Tính thể tích khối tứ diện A/AMN b/ Tính khoảng cách giữa hai cạnh A/B và AC Câu 6/ 1 điểm.. PHẦN RIÊNG3,0 điểm: Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần phần A hoặc phần B A.. Theo chư
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 67
I/ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1/ (2,0 điểm) Cho hàm số
1
3 +
−
=
x
x
y có đồ thị là (C) a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b/ Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài IM là ngắn nhất
(I: giao điểm hai tiệm cận của(C))
1 2 sin 2 cos 2
4 sin 2 cos
− +
−
x x
x x
Câu 3/ Giải hệ phương trình: ( )
( ) ( )
= +
− + +
= + +
−
0 2
1
0 1 2
2
y y
x x
y x y x
Câu 4/ ( 1 điểm) Tính: A ( sin x cos x ) ( ln 1 sin 2 x ) dx
4 0
+
−
= ∫ π
Câu 5/ ( 1 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ Đáy ABC là tam giác đều Có (A/BC) tạo với đáy góc 600, tam giác A/BC có diện tích bằng 8 3
a/Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của BB/ và CC/ Tính thể tích khối tứ diện A/AMN
b/ Tính khoảng cách giữa hai cạnh A/B và AC
Câu 6/ ( 1 điểm)
Gọi x1, x2 , x3 là nghiệm phương trình: x3 − ( 2 m + 3 ) x2 + ( 2 m2 − m + 9 ) x − 2 m2 + 3 m − 7 = 0
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x12 + x22 + x32 + x1x2x3
II PHẦN RIÊNG(3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Cho tam giác ABC với B(1;–2),phương trình đường cao vẽ từ A là
d: x –y + 3 = 0.Tìm tọa độ A ,C của tam giác.Biết C thuộc đường thẳng ∆ : 2x + y –1 = 0 và diện tích tam giác ABC bằng 1
Câu 8.a (1,0 điểm).Cho A(5 ; 3 ; – 4) và B(1; 3 ; 4) Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy)
sao cho tam giác ABC cân đỉnh C và có diện tích S = 8 5
Câu 9 a (1,0 điểm ).Giải phương trình: 2 2 6 3 2 3 1 2 2 6 3
2 6
3 x− x+ + x − x+ = x − x+
B Theo chương trình nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 = 13 và (C2): (x –6)2 + y2 = 25 cắt nhau tại
A Viết phương trình đường thẳng qua A (2 ; 3) cắt (C1) và (C2) thành hai dây cung bằng nhau
Câu 8.b (1,0 điểm) Cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình ( )
1
9 2
4 1
7 :
−
=
−
=
x
( )
3
1 2
1 7
3
:
2
−
=
−
=
−
x
d Lập phương trình đường thẳng ( ∆ )cắt (d1),(d2) và trục Ox lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho B là trung điểm AC
Câu 9.b (1,0 điểm ).Giải phương trình: 1 + log9 x − 3 log9 x = log3 x − 1
Trang 2Đáp án đề số 67
/
1
4 +
=
x
y , y/ > 0 , ∀ x ∈ D
Vì:
+
−
−
−
3
lim
1 x
x
+
−
+
−
3 lim
1 x
x
x nên: x = –1 là tiệm cận đứng
1
3
+
−
−∞
x
1
3
+
−
+∞
x
x nên: y = 1 là tiệm cận ngang Bảng biến thiên và kết luận Đồ thị
+
− 1
3
;
m
m m
M thuộc đồ thị, có I(–1 ; 1)
1
16 1
+ + +
=
m m
1
16
+ + +
=
m m
( Tương ứng xét ( ) = + 16 , t > 0
t t t
g và t = (m + 1)2 và lập được bảng biến thiên
IM nhỏ nhất khi IM = 2 2Khi đó (m + 1)2 = 4 Tìm được hai điểm M1( 1 ; − 1 ) và M2( − 3 ; 3 )
1 2 sin 2 cos 2
4 sin 2 cos
− +
−
x x
x x
ĐK:
−
≠
≠
⇔
≠ + +
−
2
1 2
sin
1 2 sin 0
1 2 sin 2 sin
2 2
x
x x
x
3 1 2 sin
2
sin
2
4 sin
2
cos
+ +
−
−
x x
x x
−
=
+
6 4 cos 3
2
⇔
+ +
−
= +
+
−
= +
π π π
π π π
2 6
4 3 2
2 6
4 3 2
k x
x
k x
x
π
π k
x = +
3
2 6
π
π k
x = − +
So lại điều kiện được nghiệm phương trình đã cho
3
2 6
π
π k
x = − +
( ) ( )
= +
− + +
= + +
−
0 2
1
0 1 2
2
y y
x x
y x y x
= +
− + +
+
= +
0 2
1 2
y y
x y x y
y x y x
= +
− +
+
+
=
+
0 1 2
1
2
y x
y
x
y x y
x
( Vì: y = 0 không là nghiệm của hệ)
= + +
−
+
+
=
+
0 1 2
1
2
2
y x y
x
y x y
x
=
− +
+
= +
0 1
1 2
2
y x
y x y x
= +
+
= + 1
1 2
y x
y x y x
⇔
= +
= + 1
1 2
y x
y x
⇔
−
=
−
=
+
x
y
x
x
1
1
1
2
⇔
−
=
= +
x y
x x
1
0 2
⇔
−
=
−
=
∨
=
x y
x x
1
1 0
Nghiệm của hệ: (0 ; 1) , ( –1 ; 2)
0
+
−
= ∫
π
0 sin x cos x ln sin x cos x dx
π
4
0
2 sin x cos x ln sin x cos x dx
π
∈
∀
>
+
4
; 0 ,
0 cos
−
=
+
=
dx x x
dv
x x
u
cos sin
cos sin
ln
Trang 3suy ra:
+
−
=
x x v
dx x x
x x du
sin cos
cos sin
sin cos
−
− +
+
0
cos sin
ln cos sin
2
π π
dx x x x
x x
x A
0 cos sin
2 ln 2
A =2 [ 2 ln 2 − 2 + 1 ] = 2 ln 2 2 2 2 + −
Gọi H là trung điểm BC AH ⊥ BC nên A/H ⊥ BC.Vậy góc A/HA bằng 600
2
3 2 60 cos 0
Diện tích tam giác A/BC:
2
3
2
H A BC
3 8
=
S nên BC = 4, AA/ = AH tan 600 = 6
/
/
1
3
lt A BMNC
A AMN
V = V − V = BC AH AA = (Đvtt)
Dựng hình hộp ABDC.A/B/D/D AC//BD nên AC//(A/BD) ⊃ A/B nên d(AC;A/B) = d(AC;(A/BD)) = d(A;(A/BD)) Kẻ AK ⊥ BD (K∈ BD)
BD⊥ AK và BD⊥ AA/ nên BD⊥ (A/AK) ⇒ (A/BD)⊥ (A/AK)
Kẻ AT⊥ A/K (T∈A/K) ⇒ AT⊥(A/BD) AT=d(A;(A/BD)) = d(AC;A/B)
Câu 6: Gọi x1 , x2 , x3là nghiệm phương trình :x3 − ( 2 m + 3 ) x2 + ( 2 m2 − m + 9 ) x − 2 m2 + 3 m − 7 = 0
⇔
=
= +
− + +
−
=
1 0 0 7 3 2 1 2
1
2
x
x
(1) có hai nghiệm x1; x2 khi: ( m + 1 )2 − 2 m2 + 3 m − 7 ≥ 0⇔ − m2 + 5 m − 6 ≥ 0 ⇔ 2 ≤ m ≤ 3
3 2 1
2 3
2 2
2
x
A = + + + = x12 + x22 + 1 + x1x2 = ( x1+ x2)2 − x1x2 + 1 =( 2 m + 2 )2 − 2 m2 + 3 m − 6
Hay A = f ( ) m = 2 m2 + 11 m − 2 m∈[ ] 2 ; 3 f/( ) m = 4 m + 11, f/( ) m = 0 ⇔ [ ] 2 ; 3
4
11
∉
−
=
m
( ) 2 = 28
f và f ( ) 3 = 49 Vậy max A = 49 khi m = 3 và min A = 28 khi m = 2
A Theo chương trình chuẩn
Câu 7a :Cho tam giác ABC với B(1;–2),phương trình đường cao vẽ từ A là d: x –y + 3 = 0.Tìm tọa độ A ,C của tam
giác.Biết C thuộc đường thẳng ∆:2x + y –1 = 0 và diện tích tam giác ABC bằng 1
BC qua B và vuông góc d nên BC có phương trình: x + y + 1 = 0
Tọa độ C là nghiệm của hệ
−
=
=
⇔
= + +
=
− +
3
2 0
1
0 1 2
y
x y
x
y x
Vậy: C(2 ; –3)
1 36
4 6
1 3 2
1 1
1 1
2 2 2
/ 2
A A AK
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A = x12 + x22 + x32 + x1x2x3
Phương trình: x3− ( 2 m + 3 ) x2 + ( 2 m2 − m + 9 ) x − 2 m2 + 3 m − 7 = 0(*)Có nghiệm x3 = 1
Nên (*) ⇔ ( x − 1 ) [ x2 − 2 ( m + 1 ) + 2 m2 − 3 m + 7 ] = 0
M
N
H
C/
B/
A/
C
B
A
T
K
D/
D
C/
B/
A/
C
B A
Trang 4( a a ) d
A ; + 3 ∈ ( )
2
4 2
= a
BC A
d ,BC = 2.Theo giả thiết ta có: ( ; ) 1
2
1
=
BC A d
1 2
4
2
.
2
.
2
−
=
−
=
⇔
= +
⇔
=
+
3
1 2
4 2 1 2
4 2 2 2
1
a
a a
a
Với a = –1 thì A(–1 ; 2), với a = –3 thì A(–3 ; 0)
Câu 8a :Gọi C(a ; b; 0), tam giác ABC cân tại C nên trung điểm
H(3 ; 3 ; 0) của AB cũng là chân đường cao vẽ từ C.Theo giả thiết ta có:
=
=
5 8
2
1
CH AB
BC AC
=
− +
− +
+
+
− +
−
= +
− +
−
5 8 3 3
64 0
16
2
1
16 3 1
16 3 5
2 2
2 2
2 2
b a
b a
b a
⇔
=
−
= 4 3
3
b
a
⇔
−
=
∨
=
=
1 7
3
b b
a
Có hai trường hợp C(3 ; 7 ; 0), C(3 ; –1 ; 0)
2 6
3 x − x+ + x − x+ = x − x+
3 6 2 1 3 3
6
2 6
3 x − x+ + x − x+ = x− x+ ⇔ 2 2 6 2 1 2 3 1 2 2 6 2 1
2 6
3 x − x+ + + x− x+ = x − x+ +
1 3 1
3 1
2
4 2 6
9
.
3 x − x+ + x − x+ = x − x+ ⇔ ( )
0 2 2
3 2
3 3
1 3 1
3
=
−
+
x − x+ x − x+
2
3 2 3 1 >
x − x+ t , ta được: 3 t + t − 2 = 0 ⇔ ( )
=
−
= 3 2
1
t
l t
Với
3
2
=
t , ta được : x2 − 3 x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2.Tập nghiệm S = { } 2 ; 3
B Theo chương trình nâng cao
Câu 7b :Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 = 13 và (C2): (x –6)2 + y2 = 25 cắt nhau tại A Viết phương trình đường thẳng qua A (2 ; 3)cắt (C1) và (C2) thành hai dây cung bằng nhau
Gọi M(a ; b)∈ (C1) và N(4 –a ; 6 –b) đối xứng với M qua A Theo giả thiết N∈ (C2)
Vậy ta có:
=
− +
−
−
= +
25 6
2
13
2 2
2 2
b a
b a
⇔
=
− + +
= +
25 6
2
13 2 2
2 2
b a
b a
⇔
= +
− + +
=
− +
0 15 12 4
0 13 2 2
2 2
b a b a
b a
⇔
= +
−
=
−
+
0 10 12
4
0 13
2
2
b
a
b
a
⇔
( )
=
−
=
=
=
5 6 5 17 3 2
b a
l b
a
−
5
6
; 5
17
M PT đường thẳng cần tìm x –3y + 7 = 0
1
9 2
4 1
7 :
−
=
−
=
x
3
1 2
1 7
3 : 2
−
=
−
=
−
x
d Lập phương trình đường thẳng (∆) cắt (d1),(d2) và trục Ox lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho B là trung điểm AC
Gọi A ( 7 + a ; 4 + 2 a ; 9 − a ) ( ) ∈ d1 , B ( 3 − 7 b ; 1 + 2 b ; 1 + 3 b ) ( ) ∈ d1 và C(c ; 0 ; 0)∈ Ox
B là trung điểm AC nên:
+
=
−
+
=
+
−
=
+
+
b a
b a
b c
a
3 1
2
9
2 1
2
2
4
7 3 2
7
⇔
=
− +
= +
−
= + + +
0 7 6
0 2 4 2
0 1 14
b a
b a
c b a
⇔
−
=
=
= 14 1 1
c b
a
Vậy: A ( 8 ; 6 ; 8 ) ( ) ∈ d1 , B ( − 4 ; 3 ; 4 ) ( ) ∈ d1
Phương trình
4
8 3
6 12
8 : − = − = −
Trang 5Câu 9b : Giải phương trình: 1 + log9 x − 3 log9 x = log3x − 1
Điều kiện xác định: x ≥ 1
1 log log
3 log
1 + 9 x − 9 x = 3x − ⇔ 1 + log9 x − 3 log9 x = 2 log9 x − 1
⇔ 2 log9 x = 1 vì: 1 + log9 x + 3 log9 x + 1 > 0⇔ x = 3 Vậy nghiệm phương trình đã cho: x = 3