Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC.
Trang 1Trường THPT Vinh Xuân KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2014-2015
TỔ TOÁN MÔN TOÁN LỚP 10 - Thời gian làm bài: 90 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC − − − − − − & − − − − − −
-o0o -
Câu 1 (1,0 điểm): Xét dấu biểu thức ( ) 2
Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình (3−x)(2x2− − ≥x 1) 0
Câu 2 (1,0 điểm): Giải bất phương trình 3 1
2 4
Câu 3 (1,0 điểm): Tìm các giá trị m để phương trình x2−2(m−1)x m− 2+6m− =5 0 (1) có hai
nghiệm dương phân biệt
Câu 4 (1,0 điểm): Rút gọn biểu thức sin2 sin2( ) 1 tan( )
2
p= π −x+ π − − +x π +x
Câu 5 (1,0 điểm): Cho sin 3,
5 2
π
α = < <α π Tính giá trị của biểu thức
2 3
A= α +π + α −π −
Câu 6 (1,0 điểm):
Chứng minh đẳng thức 1 sin 2 cos 2 cot
1 sin 2 cos 2
a
+ − , (khi các biểu thức có nghĩa)
Câu 7 (1,0 điểm): Cho , , A B C là ba góc của một tam giác, chứng minh rằng:
cos A+cos B+cos C = −1 2cos cos cosA B C
Câu 8 (2,0 điểm): Trong mặt phẳng ( Oxy cho ) A(− −1; 1) và đường thẳng : 3∆ x−4y+ =5 0
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A và song song với ∆
b) Viết phương trình đường tròn tâm I( )3;1 và tiếp xúc với ∆
Câu 9 (1,0 điểm):
Trong mặt phẳng (Oxy cho tam giác ABC cân ở ) A( )4;6 và điểm M( )6;2 nằm trên
cạnh BC , trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên đường thẳng : d x−2y+ =2 0
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC KÌ II MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM HỌC 2014-2015
1 Xét dấu biểu thức f x( ) = −(3 x)(2x2− −x 1) 1,0
f x = ⇔ −x x − − =x
2
3 3 0 1 2 1 0 1 2 x x x x x x = − = ⇔ ⇔ = − − = = − 0,25 Bảng xét dấu của ( )f x
x −∞ 1
2 − 1 3 +∞
3 x− + + + 0 ─
2 2x − −x 1 + 0 ─ 0 + +
( ) f x + 0 ─ 0 + 0 ─
0,25 Từ BXD ta có ( ) 0, ; 1 ( )1;3 2 f x > ∀ ∈ −∞ −x ÷ U ; ( ) 0, 1;1 (3; ) 2 f x < ∀ ∈ −x +∞ ÷ U 0,25 Dựa vào BXD suy ra tập nghiệm của bất phương trình (3−x)(2x2− − ≥x 1) 0 là ; 1 [ ]1;3 2 S = −∞ − U 0,25 2 Giải bất phương trình 3 1 2 4 x ≤ x + − (1) 1,0 ĐK : 2 4 x x ≠ − ≠ 0,25 Bpt (1) 32 41 0 ( 10 42 4) ( ) 0 x x x x x − ⇔ − ≤ ⇔ ≤ + − + − 0,25 Đặt ( ) ( )( )10 42 4 x g x x x − = + − ; ( ) 0 5 2 g x = ⇔ =x 0,25 x −∞ −2 5
2 4 +∞
10 4x− + + 0 ─ ─
(x+ 2 4) ( −x) ─ 0 + + 0 ─
( ) g x ─ + 0 ─ + .
Dựa vào BXD suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
( ; 2) 5;4
2
S= −∞ −
÷
3 Tìm các giá trị m để phương trình x2−2(m−1)x m− 2+6m− =5 0 (1) có hai
nghiệm dương phân biệt
1,0
Trang 3Để pt(1) có hai nghiệm dương phân biệt
' 0 0 0
S P
∆ >
⇔ >
>
0,25
− + − + > − + >
⇔ − > ⇔ >
− + − > − + <
0,25
1 3
m m
m
<
>
⇔ > ⇔ < <
< <
Vậy 3< <m 5 là giá trị cần tìm
0,50
4 Rút gọn biểu thức sin2 sin2( ) 1 tan( )
2
p= π −x+ π − − +x π +x
2
p= π −x+ π − − +x π +x
=cos2x+sin2x− +1 tanx
0,75
sin ,
5 2
π
α = < <α π Tính giá trị của biểu thức
2 3
A= α +π + α −π −
1,0
Ta có cos2 1 sin2 1 9 16 cos 4
Vì
2
π α π< < suy ra cosα <0 nên cos 4
5
2 3
A= α +π + α −π −
cos cos sin sin sin cos cos sin 2 3
0,25
4 2 3 2 3 1 4 3 2 3 3 7 2
−
6 Chứng minh đẳng thức 1 sin 2 cos 2
cot
1 sin 2 cos 2
a
+ − , (khi các biểu thức có nghĩa) 1,0
Ta có
2
2
1 sin 2 cos 2 (1 cos 2 ) sin 2 2cos 2sin cos
1 sin 2 cos 2 (1 cos 2 ) sin 2 2sin 2sin cos
2cos (cos sin )
2sin (sin cos )
+
=
cos cot
sin
a
a a
Trang 47 Cho , , A B C là ba góc của một tam giác, chứng minh rằng:
cos A+cos B+cos C = −1 2cos cos cosA B C 1,0
0,25
2
1 cos A cos(π A).cos(B C) 1 cos A cos cos(A B C)
= +1 cosA[cosA−cos(B C− )] 0,25
= +1 cosA[−cos(B C+ ) cos(− B C− )] = −1 2cos cos cosA B C 0,25
8 Trong mặt phẳng (Oxy cho ) A(− −1; 1) và đường thẳng : 3∆ x−4y+ =5 0 2,0 8a Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A và song song với ∆ 1,0
Vì d song song với ∆nên phương trình đường thẳng d có dạng
: 3d x−4y C+ =0 với C ≠5 0,5
Vì A(− −1; 1) thuộc d ta có 3 4− + + = ⇔ = −C 0 C 1 thỏa mãn C ≠5 0,25 Vậy phương trình đường thẳng : 3d x−4y− =1 0 0,25
8b Viết phương trình đường tròn tâm I( )3;1 và tiếp xúc với ∆ 1,0
Đường tròn tâm I( )3;1 và tiếp xúc với ∆nên có bán kính
( ; ) 9 4 52 2 10 2
5
+
0,50
Vậy phương trình đường tròn tâm I( )3;1 bán kính R=2 là
(x−3)2 + −(y 1)2 =4 0,50
9 Trong mặt phẳng (Oxy cho tam giác ABC cân ở ) A( )4;6 và điểm M( )6;2 nằm
trên cạnh BC , trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên đường thẳng
d x− y+ = Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC
1,0
Gọi H x y là trung điểm của BC suy ra AH( ); ⊥BC
Vì G d∈ nên tọa độ G a(2 −2;a)
Ta có uuurAG=(2a−6;a−6); uuurAH = −(x 4;y−6)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên
2
2 3
3
− = −
uuur uuur
3
3
2 3
2
a
a y
= −
0,25
Ta có (3 9;3 9)
2
a
uuur
; (3 11;3 5)
2
a
uuuur
Mà M ∈BC⇒ AH ⊥MH ⇔ uuur uuuurAH MH. =0
(3 9)(3 11) 3 9 3 5 0
⇔ − − + − ÷ − ÷=
0,25
Trang 52
5t 108t 576 0
⇔ − + = với t =3a
+ Với a= ⇒4 H(7;3) và uuurAH =(3; 3) 3(1; 1)− = −
Đường thẳng BC đi qua M( )6;2 và nhận véc tơ 1 (1; 1)
3
nr = uuurAH = − làm VTPT
Phương trình đường thẳng BC : x− − − = ⇔ − − =6 (y 2) 0 x y 4 0
0,25
+ Với 16 23 9;
⇒ ÷ và 3; 21 3(1; 7)
uuur
Đường thẳng BC đi qua M( )6;2 và nhận véc tơ 5 (1; 7)
3
nr = uuurAH = − làm VTPT
Phương trình đường thẳng BC : x− −6 7(y− = ⇔ −2) 0 x 7y+ =8 0
0,25