Chuyên đề phương trình mũ

Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ Bài 1: Giải các phương trình sau:... Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ Vậy phương trình có nghiệm x=10.. Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ V

Trang 1

QUÁCH ĐĂNG THĂNG

0

log

b x

a

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

CHUYÊN ĐỀ

Trang 2

Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

I Tr ọng tâm kiến thức:

Bài toán sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để giải phương trình

mũ là bài toán cơ bản của phương trình mũ Dạng chính của phương pháp này là

sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để biến đổi phương trình mũ về

dạng cơ bản hoặc dạng có cùng cơ số

Trang 3

Bài 1: Giải các phương trình sau:

7.3x+ −5x+ =3x+ −5x+

c) 52 −3 125

=

d) ( )5 4 3 4 3 4 7

53

Trang 4

Vậy phương trình có nghiệm x=10

a) 2 4 5

7x − +x =49x

b) 3 2 2 2 2 3

8x− x+ =4x + +x

c) 2 8 1 3

Vậy phương trình có nghiệm x = 5

Trang 5

x

Vì 6+ 35 6− 35 = 36 35− = 1 1=

Trang 6

Trang 7

Trang 8

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x=4, x=5

Bài 6: Cho phương trình 2 4 5 1 ( )

14

2x − +x = m+ a) Giải phương trình với m = 0

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thuộc khoảng ( )1, 4

H ướng dẫn giải

Biến đổi phương trình về dạng:

( )

2 2

Vậy với m = 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt x=1,x=3

b) Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm trái

m thì phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu

c) Phương trình (1) biến đổi về dạng 2 ( )

Phương trình (1) có 2 nghiệm thuộc khoảng ( )1, 4 ⇔ Phương trình (3) có 2

nghiệm thuộc khoảng ( )1, 4

Trang 9

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (3) có 2 nghiệm thuộc khoảng

− < <m thì phương trình (1) có 2 nghiệm thuộc khoảng ( )1, 4

L ưu ý: Ở câu c) chúng ta có thể sử dụng định lý đảo về tam thức bậc hai để làm

tuy nhiên phận kiến thức này đã được giảm tải không đưa vào nữa nên việc dùng

phương pháp hàm số là hữu hiệu và nhanh nhất

Bài 7: Cho phương trình 3 2 ( )

b) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt dương

3 2 0

1

13

Trang 10

b) Đặt ( ) 2

2 1

Phương trình (1) cĩ 3 nghiệm phân biệt dương

⇔ Phương trình (2) cĩ 2 nghiệm phân biệt dương khác 2

m thì phương trình (1) cĩ 3 nghiệm phân biệt dương

0

1 xác định

110

Trang 11

II Bài t ập chọn lọc, điển hình:

Bài 1: Giải các phương trình:

Trang 12

x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2

Chú ý:Đối với 1 phương trình cần thiết rút gọn trước khi logarit hoá

a) ( ) 2

1 2

Trang 13

Ta viết phương trình về dạng

2 1

2

01

x x

x

(thỏa mãn)

Vậy phương trình có 3 nghiệm x=2,x=1,x= −2

Bài 3: Giải các phương trình sau

Trang 14

2log 1

Lấy logarit cơ số 7 hai vế phương trình ta được

Trang 15

Lấy logarit cơ số 2 hai vế ta được

log 3 log 8 log 2 3

log 3 log 2 log 2 log 3

13log 3 2 2log 3

x x x

Trang 16

c) Phương trình được viết lại

9

1log sin 5sin cos 2 log

9log sin 5sin cos 2 log 3

log sin 5sin cos 2 log 3

sin 5sin cos 2 3

1 sin 5sin cos 0

cos 0

cos 5sin 0

*2

Giải phương trình (1): cosx=5sinx

Nh ận xét: c xos =0 không là nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình

cho cosx≠0 ta được phương trình

Trang 17

I Trong tâm kiến thức:

trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ

Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:

hiện theo các bước sau:

- Chia 2 vế phương trình cho 2

Trang 18

- Đặt =    

f

a t

b điều kiện hẹp t>0

D ạng 4: Lượng giác hoá

Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t>0 cho trường hợp đặt ( )

t thì t>0 chỉ là điều kiện hẹp, bởi thực chất điều kiện cho t

phải là t≥2 Điều kiện này đặc biệt quan trọng cho lớp các bài toán có chứa

tham số

II Bài t ập điển hình, chọn lọc:

Bài 1: Giải phương trình: 2 2

Trang 19

⇔(2+ 3)x = ⇔ =1 x 0

Nh ận xét: Như vậy trong ví dụ trên bằng việc đánh giá:

Ta đã lựa chọn được ẩn phụ t= +(2 3)x cho phương trình

Ví dụ tiếp theo ta sẽ miêu tả việc lựa chọn ẩn phụ thông qua đánh giá mở rộng

2

2 1

4

21

Vậy phương trình có 2 nghiệm x=-1, x=2

Chú ý: Trong ví dụ trên, vì bài toán không có tham số nên ta sử dụng điều kiện

cho ẩn phụ chỉ là t>0 và chúng ta đã thấy với 1

2

=

t vô nghiệm Do vậy nếu bài

toán có chứa tham số chúng ta cần xác định điều kiện đúng cho ẩn phụ như sau:

Trang 20

2

x x

Trang 21

Vậy phương trình có 2 nghiệm x=-1, x=0

Bài 6: Cho phương trình (2 +3 16) x −(4 −2 4) x +3 − =8 0 ( )1

a Giải phương trình với m = 3

b Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Vậy, với m = 3 phương trình có hai nghiệm x=0,x= −log 32

b Giải sử phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu x1< <0 x Khi 2 đó, ta có

1 0 2

1< <0 2 ⇔4x <4 <4x ⇔ < <1 1 2

Với t t t1, 2 ương ứng là nghiệm của phương trình (2)

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi phương trình (2)

Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 2 là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển

phương trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn

còn chứa x

phụ cho 1 biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn được triệt để qua

Trang 22

ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn được thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp Khi

đó thường ta được 1 phương trình bậc 2 theo ẩn phụ ( hoặc vẫn theo ẩn x) có

biệt số ∆ là một số chính phương

Bài 1: Giải phương trình: 2 ( )

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm x=2, x=0

Bài 2: Giải phương trình: 2 ( 2 ) 2 2

Trang 23

trong phương trình và khéo léo biến đổi phương trình thành phương trình tích

Bài 1: Giải phương trình: 2 3 2 2 6 5 2 2 3 7

Khi đó phương trình tương đương với:

x x x x

a) Giải phương trình với m=1

b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt

Khi đó phương trình tương đương với:

2 2

x

x u

Trang 24

Vậy với m=1, phương trình có 4 nghiệm phân biệt: x=3, x=2, x=± 1

b) Để (1) có 4 nghiệm phân biệt (*)⇔ có 2 nghiệm phân biệt khác 2 và 3

Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 4 là việc sử dụng k ẩn phụ chuyển

phương trình ban đầu thành 1 hệ phương trình với k ẩn phụ

Trong hệ mới thì k-1 thì phương trình nhận được từ các mối liên hệ giữa

các đại lượng tương ứng

Trường hợp đặc biệt là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành 1 hệ phương trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x, khi đó ta thực hiện theo các

bước:

B ước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu tượng trong phương trình

B ước 2: Biến đổi phương trình về dạng: f x ,ϕ( )x =0

B ước 3: Đặt y=ϕ( )x ta biến đổi phương trình thành hệ: ( )

Bài 1: Giải phương trình: 1 1 1

= 2x− +1 2−x + =1 2x− +2−x + = +2

Trang 25

Phương trình tương đương với hệ:

8 18

99;



x

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x=1 và x=4

Bài 2: Giải phương trình: 2

H ướng1: Thực hiện các bước sau:

B ước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x)=k

B ước 2: Xét hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu( giả sử

đồng biến)

Trang 26

B ước 3: Nhận xét:

+ Với x=x0 ⇔ f x( ) ( )= f x0 =k do đó x=x là nghi0 ệm

+ Với x>x0 ⇔ f x( ) ( )> f x =k do đó phương trình vô nghiệm

+ Với x<x0 ⇔ f x( ) ( )< f x0 =k do đó phương trình vô nghiệm

Vậy x=x là nghi0 ệm duy nhất của phương trình

H ướng 2: Thực hiện theo các bước:

B ước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x)=g(x)

B ước 2: Xét hàm số y=f(x) và y=g(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số y=f(x)

là đồng biến còn hàm số y=g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến Xác định x sao 0

cho f x( ) ( )0 =g x 0

H ướng 3: Thực hiện theo các bước:

B ước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(u)=f(v) (3)

B ước 2: Xét hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến)

B ước 3: Khi đó: (3)⇔ = u v với ,∀u v∈D f

Bài 1: Giải các phương trình sau

x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Chú ý: Nếu gặp phương trình f x( ) ( )=g x xác định trên D mà f x ( ) đồng biến

và g x ngh( ) ịch biến (hoặc f x ngh( ) ịch biến và g x ( ) đồng biến) thì nhẩm

Trang 27

nghiệm x0∈D của phương trình và chứng minh nghiệm đó là duy nhất Ở bài

này ta có hai hàm số ( ) 2

1

ta phải nhân hai vế phương trình với ( 2 )

nên có tối đa hai nghiệm Do đó, phương trình f x( )=0 có

Trang 28

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình g x( )=0 có tối đa 2 nghiệm

Ta thấy g( )0 =0,g( )1 =0 Vậy, phương trình có hai nghiệm x=0,x=1

Bài 2: Giải phương trình: ( ) 3 2 1

2 3

Trang 29

+ Vế phải của phương trình là một hàm nghịch biến

+ Vế trái của phương trình là một hàm đồng biến

Do vậy nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng x = 1 là nghiệm của phương trình (2) vì log 1 2

2.3 = − 3 1

Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 4: Cho phương trình: 2

với m=0 phương trình có nghiệm kép x=0

với m=1 phương trình có nghiệm kép x0=-1

Trang 30

Kết luận:

Với m=0 phương trình có nghiệm kép x=0

Với m=1 phương trình có nghiệm kép x0=-1

Với 0<m<1 phương trình vô nghiệm

Phương trình f '( )x =0 có duy nhất nghiệm nên theo Định lý Lagrange phương

trình f x( )=0 không có quá hai nghiệm phân biệt

Nhận thấy x=1,x=2 là nghiệm phương trình f x( )=0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=1,x=2

Ph ương pháp 4: Sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

I Tr ọng tâm kiến thức:

Với phương trình có chưa tham số: f(x,m)=g(m) Chúng ta thực hiện các

bước sau:

B ước 1: Lập luận số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C):

y=f(x,m) và đường thẳng (d): y=g(m)

B ước 2: Xét hàm số y=f(x,m)

+ Tìm miền xác định D

+ Tính đạo hàm y’ rồi giải phương trình y’=0

+ Lập bảng biến thiên của hàm số

B ước 3: Kết luận:

+ Phương trình có nghiệm ⇔min f x m( ), ≤g m( )≤max f x m x( ), ( ∈D )

+ Phương trình có k nghiệm phân biệt⇔ (d) cắt (C) tại k điểm phân biệt

+ Phương trình vô nghiệm ⇔( ) ( )d ∩ C = ∅

Trang 31

Bài 1: Với giá trị nào của m thì phương trình:

1

5

⇔ < < ⇔ <a m −m + < ⇔ <m −m + < ⇔ < m <

Vậy với 0< m <1 phương trình có 4 nghiệm phân biệt

Bài 2: Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2 3x + = 4x +1

+ ∞

Trang 32

t y

Với m≤1 hoặc m> 10 phương trình vô nghiệm

Với 1< ≤m 3 hoặc m= 10 phương trình có nghiệm duy nhất

Với3< <m 10 phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài 3: Cho phương trình: 2 2 2 2( 2 2 2) 2

3x − +x +2 x − +x + −2 = −2

b) Giải phương trình với m=27

Trang 33

Vì 3 >1, 4 >1 nên sự biến thiên của hàm số phụ thuộc vào sự biến thiên của hàm

a) Với m=8 Suy ra 1t = nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1

b) Với m = 27 Suy ra t = phương trình có 2 nghiệm phân biệt x=0 và 2x=2

c) Phương trình có nghiệm khi m>8

Trang 34

c)

0,5

0, 2 (0,04)

255

Trang 35

Trang 36

4 x +4 x =3

d) 2 5 1

3 x+ −36.3x+ + =9 0

e) 2 2 2 1 2

3 x+ +x −28.3x +x + =9 0

Trang 37

Trang 38

Trang 39

m có 3 nghiệm phân biệt

Bài 31: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu

3

log

log 15 2 3

Trang 40

Bài 45: Cho ph ương trình: 2 2 4 3 2

3 + + − − =2 −

+

x mx m m

b) Tìm tham số m sao cho phương trình trên có đúng 2 nghiệm phân biết thuộc

Bài 48: Giải phương trình: 4 – 2x x+1+ 2(2 –1)sin(2x x + y –1) 2 0 + =

Bài 49: Giải phương trình: 8x + = 1 2 23 x+1− 1

Bài 50: Giải phương trình: 2008 2007 1x = +

Trang 41

Trang 42

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 2

Trang 43

b) Phương trình được đưa về

log

102

x

Trang 44

d) Điều kiện x>0 Lấy logarit cớ số 10 hai vế đưa phương trình về

2

1log 1

3 2

6 5

4

0, 04

Trang 45

Trang 46

ππππ

nên đặt ( ) ( ) 1

Ta có: x= ⇒0 VT =VP⇒ =x 0 là nghiệm của phương trình

x= ⇒1 VT =VP⇒ =x 1 là nghiệm của phương trình

Suyra: x=0 và x=1 là nghiệm của phương trình

Vì 4x >0

nên ta chia hai vế phương trình cho 4x

, ta được:

Trang 47

−∞ +∞

f x ( )0

Kết luận: Phương trình f(x)=0 chỉ có tối đa hai nghiệm

Suyra: x=0 và x=1 là hai nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy tập nghiệm phương trình S ={ }0;1

b) Đáp số x=0,x=1

c) Đáp số x=0,x=1

d) Phương trình: 3 5 6x + =x +2

x

Trang 48

Ta có: x= ⇒0 VT =VP⇒ =x 0 là nghiệm của phương trình

−∞ +∞

f x ( )0

Kết luận: Phương trình f(x)=0 chỉ có tối đa hai nghiệm

Suyra: x=0 và x=1 là hai nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy tập nghiệm phương trình S ={ }0;1

Trang 49

Vậy tập nghiệm phương trình: S = −{ }2;4

, 0

+ + + −

u v u

v

Trang 50

+

+ +

H ướng giải quyết 1:

Chú ý công thức: log log

Trang 51

Với t= ⇒1 log2x= ⇔ =1 x 2. (thỏa mãn)

Về trái phương trình (*) là hàm nghịch biến ⇒ =t 1 là nghiệm duy nhất

Với 1t = ⇒ =x 3 là nghiệm của phương trình

Trang 52

2 2

2

2 2

+ +

+ + +

Trang 53

Dùng đạo hàm ta chứng minh phương trình 9.3 4.4 5 1t + t + =t

b) Lấy logarit cơ số 5 hai vế và đưa về phương trình tích

Suy ra nghiệm phương trình là: x=2;x= − −1 log 25

Trang 54

0

5 11

x t

3

+ +

Trang 55

2 2

x Giải ta được nghiệm

32log 2

Trang 56

Trang 57

5 21

0

2 2

Trang 58

Ta có VT(1) là hàm số nghịch biến ⇒ =x 1 là nghiệm duy nhất của phương

Trang 59

Nh ận xét: VT phương trình là hàm nghịch biền còn VF phương trình là hàm

đồng biến, mà x=2 là nghiệm Suy ra x=2 là nghiệm duy nhất của phương

Nh ận xét: t=1 là một nghiệm của phương trình (2) Từ đó suy ra x = 0 là

nghiệm của phương trình (1)

+ ∞

3 2 2 −

Tiêu đề	Chuyên đề Phương trình Mũ
Tác giả	Quách Đăng Thăng
Trường học	Trường THPT Phù Cừ
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Chuyên đề

Định dạng
Số trang	75
Dung lượng	4,54 MB