Chuyên đề Tích phân

* Nội dung: Sử dụng các phép biến đổi đại số kết hợp với các tính chất của tích phân đưa tích phân cần tìm về các tích phân có trong bảng nguyên hàm sau đó áp dụng định nghĩa... và ∫b a

* Nội dung: Sử dụng các phép biến đổi đại số kết hợp với các tính chất của tích phân đưa tích phân cần tìm về

các tích phân có trong bảng nguyên hàm sau đó áp dụng định nghĩa

2

4

2 4

2sin

x dx2x 1+

∫ 3)

1 0

x 1 xdx−

∫ 4)

1 2 0

4x 11 dx

++ +

π

dx x

π

dx x

x 16)

∫ −

2

05 2sincos

π

dx x

1) DẠNG 1: Tính I =

b

' a

f[u(x)].u (x)dx

Công thức đổi biến số dạng 1: ∫ [ ] = (∫)

) (

)()

('.)

a u

b a

dt t f dx x u x u

)(

a u t

b u t a x

b x

)()

('.)

a u

b a

dt t f dx x u x u f

CHÚ Ý: +, Khi gặp dạng f(x) có chứa ( 1

,lnx)

x thì đặt t = lnx (ví dụ 7, 9).

+, Khi f(x) có chứa nu(x) thì thường đặt t = u(x).( ví dụ 4,7, 5, 10 )

+, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu

Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức (1) và vận dụng hợp lý.

1 dxcos x

π

∫ ; 7)

e 1

1 ln xdxx

+

∫ ; 8) 4

0

1 dxcosx

π

dx x x

x ; 17) ∫3

4

2sin

)ln(

(

π

dx x

π

x

x x

sin

π

dx x

π

dx x

x

x ; 22)

2 0 sin cos )cos(

π

xdx x

1

lnln3

1 ; 25)

∫ +−

4 0

2

2sin1

sin21

π

dx x

x .

e +2

∫ 30)

f(x)dx

∫ bằng cách đặt x = (t)ϕ

Công thức đổi biến số dạng 2: =∫ =β∫ [ ]

α f ϕ t ϕ t dt dx

x f

I b a

)(')()

b x

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

α f ϕ t ϕ t dt dx

x f

I b a

)(')()

4 x−

1 2 0

2 0

9 3x dxx

+

∫ 11)

1

5 0

1(1 x dx)

x

−+

∫ 12)

2 2 2 3

1

1 x dx x

++

* Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau:

+, d(a.x b) a.dx dx d(a.x b)(a 0)

2

x x

−

∫ dx; 3)

3 0

21

x x

sincos

x x

dx2e +3

b

x v x u dx x v x

u( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )

Hay: ∫b =[ ] −∫

a

b a

b

v u udv

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt

)(

)(')

('

)(

x v v

dx x u du dx x v dv

x u u

Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : ∫b =[ ] −∫

a

b a

b

v u udv

Bước 3: Tính [ ]b

a v

u. và ∫b

a vdu

Đặt u=f(x), dv=g(x)dx(hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân du=u (x)dx/

không quá phức tạp Hơn nữa, tích phân

e sinaxdxa

b x a

e cosaxdxa

ò thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt u=ea x

x ln xdx

∫ 6) 3

2 0

x sin xdxcos x

ln(1 x)dxx

(x 1) e dx+

e

2 1

16) ∫1 +

0

2)1ln( x dx

π

xdx x

x

19) ∫2 + +

0

)1ln(

)72

C MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG

Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :

a a

3 2

p

Bài 6:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì +

0

( ) ( ) với R và a > 01

x

f x dx f x dx a

0

cos x dxcos x sin x

sin1

x

−

++

ị ; 12) 4

2 0

3 Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos.

Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc

Chú ý: cos x2 =1 cos2x+ 2 ;sin x2 =1 cos2x- 2 ;sinx.cosx=12sin2x

Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn) Tính tích phân 2 4 2

0 2

p -

Vậy I 2

3

= Vậy I 2

II TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải toán

1 Dạng 1

Giả sử cần tính tích phân

b

a

I =ò f(x) dx, ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

Ví dụ 1 Tính tích phân

2 2 3

Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).

J = òmin f(x), g(x) dx, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số h(x) =f(x)- g(x) trên đoạn [a; b]

Bước 2

+ Nếu h(x)> thì 0 max f(x), g(x){ } =f(x) và min f(x), g(x){ } =g(x).

+ Nếu h(x)< thì 0 max f(x), g(x){ } =g(x) và min f(x), g(x){ } =f(x).

4

2 0

I = òmax x +1, 4x- 2 dx

Giải

Đặt h(x)=(x2 +1) - (4x- 2) =x2- 4x+ 3Bảng xét dấu

x 0 1 3 4h(x) + 0 – 0 +

2

x 0

I = òmin 3 , 4- x dx

Giải

Đặt h(x)=3x - (4- x) =3x + -x 4.Bảng xét dấu

x 0 1 2h(x) – 0 +

dx t

dx t

I = ∫

−

−

2 3

0 2

6

sin1

cos

t dt t

6

WWW.ToanCapBa.Net 17 Trang 17

x

x d

2

412ln2

+

215

457ln2

2 1

412ln2

0 2

0 2

21ln2

12

1

)21(2

12

x d x

dx

= - ln521

2.Tích phân dạng: ∫ ax Ax2++B bx dx+c

)(

++

+

dx c bx ax

b ax

x

32

6)22(

+

−+

x

dx x

= = x2 +2x−3+3lnx+1+ x2 +2x−3 +C

x x

dx x

x x

dx x

= 2

1

∫

++

0

2)22(

dx x x

x x

dx x

x = 1 ⇒t =

21

lnt+ t + =

51

)21(2ln

++

x = 3 thì t =

21

và dx = - 2

t dt

2

111

t

t t

1

t

t d

2 1 2 1 2

2

1ln2

+

52

103ln21

WWW.ToanCapBa.Net 19 Trang 19

dx e

Đặt t = ex ⇒ dt = exdx.Khi : x = 0 ⇒ t = 1

dt du

3

12

121213

1

u

u d

1

3 1

2

12

12

12

1ln3

63

+

32

322ln21

4.Tích phân dạng:∫ ax f2 +x bx dx+c

)(

Với a≠0 bậc f(x)≥2,f(x) là đa thức.Cách làm:Tách ∫ ax f2 +x bx dx+c

)(

+

x x

dx x

Tách : ∫ ( 2 21) 3

2

++

+

x x

dx x

=++

+

32

1

2

2

x x

x

A. x2 +2x+3 +

32

)1)(

(

++

x x

x B Ax

+

32

x x

22

1

2 3

Ta có : ∫ +− ++ dx

x x

x x

22

-65

61

25

dx x

x

x x x

Để áp dụng được ví dụ 2 ta làm như sau:Tách tích phân cần tính thành hiệu của hai tích phân:

dx x x

x x x

x x

1

dx x x

x x

2

3221

526

1

−

+++++

+++

426

1

++

)

∈N a c n

m

WWW.ToanCapBa.Net 21 Trang 21

⇔

Cách làm:Đặt n

m d cx

b ax

13

+

x

45

13

2

)45(

7.45

13.32

x

21

2)45

dt x

dx =+

++

1

45

1345

x

x x

dt

=

= t 3dt

4 27 8

8 1

6.Tích phân dạng: ∫ ++ dx

d cx

b ax

Với (a.c≠0)

Cách làm: Cách 1: Đặt

d cx

b ax t

Ta thực hiện theo cách đặt 2: Đặt t = 3−x

x

dx dt

dt x

4

224

Π Π

dx x x

dx x

−++

−

1

0

2 2

2 3 4 6

1

61

666666

t t

t t

t t t t

Tích phân này dễ dàng tính được

Ví dụ2 :Tính J = ∫3 + ++ −+ +

21

dx x

x x x

Đặt t = x+1⇒2tdt =dx

J = ∫3 + ++ −+ +

21

dx x

x x

x

=∫2 −+

1 4

)2(2

t t

tdt t

= ∫2 −+

1

42

dt t

1

22

dt t t

−

+

−+ 2

1

2 1 2 2

2

1211

)1(

3

2ln

2

t t

t d t

t

t t

3

2ln

Tính L bằng cách đặt t tgu

2

32

1

=

− Ta có đáp số là: I =

333

1 2

4

t t

dt t

1)

1(

1(2

(a>0)

Ta có: J = ∫x a−x −2 dx

3 2

xdx t

t

tdt t

t

a at t

∫ − 3 +

2 2

t

a at

1

)( −

∫

Do

.3

1

;2

2 2

3 2 3

31

t

a x

t x

32

1

=− ∫ 33+ 2

)1(2

3

t

dt t a

dt a t

(56

2 2

=+

−

⇒

t

t x t

x x

x

t

t t

2

)62(

)56(

2

−

−+

−

=

62

565

6

2 2

+

−

−+

−

=++

t

t t x

232

53ln3

23

dx x x x

x x x

Tam thức bậc hai x2+3x+2 có nghiệm là -1.Theo phép thế thứ ba,đặt

)1(23

2 + x+ =t x+

x ; t ≤0∀x∈[−2;−1]

1

2)

1(

2 2

=+

⇒

t

t x x

Khi đó: P = −∫

++

23

dx x x x

x x x

3

2

)1)(

1)(

2(

42

dt t

t t

t t

3

)1

(t

dt

+18

5 ∫

0

2 3

2

)1

(t

dt

108

31ln108

17)1(18

5)

1(6

−

−++

t dt

10.Một số bài toán khác:

Ngoài các dạng trên thì có những bài có thể áp dụng trực tiếp công thức tích phân,hoặc sử dụng một số phép biến đổi đơn giản.Sau đây là một số ví dụ:

WWW.ToanCapBa.Net 25 Trang 25

3

1

++

∫ x − d x =

2 7

0

3

)12( x+

= 49

0

3 3

3

213

24

Ví dụ 5: Tính ∫1 −x dx

0

2

4Cách1: Sử dụng phương pháp lấy tích phân từng phần

x2 2

Dùng phương pháp lấy tích phân từng phần với u= x2 −a2;dv=dx

m a x x

a a x

dt a

2

ln

21

ln2

Ví dụ 8: Tính ∫ + x

x e

dx e x

dt t C dt

t x

dx x

0

2 2

2

2 2

)1()

1(1

−

− n

k

k k n k

C k

t C

0

1 2

12

12)1

4.∫ ( − )2 + − 2

21

x x

11

11

7.∫1+ x2 +2x+2

dx

(Đặt x2 +2x+2 = x+t) 8.∫(x+1()2 x−21+) 3x+3

dx x

x x

dx x

1 Tích phân dạng:∫ ax2dx+bx+c (với a ≠0) Trang 1

2 Tích phân dạng: ∫ ax Ax2++B bx dx+c

)(

Với a.A ≠0 Trang 3

3 Tích phân dạng: ∫(αx+β) dx ax2 +bx+c (Với α.a≠0) Trang 3

4 Tích phân dạng:∫ ax f2 +x bx dx+c

)(

Với a≠0 bậc f(x)≥2,f(x) là đa thức Trang 5

5 Tích phân dạng:∫n ax+b m cx+d n−m

dx

2

)(

)

∈N a c n

m Trang 6

WWW.ToanCapBa.Net 27 Trang 27

6 Tích phân dạng: ∫ ++ dx

d cx

b ax

A £ òf(x)dx£ B ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m£ f(x)£ M

2£ ò 4+x dx £ 5.

Ví dụ 2: Chứng minh

3 4

2 4

2 4

2 4

2

xcotgxsin x

A £ òf(x)dx£ B (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện

Bước 1 Tìm hàm số g(x) sao cho

b b

a a

f(x) g(x) x a; b

f(x)dx Bg(x)dx B

a a

ò

Ví dụ 1 Chứng minh

2 2

2007 0

2007 0

C y

2

C y

2

C x

1

C x

S ( ) ( ) =b∫[ − ]

a

dy y g y f

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Diện tích hình thang cong

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường

y= f(x), x=a, x = và trục hoành là b

b

a

S= ò f(x) dx

Phương pháp giải toán

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

a x

x g y

C

x f y

)

(

) ( :

a y

y g x C

y f x C H

: :

) ( : ) (

) ( : ) ( : ) (

2 1 2 1

)(C1 y= f x

)(:)(C2 y=g x

)(:)(C1 x= f y

)(:)(C2 x= g y

Phương pháp giải toán

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

Phương pháp giải toán

Bước 1 Giải phương trình f(x)=g(x).

Bước 2 Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) trên đoạn [a b ; ]

Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx

x 0 1 2h(x) – 0 + 0

x 1 2 3h(x) 0 + 0 – 0

:)(

Ox

x y

d

x y C

2:)(

:)(

x

y d

e y

)(C y = f x

b

y=

a

y=

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x)³ 0 x" Î [a;b], y = , x0 = vàa

x=b (a<b) quay quanh trục Ox là

b 2 a

2 a y

33b

Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y= x;y 2 x;y 0= − =

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy

Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2)= − 2 và y = 4

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:

a) Trục Oxb) Trục Oy

Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y= −4 x y x2; = 2+2

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường :

∫ dx; b)

3 0

2

x x

−

∫ dx ; c)

3 0

21

x x

sincos

x x

π

∫ dx e)

sincos

x x

ln(3 )

x +x dx

2 2 1

sin 2(1 cos )

sincos

x x

x dx x

x dx

x +

3 2 0

∈    xác định a,b sao cho 1 a cos x bcos x

cos x 1 sin x 1 sin x = +

3 Tính

/ 4

3 0

− +

5cosx 4sin x

dx (cosx sin x)

π

44

2 2

42.

2 0

x sin x

dx cos x

cos2x

dx sin x cosx 2

π

+

2 2

4sin x

dx (sin x cos x)

ln x

dx (1 x) +

2 0

1 4 0

x

80

4 / 3 dx

x sin

(1 x ) dx −

86.

2 / 2

x / 2

94

1

2 0

sin x sin x

cot gxdx sin x

∫

99.

2 b

2 2 0

cos x

(x ln x) dx

1 sin 2x

dx cos x

dx

xtg xdx x(x 1)

3 2sin x

dx sin x cos3xdx

1 tgx

1 2

2 0

153.

2 2

(2x 1)

3 x

2 / 4

tancos 1 cos

dxx

3 4

p p