Phương trình bậc cao

Luyện tập A Giải các ph ơng trình sau: 1.. Biết rằng nó có nghiệm không phụ thuộc x... Luyện tập A Giải các ph ơng trình sau: 1.

Ph ơng trình quy về bậc hai

L

u ý : *) Đa thức P n (x)=a 0 x n +a 1 x n-1 +a 2 x n-2 +…+a n có nghiệm x= c thì P n (x)(x- c) *) P n (x) có nghiệm hữu tỷ x= q p Thì : p là ớc của a n còn q là ớc dơng của a 0

1.Dạng bậc ba: a x3 +bx 2 +cx+d= 0

Ph ơng pháp giải: Thờng nhẩm đợc một nghiệm x=α và đa phơng trình về dạng: (x-α )(a1x2+b1x+c1)=0 





= + +

=

⇔

0 1 1

2

a

giải đợc

Luyện tập

A) Giải các ph ơng trình sau:

1 2x3+7x2+7x+2= 0

2 (x-3)3+(x+1)3=8(x-1)3

B) Giải ph ơng trình sau có tham số:

1 Giải và biện luận: x3+(m-3)x2-(2m-1)x-3(m+1)= 0 m R∈

2 Giải phơng trình: x3-(m2-m-7)x-(3m2-3m-18)= 0 biết nó có một nghiệm là 1

3 Giải và biện luận : x3+(x-2)m-8= 0 tuỳ m R∈

4 Giải và biện luận: x3+2(1-2m)x2+(5-7m)x+2(m+5)= 0 m R∈ Biết rằng

nó có nghiệm không phụ thuộc x

5 Tìm m để: x3-3(m+1)x2+2(m2+4m+1)x-4m(m+1)= 0 có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn 1

6 Tìm m để: x3-2(2m+1)x2+(3m+1)x-(m+1)= 0 có 3 nghiệm dơng phân biệt

7 Cho: x3-(2a+1)x2+(a2+2a-b)x-(a2-b)= 0 Giải và biện luận theo a, b R∈

8 Xác định a,b sao cho: 3x3+a x2+bx+12= 0 có nghiệm x= 1 + 3

2 Dạng: ax4 +bx 2 +c= 0

Ph ơng pháp giải: Đặt y=x 2 (đk: y≥ 0) Đa về dạng: ay 2 +by+c=0 giải đợc y

Từ y=x 2 giải đợc x

L u ý: +) Mỗi giá trị y>0 ta đợc 2 giá trị của x=± y

+) Nếu x 0 là nghiệm thì (-x 0 ) cũng là nghiệm.

Luyện tập

A) Giải các ph ơng trình sau:

1: (x2+x+1)4-3(x2+x+1)2-54=0

2: (x+1)5-(x-1)5=32x

3: (2x+a)5-(2x-a)5=242a5

B) Giải ph ơng trình sau có tham số:

1: Cho mx4-2(m-1)x2+1= 0(1) Tìm m để (1) có : 4 nghiệm; không nghiệm

2: Định m để: x4+(1-2m)x2+m2-1= 0 có: không ;một,hai,ba nghiệm.

3 Dạng: ax4 +bx 3 +cx 2 ±bx+a= 0

Ph ơng pháp giải:

+) Thử trực tiếp x=0

+) Khi x≠ 0 Chia 2 vế cho x 2 đợc: ( 2+ 12)+ ( +1)+c=0

x x b x x

đặt t=

x

x+1 (*) (đk: t ≥ 2) thì 1 2 2

2

x x

Giải: at 2 +bt+c-2a=0 tìm t thay vào (*) tìm x.

Hoặc …+) Khi x≠0 Chia 2 vế cho x 2 đợc: ( 2 + 12)+ ( −1)+c=0

x x b x x

đặt t=

x

x−1 (*) thì 1 2 2

2

x

x Giải: at 2 +bt+c+2a=0 tìm t thay vào (*) tìm x.…

L u ý: Nếu x 0≠ 0 là nghiệm thì (

0

1

x ) cũng là nghiệm.

Luyện tập

A) Giải các ph ơng trình sau:

1 x4+x3-10x2+x+1=0

2 6x4+25x3+12x2 -25x+6=0

3 x4+x3-4x2+x+1=0

4 4x4+12x3+47x2 +12x+4=0

5: 2x4-21x3+34x2+105x+50=0

B) Giải ph ơng trình sau có tham số:

1 Định m để: x4+mx3+mx2+mx+1=0 vô nghiệm

2 Định m để: x4+mx3+x2+mx+1=0 có không ít hơn 2 nghiệm âm phân biệt

3 Định m để: x4-mx3-(2m+1)x2+mx+1=0 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1

4: Cho phơng trình 3x4-4x3+mx2+4x+3=0

a) Giải phơng trình khi m=-5

b) Tìm m để phơng trình vô nghiệm?

4 Dạng: (x+a)4 +(x+b)4 =c

Ph ơng pháp giải: Đặt t= x+a2+b(*)

và a−b =m

2 ta đợc phơng trình:

(t+m) 4 +(t-m) 4 =c đa về dạng: At 4 +Bt+C=0 giải đợc t từ (*) tìm đợc x.

A) Giải các ph ơng trình sau:

1: (x+4)4 + (x+6)4= 2

2: (x-4)4 + (x-6)4= 82

3: (x+5)4 + (x+3)4= 2

4: (x-5)4 + (x-3)4= 82

B) Giải ph ơng trình sau có tham số:

1: Tìm m để: (x+4)4+(x+2)4= m có nghiệm

5 Dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m (*).

Trong 4số a,b,c,d thì tổng 2 số bằng tổng 2 số còn lại.Chẳng hạn a+c=b+d=k.

Ph ơng pháp giải:

(*)⇔ [x 2 +(a+c)x+ac][x 2 +(b+d)x+bd]=0⇔(x 2 +kx+ac)(x 2 +kx+bd)=0 Đặt x 2 +kx=t Hoặc x 2 +kx+ac=t Hoặc x 2 +kx+bd=t Hoặc x 2 +kx+

2

bd

ac+

=t (*) Đa về dạng At 2 +Bt+C=0 giải đợc t thay vào (*) đợc x tìm x.

Luyện tập

A) Giải các ph ơng trình sau:

1: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3

2: (x-18)(x-7)(x+35)(x+90)=2001x2

3: Tìm nghiệm nguyên: x(x+1)(x+2)(x+3)= y2

4: (x-18)(x-7)(x+35)(x+90)=2001x2

5: (x2+3x+2)(x2+7x+12)=24

6: ((3x+4)(x+1)(6x+7)2=6

7: x(x-1)(x-2)(x-3)=120

8: (2x+1)(2x+2)(2x+3)(2x+4)=24

B) Giải ph ơng trình sau có tham số:

1: (2x-3)(2x-4)(2x-5)(2x-6)= m Tìm m để phơng trình có nghiệm.

2: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)= m Giải khi m=24 Tìm m để hệ vô nghiệm

6.Dạng: af 2 (x)+bf(x)g(x)+cg2 (x)= 0

Ph ơng pháp giải:

+) Thử trực tiếp g(x)=0

+) Khi g(x)≠ 0 đặt f(x)=kg(x) (*) đợc: ak 2 +bk+c=0 giải đợc k từ (*) giải đợc x

Luyện tập

A) Giải các ph ơng trình sau:

4

9 46 ) 2

3 ( 168 ) 2

3 (

2 2

−

−

− +

− +

−

+

x

x x

x x

x

1

4 2

5 ) 1

2 ( ) 1

2

2 2

−

−

−

−

− + +

+

x

x x

x x

x

1

4 48 ) 1

2 ( 5 ) 1

2 (

2 2

−

− +

−

+

− +

−

x

x x

x x

b x f a x

+

+ +

2

) (

1 ( ) ) (

1 (

Ph ơng pháp giải: Sử dụng A 2 +B 2 =(A-B) 2 +2AB

Đa phơng trình về dạng: [ ][ ] [ ( ) ][ ( ) ] 0

1 2

) ( )

(

1 )

(

2

=

− + +

+









+ +

b x f a x f b

x f a x f a

Giải đợc [f(x) +a][f(x) +b]=dTừ đây tìm đợc f(x)=e giải tìm đợc x.

Luyện tập

A) Giải các ph ơng trình sau:

1)

36

13 ) 2

1 ( ) 1

1

2

2

+ +

+ +

) 2 (

4 2

2

+

+

x

x

x

) 9 (

81 2

2

+

+

x

x

) 1

2

+

+

x

x

) 1

2

+

+

x

x

) 5 (

25 2

2

+

+

x

x x

8.Dạng:

k c qx ax

c px ax c

nx

ax

c

mx

+ +

+ + + +

+

+

+

2 2 2

2

c qx ax

px c

nx ax

c mx

+ +

+ + +

+ +

2 2

2

c qx ax

px c

nx ax

+ +

+ +

2

Ph ơng pháp giải:

+) Thử trực tiếp x=0

+) Khi x≠ 0 Chia cả tử và mẫu cho x đặt t

x

c

ax+ = (*) đa về:At 2 +Bt+C=0 Giải đợc t thay vào (*) tìm đợc x.

Luyện tập

A) Giải các ph ơng trình sau:

2 5 3

7 2

3

2

2

+ +

− +

x x

x

x

1

7 1 3

3

2

+ +

+ +

x x

x

x

3

3

8 1

2 1 4

3

2

+ +

− +

x x

x

x

3 2

13 3

5 2

2

2

+ +

+ +

x x

x

x

5

4

1 5 6

5 5 5

4

5 3

2

2 2

2

= +

−

+

−

− +

−

+

−

x x

x x x

x

x x

6

15 12

4 15

6

15 10

2 2

2

+

−

= +

−

+

−

x x

x x

x

x x

2 4

2 3 2

2

2

2 2

2

= + +

+ + + + +

+

x x

x x x x

x

2 3

3 2

2

2

2 2

2

= +

−

+ +

−

+

−

x x

x x

x

x x

2 3

13 2

5 3

2

2

+ +

+ +

x x

x

x

9.Dạng bình đẳng giữa ẩn và tham số.

Ph ơng pháp giải:

Đa phơng trình từ ẩn x thành dạng ẩn a giải a theo x

sau đó lại giải x theo a.

Luyện tập

Với a là số thực tuỳ ý

1 Giải và biện luận: x4-10x3-2(a-11)x2+2(5a+6)x+2a+a2= 0

2 Giải: a3x4+6a2x2-x+9a+3= 0 khi a≥0

3 Giải và biện luận: x4-2ax2+x2+a2-2a+1= 0

4 Giải và biện luận: x6-(a2+1)x2+a= 0