Đề thi thử đại học môn Toán số 8

Theo chương trình chuẩn.. Lập phương trình mặt phẳng α vuông góc với hai mặt phẳng P,Q và tiếp xúc với mặt cầu S.. Theo chương trình nâng cao.. Từ điểm M thuộc đường tròn C kẻ hai tiếp t

SỞ GD&ĐT THÁI BÌNH

TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 -NĂM HỌC 2013-2014

Môn thi: TOÁN; Khối: A +A1

Thời gian làm bài: 180 phút,không kể thời gian phát đề I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I(2,0 điểm) Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

=

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2.Tìm m để đường thẳng (d) y=2x m− cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc toạ độ)

Câu II(1,0 điểm) Giải phương trình 2sin (2 ) 2sin2 tan x

4

Câu III(1,0 điểm) Giải hệ phương trình :

2

1 1



 + + = − +

Câu IV(1,0 điểm) Tính tích phân :

ln 2

x

x x

e dx

e − +e +

Câu V(1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC a BC= , =2 ,a ACB· =1200, đường thẳng '

A C tạo với mặt phẳng (ABB A góc ' ') 0

30 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng ' ,A B CC theo a.'

Câu VI(1,0 điểm) Cho 2 số thực x, y thỏa mãn : 2 x− + 2 y+ + = + 1 1 x y

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P = ( ) ( ) 2(32 )

xy x y

x y

II.PHẦN RIÊNG.(3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc B).

A Theo chương trình chuẩn.

Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ( ) : 2d1 x y+ =0 và 2

( ) :d x+2y+3 5 =0 cắt nhau tại A.Lập phương trình đường tròn (C) đi qua A có tâm thuộc đường thẳng d1, cắt d1 tại B, cắt d2 tại C (B,C khác A) sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 24

Câu VIII.a (1,0 điểm)

Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2 + y2 + z2 −4x−6y+10z+24 0= và hai mặt phẳng ( ) :P x y z+ − + =3 0;( ) :Q x−2y z+ − =1 0 Lập phương trình mặt phẳng (α) vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Câu IX.a(1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn z2+z2 =6 và z− + = −1 i z 2i

B Theo chương trình nâng cao.

Câu VII.b(1,0 điểm).Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn ( )C x: 2+y2−18x−6y+65 0= và ( )C' :x2+y2 =9 Từ điểm M thuộc đường tròn (C) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C’), gọi A, B là các tiếp điểm Tìm tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn AB bằng 24

5 .

Câu VIII.b (1,0 điểm) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm B(0;3;0 ,) M(4;0; 3− ) Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa , B M và cắt các trục Ox Oz lần lượt tại các điểm A và , C sao cho

thể tích khối tứ diện OABC bằng 3 (O là gốc toạ độ ).

Câu IX.b (1,0 điểm)Tính tổng S C = 12014 + C20145 + C20149 + C20142013.

… Hết …

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………

SỞ GD&ĐT THÁI BÌNH

TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN

ĐÂP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2

NĂM HỌC 2013-2014 Môn thi: TOÁN- Khối A+A1

Câu I

(2 điểm) Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

=

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

TXĐ: R\{ } 1

y’ = 3 2

( x 1)

−

− <0 ∀ ≠ ⇒ x 1 Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;1) và (1;+ ∞)

0.25

→−∞ = →+∞ = ⇒TCN: y =2

1

lim

−

1

lim

+

BBT:

x -∞ 1 +∞

y’ - -y

- ∞

2

0.25

Đồ thị:

0,25

2.Tìm m để đường thẳng (d) y =2x m− cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A

và B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc toạ độ).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:2 1

2 1

x

x m

2 g(x)=2x − +(4 m x m) + − =1 0 (x 1)≠ (1)

Để đường thẳng (d)y=2x m− cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B thì phương trình

(1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

2

m g

∆ >  + >



0,25

Gọi A x( ; 21 x1 −m B x); ( ; 22 x2 −m),với x x là hai nghiệm của phương trình (1).1; 2

;

x +x = + x x = −

Để tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc toạ độ) thì ( ) (1)

0 (2)

OA OB

∉





=

uuur uuur

0,25

(1)⇔ ≠m 0

x x + x −m x −m = ⇔ x x − m x +x +m = 0,25

2

Kết luận: 5

3

m= −

0,25

Câu II

(1 điểm)

Giải phương trình 2sin (2 ) 2sin2 t anx

4

.(1)

Điều kiện :cosx≠0

sinx cosx 2sin x t anx

0,25

1 2sinx t anx(sin 2 1)

(sin 2 1)(t anx 1) 0

x x

( )

t anx 1

( ) 4

x

 = − +



= −



Vậy phương trình có 2 họ nghiệm :

4

4

 = − +





 = +



0,5

Câu III

(1 điểm)

Giải hệ phương trình :

2

1 1 (2)



 + + = − +

Điều kiện:x2 + + ≥y 1 0

(x 2) (x 2) 3 x 2 y ( y) 3 y

f t =t t + +t Có

2 2

2

3

t

t

+

⇒Hàm số f(t) đồng biến trên R⇒Phương trình (1) ⇔ + = −x 2 y

0,5

Thay vào (2) ta có

:

2

2

3 2 3

1 1 (tmdk) 1

2

3

x x

x

x

 ≥ −









 Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (-1;-1)

0,5

Câu IV

(1 điểm)

Tính tích phân : I=

ln 2

x

e dx

e − +e +

e ⇒e dx= tdt

Với x= ⇒ =0 t 0

Với x=ln 2⇒ =t 1

0,25 1

2 0

2

tdt I

t t

= + +

+ − +

Câu V

(1 điểm)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC a BC= , =2 ,a ACB· =1200, đường thẳng

'

A C tạo với mặt phẳng (ABB A góc ' ') 30 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và0

khoảng cách giữa hai đường thẳng ' ,A B CC theo a.'

Trong (ABC), kẻ CH ⊥ AB (H∈AB), suy ra CH ⊥(ABB A' ')

nên A’H là hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABB’A’)

( ' ,A C ABB A' ' )= A C A H' , ' =CA H' =30

2 0

.sin120

ABC

a

0,25

7

ABC

S

AB

∆

Suy ra: ' 0 2 21

7 sin30

Xét tam giác vuông AA’C ta được: 2 2 35

7

AA = A C −AC =a

Suy ra:

3 105 '

14

ABC

a

Do CC'/ /AA'⇒CC'/ /(ABB A' ') Suy ra:

7

a

Câu VI

(1 điểm)

Cho 2 số thực x, y thỏa mãn : 2 x− + 2 y+ + = + 1 1 x y

Tìm GTLN, GTNN của P = ( ) ( ) 2(32 )

xy x y

x y

Từ gt⇒ ≥x 2;y≥ −1

2 x− +2 1 y+1 ≤ 2 +1 x− + +2 y 1 ⇔2 x− +2 y+ ≤1 5(x y+ −1) 0,25

Nên từ 2 x− +2 y+ + = +1 1 x y

2 (x y 1) 5(x y 1)

⇒ + − ≤ + − Đặt t = x + y , ta có:(t−1)2 ≤5(t−1) ⇔ ≤ ≤1 t 6 0,25

Khi đó: P = 12(x y)2 64 12t2 64

Xét ( ) 1 2 64

2

f t t

t

= + , với t∈[ ]1;6 , có f t'( ) t 32 ; ( ) 0f t' t 4

t t

Có (4) 40f = ;; (1) 129

2

6

[ ] 1;6 ( ) (4) 40

t

Min f t f

∈

[ ] 1;6

129

ax ( ) (1)

2

t

M f t f

⇒ GTNN của P là 40 khi

92 12 6

25

x

x y

y

=

 + =

+



GTLN của P là 129

2 khi

2 1

x y

=



 = −



0,25

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ( ) : 2d1 x y+ =0và

2 ( ) :d x+2y+3 5 =0 cắt nhau tại A Lập phương trình đường tròn (C) đi qua A có tâm thuộc đường thẳng d1, cắt d1 tại B, cắt d2 tại C (B,C khác A) sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 24.

(1 điểm)

Ta có A( 5; 2 5)−

.Gọi α

là góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2

4 os 5

c α

Đường tròn (C) nhận AB là đường kính ⇒Tam giác ABC vuông tại C⇒ ·BAC =α

0,25

Giả sử đường tròn (C) có tâm I và bán kính là R

AC= Rc α = R BC= R α = R

2

ABC

R

S∆ = AC BC= = ⇒ =R

0,25

VìI∈( )d1 ⇒I a( ; 2 )− a .Có

2 5

a

a

=





0,25

Với a= ⇒0 I(0;0)⇒Phương trình đường tròn (C) là x2 + y2 =25

Với a =2 5⇒I(2 5; 4 5)− ⇒Phương trình đường tròn (C) là

0,25

Câu VIIIa

(1điểm)

Trong không gian toạ độ Oyz, cho mặt cầu (S):x2 +y2 +z2 − 4x− 6y+ 10z+ 24 0 =

và hai mặt phẳng ( ) :P x y z+ − + =3 0;( ) :Q x−2y z+ − =1 0.Lập phương trình mặt phẳng (α) vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

Mặt cầu (S) có tâm là I(2;3;-5) và bán kính là R= 14

Mặt phẳng (P) có VTPT là nuur1 =(1;1; 1)−

Mặt phẳng (Q) có VTPT là nuur2 = −(1; 2;1)

Vì mặt phẳng (α) vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q) nên có một VTPT là

1, 2 ( 1; 2; 3)

nr =n nuuruur= − − − .Chọn nr =(1;2;3)

Phương trình mặt phẳng (α) có dạng :x+2y+3z d+ =0

0,5

Vì mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ( ;( )) 2 6 15 14

14

d

7 14 21

7

d d

d

=



⇔ − + = ⇔  = − Vậy có hai mặt phẳng (P) cần tìm là:x+2y+3z+21 0= và x+2y+3z− =7 0

0,5

Tìm số phức z thỏa mãn 2 2

6

z +z = và z− + = −1 i z 2i

Câu IXa

(1điểm)

Giả sử z x yi x y= + , ( , ∈¡ Ta có:)

+ z2+z2 = ⇔ +6 (x yi)2+ −(x yi)2 = ⇔6 x2−y2 =3(1) 0,25

(x 1) (y 1) x (y 2)

x y

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

2

2, 1

3

,

x y

x y



4 4

Câu VIIb

(1điểm)

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn ( )C x: 2+y2−18x−6y+65 0= và

( )C' :x2+y2 =9 Từ điểm M thuộc đường tròn (C) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C’), gọi A, B là các tiếp điểm Tìm tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn AB bằng 24

5 .

0,25

0,25

Đường tròn (C’) có tâm O 0;0 , bán kính R OA 3( ) = = Gọi H AB OM= I , do H là trung điểm của AB nênAH 12

5

5

2 OA

OH

Đặt M ;( )x y , ta có: ( ) 2 2



∈

2

+ − =

Câu VIIIb

Vậy, trên (C) có hai điểm M thỏa đề bài là: M 4;3 hoặc ( ) M 5;0 ( )

Gọi A(a ;0 ;0),C(0 ;0 ;c)(ac≠0)

Vì B(0;3;0)∈Oy nên ( ): 1

3

x y z P

(4;0; 3) ( ) 4 3 1 4 3

a c

1 1 1

OABC OAC

ac

V = OB S∆ = ac = = ⇔ ac = (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ

4

3

2

a

= −



2

Câu IXb

(1điểm)

Tính tổng S C = 12014 + C20145 + + C20142013 0,25 Trong khai triển:

2014 2014 2014 2014 2014 0 2

0,25

1+i =C +iC +i C +i C + +i C

Do ( 1 + i )2014 = ( ( 1 + i )2)1007 = ( ) 2 i 1007 = 21007 1007i = − 21007i 0,25

Nên: − 21007i = C201340 + iC20141 − C20142 − iC20143 + C20144 + iC20145 − C20142014

=

0,25

Vậy : C12014 −C20143 +C20145 −C20147 + + C20142013 = − 21007(4)

Chú ý :

-Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng thì vẫn được điểm tối đa

-Điểm toàn bài không làm tròn.