Chuyên đề tích phân Quyển 2

Tính tích phân bằng phương pháp biến đổi 6.1... Phương pháp đổi biến số loại 2 Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số ta gọi là loại 2 như sau...

Chủ đề 6 Tính tích phân bằng phương pháp biến đổi 6.1 Phương pháp

Để tính tích phân b

a

I f (x)dx ta phân tích f (x)k f (x) k f (x)1 1   m mTrong đó các hàm f (x) (i 1, 2, 3, , n)i  có trong bảng nguyên hàm

2 3

2 1

3

3 3

Nên 4 4

0 0

x dxI

1) I (x x2x 1)dx 2)

1

0

dxI

I cos 2xdx



3 2 6

4 2

8) Ta có: cos 2x4 1(1 2 cos 4x cos 4x)2 1(3 4 cos 4x cos 8x)

0 0

15) Ta xác định a, b sao cho: cos xa(sin x 2 cos x) b(cos x 2sin x)   a 2, b 1

0 0

10 3 12(3 tan x cot x)

I f x dx ta thực hiện các bước sau

Bước 1: Đặt xu t  (với u t  là hàm có đạo hàm liên tục trên  ; 

 ,f u t    xác định trên

;

  vàu  a, u  b) và xác định ,

www.boxtailieu.net

Bước 2: Thay vào ta có: I f u t u ' t dt      g t dt  G t  G  G 

Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số dạng 1

* Hàm số dưới dấu tích phân chứa a2b x2 2 ta thường đặt x asin t

7.1.2 Phương pháp đổi biến số loại 2

Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi

là loại 2) như sau

(x 1)dxI

Đổi cận: x 1 sin t 1 t ; x 3 sin t 3 t

dxI

xdxI

4



www.boxtailieu.net

dx2) I

x dxI

Ví dụ 3.7.5 Tính các tích phân sau

0

dx I

2 0

3) ln 5 x x

ln 3

dxI

3

3 3

0 0

2 0,5

dxI

x 4 dxI

dxA

dxI

B x x 1dxĐặt t x2 1 t2 x2 1 2tdt2xdxtdtxdx

2 2

3 3

2 4

8 4

dd

Đặt u x dudx;

2

sin xdxdv

I x ln xdx4)

6 x 3 cos x.sin x 4 1 sin x

2 2 2 2

0 0

3 3

Bài 3.9.2 Tính các tích phân sau

1)

2

3 0

x eI

x dxI

Chuyên đề 10 Tính diện tích hình phẳng

10.1 Phương pháp

Cho hàm số yf x  liên tục trên a; b

  Khi đó diện tích S của hình phẳng (D) giới hạnbởi: Đồ thị hàm số yf x ; trục Ox: (y0) và hai đường thẳng xa; xb là:

S e 1 x  1 e xdx  x e e dxVới    x 0;1, ta luôn có: x e e  x0

www.boxtailieu.net

2 Tìm các giá trị tham số m   sao cho: yx4m22 x 2m21, có đồ thị  Cm

cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi  Cm với trục hoànhphần phía trên Ox có diện tích bằng 96

Vậy, m5 thỏa bài toán

2 Đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt x4m22 x 2m2 1 0   hay

x21 x 2m210 có 4 nghiệm phân biệt, tức m0

Với m0 thì phương trình   có 4 nghiệm phân biệt  1; m21

Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi  Cm với trục hoành phần phía trên trục hoành là:

Ví dụ 3.10.3 Cho hàm số yx33x22,có đồ thị  C M là điểm thuộc  C có hoành

độ xM 1, Tiếp tuyến tại M cắt đồ thị  C tại điểm thứ hai N ( khác M) , Tiếp tuyến tại

N cắt đồ thị  C tại điểm thứ hai P ( khác N) Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị  C và đường thẳng MN, S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C vàđường thẳng NP Tính tỉ số 1

2

S.S

Tiếp tuyến tại M có phương trình :

4 1

4 2

27m

S 108m 16

10.3 Bài tập vận dụng

Bài 3.10.1 Tính diện tích hình phẳng D biết:

1) D được giới hạn bởi: P : yx2 x 3 và đường thẳng y2x 1

2) D được giới hạn bởi: y x24x 3 và y x 3

3) D được giới hạn bởi:yx ; y2  2 x 2

4) D được giới hạn bởi: yx ; x2  y2

5) D được giới hạn bởi: y 4 x2

4

4 2

6) D được giới hạn bởi: y(e 1)x; y (1 e )x x

4





Bài 3.10.2 Cho (P) : yx2 Gọi A, B là hai điểm di động trên (P) sao cho AB2 Tìm

A, B sao cho diện tích của phần giới hạn bới (P) và cát tuyến AB lớn nhất?

Bài 3.10.3 Xét hình phẳng (H) bị chắn phía dưới bởi Parabol (P) :yx2và phía trên bởiđường thẳng đi qua A(1; 4) có hệ số góc k Tìm k để (H) có diện tích nhỏ nhất?

Bài 3.10.4 Tìm m để đồ thị (C) :yx42mx2m 2 cắt Ox tại bốn điểm phân biệt vàdiện tích hình phẳng nằm trên Ox giới hạn bởi (C) và Ox bằng diện tích hình phẳng phíadưới trục Ox giới hạn bởi (C) và Ox

Hướng dẫn giải Bài 3.10.1.

1) Parabol (P) và đường thẳng d : y2x 1 cắt nhau tại hai điểm lần lượt có hoành độ

x 1; x2

Trên đoạn 1; 2

  ta thấy đường thẳng d nằm trên

Parabol (P) nên ta có diện tích cần tính là:

2

2 1

2 0

5 3 O

y

x

1 -1

www.boxtailieu.net

Đặt x4 sin tdx4 cos tdt Khi đó:

2 a

S  (kx k 4 x )dx  

2

1

x 3 2

2.1.1 Tính thể tích của vật thể

Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại

xa, xb (ab) Một mặt phẳng bất kì vuông góc với Ox tại điểm x (a x b) cắt Ctheo một thiết diện có diện tích S(x) Giả sử S(x) là hàm liên tục trên [a; b] Khi đó thể tíchcủa vật thể C giới hạn bởi hai mp(P) và (Q) được tính theo công thức: b

Chú ý: Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các đường yf (x), yg(x), xa, xb;

f (x), g(x)0   x a; b thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D quanh trục Ox

a

www.boxtailieu.net

Bài toán 2 Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi cácđường yf (x), ya, yb, Oy quanh trục Oy

Từ phương trình yf (x) ta tìm được xg(y) Khi đó thể tích cần tính là:

b 2 a

1 2 1 1

3) Xét hình phẳng giới hạn bởi đường cong y b2(x a) 2

và Ox Thể tích khối tròn xoay cần tính bằng thể tích khối tròn

xoay sinh bởi khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox, do đó ta

a b

x(b a )x ax

www.boxtailieu.net

2 0

Ví dụ 3.11.3 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay D quanh trục Oy, với D

là hình giới hạn bởi các đường:

1) y x, y 2 x, y0 2) (x 2) 2y2 1

Lời giải.

1) Ta có D giới hạn bởi các đường xy ; x2  2 y; y0

Đường xy2 cắt đường x 2 y tại điểm y1

2) Hình phẳng D được giới hạn bởi hai đường: x 2 1 y 2 và x 2 1 y 2

Do D đối xứng qua Ox, nên thể tích cần tính là:

Bài 3.11.1 Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi cho D quay quanh Ox Biết

D được giới hạn bởi các đường:

1) Phương trình hoành độ giao điểm:

2

x 2x  0 x 0, x2.Thể tích vật thể cần tính là:

2 D

1

4 D

www.boxtailieu.net