CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Mục lục

Loại 1 Phương pháp lũy thừa 2

A Nội dung phương pháp 2

B Một số ví dụ 3

C Bài tập 8

D Đáp số 9

Loại 2 Phương pháp ẩn phụ 11

A Nội dung phương pháp 11

B Một số ví dụ 11

C Bài tập 17

D Đáp số 18

Loại 3 Phương trình và bất phương trình tích 19

A Nội dung phương pháp 19

B Một số ví dụ 19

C Bài tập 21

D Đáp số 21

Loại 4 Một số phương pháp đặc biệt 22

A Một số ví dụ 22

B Bài tập 24

C Đáp số 24

Loại 1 Phương pháp lũy thừa

A Nội dung phương pháp

Phần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ - phương pháp lũy thừa Sau đây là một số tình huống tiêu biểu:

1 Lũy thừa hai vế phương trình vô tỷ

x x x

x x x

x   x x  x  2x23x 1 2x 1 

x x

x x

Kết hợp với điều kiện, suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  0

x x x

x x

Ví dụ 7 [ĐHA04] Giải bất phương trình  2 

20 66 0

x x



55

x x

x x

f x g x nói chung là không tương đương

Vì lý do này mà trong ví dụ nói trên, sau khi thu được kết quả cuối cùng, ta phải thử lại +) Việc quyết định khi nào bình phương hai về của phương trình là quan trọng Trong ví

dụ nói trên, động tác bình phương được thực hiện sau khi chuyển vế Nhờ thế mà sau khi bình phương, ta giản ước được 9x  ở hai vế 5

Ví dụ 10 Biện luận số nghiệm của phương trình 3

x x

1 1

m m

m m

1

-∞

+ + 0 - 0

f x

f ' x ( )

1 3 -1

 1 có hai nghiệm phân biệt   2 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1

m m

m

x x

Bài 5 Giải các bất phương trình sau

x  x  ; 3) 2x  5 x24x ; 3 4) x23x2 x24x 3 2 x25x ; 45) x1 2x 1 3x1; 6) 2 2 2

Bài 8 Giải và biện luận theo m các bất phương trình sau

Bài 6 1) m   hoặc 01 m : vô nghiệm; 11  m hoặc 0 m  : 1

2

12

m x

Loại 2 Phương pháp ẩn phụ

A Nội dung phương pháp

Dùng ẩn phụ là một phương pháp thơng dụng để giải phương trình nĩi chung và phương trình vơ

tỷ nĩi riêng Đối với phương trình vơ tỷ, phương pháp này cĩ thể được phân loại như sau:

+) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chỉ chứa ẩn phụ

+) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ

+) Đặt một ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ +) Đặt hai ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa hai ẩn phụ

thỏa mãnloại

t t

thỏa mãnloại

t t

thỏa mãnloại

t t

Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 5

t t

* Dễ thấy x  là nghiệm của 0  4

* x   0 VT 4   x không phải nghiệm của 1  4

Vậy  1 có nghiệm duy nhất x  0

t t

Xét  2 : ĐK: x   3

* Dễ thấy x  là nghiệm của 1  2

* x   1 VT 2   x không phải nghiệm của 4  2

Vậy  1 có nghiệm duy nhất x  1

Ví dụ 4 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2 2  

f x   xx Ta có f x  6x12 Ta thấy f x 0  , dấu bằng xảy x

ra  x   1 6; f x  6  , dấu bằng xảy ra  x x   Do đó tập giá trị của hàm 1 f

 Điều kiện phương trình f x m  * có nghiệm:

o  * có nghiệm  đường thẳng ym có điểm chung với đồ thị hàm

số y f x 

o  * có nghiệm  m thuộc tập giá trị của hàm số y f x 

 Trong ví dụ trên, ta dùng điều kiện thứ hai để tìm điều kiện phương trình

có nghiệm Về việc tìm tập giá trị của hàm số y f x , ta có thể dùng khẳng định sau: Nếu f đạt giá trị nhỏ nhất là m tại a , đạt giá trị lớn nhất là M tại b

và f liên tục trên đoạn với hai đầu mút a , b thì tập giá trị của f là m M ; 

Thay t  vào 0  2 ta có

2

x  x   x22x 1 0  x   1 2 Thay t2 1 x vào  2 ta có

 

3

12530

56

x t xt

Vậy tập nghiệm của  1 là 2; 3 

 (1) có nghiệm  (2) có nghiệm

 Trong trường hợp (2) có nghiệm t và 1 t thì: 2

1 2 2 1

x x

Bài 2 Cho phương trình 3x 6x 3x6xm

1) Giải phương trình với m  3

2x 4x x 2xm nghiệm đúng với mọi x   2; 4

Bài 5 Giải các PT sau:

Bài 7 [ĐHA07] Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3 x 1 m x 1 24 x2 1

Bài 8 Giải các phương trình:

1) 3

x  x  3) 4 x417x  3 4) 32x2 37x2 32x7x  3

Bài 10 Giải các phương trình sau

Loại 3 Phương trình và bất phương trình tích

A Nội dung phương pháp

Phần này đề cấp đến việc giải phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng cách đưa phương trình, bất phương trình cần giải về phương trình, bất phương trình tích

Nhân tử chung có thể thấy ngay hoặc nhận được sau một số phép biến đổi đơn giản Việc sử dụng biểu thức liên hợp đôi khi cho ta lời giải bất ngờ

Về biểu thức liên hợp, ta cũng cần biết:

 Biểu thức liên hợp của a b là a b:





 



Ta thấy cả 2 giá trị 0 và 1 đều thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghĩa Vậy tập nghiệm của phương trình là  0;1

Ví dụ 2 [ĐHD02] Giải bất phương trình  2  2  

Giải

Đk: 2

2x 3x 2 0 

122

x x

032

x x x x

x x x x

x x

x

x

 x  (thỏa mãn điều kiện để 1  1 có nghĩa)

Vậy  1 có nghiệm duy nhất x  1

    )  x  (thỏa mãn 5  2 )

Vậy  1 có nghiệm duy nhất x  5

Loại 4 Một số phương pháp đặc biệt

x x x