CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Phương trình mũ

A Tóm tắt lý thuyết

1 Hàm số mũ

 Định nghĩa: Hàm số mũ là hàm số có dạng x

ya , trong đó hằng số a thỏa mãn

0a1 được gọi là cơ số

 Tập xác định và tập giá trị:

+) Tập xác đinh:  ;

+) Tập giá trị: 0;  

 Sự biến thiên: hàm ya x đồng biến khi a 1, nghịch biến khi 0a1

 Đồ thị:

1 y=a x (0<a<1)

O

x y

1

y=a x (a>1)

y

 Tính chất:

+) Với mọi 0a1, x , y  , n 2,3, ta có:

x y x y

a a a  ;

x

x y y

a a a



x

n a x a n +) Với mọi 0a, b 1, x   , ta có:

 x

x x

x x

x

  

 

2 Phương trình mũ cơ bản

 Với 0a1, ta có a f x  a g x   f x g x 

 Với 0a1, b 0, ta có a f x   b f x loga b

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 [TN09] Giải phương trình 25x6.5x  5 0  1

Ta thấy  5x 225x Do đó, nếu đặt t 5x thì t 0 và 25x t2 Phương trình  1 trở thành

2

6 5 0

5

t t







Thay t vào phương trình t 5x, ta được

5 1







1

t t







Vậy tập nghiệm của  1 là  0,1

Ví dụ 2 Giải phương trình  7 48  7 48 14

Giải

Ta thấy

x

x

x

t

  Khi đó,  1 trở thành

1 14

t t

t t

  



 



x

x

x









1 2

2

x

x













 x   2

Vậy tập nghiệm của  1 là  2

Ví dụ 3 Giải phương trình4x16x18 9 x 0  1

Giải

Chia hai vế của  1 cho 9x, ta được phương trình tương đương

3

x

t   

  , suy ra t 0 và

2

4 9

x

t

 



 

2

4t  t 180 

2 9 4

t t

 





 



Giá trị t  2 không thỏa mãn điều kiện t 0 Thay giá trị còn lại của t vào phương trình

2

3

x

t   

  , ta được

 



2



Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x   2

Ví dụ 4 Giải phương trình

3

Giải

Ta có

 1 

3

2

x x

t    

  , suy ra

1

2

x x

t    

t                    t



3

2

x x

t t

 

Với phép đặt ẩn phụ như thế, phương trình đã cho trở thành

 3 

8 t 3t 24t125  5

2

t  (thỏa mãn)

Thay giá trị tìm được của t vào phương trình 2 1

2

x x

t    

  , ta có

2

x

x  

Lại đặt u 2x, suy ra t 0 và  2 trở thành

1 5 2

u u

   2u25u 2 0 

2 1 2

u u







 



Thay các giá trị tìm được của u trở lại phương trình u 2x, ta được

1 2 2

x

x





1

x x







Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là  1

Ví dụ 5 Giải phương trình 6x3x 3 2x 3 0  1

Giải

Ta có

 1  3 2x x 1 3 2x 1 0

  

x x







0

x x







Ví dụ 6 Giải phương trình 2x x 121 x 12x2 8 0  1

Giải

Ta có

1

2 x  4 2x2  0



x x









2

1

x x







1

x x

  







Ví dụ 7 Giải phương trình 3 8 2 6

x

Giải

Lấy lô-ga cơ số 3 hai vế của phương trình ta được

3 log 2 1 log 2 2

x x x

  x2x3 log 2x 3 1 log 2 3 x2



3

1

2 log 2 2

x x







Ví dụ 8 Giải phương trình 3x4x 5x  1

Giải

Chia hai vế của phương trình cho 5x, ta được phương trình tương đương

1

Ta thấy 0 3

5

f x      

    là hàm nghịch biến Do đó, phương trình  2

có nhiều nhất một nghiệm Lại có f  2  , suy ra 1  2 có nghiệm duy nhất x  Vậy 2  1

có nghiệm duy nhất x  2

Ví dụ 9 Giải phương trình      2

Giải

Ta thấy 2 22x 8x

 Chia hai vế của phương trình cho 8x, ta được phương trình tương

đương

1

Ta thấy 0 4 15

8



8



f x      

là hàm nghịch biến

Do đó, phương trình  2 có nhiều nhất một nghiệm Lại có f 1  , suy ra 1  2 có nghiệm duy nhất x 1 Vậy  1 có nghiệm duy nhất x 1

Ví dụ 10 Giải phương trình   2   2

(2 , 2 log 3 5 )

Giải

Đặt t5x 2, suy ra t 0 và phương trình  1 trở thành

2

3t  3x10 t   (3 x 0  3x82) 

3 1 3

t x t

  





 



Thay t   vào phương trình x 3 t5x 2, ta có phương trình

2

5x   x 3  2

Ta thấy vế trái của phương trình  2 là hàm đồng biến, còn vế phải là hàm nghịch biến Do

đó,  2 có tối đa một nghiệm Dễ thấy x 2 là nghiệm của  2 Vậy  2 có nghiệm duy nhất x 2

3

t  vào phương trình t5x 2, ta được

2 1 5 3

x   x   2 log 35  x  2 log 35

Vậy tập nghiệm của phương trình  1 là 2; 2 log 3 5 

C Bài tập

Bài 1 Giải các phương trình

7 x 8.7x 1 0 ĐS: 0 , 1

3 2

9) 32x445.6x9.22x2 0 ĐS: 2

18) [A06]3.8x4.12x18x2.27x 0

19) [D03]2x2x22 x x2 3

20) 4.32x9.22x 5.6x

21) 4.32x9.22x 5.6x

22) 2.4x6x9x 0

23) 4x2.6x3.9x 0

24) 8x18x 2.27x

25) 125x50x 23x1

26) 2 3 x 2 3x 4

28) 74 3x3 2  3x  2 0

29) [B07] 2 1   2 1  2 2 0 ĐS: 1

x x

5 21 x7 5 21 x 2x

x

33) 9sin2x9cos2x 10

34) 4sin2x 2cos2x  2 2

35) 2x3 2x1711

36) 81sin2x81cos2x 30

37) 4.2sin2x2cos2x  6

Bài 2 Giải các phương trình

2 2.3 2x 18 0

7) 2x x2 1 21  x2 1 2x 2 8 0

8) 2x25x621x2 2.26 5 x 1 ĐS: 1 , 2 , 3

Bài 3 Giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số

11) 2 3 3x 2 ĐS: 0 ,1