1 Khi làm bài tập về phương trình Mũ các em vẫn phải nắm vững và vận dụng nhiều kiến thức của lũy thừa: Các định nghĩa : ( tích của n số a) với a là cơ số, n là số mũ Quy ước : a1 = a (với mọi a); a0 = 1 ( với a khác 0) Lũy thừa mũ âm : ( với a khác 0; ) Lũy thừa mũ hữu tỷ : ; ; với a>0 và Các tính chất : ; ; ; ; 2 Khi biến đổi CT lũy thừa các em hay mắc phải sai lầm sau : Lũy thừa mũ âm : CT sai ; Lũy thừa của 1 tổng : CT sai Lũy thừa của 1 hiệu : CT sai Khai căn bậc chẵn : CT sai là , CT đúng là: ; tổng quát : 3 Với hàm số mũ ( ) có TXĐ R ; có đạo hàm với mọi x. Nếu a > 1 thì HSĐB trên R Nếu 1 > a > 0 thì HSNB trên R
Trang 1www.PNE.edu.vn
Ph¬ng tr×nh mò
1/ Khi làm bài tập về phương trình Mũ các em vẫn phải nắm vững và vận dụng nhiều kiến thức của lũy thừa:
- Các định nghĩa : n
a =a a a ( tích của n số a) với a là cơ số, n là số mũ
- Quy ước : a1 = a (với mọi a); a0 = 1 ( với a khác 0)
- Lũy thừa mũ âm : n 1
n a
a
− = ( với a khác 0; n N ∈ * )
- Lũy thừa mũ hữu tỷ : ( )
m
n
m n
n
a
a a
−
= = ; 1
n n
a = a với a>0 và ,m n N∈ *
- Các tính chất : ( )a b n =a b n n ; ( )
n n n
b =b ; m n m n
a a =a + ;
m
m n n
a a a
−
= ; (a m n) =( )a n m =a m n.
2/ Khi biến đổi CT lũy thừa các em hay mắc phải sai lầm sau :
- Lũy thừa mũ âm : CT sai a−n = −a n;
- Lũy thừa của 1 tổng : CT sai m n m n
a + =a +a
- Lũy thừa của 1 hiệu : CT sai m n m n
a − =a −a
- Khai căn bậc chẵn : CT sai là 2
A = A , CT đúng là: 2
A = A ; tổng quát : ' n ~
' ?
n n A ne u chan A
A ne u n le
=
3/ Với hàm số mũ x
y a= ( a>0;a≠1) có TXĐ R ; có đạo hàm ' x.ln
y =a a với mọi x
- Nếu a > 1 thì HSĐB trên R
- Nếu 1 > a > 0 thì HSNB trên R
Bài toán : Giải các phương trình mũ
a =a ↔ f x( ) =g x( )
1 (0,3)3x− 2 =1 6 5 7 2 1
(1,5) ( )
3
x− = x+
2 ( )1 25
5
7
x− −x = x+
3 2 3 2
( 2 1)− x− = 2 1+
4 7 1 2
(0,5) (0,5)x+ − x =2 9 7x− 1=2x
5x+ +6.5x−3.5x− =52 10 1
3 2x x+ =72
Phương pháp 2 : Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đại số bậc 2, bậc 3, bậc 4:
( đặt t = a x , điều kiện t > 0 )
1/ 25x−6.5x+ =5 0 ( Đề thi TN 2009) 9/ 31 +x+31 −x =10
2/ 72x+ 1−8.7x+ =1 0 ( Đề thi TN 2011) 10/ 3x+32 −x=10
3/ 4x+ 1−6.2x+ 1+ =8 0 11/ 32x+ 4+45.6x−9.22x+ 2 =0
4/ 8− +x 2.4x+ − =2x 2 0 12/ 32x− 1+32x=108
5/ 4.9x+12x−3.16x =0 13/ 3.4x−2.6x =9x
6/ 52x− −7x 17.52x+17.7x =0 14/ 64x− −8x 56 0=
7/ 32x+ 1−4.3x+ 1+27 0= 15/ 4x−3.2x+ =2 0
8/ 3.25x+2.49x =5.35x 16/ 3x−3− +x 2+ =8 0
Trang 2www.PNE.edu.vn
18/ 2 1 3
2 x+ −2x+ −64 0= 30/ (7 4 3)+ x−3.(2+ 3)x+ =2 0
19/ 6.9x−13.6x+6.4x =0 31/ ( 2 1)− x+( 2 1)+ x−2 2 ( ĐH Khối B - 2007) 20/ 3.8x+4.12x−18x−2.27x=0 (ĐH Khối A - 2006)
21/ 2x2 −x−22 + −x x2 =3 ( ĐH Khối D - 2003 ) 32/ (7 4 3)+ cosx+( (7 4 3))− cosx =4 (Luật HN1998) 22/ 4.32x−9.22x =5.6x 33/ (5− 21)x+7.(5− 21)x =2x+ 3( ĐHQG HN D1997 23/ 4.32x−9.22x =5.6x 34/ ( 2− 3 )x+( 2+ 3 )x=2x
24/ 2.4x+ − =6x 9x 0 35/ 9sin x 2 +9cos 2x =10 ( ĐH SP HN 1999)
25/ 4x−2.6x−3.9x =0 36/ 4sin x 2 +2cos 2x= +2 2
26/ 8x+18x=2.27x( ĐHQG HN 1997) 37/ 2x−3 2x+17 11=
27/ 125x+50x =23x+ 1 ( ĐH QGHN B 1998) 38/ 81sin x 2 +81cos 2x =30
28/ (2− 3)x+ +(2 3)x =4 39/ 4.2sin x 2 +2cos 2x =6
Phương pháp 3 : Biến đổi về dạng tích A.B=0
1/ 2x2 − + 5x 6+21 −x2 =2.26 5 − x+1
2/ 4x2 +x+21 −x2 =2(x+ 1) 2 +1
3/ 2x2 +x−4.2x2 −x−22x+ =4 0 ( ĐH Khối D -2006)
4/ 42x+ x+ 2 +2x3 =42 + +x 2 +2x3 + − 4x 4 ( ĐH Khối D -2010)
5/ 8.3x+3.2x =24 6+ x ( ĐH QG HN D 2000)
6/ 32x−8.3x+ +x 4 −9.9 x+ 4 =0( ĐHSPHN 2000)
7/ 4x+ 1+2x+ 4 =2x+ 2+16 ( ĐH Tài Chính Kế Toán HN 1997)
8/ 25x−2(3−x)5x+2x− =7 0
9/ 3
3( 1)
1 12
x− x
− − + = ( ĐH Y HN 2000)
10/ 4x+ 1+ 2x+ 4 = 2x+ 2+ 16
Phương pháp 4 : Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để kết luận nghiệm ( PP hàm số )
1/ Gặp PT f(x) =0 em làm như sau :
- Chứng minh cho y=f(x) luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến trên TXĐ
Tìm m = min f(x) và M = Max f(x)
- Nếu 0 [m;M]∉ ta KL pt vô nghiệm
- Nếu 0 [m;M]∈ thì PT có 1nghiệm duy nhất Đi tìm x0 thỏa mãn f(x0)=0 KL pt có nghiệm duy nhất x=x0.
* Chú ý ở bước 1: Có thể f(x) có nhiều khoảng ĐB, NB khi đó em cần thể hiện Min, Max của f(x) trên
BBT và "nhìn" xem y=0 cắt y=f(x) tại mấy điểm để KL số nghiệm từ đó "mò tìm" các nghiệm.
2/ Gặp PT f(x)=g(x) thì em chuyển về dạng : f(x)-g(x)=0 rồi đi xét biến thiên y= f(x)-g(x) để kết luận 3/ Áp dụng nhiều PP này trong các bài toán mà PT chứa x ở cả trên Mũ và chứa x ở cả ngoài Mũ độc lập
Ví dụ 1: 2x+ − =x 1 0 ( x có mặt trên mũ và ngoài mũ)
Ví dụ 2 : 3x+4x =5x ( có nhiều cơ số khác nhau)
Trang 3www.PNE.edu.vn
1/ 3x+4x =5x 6/ ( )4 2 2 4 9
5
x = − x + x−
2/ 3 4 52
x
x− = 7/ 3x+ =5x 6x+2 ( ĐHSPHN 2001)
3/ 3x = −5 2x 8/ 2x−1−2x2−x = −(x 1)2 ( ĐH Thủy Lợi 2001)
4/ 82 1 3
x
x
5/ 152 1 4
x
x
11/ 3 ( )1 2 ( )1 ( )1 2 6
x− x+ −x x− x = − +x
12/ 2x− 1−2x2 −x = −(x 1)2 HD : Đưa pt về dạng 2x− 1+ − =(x 1) 2x2 −x+(x2−x) rồi dùng pp hàm số
Bài toán PT Mũ chứa Tham Số - Các câu hỏi hay gặp:
- Tìm m để pt có nghiệm
- Tìm m để phương trình có 1 nghiệm duy nhất, 2 nghiệm, 3 nghiệm,
- Biện luận số nghiệm của phương trình theo m
a/ 1 2
25x 5x 0
m
+ − + + = ⇔min f(x) mx D∈ ≤ ≤max f(x)x D∈
b/ ( )1 ( )1 2 1 0
c/ 16x+ 1+4x− 1−5m=0 d/ m.9x+(m−1).3x+ 2− =1 0 e/ 4x−m.2x+ 1+ −3 2m=0 f/ 4sinx +21 sinx + − =m 0 g/ 1 1 2 1 1 2
9 x ( 2).3 x 2 1 0
Bài 2 Tùy theo giá trị m, em hãy biện luận số nghiệm của phương trình :
(m−3).9x+2(m+1).3x− − =m 1 0
a/ Giải phương trình khi m=2
b/ Tìm m để PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x1 + x2 = 3
m + = Tìm m để PT có nghiệm duy nhất
m− − m− + − =m ( m là tham số ) a/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu Đs : m > 4 b/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn : x1 + x2 = 3 Đs : m=107/26