Chuyên đề tích phân Quyển 1

 với Px là đa thức có bậc không nhỏ hơn 2Với dạng này ta thực hiên phép chia đa thức 2 mx nPx gx... Sử dụng phép đổi biến số để chuyển tích phân hàm lượng giác về tích phân hữu tỉ... Tì

CHƯƠNG 3 NGUYÊ HÀM – TÍCH PHÂN

13e sin 3x 1sin 3x.e 3e cos 3x

1) I (2x 1) cos xdx 2) I xe dx2x 3) I cos 2x.e dx3x

1) Ta có: (2x 1) cos x (2x 1)(sin x) ' (2x 1) 'sin x 2sin x   

(2x 1) sin x ' 2(cos x) ' (2x 1) sin x 2 cos x '

13cos 2x.e 1sin 2x.e 3cos 2x.e

www.boxtailieu.net

2 2

Ta có: 2

11x

 với P(x) là đa thức có bậc không nhỏ hơn 2

Với dạng này ta thực hiên phép chia đa thức

2

mx nP(x) g(x)

Trường hợp 4: Q(x) là đa thức có bậc không nhỏ hơn 2

a) Nếu Q(x) có m nghiệm phân biệt x , x , , x1 2 m, ta có



  tan xdx ln cos x C   cot xdxln sin x C

Sử dụng phép đổi biến số để chuyển tích phân hàm lượng giác về tích phân hữu tỉ

Ví dụ 3.3.1 Tìm họ các nguyên hàm

4

I (8sin x 2 cos 5x sin 3x)dx

Lời giải.

Ta có: 8sin x4 2 1 cos 2x  2 2 4 cos 2x 2 cos 2x 2  3 4 cos 2x cos 4x

và 2 cos 5x sin 3x sin 8x sin 2x

Suy ra: I 3x 2sin 2x 1sin 4x 1cos 8x 1cos 2x C

Ta có: 8 cos 2x3 2 cos 6x 3cos 2x  8 cos 2xdx3 1sin 6x 3sin 2x C '

Ví dụ 3.3.7 Tìm họ nguyên hàm

sin xdxI

Mặt khác: dx d(cos x)2 1ln 1 cos x C ln tanx C

Ta có: cos x 8sin x 9  2 2 cos x sin x   3 cos x 2sin x 3  

Nên I 2d(cos x 2 sin x 3) 3 dx

5sin x 10 cos x 4  a(2 cos x sin x 1) b( 2sinx cos x) c     

( a 2b) sin x (2a b) cos x a c

Tổng quát: Để tìm nguyên hàm dạng trên ta thực hiện phép đổi biến số t tanx 2dt2 dx

Thay vào ta được một nguyên hàm của hàm số hữu tỉ

Trong một số trường hợp riêng ta có một số phương pháp giải khác

b) Một số trường hợp đổi biến

 Nếu R( sin x, cos x)  R(sin x, cos x) ta đặt tcos x

 Nếu R(sin x, cos x)  R(sin x, cos x) ta đặt t sin x

 Nếu R( sin x, cos x) R(sin x, cos x) R(sin x, cos x) ta có thể sử dụng công thức hạ bậc hoặc đặt

ttan x ( hoặc tcot x)

Bài toán 2: Tìm họ nguyên hàm I f (tan x)dx (hoặc I f (cot x)dx)

Để tìm nguyên hàm dạng này ta có thể đặt ttan x ( tcot x) và chuyển về bài toán tìm nguyênhàm:I f (t)dt2

3) I (2sin x.cos 4x 4 sin 3x)dx 3 4) I cos 2xdx4

5)I  2 tan x sin xdx2 2 6) I tan xdx3

x6sin sin x

cos x sin x

Hướng dẫn giải Bài 3.3.1.

3) Ta có: 2sin x cos 4x sin 5x sin 3x  và 4 sin 3x3 3sin 3x sin 9x

Nên I sin 5x 2sin 3x sin 9x dx 1cos 5x 2cos 3x 1cos 9x C

17) Ta có: 4 sin 3x sin 4x2 2(1 cos 6x) sin 4x

sin x cos 2xtan x cot 2x

cos x sin 2x

www.boxtailieu.net

sin 4x 2 cos 6x 2 sin 2x sin 6x sin 2x 2 cos 6x.sin 2x 2 sin 2x

Suy ra: I 16 sin x.cos x cos xdx 4 6

Đặt t sin x dtsin xdx nên ta có:

Chuyên đề 4 Nguyên hàm của hàm mũ và logarit 4.1 Phương pháp

2) Ta có: 2 3

ln x ln x 1.

xx

ln x 11

10) Đặt

2

dxdu

2 1

1

dxdu

Suy ra I cos x ln(cos x) sin xdx

cos x ln(cos x) cos x C

www.boxtailieu.net

Với dạng này ta đặt tnax b  I  g (t)dt1 , với g (t)1 là hàm hữu tỉ theo t

  và chuyển về nguyên hàm của hàm số lượng giác.

 Nếu c 0 ta có thể thực hiện phép đổi biến số:

www.boxtailieu.net

4 2