Đề kiểm tra học kỳ môn Toán lớp 11 (7)

Câu III: 2 điểm Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng 1, cạnh bên SA= 3 và vuông góc với đáy.. Một mặt phẳng chứa BD và vuông góc với SC, cắt SC tại điểm H.. Tính góc

Trường THPT Vinh Xuân KIỂM TRA HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2009-2010

Tổ Toán Tin MÔN TOÁN LỚP 11 ( Thời gian 90 phút )

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

A-PHẦN CHUNG: ( bắt buộc cho mọi thí sinh ) ( 7,0 điểm )

Câu I: (2 điểm )

1 Tìm giới hạn:

2 2

2

7 10 lim

x

→

2 Hàm số sau đây liên tục hay gián đoạn tại điểm x=1?

2 2

khi 1

2 khi 1

x





Câu II: (3 điểm )

1 Chứng minh hàm số y x= cosx thỏa mãn hệ thức: xy′′−2y′+xy= −2cosx

2 Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1

1

x y x

+

=

− , biết rằng các tiếp

tuyến đó vuông góc với đường thẳng y =2x+3.

Câu III: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng 1, cạnh

bên SA= 3 và vuông góc với đáy Một mặt phẳng chứa BD và vuông góc với SC, cắt

SC tại điểm H.

1 Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).

2 Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (HBD).

B-PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần sau: ( phần 1 hoặc phần 2 )

Phần 1: Theo chương trình chuẩn

1 Tìm x để ( ) 0 f x′ <

2 Chứng minh rằng phương trình ( ) 0f x = có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng

(−3; 5)

Câu Va: (1 điểm ) Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi M là trung điểm của AH và N là

trung điểm của DF Chứng minh rằng ba véctơ uuur uuuur uuurAC MN FG, , đồng phẳng

Phần 2: Theo chương trình nâng cao

1 Tìm x để ( ) 0 f x′ > .

2 Chứng minh rằng phương trình ( ) 0f x = có bốn nghiệm phân biệt thuộc

khoảng (−3; 3)

Câu Vb: (1 điểm ) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.DEF Gọi M, N lần lượt là trung

điểm của BE, DF và P là điểm trên cạnh EF sao cho PFuuur+2uuur rPE=0 Chứng minh rằng

bốn điểm A, M, N, P đồng phẳng.

-HẾT -HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 11

KIỂM TRA HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2009-2010 - ĐỀ THI CHÍNH THỨC

A- PHẦN CHUNG ( 7 điểm )

2 2

2

7 10 lim

x

→

( ) ( ) ( ) ( )

2

lim

x

→

=

( )

( )

2

5

3

x

x x

→

−

−

0,50 0,50

I.2 Hàm số sau đây liên tục hay gián đoạn tại điểm x=1? 1,00

2 2

lim ( ) lim

1

f x

x

=

−

( ) ( ) ( ) ( )

1

lim

x

+

→

=

( )

1

3

1

x

x x

+

→

−

+

( )

lim ( ) lim 2 1

→ = → − = − và (1)f = −1

Suy ra xlim ( ) lim ( )→1+ f x =x→1− f x = f(1)

Vậy hàm số liên tục tại điểm x=1

0,25

0,25 0,25 0,25 II.1 Chứng minh hàm số y x= cosx thỏa mãn hệ thức 1,00

Từ y x= cosx, suy ra y′ =cosx x− sinx và y′′ = −2sinx x− cosx

Vậy xy′′−2y′+xy = x(−2sinx x− cosx) (−2 cosx x− sinx) +x x cosx

= −2 sinx x x− 2cosx−2cosx+2 sinx x x+ 2cosx

= −2cos x

0,50

0,50

II.2 Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2,00

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến Vì tiếp tuyến vuông góc với đường

thẳng y =2x+3 nên ta có 2k = −1, suy ra 1

2

k = − Phương trình hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số

1 1

x y

x

+

=

2 1

y k

x

−

−

( )2

x

⇔ − = ⇔  =x x= −31

+ Với x= −1 thì y =0 Ta có tiếp điểm A(−1; 0)

Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại tiếp điểm A là:

( )

1

+ Với x=3 thì y=2 Ta có tiếp điểm B(3; 2)

Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại tiếp điểm B là:

( )

0,25

0,25 0,50

0,50

0,50

III Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng 1 2,00

1. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). 1,00

Hình vẽ ( 0,50 điểm )

Ta có BC là giao tuyến của hai

mặt phẳng (SBC) và (ABCD).

Từ SA⊥(ABCD) và AB⊥BC

suy ra SB⊥ BC ( định lý ba

đường vuông góc )

Vậy ·SBA là góc giữa hai mặt

phẳng (SBC) và (ABCD).

Từ tam giác vuông SAB ta có:

tanSBA· SA 3

AB

⇒SBA· =600

0,50

0,25

0,25

2. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (HBD). 1,00

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Từ giả thiết ta có SC ⊥(HBD), suy ra SC⊥OH

Vì O là trung điểm của AC và O thuộc mặt phẳng (HBD) nên

d A HBD( ,( )) =d C HBD( ,( )) =CH

Từ hai tam giác vuông đồng dạng SAC và OHC ( trường hợp góc-góc)

Suy ra AC SC

2

AC OC AC HC

mà AC= AB2 +BC2 = 2 và SC = SA2 +AC2 = 5

Do đó

AC HC

SC

5

d A HBD =CH =

0,50

0,50

PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )

IVa Cho hàm số f x( )= −x3 3x2 −9x+9 2,00

Từ f x( )= −x3 3x2 −9x+9, suy ra f x′( ) 3= x2 −6x−9

Ta có ( ) 0f x′ < ⇔3x2 −6x− <9 0 ⇔ − < <1 x 3

0,50 0,50

2. Chứng minh rằng phương trình ( ) 0f x = có ba nghiệm phân biệt 1,00

Hàm số f x( )= −x3 3x2 −9x+9 liên tục trên ¡ nên cũng liên tục trên

đoạn [−3; 5]

Ta có ( 3)f − = −18, ( 1) 14, (3)f − = f = −18, (5) 14f = Suy ra:

( 3) ( 1) 252 0

f − f − = − < ⇒ tồn tại x1∈ − −( 3; 1) sao cho f x( ) 01 =

( 1) (3) 252 0

f − f = − < ⇒ tồn tại x2∈ −( 1; 3) sao cho f x( ) 02 =

0,25 0,25

(3) (5) 252 0

f f = − < ⇒ tồn tại x3∈(3; 5) sao cho f x( ) 03 =

Vì các khoảng (− −3; 1) , (−1; 3), (3; 5 rời nhau từng đôi một nên )

1, , 2 3

x x x phân biệt Vậy phương trình ( ) 0 f x = có ba nghiệm phân

biệt thuộc khoảng (−3; 5)

0,25

0,25

Va Chứng minh rằng ba véctơ uuur uuuur uuurAC MN FG, , đồng phẳng 1,00

Đặt AB auuur= r , AD buuur= r, AE cuuur r=

Theo quy tắc đường chéo hình

bình hành ta có:

1

2

AM = AH

uuuur uuur

1

2 AD AE

= uuur uuur+

1( )

2 b c

2b 2c

1( )

2

AN = AD AF+

uuur uuur uuur

1( )

2 AD AB AE

= uuur uuur uuur+ +

1( )

2 a b c

Do đó MN AN AMuuuur uuur uuuur= − =12ar (1)

Mặt khác, ta có FG AD buuur uuur= = r (2) và AC AB AD a buuur uuur uuur= + = +r r (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 2.1

2

AC= a b+

2MN FG= uuuur uuur+

Hệ thức uuurAC =2MN FGuuuur uuur+ chứng tỏ rằng ba véctơ uuur uuuur uuurAC MN FG, ,

đồng phẳng

0,25 0,25 0,25 0,25

Từ f x( )=x4 −8x2 +9, suy ra f x′( ) 4= x3 −16x=4x x( 2 −4)

Lập bảng xét dấu đạo hàm ( )f x′ :

x −∞ 2− 0 2 +∞

4x − − 0 + +

2 4

x − + 0 − − 0 +

( )

f x′ − 0 + 0 − 0 +

Từ bảng xét dấu, suy ra ( ) 0f x′ > ⇔ − < <2 x 0 hoặc x>2

0,25

0,50 0,25

2. Chứng minh rằng phương trình ( ) 0f x = có bốn nghiệm phân biệt 1,00

Hàm số f x( )=x4 −8x2 +9 liên tục trên ¡ nên cũng liên tục trên

đoạn [−3; 3]

Ta có ( 3) 18, ( 2)f − = f − = −7, (0) 9, (2)f = f = −7, (3) 18f = Suy ra

( 3) ( 2) 126 0

f − f − = − < ⇒tồn tại x1∈ − −( 3; 2) sao cho f x( ) 01 =

( 2) (0) 63 0

f − f = − < ⇒tồn tại x2∈ −( 2; 0) sao cho f x( ) 02 =

(0) (2) 63 0

f f = − < ⇒tồn tại x3∈(0; 2) sao cho f x( ) 03 =

(2) (3) 126 0

f f = − < ⇒tồn tại x4∈(2; 3) sao cho f x( ) 04 =

Vì các khoảng (− −3; 2) , (−2; 0), (0; 2 , ) (2; 3 rời nhau từng đôi một )

nên x x x x phân biệt Vậy phương trình ( ) 01, , , 2 3 4 f x = có bốn

nghiệm phân biệt thuộc khoảng (−3; 3)

0,25 0,25

0,25

0,25

Vb Chứng minh rằng bốn điểm A, M, N, P đồng phẳng. 1,00

Đặt uuurAB a AC b AD c= r, uuur= r, uuur=r

Ta có

1

2

AM =AB BM+ = AB+ BE

uuuur uuur uuuur uuur uuur

1

2

= +r r (1)

1

2

AN = AD DN+ =AD+ DF

uuur uuur uuur uuur uuur

1

2

= +r r (2)

Từ giả thiết uuurPF+2uuur rPE=0

suy ra uuur uuurAF−AP+2(uuur uuurAE AP− ) =0r 1( )

2 3

⇒uuur= uuur uuur+

1 2 3

AP  AB AD AC AD

⇒uuur=  uuur uuur+ +uuur uuur+  1( )

3

⇒uuur= r+ +r r (3)

Từ (1) và (2) ta có

AM +AN a= + b + c

uuuur uuur r r r

⇒ uuuur uuur+ = r+ +r r (4)

Từ (3) và (4) suy ra 2( )

3

AP= AM + AN

uuur uuuur uuur

Hệ thức trên chứng tỏ rằng ba véctơ APuuur, AMuuuur, ANuuur đồng phẳng

Vậy bốn điểm A, M, N, P đồng phẳng.

0,25

0,25

0,25 0,25

Chú ý: Mọi cách chứng minh khác đúng và hợp lý vẫn cho điểm tối đa của câu đó.