a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C tại điểm M, biết M cùng với hai điểm cực trị của C tạo thành một tam giác có diện tích
Trang 1SỞ GD – ĐT HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT MINH KHAI ĐỀ THI THỬ ĐH – CĐ LẦN 2, NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn: TOÁN; Khối: A, A1, B và D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH( 7,0 điểm)
Câu 1( 2,0 điểm) Cho hàm số y x= − 3 6x2 + 9x− 2 (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M, biết M cùng với hai điểm cực trị của (C)
tạo thành một tam giác có diện tích bằng 6.
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình
sin 2 os2 3 2 sinx 2
1 sinx cos
x
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
− + + − + =
− − = − −
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
2 2
1
1
x
−
− + + +
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi cạnh a; ABC∧ = 60 0 ; mp(SAC) và mp(SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy; góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 30 0 Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD.
Câu 6 (1,0 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức T = 3(a2 + +b2 c2 ) 4 + abc.
II PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm I(-5;1) là tâm
đường tròn ngoại tiếp; phương trình đường cao AH và trung tuyến AM lần lượt là:
2 13 0 và 13 6 9 0
x− y− = x− y− = Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C.
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A(4;4;0); điểm B thuộc mặt cầu
(S): x2 +y2 + −z2 4x− 4y− 4z= 0 sao cho tam giác OAB đều Viết phương trình mặt phẳng (OAB).
Câu 9.a (1,0 điểm) Tìm môđun của số phức 1 2 (1 )3
1
Z
i
+ − −
=
+ .
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn(C): x2 +y2 − 2x+ 4y+ = 2 0 Gọi (C' )là đường tròn tâm I' (5;1) và cắt đường tròn (C) tại hai điểm M; N sao cho MN= 5 Viết phương trình đường tròn (C').
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC
biết A(3;0;0); B(0;1;4) và C(1;2;2).
Câu 9.b (1,0 điểm) Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số
và số đó chia hết cho 3?
-Hết -Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GD – ĐT HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT MINH KHAI ĐỀ THI THỬ ĐH – CĐ LẦN 2, NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn: TOÁN; Khối: A, A1, B và D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Đáp án- hướng dẫn chấm Phần chung: 7 điểm
Câu
1a
TXĐ: D=R
Sự biến thiên : + lim ; lim
+ y/=3x2-12x + 9 , y/ = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3 + Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞;1) và (3;+∞); nghịch biến trên khoảng (1;3)
Hàm số đạt cực đại tại x = 1, y CĐ= 2 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, y CT= -2
0, 5
Đồ thị
0,25
Câu 1b M∈(C) ⇒ M(t; t3-6t2+9t-2) với t ≠ 1; t≠ 3
Điểm CĐ : A(1 ; 2) và điểm CT : B(3 ;-2) ⇒ AB = 20 0,25 Phương trình đường thẳng AB : 2x+ y- 4 =0
3 6 2 11 6
Ta c ( ; ) 6 20
MAB
6 11 6 6
4
t
t
=
ĐỀ CHÍNH THỨC
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-12
Y
X 3
x
y / y
- 1 3 + + 0 - 0 +
-2
-2
+
Trang 3Với t = 0 ⇒ phương trình tiếp tuyến: y =9x -2
Câu 2
ĐK sin cos 0
4
x+ x ≠ ⇔ ≠x −π +kπ
Phương trình tương đương: sin 2x c+ os2x−3 2 sinx 2 1 sin 2− = + x
0,25
2 2sin x 3 2 s inx 2 0
1 s
2
=
inx
0,25
2 4 5
2 4
−
= +
⇔
= +
0,25
Đối chiếu điều kiện nghiệm của phương trình là: 5
2 4
x = π +k π
0,25 Câu 3
x y
− ≤ ≤
≤ ≤
(1) ⇔ + (x 1) 3 + + = (x 1) y3 +y (2)
Xét hàm số f t( ) = +t3 t với t∈[ ]0; 2
Ta cĩ f t/ ( ) 3 = t2 + > 1 0 ∀ ∈t (0; 2) ⇒ f đồng biến trên [ ]0; 2
0,25
Phương trình(2) cĩ dạng f x( + = 1) f y( ) ⇔ + =x 1 y
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
2
1 −x − x+ = 1 1 − −x 1 ⇔ x+ + 1 1 − −x 1 −x2 − = 1 0 0,25 Đặt t= x+ + 1 1 −x , 2 ≤ ≤t 2 2 2 2
1
2
t
⇒ − = Phương trình trở thành: 2 0
2 0
2
t
t
=
− = ⇔ = (loại)
(t/m)
0,25
Với t= 2 ⇒ x+ + 1 1 − =x 2 ⇔ 1 −x2 = 1 ⇔ =x 0 (t/m đk)
x = 0 ⇒ y=1
Câu 4
Ta cĩ
1
1 1
dx x I
−
÷
=
+ − + +
Đặt t x 1
x
= + dt 1 12 dx
x
⇒ = − ÷
x = 1⇒t = 2 ;
x= 2⇒t = 5/2
0,25
Trang 45 5
dt
2 2
1
ln 1 ln 3
= − − + 1ln15
4 11
ABCD; M là trung điểm của
AB và I là trung điểm của AM
Do ∆ ABC đều nên CM ⊥ AB ; OI⊥AB và = 3 ;
2
a CM
3 4
a
2
ABCD
a
0,25
Do (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD) nên SO⊥(ABCD)
⊥
⊥
⇒ AB ⊥ SI
⇒ góc giữa 2 mp(SAB) và (ABCD) là SIO∧ = 300 , ta có SO =IO tan300=
4
a
3
.
a
0,25
Gọi J = OI ∩ CD và H là hình chiếu của J trên SI
Do AB⊥(SOI) ⇒ JH ⊥ AB ⇒ JH ⊥(SAB)
d(SA,CD)= d(CD,(SAB))=d(J,(SAB))=JH
0,25
Ta có : JH = IJsin300 = 2OIsin300= 3 ;
4
Câu 6 Giả sử 0 < ≤ ≤ <a b c 3
Do a b c+ + = 3 ⇒ + = −a b 3 c và c≥ 1
Do a b c+ > 1;3
2
⇒ ∈ ÷
0,25
Ta có T = 3(a2 +b2) + 3c2 + 4abc= 3(a +b)2 - 6ab +3c2 + 4abc
= 3(3-c)2+3c2-2(3-2c)ab
Lại có 3
2
c< ⇒ 3 - 2c > 0 2
2
a b
ab
+
≥
÷
2 3
0 2
c ab
−
⇒ ÷ ≥ >
0,25
⇒ T ≥ 3(3-c)2+3c2 - 2(3-2c)
2 3 2
c
−
÷
3 3 2 27
⇒ ≥ − +
0,25
I
M O
A D
S
J
H
Trang 5M
N
Xét hàm số : 3 3 2 27
( )
f c = −c c + với 1;3
2
÷
( ) (1) 13
f c ≥ f = hay T ≥ 13
Vậy giá trị của nhỏ nhất của biểu thức T bằng 13 đạt được khi a = b = c = 1
0,25
II Phần riêng
Theo chương trình chuẩn
Ta có A=AM∩AH ⇒ A(-3 ;-8)
Do IM // AH ⇒ phương trình đường thẳng IM: x - 2y + 7 = 0 0,25
M = IM ∩ AM ⇒ M(3;5)
BC ⊥ AH ⇒ phương trình đường thẳng BC: 2x + y - 11 = 0 0,25
Do B ∈ BC ⇒ B( x0; 11 - 2x0)
Ta có IB =IA ⇒ (x0+5)2 + (10 - 2x0)2 = 85 ⇔ x02- 6x0+8 = 0 0
0
2 4
x x
=
⇔ =
0,25
Câu 8a
( ; ; ) ( )
OA OB AB
+ + − − − =
= =
2 2 2
2 2 2
32
+ + = + +
⇔ + + =
− + − + =
2 2 2
8 32 4
x y z
x y
+ + =
⇔ + + =
+ =
0,25
= = =
⇔ = = = ⇒ B B(0; 4; 4)(4;0; 4)
(0; 4; 4)
(4;0; 4)
Câu 9a 1 2 (1 ) 3 1 2 (1 3 3 2 3 ) 3 4
Z
+ − − + − − + − +
7 1
2 2
Z = + =
÷ ÷
Theo chương trình nâng cao
Câu 7b Trường hợp 1 :
Đường tròn (C) có tâm I(1 ;-2), bán kính R= 3; II/ = 5
Gọi H = II/∩ MN ⇒ HM = HN = 5
2
2
5 2
0,25
Bán kính đường tròn (C/) : R/ =I M/ = I H/ 2 +HM2 = 28 5 7 − 0,25
Trang 6Phương trình đường tròn (C/) : (x - 5)2 + ( y - 1)2 = 28 - 5 7
Trường hợp 2 :
Đường tròn (C) có tâm I(1;-2), bán kính R= 3; II/ = 5
Gọi H = II/∩ MN ⇒ HM = HN = 5
2
2
5 2
0, 25
Bán kính đường tròn (C/) : R/ =I M/ = I H/ 2 +HM2 = 28 5 7 +
Phương trình đường tròn (C/) : (x - 5)2 + ( y - 1)2 = 28 +5 7 0,25 Câu8b ( 3;1; 4); ( 2; 2; 2); (1;1; 2)
, ( 6; 2; 4)
AB AC
= − − −
uuur uuur
Mp(ABC) đi qua A(3;0;0) và có VTPT (3;1; 2)nr có pt: 3x + y + 2z - 9=0
0,25
0 0 0 ( ; ; )
BH AC
∈
∆ ⇔ =
uuur uuur
5 0
x y z
x y z
x y z
+ + − =
⇔ + − − =
− − + =
0,25
0
0
0
5 7 32 7 8 7
x y z
=
⇔ =
=
Vậy ( ;5 32 8; )
7 7 7
Câu 9b Số có 5 chữ số cần lập là abcde (a≠ 0; a, b, c, d, e∈{0; 1; 2; 3; 4; 5})
3
- Nếu (a b c d+ + + ) 3 M thì chọn e = 0 hoặc e = 3
- Nếu (a b c d+ + + )chia 3 dư 1 thì chọn e = 2 hoặc e = 5
- Nếu (a b c d+ + + )chia 3 dư 2 thì chọn e = 1 hoặc e = 4
0,25
Như vậy với mỗi số abcd đều có 2 cách chọn e để được một số có 5 chữ số
chia hết cho 3
Số các số dạng abcd lập được từ tập A là: 5x6x6x6= 1080 số
0,25
H M
N
I' I
