Đề thi thử đại học môn Toán số 10

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số trên; 2.. THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VIa 2,0 điểm 1.. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A 2; 4.. Tìm tọa

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 70

Ngày 25 tháng 3 năm 2014 PHẦN CHUNG CHO MỌI THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y x= −3 3x2+4 có đồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên;

2 Hãy lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M( )1; 2 , cắt (C) tại 3 điểm phân biệt sao cho khoảng cách giữa hai giao điểm

có hoành độ khác 1 bằng 10.

Câu II (2,0 điểm) 1 Giải phương trình 2 cos 4x+ −(1 2 sin 2x)(cosx− 3 sinx− 2)=0

2 Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình sau đây có đúng hai nghiệm thực phân biệt

(m+2) ( 2+ −x 2 2− +x) 3x+4 4−x2 = +m 12 (x∈¡ )

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 3

4 0

.sin 2 cos

x

π

=∫

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và mặt bên SAB là một tam giác đều, mặt phẳng (SAB) tạo

với mặt phẳng (ABCD) một góc 600 và mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 450 Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a, biết rằng diện tích tam giác SBC bằng

2

3 2 2

a (a>0).

Câu V (1,0 điểm) Giải hệ phương trình





PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

A THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN

Câu VIa (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A( )2; 4 Đường thẳng qua trung điểm của cạnh AB và AC có phương trình: 4x−6y+ =9 0; trung điểm của cạnh BC nằm trên đường thẳng d có phương trình:

2x−2y− =1 0 Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết rằng tam giác ABC có diện tích bằng 7

2 và đỉnh C có hoành độ lớn hơn 1.

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxyz), cho 2 mặt phẳng (P), (Q) và đường thẳng (d) lần lượt có phương trình: ( ): 2 0,( ): 3 3 1 0,( ): 1 1

P x− y z+ = Q x− y+ + =z d − = = −

Hãy viết phương trình đường thẳng ( )∆ nằm trong mặt phẳng (P), song song với mặt phẳng ( )Q và cắt đường thẳng (d).

Câu VIIa (1,0 điểm) Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z2+2z− −3z 10i=4.

B THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

Câu VIb (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy); cho hình chữ nhật ABCD và các đường thẳng AB, AD

lần lượt đi qua các điểm M( ) (2;3 ,N −1;2) Hãy lập phương trình các đường thẳng BC và CD, biết rằng hình chữ nhật ABCD có tâm là 5 3

;

2 2

  và độ dài đường chéo AC bằng 26.

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxyz), cho 2 đường thẳng ( ) ( )d , d' lần lượt có phương trình là: ( ): 2 1 ,( )' : 2 4 2

Viết phương trình mặt cầu (S) nhận đoạn vuông góc chung của ( ) ( )d , d' làm đường kính.

Câu VIIb (1,0 điểm) Tìm tất cả các số thực b c, sao cho số phức ( ) ( )

9

− + là nghiệm của phương trình

z + +bz c=

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 70

I 1 (1,0 điểm)

a) Tập xác định D=¡

b) Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên: ' 3 2 6 , ' 0 0

2

x

x

=



Hàm số đồng biến trên (−∞;0 , 2;) ( +∞); hàm số nghịch biến trên ( )0; 2 . 0,25 +) Giới hạn: lim lim 3 1 3 43

x x

→+∞ →+∞

3

3

x x

→−∞ →−∞

+) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x= ⇒0 y CD=4, hàm số đạt cực tiểu tại x= ⇒2 y CT =0 0,25 +) Bảng biến thiên

-∞

+∞

0

4

2

-∞

y y' x

0,25

c) Đồ thị: đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm ( )0; 4 , cắt trục hoành tại (−1;0 , 2, 0) ( )

4

2

-2

-4

4

2 0

0,25

2 (1,0 điểm)

Dễ thấy nếu đường thẳng (d) không có hệ số góc thì chỉ cắt (C) tại đúng một điểm suy ra đường thẳng

(d) có hệ số góc là k⇒( )d :y k x= ( − + =1) 2 kx k− +2

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là:

( )

x − x + =k x− + ⇔x − x − + + =kx k

(x 1) (x2 2x 2 k) 0 x 1;x2 2x 2 k 0 1( )

Đường thẳng (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

k

∆ = + > > −

0,25

Gọi hai giao điểm có hoành độ khác 1 là A, B Khi đó hoành độ của A, B là hai nghiệm của pt (1) suy ra

( 1, 1 2 ,) ( 2, 2 2)

Do đó AB=10⇔ (k2+1) (k+ = ⇔3) 5 k3+3k2+ −k 22 0=

( ) ( 2 )

II 1 (1,0 điểm)

Pt ⇔ 2 1 2sin 2( − 2 x)+ −(1 2 sin 2x)(cosx− 3 sinx− 2)=0

0,25

2

( )( ) ( )( )

2 1 2 sin 2x 1 2 sin 2x 1 2 sin 2x cosx 3 sinx 2 0

(1 2 sin 2x)( 2 2sin 2x cosx 3 sinx 2) 0

1 2 sin 2 2sin 2 cos 3 sin 0 sin 2 ; 3 sin cos 2sin 2

2

x= = π ⇔ = +x π kπ x= π +kπ k∈¢

+) 3 sin cos 2sin 2 3sin 1cos sin 2 sin 2 sin

( )

2

2

k

¢ Vậy phương trình có các họ nghiệm là 0,25

2 (1,0 điểm)

Điều kiện − ≤ ≤2 x 2, đặt t= 2+ −x 2 2− ⇒ = − −x t2 10 3x 4 4−x2

( )

x

Khi đó pt đã cho có dạng: (m+2)t+ − = + ⇔10 t2 m 12 m t( − = − +1) t2 2t 2

+) Nếu t =1 thay vào pt trên không thỏa mãn

+) Nếu t ≠1 pt trên có dạng

2 2 2 1

m

t

− +

=

− (1) Xét hàm số ( ) 2 2 2, [ 4; 2 \ 1] { }

1

t

− +

Ta có ( )

( ) ( )

2 2

2

1

t

−

-2

2

1

- 26 5

-2

0 -4

f(t)

f'(t) t

0,25

Dựa vào bảng biến thiên ta được pt ban đầu có đúng hai nghiệm phân biệt 26 2

III

Ta có 3

3 0

.2sin cos

x

π

2

sin

2cos

dv

x

=



0,5

0 0

dx

π π

π

0,5

IV S

N M

H

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABCD); gọi M, N lần lượt là hình chiếu

vuông góc của điểm H lên các đường thẳng AB, BC

Ta có AB⊥(SHM)⇒AB⊥SM ⇒(·(SAB) (, ABCD) ) =(·SM HM, ) =SMH· =600 0,25

.sin 60

Do BC⊥(SHN)⇒BC⊥SN ⇒(·(SBC) (, ABCD) ) =(·SN HN, ) =SNH· =450

0

3 2

2

SBC

.

AB

V

5

x≥ y≥ − x y+ − ≥ x+ y+ ≥

Pt thứ 2 của hệ có dạng: 8x2−2(y+3)x y− 2+ =1 0

∆ = + − − + = + + = + suy ra phương trình trên có 2 nghiệm

,

0,25

4

y

x= − + ⇔ x y+ − =

không thỏa mãn điều kiện 1, 6

5

x≥ y≥ −

2

y

x= + ⇔ =y x−

thay vào pt ban đầu của hệ ta được pt sau:

10x+ +1 3x− =5 9x+ +4 2x−2

0,25

10x 1 9x 4 3x 5 2x 2 0

0

0

0,25

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x y; ) ( )= 3;5 0,25

VIa 1 (1,0 điểm)

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng qua trung điểm của AB và AC, ta tính được

40 31

13 13

  Từ đó ta lập được đường thẳng BC: 2x−3y+ =1 0.

0.25

4

Ta gọi M là trung điểm của BC, thì M là giao của đường thẳng d và BC nên 5; 2

2

 .

Do C thuộc đường thẳng BC nên tọa độ của C là 3 1;

2

t

C − t

0.25

2

CM

( )

2

2

t

( ) ( )4;3 ; 1;1

C C (loại vì hoành độ của C lớn hơn 1) và tọa độ điểm B( )1;1 .

0.25

2 (1,0 điểm)

(P), (Q) lần lượt có vtpt là nuurP = −(1; 2;1 ,) nuurQ = −(1; 3;3)⇒n nuur uurP, Q= − − −( 3; 2; 1)

(d) có ptts: x= +1 2 ,t y t z= , = +1 t, gọi A là giao điểm của (d) và ( )∆ suy ra

(1 2 , ,1 )

A + t t +t Do A nằm trên mặt phẳng (P) nên: 1 2+ − + + = ⇔ = −t 2t 1 t 0 t 2

0,5

Suy ra A(− − −3; 2; 1) Theo giả thiết ta có: d P d P, Q ( 3; 2; 1)

 ⊥

⊥



uur uur

uur uur uur

Vậy phương trình đường thẳng ( )∆ có pt là:( ): 3 2 1

VII

a Giả sử z x yi x y= + ; , ∈¡ Ta có 2 2 2

,

x +y + x yi+ − x yi− − y= ⇔x2+y2− − +x 4 (5y−10)i=0

0,25

1 2

2

x y

y

 =







0,25

VIb 1 (1,0 điểm)

Giả sử đường thẳng AB có vtpt là nuuurAB =( )a b a; ( 2+b2 >0), do AD vuông góc với AB nên đường thẳng

AD có vtpt là nrAC =(b a;− ) Do đó phương trình AB, AD lần lượt là:

AB a x− +b y− = AD b x+ −a y− =

Ta có AD 2d I AB( ; ) a2 3b2 ;AB 2d I AD( ; ) 7b a2 2

0,25

2 2

+

3

a

= −





 =

 Gọi M', N' lần lượt là điểm đối xứng của M, N qua I suy ra M' 3;0 , ' 6;1( ) N ( )

0,25

+) Nếu a= −b, chọn a=1,b= −1 suy ra nrAB= −(1; 1 ,) nrAD =( )1;1

Đường thẳng CD có vtpt là nrAB = −(1; 1) và đi qua điểm M' 3;0( ) có phương trình là:

( )

CD x− − = ⇔ − − =y x y Đường thẳng BC có vtpt là nrAD =( )1;1 và đi qua điểm N' 6;1( ) có phương trình là:

( ) ( )

BC x− + y− = ⇔ + − =x y

0,25

+) Nếu 4

3

b

a= , chọn a=4,b=3 suy ra nrAB=( )4;3 ,nrAD =(3; 4− ) Đường thẳng CD có vtpt là nrAB =( )4;3 và đi qua điểm M' 3;0( ) có phương trình là:

( ) ( )

Đường thẳng BC có vtpt là nrAD =(3; 4− ) và đi qua điểm N' 6;1( ) có phương trình là:

( ) ( )

BC x− − y− = ⇔ x− y− = Vậy

0,25

2 (1,0 điểm)

Ta có urd = −( 1, 2, 2 ,) urd' =(1,6, 2) và phương trình tham số của (d) và (d') lần lượt là:

( )d :x= −2 t y, = +1 2 ,t z=2 ;t d( )' :x= +2 u y, = − +4 6 ,u z= +2 2u

Gọi MN là đoạn vuông góc chung và M(2−t,1 2 , 2 ,+ t t N) (2+ − +u, 4 6 , 2 2u + u)

( ,6 2 5, 2 2 2)

⇒uuuur= + − − − +

0,25

Ta có

'

d d



=

uuuur r uuuur r ⇒M(1,3, 2 ,) (N 3, 2, 4)

0,25

Mặt cầu (S) có tâm là trung điểm 2, ,35

2

  của MN và có bán kính

3

MN

Phương trình của (S) là: ( )2 5 2 ( )2 9

x− +y−  + −z =

VII

b Ta có ( )3

1+ 3i = +1 3 3i+3.3i +3 3i = −8; ( )3

1− 3i = −1 3 3i+3.3i −3 3i = −8; ( )2

1+i =2i 0,25

Do đó ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

9

3

4 2

i i

−

z + +bz c=

4 2i b 4 2i 10c 0 2 b 8 i 4b 10c 12 0

0,5

6