Bài: Phương trình đường tròn,

NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 3.. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN... PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Trên mặt phẳng tọa độ cho đường tròn C có tâm Ix0; y0, bán kính R.. ⇔ Ta gọi ph

Người soạn: Hồ thị Thanh Hằng

( xB − xA ) (2 + yB − yA ) 2

AB =

2 2

A B I

A B I

x

y



+



=







Cho A(xA, yA), B(xB, yB), I là trung điểm A, B Công thức tính tọa độ I ?

NỘI DUNG CHÍNH

1.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

2 NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH

ĐƯỜNG TRÒN

3 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Với I(x0; y0) và M(x; y) thì

IM=?

Đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R có phương trình là

gì?

1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Trên mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C) có tâm

I(x0; y0), bán kính R

(x - x ) + (y - y ) = R

⇔

(x - x ) + (y - y ) = R

⇔

Ta gọi phương trình (1) là phương trình đường tròn tâm I(x0; y0) bán kính R

Ta có M(x; y) ∈ (C)

a

y

M(x; y)

(1)

⇔ IM = R

Chú ý: Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O(0;0), bán kính R là x2 + y2 =R2

Ví dụ 1:

Viết phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Biết tâm I(1; -2), bán kính R = 3;

b) Biết tâm I(0, 5), bán kính bằng 4

Giải

a) Đường tròn tâm I(1; -2), bán kính bằng 3 có

phương trình là: (x – 1)2 +(y – (-2))2 = 32 ⇔ (x – 1)2 +(y +2)2 = 9

b)Đường tròn tâm I(0; 5), bán kính bằng 4 có

phương trình là: (x – 0)2 + (y – 5)2 = 42 ⇔ x2 + (y – 5)2 = 16

(x - x ) + (y - y ) = R tâm I(x0; y0), bán kính R.

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(-2; 3) và B(2; -3).

a)Hãy viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B b) Viết phương trình đường tròn đường kính AB

Hướng dẫn: để viết phương trình đường tròn ta cần

xác định tâm và bán kính

A

B

A

B

Đường tròn có: tâm

A(-2; 3), bán kính R = AB

Đường tròn có: tâm I là trung điểm AB

bán kính R= AB/2

a) đường tròn ta cần xác Để viết phương trình b)

định gì?

R

(x - x ) + (y - y ) = R

I

tâm I(x0; y0), bán kính R.

( 2) 2

0 2

3 ( 3)

0 2

x y

− +





IA

uur

2 2

Giải

a) Đường tròn có tâm A(-2 ; 3), bán kính R = AB =

b) Gọi I(x ; y) là tâm của đường tròn

Ta có: I là trung điểm AB

Suy ra I(0; 0)

Suy ra: bán kính R = IA =

Vậy phương trình đường tròn là x2 + y2 = 13

có phương trình là (x + 2)2 + (y – 3)2 = 52

Suy ra

= (-2 ; 3)

Ta có

Ví dụ 3:

55

14

Cho đường tròn lần lượt có phương trình là

a) (x -2)2 + (y +5)2 = 55 b) (x+4)2 +(y+3)2 = 14 c) (x-11)2 + (y-2)2 = 81

Hãy xác định tâm và bán kính.

c) Đường tròn có tâm I(11; 2) bán kính R = 9

a) Đường tròn có tâm I(2; -5) bán kính R =

b) Đường tròn có tâm I(-4; -3) bán kính R =

Giải

Phương trình đường tròn còn được viết dưới dạng nào khác không?

Ta có

(1) ⇔ x2 – 2x0x +

2.NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

+ y2 – 2y0y +

2 0

x

2 0

y

+

2 0

y

Biến đổi phương trình (1)

⇔ x2 + y2 – 2x0x – 2y0y + x0

Ta thấy mỗi đường tròn trong mặt phẳng tọa độ đều

có phương trình dạng x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (2)

= R2

– R2 =0

Ta đặt 2a = – 2x0 ; 2b = – 2y0; c = x02 + y02 − R2 = 0

Phương trình x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0, với điều kiện a2 + b2 – c > 0 là phương trình của

đường tròn tâm I (-a; -b) bán kính R=

Ngược lại:

Mỗi phương trình có dạng

x2 + y2 + 2ax +2by + c = 0 với a, b, c tùy ý có là

phương trình đường tròn không? Vì sao?

x2 + y2+ 2ax + 2by + c = 0

⇔ ( x2 + 2ax+ a2 ) + ( y2 + 2by + b2 ) + c - a2 - b2 = 0

⇔ (x + a)2 + (y + b)2 = a2 + b2 –c (2)

(2) là phương trình đường tròn ⇔

a + b − c

a2 + b2 – c > 0

Ta biến đổi phương trình

* Khi a2 + b2 – c = 0

Ta có: (2) ⇔ (x + a)2 + ( y + b)2 = 0

x = -a

y = -b



⇔ 



Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn phương trình (2)

là M( -a ; -b)

* Khi a2 + b2 – c <0 , không tồn tại x, y

thỏa mãn phương trình (2) Vậy tập hợp các

điểm M thỏa mãn phương trình (2) là tập rỗng

Ví dụ 3:

Trong các phương trình sau, phương trình nào

là phương trình đường tròn, hãy xác định tâm

và bán kính của đường tròn đó.

a) x2 + y2 - 8x + 2y + 7 = 0

b) 3x2+ 3y2 + 6x - 12y = 0

c) x2 + y2 - 2x - 6y + 103 = 0

d) x2 + 2y2 – 2x + 5y + 2 = 0

e) x2 + y2 – 2xy + 3x – 5y - 1 = 0

Ta có: a2 + b2 – c = (-4)2 +12 –7 = 10 > 0

Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm I( 4; -1), bán kính R =

b) Chia hai vế phương trình cho 3, ta được:

x2 + y2 + 2x - 4y= 0

8 2

2

7

2a

b c

=−







4 1 7

a b c

= −





 =



10

a) Phương trình có dạng: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0

1 2 0

a

b

c

=





⇒  = −

 =



Ta có: a2 + b2 – c = 12 + (-2)2 – 0 = 5 >0 Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn

Đường tròn có tâm I(-1; 2), bán kính R = 5

1 3 103

a b c

= −



 = −



 =



c) Suy ra

Ta có:

a2 + b2 – c = (-1)2 +(-3)2 – 103 = - 93 < 0.

Vậy phương trình đã cho không là phương trình

đường tròn.

không là phương trình đường tròn.

là phương trình đường tròn.

' '

5 + 2a + 4b + c = 0 (1 )

29 +10a + 4b + c = 0(2 )

10 + 2a - 6b + c = 0 (3')









1 2

b =

Phương trình đường tròn có dạng x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0

Do M, N, P thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình với

ba ẩn số a, b, c:

Lấy (2’) – (1’) ta được

24 + 8a = 0 ⇔ a = -3 Lấy (1’) – (3’) ta được

Thay a và b vừa tìm vào (1’) ta có c = -5 + 6 – 2 = - 1

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là

x2 + y2 – 6x + y – 1 = 0

-5 + 10b = 0⇔

Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm M(1 ; 2),

N(5 ; 2) và P(1 ; -3)

Bài tập về nhà: bài 21, 22,

23, 24, 25, 26 trang 95

sách giáo khoa

IM = IN

IM = IP













(x -1) +(y -2) =(x -5) +(y -2) (x -1) +(y -2) =(x -1) +(y+3)

x -2x +1+ y -4y + 4 = x -10x + 25+ y -4y + 4

x -2x +1+ y -4y + 4 = x -2x +1+ y +6y +9







-2x +1- 4y + 4 = -10x + 25- 4y + 4 -2x +1- 4y + 4 = -2x +1+ 6y +9







Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm M(1 ; 2), N(5 ; 2) và P(1 ; -3)

Giải

Gọi I(x ; y) là tâm và R là bán kính của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P

⇔

.

2 2

2 2

IM = IN

IM = IP







⇔

⇔

⇔

Ta có:

8x = 24 -10y = 5



⇔ 



x = 3

1

y =

-2





⇔ 



1 I(3;- )

2

3

IM = (-2; )

2

uuur

2

( 2)

2

 

− +  ÷ 

= 4 + =

2

Vậy Suy ra Khi đó R2 = IM2 =

Phương trình đường tròn cần tìm là

.