CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔICHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔICHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔICHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔICHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔICHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔICHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Phương pháp đổi biến

A Tóm tắt lý thuyết

Công thức đổi biến số

     

 

 

'

u b b

f u x u x dx f u du

1 Phép đổi biến u = u(x)

Gỉa sử cần tính  

b

a

g x dx

 Nếu viết được g x  dưới dạng f u x  u x'  thì theo công thức (1.1), ta có

 

 

u b b

g x dx f u du

2 Phép biến đổi x = x(t)

Giả sử cần tính f x dx 





 Đặt x x t , tK Chọn hai số a , bK sao cho  x a ,

 

x b

  Khi đó, theo công thức (1.1), ta có

b

a

f x dx f x t x t dt





  

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

B Các dạng toán hay gặp

Dạng 1 Đổi biến số bằng cách đưa một biểu thức vào trong dấu vi phân

 Nội dung phương pháp

Trong dạng toán này, ta lưu ý đến các công thức sau đây (chúng tôi gọi là công thức đưa biểu thức vào trong dấu vi phân):



1

1

dx

x dx













vào trong dấu vi phân,   1);

1

dx

d

x  n x  (đưa

1

n

x vào trong dấu vi phân, n  , n 2);

1

x vào trong dấu vi phân);

e vào trong dấu vi phân);

 cosxdxdsinx (đưa cos x vào trong dấu vi phân);

 sinxdx dcosx (đưa sin x vào trong dấu vi phân);

cos

dx

d x

1

cos x vào trong dấu vi phân);

sin

dx

d x

1

sin x vào trong dấu vi phân)

 Một số ví dụ

Ví dụ 1 Tìm họ nguyên hàm

1 3

I   x x dx;

1 3

J   x x dx

Giải

I     x d  x    x C

J     x d  x    x C

Ví dụ 2 Tìm họ nguyên hàm hoặc tính tích phân:

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

1

x

x





2)

2

3

1

x

x





3)

2 8 5

2 3

0 2

x







Giải

2

2 2

1

d x

x





3

3 3

1

d x

x





3

2 3

Đặt tx3 Ta có 2

0

x   t 2, x 2  t 10

Do đó

Ví dụ 3 Tính tích phân

1)

3

3 2

2

I   x x  dx;

2)

3

3

6

2 4 3

3

J   x x  dx

Giải

2 2

3

3

4 4 2 1



Ví dụ 4 Tính tích phân

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

1)

2

1

0

cos

5 2 sin

xdx I

x







2)

4

2

0

cos 2

1 2 sin 2

x

x







3) [ĐHB03]

2 4

3 0

1 2sin

1 sin 2

x

x









4) [ĐHB05]

2 4 0

sin 2

1 cos

xdx I

x







5) [ĐHA06]

4

0

sin 2

xdx I







Giải

2 1

0

5 2 sin

ln 5 2sin



4 2

0

1 2 sin 2

ln 1 2 sin 2





4 3

0

1 sin 2

ln 1 sin 2

x





4)

4

I

Đặt tcosx Khi đó

0

x   t 1,

2

x 

  t 0

Do đó

4

0

t tdt tdt

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

5

I

2

2

4

4 0 0

5 3cos 2

5 3cos 2

x x







Ví dụ 5 Tính tích phân

1) [ĐHB06]

ln 5

ln3 x 2 x 3

dx I

e e



2)

1

ln

ln 1 ln 2

e

xdx J



Giải

1) Ta có

ln 5 ln 5

ln3 3 2 ln 3 3 2

I

te , ta có

ln 3

x   t 3, x ln 5  t 5

Do đó

I

2

dt

  

5 5

t dt



2) Ta có

1

ln ln

ln 1 ln 2

e

xd x J



1

x   t 0, x  e t 1

Do đó

J

1

tdt

dt

 2 1

1

1

t dt



 Bài tập

Bài 1 Tìm họ nguyên hàm

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

1)

6

7

7

x

dx

x 

2)

3 2

4 3

1

dx





3)

9 10

10 11

1

dx



4) x 23 x22dx;

5) x3 x44dx;

6)

2

1

x

dx

x 

7)  cosx1 sin xdx;

8)  1 2 sin xcosxdx;

9)  1 2sin x3cosxdx;

10)  cosx1 sin2 xdx;

2 cos

x

dx x



12)

cos

sin 1

xdx

dx

x 

13)

3

cos

xdx

x 

14)  2 cosx3 sinxdx;

15)  1 2 sin cos x xdx;

x

dx

x 

17) 2 lnx 1dx

x



18) lnx 1dx

x



BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

19) esin 2xcos 2xdx;

tan

cos

x

e

dx

x

21) e x1 2 e xdx;

22)

2

x

x

e dx

e 

23) e x 1 3 e dx x

Bài 2 Tính các tích phân

1)

1 3

2

2

0 1

x

dx

x 

2 4

2)

1 5 3

2

2

0 1

dx

x





 

3) [ĐHD09]

3

1 x 1

dx

e 

4)

ln 2 2

x

e dx

5)

2

2

1

e

dx

0

cos x 1 cos xdx





15 4





0

x





4

 

8) [ĐHB05]

2 0

sin 2 cos

1 cos

x





9)

3

2

0

sin xtanxdx



8



BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

10)

3 6

0

sin 3 sin 3

1 cos 3

dx x







2



11) [ĐHA08]

4 6 0

tan cos 2

xdx I

x





0

1 tan x dx





105

4

4 0

sin







4



14)

2

3

3

dx









15)

2

4

1 sin 2

dx x









2

16)

2

3 0

cos 2

x

dx



32

0

sin 2x 1 sin x dx





4

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Dạng 2 Một số phép đổi biến thông dụng

 Nội dung phương pháp

Trong phần này ta quan tâm đến các phép đổi biến sau:

 Phép đổi biến t n f x( ) Phép đối biến này được sử dụng khi biểu thức dưới dấu tích

phân có thể đưa được về dạng Q f x  ;n f x  df x , trong đó Q là một hàm phân

thức hữu tỷ Với phép đổi biến tn f x( ), biểu thức dưới dấu tích phân trở thành

 n; 

Q t t dt

 Phép đối biến f x asint ( a 0, ;

2 2

t   

 ) Phép đổi biến này được sử dụng khi hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức 2   2

a  f x  Với phép đổi biến nói trên thì

  2

2

cos

a f x  a t

 Phép đổi biến f x atant ( a 0, ;

2 2

t   

 ).Phép đổi biến này được sử dụng khi hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức 2   2

a  f x  Với phép đổi biến nói trên thì

 

2 2 2

2

cos

a

t

 Một số ví dụ

Ví dụ 1 Tính tích phân

1)

1

3 2

0

3

I x x  dx

2) [ĐHA04]

2

11 1

xdx J

x



3)

3

xdx K



Giải

1

2 2 2 0

1

2

I  x x  d x 

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

3

t x  

2 2

3

x t







Đổi cận: x 0  t  3; x 1  t 2

Do đó

2

3

I  t  t dt t  t dt t t   

2) Đổi biến: t x  1 xt2  1 dx2tdt

Đổi cận: x 1  t 0; x 2  t 1

Do đó

1 1

t



0

1 1

K





1

t x  x2 t2 , 1  2 2

d x dt  tdt Đổi cận: x 0  t 1; x  3  t 2

Do đó

K

2

t

dt

2 2

2

Ví dụ 2 Tính tích phân

1) [ĐHB02]

8

2 0

16

I   x dx;

2)

1

1

2

8 2

dx J

x x





BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

3)

2

2

2 1

dx

K

x





Giải

1) Đổi biến

4 sin

x t, ;

2 2

t   

2 2







Đổi cận

0

x   4sint 0  sint 0  t 0; 8

x   4sint  8  sin 2

2

4

t 



Do đó

2

1

2



8 2 xx  9 1 2  xx  3  x1 Đổi biến

x 1 3sint, ;

2 2

t   

   8 2 xx2  323 sin2 2t 3 cost 3cost, dx3costdt Đổi cận

1 2

x   

6

t 

  , x 1  t 0

Do đó

0 6

3cos

tdt





3) Ta thấy

2

2

2

1 1

dx K

x x





Đổi biến:

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

1

sin t

x  , t 2 2;

 

sin

x

t

2

2 2

1

t

x











Đổi cận:

2

4

t 

 , x 2 

6

t 



Do đó

K

cos

sin

cos sin

t dt

t

t t





6 6

t







Ví dụ 3 Tính tích phân

1)

3

2 3

3

1

dx

I

x





2)

1

2

dx

J

x x



 

3)

1

2

xdx

K





 

Giải

1) Đổi biến xtant, ;

2 2

t   

dt

dx d t

t

cos

t

giá trị 3

3 và 3 của x lần lượt ứng với các giá trị 6



và

3



của t Do đó

3

3 6 6

6











2) Ta thấy

2 2

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

2

 

3

2 cos

dt dx

t

4 cos

x x

t

    Các

giá trị 0 và 1 của x lần lượt ứng với các giá trị

6



và

3



của t Do đó

3

3 6 6











Ta có

2 1

1 2

1

1

1



 

 

Thực hiện phép đổi biến như ở câu 2, ta có

3

3 2

6 6















Do đó

ln 3

 Bài tập

Bài 1 Tính tích phân

1)

1

5 2

0

1

x x dx

105

2)

3

1

3

x

dx





  

3

0

2

1

x dx

x





10

4)

9

3

1

1

x xdx

7



BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

5)

1

15 8

0

1 3

x  x dx

270

6) [ĐHB04]

1

1 3ln ln

e

x xdx x



135

7)

1

3 2 ln

1 2 ln

e

x dx





3



8) [ĐHA05]

2 0

sin 2 sin

1 3cos

dx x







27

Bài 1 Tính tích phân

4)

3

2

3 2

3 3

2

9

dx

x

27

5)

2

2

2

3

1

dx

x x 

6



6)

6

2

3 2 9

dx

x x 

36



7)

2

2

2

2

0 1

x dx

x



8

 

8)

3

3 2 3

3

1

dx

x

2



9)

1

0

1

1

x

dx

x





2



