán tử tuyến tính Thật vậy:

Với mọi x t y t( ), ( )L a b2 ,  và với mọi số ,  , ta có: P

b a

Axy t K t s xy s ds

 ( , ) ( ) ( , ) ( )

b a

1 2 2

( , )

b b o

Định lí 1.4.1: Toán tử tích phân sinh bởi hạch đối xứng là một toán

tử đối xứng

Chứng minh

Thật vậy: Do

1 2 2

( )

b a

Định lí 1.4.2: Toán tử tích phân là một toán tử compact trong

Toán tử liên hợp của toán tử tích phân

Toán tử tích phân A X: Y X Y( , là hai không gian Hilbert) được xác định bởi công thức:

2

b a

Vậy mọi tích phân đối xứng đều là toán tử tự liên hợp

Tích của hai toán tử tích phân

Cho hai toán tử tích phân trong L a b : 2 , 

Ax( ) ( , ) ( )

( ) ( , ) ( )

b

a b a

( , ) ( , ) ( , )

b a

b a

R t s H t u K u s ds ta có điều cần chứng minh

Với K t s H t s thỏa mãn bình phương khả tích thì ta có ,( , ), ( , ) A B là

các toán tử compact do đó toán tử tích là toán tử compact

CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

1 Định lí Banach ánh xạ co

Định nghĩa 1.1 (Ánh xạ co) Một ánh xạ T từ một không gian

metric ( , )X d vào chính nó ( :T X  X) được gọi là một ánh xạ liên tục

Lipschitz nếu có một hằng số thực dương  sao cho

d Tx Ty d x y x y X Nếu 0  thì T được gọi là một ánh  1

xạ co,  được gọi là hệ số co của T

Ví dụ 1.1 Cho T R: R và

1 3

(1 )

Tx x , khi đó việc tìm nghiêm

của phương trình Tx x tương đương với việc giải phương trình

đó T không là ánh xạ co

Ví dụ 1.3 Cho X R a b, , X f, : ,a ba b,  và tồn tại f ' và sup f x '( ) 1 Khi đó f là ánh xạ co từ a b,  vào chính nó

Một ánh xạ T từ không gian metric X d vào chính nó gọi là có , điểm bất động u nếu tồn tại u X  sao cho: Tu u

Định lí 1.1 (Định lí Banach về ánh xạ co)

Cho T X:  X là một ánh xạ co với hệ số co  từ không gian metric đủ ( , ) X d vào chính nó Khi đó ánh xạ T tồn tại duy nhất một điểm bất động uX Hơn nữa, với bất kỳ xX dãy

Nói cách khác, T k( )x là một dãy Cauchy Vì X d,  là không

gian đủ, có một điểm u X là giới hạn của dãy Bây giờ chứng tỏ rằng ( )

T u u Đây là điều kiện đủ để chứng tỏ rằng d T u u  , nghĩa là:   ,  0

 

d T u u  T u  u

 ,   , 

d u v   d u v Dấu " " xảy ra khi d u v   ,  0 nghĩa là u v  do tiên đề  i của

Vì vậy T x  cũng có một điểm bất động của T N Vì điểm bất động của

N

T là duy nhất, nên suy ra rằng T x x Cũng vậy, nếu T y  y, thì

 

N

T y  y , nhờ tính duy nhất một lần nữa ta được y x

Định lí dưới đây là mở rộng của định lí Banach ánh xạ co Chúng

ta bỏ qua việc chứng minh vì kết quả tổng quát được chứng minh trong muc sau Tuy nhiên, kết quả chứng minh nó là một bài toán đẹp

Định lí 1.3 Cho M là một không gian metric có hai metric d và , và giả sử x y, d x y ,  với mỗi , x y M Giả sử M, là không gian metric đầy đủ, và giả sử T M: M là ánh xạ liên tục đối với metric 

và một ánh xạ co đối với metric d Khi đó T có một điểm bất động duy nhất trong M

Trong việc xem xét ánh xạ Lipchitz một câu hỏi đặt ra rằng liệu có thể làm suy yếu sự co mà vẫn tồn tại điểm bất động Theo nghĩa rộng thì câu trả lời này là không và đây là một ví dụ Bắt đầu với không gian metric đầy đủ C 0,1 và xem xét các không gian con đóng M của

 0,1

C bao gồm những ánh xạ f C 0,1 mà f  1 1 Vì M là không gian con đóng của một không gian metric đầy đủ nên M chính là không

gian đầy đủ Bây giờ xác định T M: M bằng cách T f là một hàm  

trong M thu được bằng cách đặt

      0,1

T f t tf t tNếu f g, M thì T f T g C 0,1 , vì vậy theo định lí giá trị lớn nhất T f T g  đạt giá trị lớn nhất tại một số điểm t  o  0,1 Sau đó chúng ta có