Fullbox PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Chuyờn đề PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG TRềN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 0 áp dụng đk tiếp xúc, giải được k.. Với giá trị nào của thì phương trình trên là p.trình của một đường tròn.. Bài tập 8:

Trang 1

Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011

2 Tiếp tuyến của đường tròn: x2+y2-2ax-2by c+ =0

a Tiếp tuyến của ( )C tại M x y (0( ; )0 0 M : tiếp điểm) 0

Tiếp tuyến của ( )C tại M x y có phương trình: 0( ; )0 0

xx + yy -a x x+ -b y y+ + =c

(CT phân đôi toạ độ)

Nhận xét: Râ rµng tiÕp tuyÕn ®i qua  M x y0( ; )0 0 vµ cã 1 vect¬ ph¸p IM0 (x0a y; 0b)

: (a x ) x x (b y )(y y ) 0

b Điều kiện tiếp xúc:

Đường thẳng :D ax by c+ + =0 là tiếp tuyến của ( )C Ûd I( ;D =) R

Lưu ý: Để tiện trong việc tìm phương trình tiếp tuyến của ( )C , chúng ta không nên xét

phương trình đường thẳng dạng y kx m= + (tồn tại hệ số góc k ) Vì như thế dẫn đến sót

trường hợp tiếp tuyến thẳng đứng x C= (không có hệ số góc)

Trang 2

Chuyờn đề PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG TRềN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011

0

áp dụng đk tiếp xúc, giải được k

* Nếu kết quả 2 hệ số góc k (tương ứng 2 t.tuyến), bài toán giải quyết xong

* Nếu giải được 1 h.g.góc k, thì xét đường thẳng xx (đây là tiếp tuyến thứ hai)

áp dụng điều kiện tiếp xúc, ta được 1 phương trình đẳng cấp bậc hai theo a b

Nhận xột: Phương pháp 2 tỏ ra hiệu quả và khoa học hơn

3 Vị trớ tương đối của hai đường trũn-Số tiếp tuyến chung:

Cho hai đường trũn ( )C cú tõm 1 I , bỏn kớnh 1 R và 1 ( )C cú tõm 2 I , bỏn kớnh 2 R 2

Trang 3

a Với giỏ trị nào của m thỡ pt(1) là phương trỡnh của đường trũn?

b Nếu (1) là phương trỡnh đường trũn, hóy tỡm toạ độ tõm và tớnh bỏn kớnh đường trũn

đú theo m

Bài tập 3: Cho phương trình : x2 +y2 + 6mx- 2(m- 1)y+ 11m2 + 2m- = 4 0

a Tìm điều kiện của m để pt trên là l phương trình đường tròn

b Tìm quỹ tích tâm đường tròn

Bài tập 4: Cho phương trỡnh: x2y22(cosa1)x2(sina1)y  2 0

;1

0

a Với giá trị nào của thì phương trình trên là p.trình của một đường tròn

b Tìm giá trị để đường tròn có bán kính nhỏ nhất, lớn nhất

c Tìm quỹ tích tâm đường tròn, khi thay đổi trên đoạn 0

a a

Bài tập 5: Cho phương trình (C m): x2+y2+ 2(m- 1)x- 2(m- 3)y+ = 2 0

a Tìm m để (C m) là phương trình của một đường tròn

b Tìm m để (C m) là đường tròn tâm I(1; 3).- Viết phương trình đường tròn

c Tìm m để (C m) là đường tròn có bán kính R= 5 2. Viết phương trình đường tròn

d Tìm tập hợp tâm các đường tròn (C )

Trang 4

Phương pháp:

Cách 1: Tìm tâm ( ; )I a b , bán kính R>0 Suy ra ( - ) (2+ - )2 = 2

Cách 2: Gọi phương trình đường tròn: x2+ y2-2ax-2by c+ =0

- Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số , , a b c

- Giải hệ phương trình tìm , , a b c

LUYỆN TẬP:

Bài tập 1: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a (C) có tâm ( 1;2)I - và tiếp xúc với đường thẳng :D x-2y+ =7 0

b (C) có đường kính là AB với (1;1), (7;5)A B

Bài tập 2: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm với (1;4), ( 7;4), (2; 5)A B - C -

Bài tập 3: Cho 3 điểm (1;2), (5;2), (1; 3)A B C -

a Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC

c (C) tiếp xúc với trục Ox d (C) tiếp xúc với trục Oy

e (C) tiếp xúc với đường thẳng : 4D x+3y-12=0

Bài tập 6: Lập phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm ( 1;2), ( 2;3)A - B - và có tâm ở

trên đường thẳng : 3D x- +y 10=0

Gợi ý:

Cách 1: Gọi ( ;3I a a+10) ΔÎ Do (C) qua A, B nên IA = IB (=R)

Cách 2:

Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của đoạn AB

Bước 2: Tâm I của (C) là giao điểm của d và Δ

Bài tập 7: Lập phương trình của đường tròn (C) đi qua 2 điểm (1;2), (3;4)A B và tiếp xúc với

đường thẳng : 3D x+ - =y 3 0

Gợi ý:

Cách 1: Gọi ( ; )I a b là tâm đường tròn

Theo giả thiết:

Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của đoạn AB

Bước 2: Gọi tâm của (C) là I dÎ (tọa độ 1 ẩn)

Do Δ tiếp xúc với (C) nên d I( ;Δ) =IAÞ giải ra I

Bài tập 8: Lập phương trình đường tròn (C) đi điểm (4;2)M và tiếp xúc với các trục toạ độ

Gợi ý:

Trang 5

Gọi ( ; )I a b là tâm của (C) Do (C) tiếp xúc với Ox, Oy nên a = b =R

Bài tập 9: Cho 3 đường thẳng: D1: 3x+4y- =1 0, D2: 4x+3y- =8 0, : 2d x+ - =y 1 0 Lập

phương trình đường tròn (C) có tâm I nằm trên đường thẳng d và (C) tiếp xúc với D D1, 2

Gợi ý:

Cách 1:

Gọi ( ;1 2 )I a - a Îd là tâm của đường tròn (C)

Do D D1, 2 là các tiếp tuyến của (C) nên suy ra: d I( ;D =1) d I( ;D Þ2) giải ra I

Bước 2: Tâm I của đường tròn tương ứng là giao điểm của d và T T 1, 2

Bài tập 10: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm (0;1), (2; 3)A B  và có bán kính

í = =î

Cách 2:

Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của AB

Bước 2: Gọi I dÎ (tọa độ 1 ẩn) Theo giả thiết IA= Þ5 giải ra I

Bài tập 11: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I(1;1), biết đường thẳng

: 3 x 4y 3 0

    cắt (C) theo dây cung AB với AB  2

Gợi ý:

Trang 6

Bài tập 12: (ĐH A-2007) Cho tam giác ABC có (0;2), ( 2; 2)A B - - và C(4; 2)- Gọi H là

chân đường cao kẻ từ B; M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Viết phương trình đường

tròn qua các điểm H, M, N

Gợi ý:

Bước 1: Xác định tọa độ M, N

Bước 2: Lập phương trình đường trung trực d của MN

Dễ thấy tâm I của (C) thuộc d

Bước 3: Tâm I của (C) là giao điểm của BH và d Suy ra IM =R

Bài tập 13: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm (1;1)A và có bán kính R  10, tâm

(C) nằm trên Ox

Gợi ý:

Gọi ( ;0)I a ÎOx là tâm của (C) Theo giả thiết, IA= 10, từ đây giải ra I

Bài tập 14: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm M(2;3) và tiếp xúc đồng thời với hai

Bài tập 16: Cho đường thẳng d x:    và đường tròn y 3 0 ( ) :C x2y2   7x y 0

Chứng minh rằng d cắt ( ) C Hãy viết phương trình đường tròn ( ') C đi qua M ( 3;0) và các

giao điểm của d và ( ) C

Bài toán trở thành, lập phương trình đường tròn qua ba điểm (1; 2), (0; 3)A - B - và M ( 3;0)

(Dùng kỹ năng: Gọi phương trình x2+y2-2ax-2by c+ =0 và thay tọa độ)

Trang 7

Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Bài tập 17: Cho đường thẳng d x:    và đường tròn y 3 0 ( ) :C x2y2 x 7y 0.

Chứng minh rằng d cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B Hãy viết phương trình đường tròn

( ')C đi qua , A B và có bán kính R  3

Gợi ý:

Xác định các giao điểm A, B của d và (C)

Gọi ( ; )I a b là tâm của ( ') C Theo giả thiết:

3

IA IB IA

=ì

TH 1: (C) và (C’) tiếp xúc ngoài, tức là OI =R1+R2 ÛOI = +1 IAÞ giải ra I

TH 2: (C) và (C’) tiếp xúc trong, tức là OI = R1-R2 ÛOI = -1 IA Þ giải ra I

Bài tập 19: Viết phương trình đường tròn có bán kính R  , đi qua 2 M(2;0) và tiếp xúc với

Gọi ( ; )I a b là tâm của ( ) C

-ë

TH 1: b= Þ2 I a( ;2) Theo giả thiết IO'=R1+R2 Từ đây, giải ra I

TH 2: b= - Þ2 I a( ; 2)- Theo giả thiết IO'=R1+R2 Từ đây, giải ra I

Bài tập 21: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng :d y   tại điểm 2 0

(4;2)

M và tiếp xúc với đường tròn ( ') :C x2(y2)2  4

Gợi ý:

Qua M dựng đường thẳng Δ vuông góc với d

Lúc đó, tâm IÎΔ (tọa độ 1 ẩn) Dễ thấy R IM=

TH 1: 'II = +R R'Û II'=IM +R' Từ đây, giải ra I

TH 2: 'II = R R- ' Û II'= IM R- ' Từ đây, giải ra I

Bài tập 22: Cho đường tròn ( ') :C x2y2  Viết phương trình đường tròn ( )8 C tiếp xúc

với đường thẳng : x  và đường tròn (C’) tại điểm (2;2)3 0 M

Gợi ý:

Trang 8

Lập phương trình đường thẳng 'I M

Tâm IÎI M' (tọa độ 1 ẩn)

Ta có: II'=IM +I M' Û II'=d I x( , - +3) I M' Từ đây, giải ra I

Bài tập 23: (Đề dự bị 2003) Cho đường thẳng :d x-7y+10 0= Viết phương trình đường

tròn có tâm thuộc đường thẳng : 2D x y+ =0 và tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm (4;2) A

Gợi ý:

Tâm IÎΔ(tọa độ 1 ẩn) Theo giả thiết IA d I d= ( , ) Từ đây, giải ra I

VẤN ĐỀ 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Bài tập 1: Cho đường tròn (C): ( ) (2 )2

x- + y- = Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp sau:

a Tại điểm (5; 3)M - b Biết tiếp tuyến song song : 5D x-12y+ =2 0

c Biết tiếp tuyến vuông góc : 3D x+4y+ =2 0

d Biết tiếp tuyến đi qua (3;6)A

Bài tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): 2 2

ê = Û = êë

Cách 2: Xác đ ịnh tọa độ các tiếp điểm

Gọi M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến xuất phát từ A và đường tròng (C) 0( 0; 0)

Trang 9

Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Bài tập 4: Cho đường tròn (C): 2 2

x +y - x+ y+ = và điểm (1;3)A

a Chứng tỏ A nằm ngoài đường tròn (C)

b Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ A

Bài tập 5: Cho đường tròn (C): ( ) (2 )2

Vậy từ M tồn tại 2 tiếp tuyến với (C)

Cách 1: Gọi n=( )a b; (a2+b2 >0) là một vectơ pháp của tiếp tuyến cần tìm (Như câu trên)

Cách 2: Gọi M x y là tiếp điểm 0( 0; 0)

Lúc đó, tiếp tuyến của (C) tại M có dạng :0 D (x+1)(x0+ +1) (y-2)(y0 -2) =9

Suy ra hai tiếp điểm M1( 1; 1), ( 2; 2)- - M2

-TH 1: Tiếp tuyến D1 qua (2; 1)M - và M1( 1; 1)- - có phương trình: y= -1

TH 2: Tiếp tuyến D2 qua (2; 1)M - và M2( 2; 2)- - có phương trình:

Từ (3), (4) dễ thấy: M M1, 2Î D:x y- =0 hay đường thẳng M M1 2: x y- =0

Bài tập 6: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn:

Trang 10

I R

ìïí

=ïî

T©m B¸n kÝnh và ( )C có 2 2( )

2

4;42

I R

ìïí

=ïî

T©m B¸n kÝnh

Ta có: I I1 2 =(3;4)ÞI I1 2 = > =5 4 R R1+ 2 Vậy ( )C và 1 ( )C ngoài nhau nên tồn tại 4 tiếp 1

tuyến chung cần tìm

Gọi D: ax by c+ + =0 (a2+b2 >0) là tiếp tuyến chung của ( )C và 1 ( )C 2

Lúc đó, theo giả thiết: ( )

ê

= ë

Trang 11

Kết luận: Vậy tồn tại 4 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán:

1: 4x 3y 14 0

D - + + = , D2: -4x+3y- =6 0, D3: y- =2 0, D4: 24x+7y-74 0=

Bài tập 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( ) :C x2y225, biết rằng tiếp

tuyến đó hợp với đường thẳng : 2 1 0 mét gãc mµ cos = 2

ê =ë

TH 1: a= Þ0 nd =(0; ) b b( ¹0), chọn nd(0;1)Þd y m: + =0

Mặt khác, d tiếp xúc với (C) nên: ( ; ) 5 5

51

m m

d O d R

m

=é

255

n n

d O d R

n

=é

-ë

Vậy trường hợp này có 2 tiếp tuyến: d3: 4x+3y+25 0, : 4= d4 x+3y-25 0=

MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC

1) (ĐH A-2002) Cho tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC

là: 3x y- - 3 0= , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2

Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

Trang 12

Chuyờn đề PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG TRềN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Cỏch 1: Ta có: AB= -a 1 , AC = 3a-1 , BC =2a-1

2 Δ

S r

522

=-

R

x

5Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB bằng và

Do đó A, B là các giao điểm của đường thẳng AB với đường tròn tâm I và bán kính

Vậy tọa độ A, B là nghiệm của hệ phương trình:

Trang 13

Hoàn toàn có thể xác định tọa độ H là hình chiếu của I trên đường thẳng AB

Sau đó tìm A, B là giao điểm của đường tròn tâm H bán kính HA với đường thẳng AB

Cho đường thẳng d x y: - + =1 0 và đường trũn ( )C x: 2+ y2+2x-4y=0 Tỡm toạ độ

điểm M thuộc d mà qua đú ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xỳc với đường trũn ( )C tại A và

B sao cho gúc AMB bằng 60 0

6) (ĐH B-2003) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A và AB= AC Biết M(1; 1)- là trung điểm cạnh

BC và 2;0

3

Gổ ử

ố ứ là trọng tõm tam giỏc ABC Tỡm toạ độ cỏc đỉnh A, B, C

7) (Đề dự bị 2003) Cho đường thẳng :d x-7y+10 0= Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm

thuộc đường thẳng : 2D x y+ =0 và tiếp xỳc với đường thẳng d tại điểm (4;2) A

8) (ĐH D-2003) Cho đường thẳng :d x y- - =1 0 và đường trũn ( ) ( ) (2 )2

C x- + y- = Viết phương trỡnh đường trũn ( )C đối xứng với đường trũn / ( )C qua đường thẳng d Tỡm toạ

độ giao điểm của ( )/

giao điểm H của và là nghiệm của hệ phương trình:

Gọi là điểm đối xứng với qua Khi đó:

Vì (C') đối xứng với (C) qua nên (C') có tâm là d J(3;0) và bán kính R=2

Trang 14

Tọa độ các giao điểm của (C) và (C') là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy tọa độ giao điểm của (C) và (C') là (1;0),A B(3;2)

9) (ĐH A-2004) Cho hai điểm (0;2), (A B - 3; 1)- Tỡm toạ độ trực tõm và toạ độ tõm của

đường trũn ngoại tiếp của tam giỏc OAB

+ Đường thẳng qua O, vuông góc với BA có phương trình 3

Đường thẳng qua B, vuông góc với OA có phương trình

Đường thẳng qua A, vuông góc với BO có phương trình

OAB là I( 3

10) (ĐH A-2005) Cho hai đường thẳng d x y1: - =0, : 2d2 x y+ - =1 0 Tỡm toạ độ cỏc đỉnh

của hỡnh vuụng ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d , đỉnh C thuộc 1 d và cỏc đỉnh B, D thuộc trục 2

A t t

C t t

IB IA I

Vậy bốn đỉnh của hình vuông là:

hoặc 1), (2;0),B C(1; 1),- D(0;0)

Trang 15

Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011

11) (ĐH B-2005) Cho hai điểm (2;0), (6;4)A B Viết phương trình đường trịn ( )C tiếp xúc

với trục hồnh tại A và khoảng cách từ tâm của ( )C đến điểm B bằng 5

Ta cã: (C) tiÕp xĩc víi Ox t¹i A a=2 vµ b

12) (Đề dự bị 2005) Cho đường trịn ( )C x: 2+y2-12x-4y+36 0= Viết phương trình

đường trịn ( )C tiếp xúc hai trục toạ độ Ox, Oy đồng thời tiếp ngồi với (C) 1

Gợi ý: ( )C Û x2+y2-12x-4y+36 0= Û(x-6) (2+ y-2)2 =4

Vậy (C) có tâm I 6,2 và R=2 ( )

Vì đường tròn ( )C tiếp xúc với 2 trục Ox, Oy nên tâm 1 I nằm trên 2 đường thẳng 1

y= ±x vàvì (C) có tâm I 6,2 ,R = 2 ( )

nên tâm I x1( ;±x)với x > 0

TH 1: Tâm I1Ỵ đường thẳng y = x Þ I x x , bán kính ( , ) R1=x

( )C tiếp xúc ngoài với (C) 1 Û I I1= +R R1Û (x-6) (2+ x-2)2 = +2 x

ë Ứng với R1=2 hay R2 =18Có 2 đường tròn là: (x-2) (2+ y-2)2 =4; (x-18) (2+ y-18)2 =18

TH 2: Tâm I1Ỵ đường thẳng y= - Þx I x x( ,- ); R1 = x

Tương tự như trên, ta có x= 6

Có 1 đường tròn là (x-6) (2 + y+6)2 =36

Kết luận: Tóm lại ta có 3 đường tròn thỏa ycbt là:

Trang 16

Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011

13) (Đề dự bị 2005)

Cho hai đường trịn ( ) 2 2 ( ) 2 2

C x +y = C x +y - x- y- = Viết phương trình trục đẳng phương d của ( )C và 1 ( )C Chứng minh rằng nếu K thuộc 2 d thì khoảng cách từ K

đến tâm của ( )C nhỏ hơn khoảng cách từ K đến tâm của1 ( )C 2

Gợi ý:

Đường tròn ( )C có tâm 1 O 0,0 bán kính ( ) R1=3

Đường tròn ( )C có tâm 2 I 1,1 , bán kính ( ) R2 =5

Phương trình trục đẳng phương của 2 đường tròn ( )C , 1 ( )C là 2

(Đề dự bị 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (C): x2 + y2 - -4x 6y-12 0= Tìm tọa

độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2x y- + =3 0 sao cho MI = 2R , trong đĩ I là tâm và R là bán

(Đề dự bị 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm A(0;5), B(2; 3) Viết phương

trình đường trịn đi qua hai điểm A, B và cĩ bán kính R= 10

Trang 17

d x y- + = Tỡm toạ độ điểm M trờn d sao cho đường trũn tõm M, cú bỏn kớnh gấp đụi

bỏn kớnh đường trũn ( )C , tiếp xỳc ngoài với đường trũn ( )C

Yêu cầu của bài toán tương đương với:

Vậy, có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là: )

15) (Đề dự bị 2006) Cho đường thẳng :d x y- + -1 2 0= và điểm ( 1;1)A - Viết phương

trỡnh đường trũn ( )C đi qua A, gốc toạ độ O và tiếp xỳc với đường thẳng d

+

=ộ

16) (ĐH B-2006) Cho đường trũn ( )C x: 2+ y2-2x-6y+ =6 0 và điểm M( 3;1)- Gọi T T 1, 2

là cỏc tiếp điểm của cỏc tiếp tuyến kẻ từ M đến ( )C Viết phương trỡnh đường thẳng TT 1 2

Gợi ý:

Định dạng
Số trang	25
Dung lượng	4,11 MB