CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU V CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦUCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Phương trình mặt cầu

A Tóm tắt lý thuyết

xx  xx  xx R , với R 0, là phương trình chính tắc của

mặt cầu tâm I x ; 0 y z0; 0, bán kính R

* Phương trình x2y2 z22ax2by2czd 0, với điều kiện a2b2c2 d , là phương

trình tổng quát của mặt cầu tâm I a b c ; ; , bán kính R a2 b2c2d

B Các dạng toán hay gặp

Dạng 1 Lập phương trình mặt cầu

Để lập phương trình mặt cầu ta có hai phương pháp sau

Phương pháp 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu

Phương pháp 2: Xác định các hằng số a , b, c , d trong phương trình tổng quát

Ví dụ 1 Viết phương trình mặt cầu  S có tâm là điểm I1;1;1 và tiếp xúc với mặt phẳng

 P :xy z 100

Giải

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  P nên bán kính R của mặt cầu là khoảng cách từ tâm I

đến mặt phẳng  P , tức là  ,   7

3

Rd I P  Vậy   : 12  12  12 49

3

S x  y  z 

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG

Ví dụ 2 Cho A0; 3; 0 , B4; 0; 0, C0;3;0, D4; 0; 4 Viết phương trình mặt cầu  S có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng BCD

Giải

Ta có BC  4;3; 0



, BD0; 0; 4



BCD là mặt phẳng đi qua điểm B4; 0; 0 và có véc-tơ pháp tuyến là nBC BD , 12;16; 0

Lại có véc-tơ n

cùng phương với véc-tơ n' 3; 4; 0 

Do đó

  P : 3 x44y0, hay  P : 3x4y120 Bán kính R của mặt cầu chính là khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng BCD Do đó

5

Rd A BCD 

3

25

144

Ví dụ 3 Cho bốn điểm A1; 2; 2, B  1; 2; 1 , C1; 6; 1  và D  1;6; 2 Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

2

29 4

4

x  y  z 

Ví dụ 4 [D04] Cho ba điểm A2; 0;1, B1; 0; 0, C1;1;1 và mặt phẳng  P :xy  z 2 0 Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, Cvà có tâm thuộc mặt phẳng  P

x y  z 

Ví dụ 5 [D08] Cho bốn điểm A3;3; 0, B3; 0;3, C0;3;3 và D3;3;3 Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Đáp số:

Ví dụ 6 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, biết các đỉnh S 3;2;4 , A 1;2;3 , C 3;0;3  Gọi

H là tâm hình vuông ABCD Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG

Dạng 2 Sự tương giao của mặt cầu và mặt phẳng

Ví dụ 7 Cho  P :16x15y12z750

1) Lập phương trình mặt cầu  S có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc mặt phẳng  P

2) Hãy tìm tọa độ tiếp điểm H của  P với  S

Ví dụ 8 Cho mặt cầu   2 2 2

S x y z  và mặt phẳng  P :x z 2 Chứng minh rằng mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn  C là giao tuyến giữa  P và  S

Ví dụ 9 Cho mặt cầu   S : x12 y12z12  9 và họ mặt phẳng

m

P x y z m  m (m là tham số)

1) Cho m 2 Chứng minh rằng mặt phẳng  P2 tiếp xúc với  S Tìm tọa độ tiếp điểm

2) Xác định m để  P m cắt  S theo một đường tròn có bán kính r 2 2

Ví dụ 10 Cho các đường thẳng 1: 1 2 3

   2 2 2

S x y z  Lập phương trình mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu  S biết rằng

 P song song với cả hai đường thẳng d và 1 d 2

Ví dụ 11 Cho đường thẳng : 1 2 3

d      và các mặt phẳng  P1 : 2xy  z 6 0,

 P2 : 2xy2z 1 0 Lập phương trình mặt cầu  S có tâm nằm trên d và tiếp xúc với hai mặt phẳng  P1 ,  P2

Ví dụ 12 Hỏi tương tự bài 11 với đường thẳng : 1 1 1

 và các mặt phẳng

 P1 : 2xy  z 6 0,  P2 : 2x  y z 20

Ví dụ 13 Hãy viết phương trình mặt phẳng:

1) Tiếp xúc với mặt cầu   2 2 2

S x y z  x y z  và song song với mặt phẳng

 P : 4x3y 12z 1  0

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

x y d

x y z





   



và tiếp xúc với mặt cầu   2 2 2

S x y z  x y z  Tìm toạ độ tiếp điểm

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG

Dạng 3 Sự tương giao của mặt cầu và đường thẳng

Ví dụ 14 Cho đường thẳng : 5 4 3 20 0



 



và điểm I2;3; 1  1) Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng 

2) Viết phương trình mặt cầu  S tâm I và cắt đường thẳng  tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB 8

Ví dụ 15 Cho mặt cầu   2 2 2

S x y z  x y z  Viết phương trình đường thẳng

d qua O, nằm trong mặt phẳng  P : x  y z 0 và tiếp xúc với  S

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Dạng 4 Bài tập tổng hợp

Ví dụ 16 [B07] Cho mặt cầu   2 2 2

 P : 2x y 2z140

1) Viết phương trình mặt phẳng  Q chứa trục Ox và cắt  S theo một đường tròn có bán kính bằng 3

2) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu  S sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng  P lớn nhất

Đáp số: 1)  Q :y2z0 2) M    1; 1; 3

Ví dụ 17 Cho mặt phẳng  P : 2x2y  z 5 0 và điểm I1; 2; 1 

1) Lập phương trình mặt cầu  S tâm I sao cho giao tuyến của mặt cầu  S và mặt phẳng  P

là đường tròn có chu vi bằng 8

2) Chứng minh rằng mặt cầu  S nói trên tiếp xúc với đường thẳng : 2x 2 y  3 z

3) Lập phương trình mặt phẳng đi qua và tiếp xúc mặt cầu  C

Ví dụ 18 Cho mặt phẳng  P : x   y z 1 0 và đường thẳng 1

1 1 1



1) Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, biết A, B, C là giao điểm tương ứng của  P với các trục Ox, Oy , Oz, D là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng Oxy

2) Viết phương trình mặt cầu  S qua các điểm A, B, C, D

3) Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu  S với mặt phẳng

ACD

Ví dụ 19 Cho hai mặt cầu:   2 2 2

S x y z  x z  ,   2 2 2

S x y z  x  1) Chứng minh rằng  S1 có giao với  S2

2) Lập phương trình mặt cầu qua giao tuyến của  S1 và  S2 đồng thời qua điểm M 3;0; 0 