Giải tích 12 chương 1

Giải tích 12 chương 1, Giải tích 12 chương 1, Giải tích 12 chương 1, Giải tích 12 chương 1, Giải tích 12 chương 1, Giải tích 12 chương 1, Giải tích 12 chương 1, Giải tích 12 chương 1, Giải tích 12 chương 1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

1.1.1 Định lí

Giả sử hàm y = f (x)có đạo hàm trên khoảngI

• Nếu f0(x) > 0, ∀x ∈ I (f (x) = 0 tại một số hữu hạn

điểm) thì f đồng biến trênI

• Nếu f0(x) < 0, ∀x ∈ I (f (x) = 0 tại một số hữu hạn

điểm) thì f nghịch biến trênI

• Nếu f0(x) = 0, ∀x ∈ I thì f là hàm hằng trênI

1.1.2 Xét sự biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm sốy = f (x), ta thực hiện

các bước như sau:

¬ Tìm tập xác định của hàm số

­ Tính y0 Tìm các điểm mà tại đóy0= 0hoặcy0không

tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)

® Lập bảng xét dấu y0 (bảng biến thiên) Từ đó kết

luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm

số

1.1.3 Bài tập

1 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y = 3x2− 8x3

b) y = x3− 2x2+ x − 2

c) y = (4 − x)(x − 1)2

d) y = x3− 3x2+ 4x − 1

e) y =1

3x

3

+ x2+ x + 1

f) y =1

4x

4− 2x2− 1

g) y = −x4− 2x2+ 3

h) y = x4+ 8x3+ 5

i) y =2x − 1

x + 5

j) y = x − 1

2 − x

k) y = 1 − 1

1 − x

l) y =2x − 1

x2

m) y =4x

2

− 15x + 9 3x

n) y =2x

2

+ x + 26

x + 2

o) y = −x + 3 − 1

1 − x

p) y =x

2

− 1

x2− 4

q) y =x

2

− x + 1

x2+ x + 1

r) y = x

x2− 3x + 2

s) y = 1

(x − 5)2

2 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y = −6x4+ 8x3− 3x2− 1

b) y = 9x7− 7x6+7

5x

5

+ 12

c) y =p2x − x2

d) y = x + 3 + 2p2 − x

e) y =p2x − 1 −p3 − x

f) y = xp2 − x2

g) y =

p x

x + 100

h) y =p x

16 − x2

3 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

a) y = x − sin xtrong[0; 2π]

b) y = sin2x³−π

2< x <π

2

´

c) y = x + 2cos x, x ∈

µπ

6;

5π

6

¶

d) y = sin2x − x,³−π

2 < x <π

2

´

4 Chứng minh rằng:

a) y = x − 2

x + 2đồng biến trên mỗi khoảng xác định của

nó

b) y =−x

2

− 2x + 3

x + 1 nghịch biến trên mỗi khoảng xác

định

c) y = −x +px2+ 8nghịch biến trên R

d) y = x3− 6x2+ 17x + 4đồng biến trênR

e) y =p2x − x2 nghịch biến trên[1; 2]

f) y =px2− 9đồng biến trên[3; +∞)

g) y = x +4

x nghịch biến trên[−2;0)và(0; 2]

h) y = x

2

− 2mx − 1

x − m đồng biến trênR

i) y = −sin x + 4xđồng biến trênR

j) y = x3+ x − cos x − 4đồng biến trênR

k) y = cos2x − xnghịch biến trênR

l) y = cos2x − 2x + 3nghịch biến trênR

m) y = 3x − sin(3x + 1)đồng biến trênR

n) y = −5x + cot(x − 1)nghịch biến trênR

o) y = cos x − xnghịch biến trênR

p) y = sin x − cos x − 2p2xnghịch biến trênR

5 Chứng minh rằng:

a) y = x − 2

x + 2đồng biến trên mỗi khoảng xác định của

nó

b) y =−x

2

− 2x + 3

x + 1 nghịch biến trên mỗi khoảng xác

định

c) y = −x +px2+ 8nghịch biến trênR

d) y = x3− 6x2+ 17x + 4đồng biến trênR

e) y = x3+ x − cos x − 4đồng biến trênR

f) y = cos2x − xnghịch biến trênR

g) y = cos2x − 2x + 3nghịch biến trênR

h) y =p2x − x2 nghịch biến trên[1; 2]

i) y =px2− 9đồng biến trên[3; +∞)

j) y = x +4x nghịch biến trên[−2;0)và(0; 2]

k) y = 3x − sin(3x + 1)đồng biến trênR

l) y = x

2

− 2mx − 1

x − m đồng biến trênR

m) y = −5x + cot(x − 1)nghịch biến trênR

n) y = cos x − xnghịch biến trênR

o) y = sin x − cos x − 2p2xnghịch biến trênR

6 Chứng minh rằng:

1) sin x < x, ∀x > 0

2) sin x > x, ∀x < 0

3) x −x

3

6 < sin x, ∀x > 0

4) x −x

3

6 > sin x ∀x < 0

5) sin x < x −x

3

6 + x

5

120 x > 0

6) cos x > 1 −x

2

2 , ∀x 6= 0

7) phương trình x3− 3x + c = 0 không thể có hai nghiệm thực trong đoạn[0, 1]

1.1.4 Điều kiện biến thiên của hàm số

¬ Hàm đa thứcf (x)đồng biến trênDkhi và chỉ khi

f0(x) Ê 0,∀x ∈ D

­ Hàm đa thức f (x)nghịch biến trênDkhi và chỉ khi

f0(x) É 0,∀x ∈ D

® Hàm nhất biến f (x) = ax + b

cx + d đồng biến trên mỗi

khoảng xác định khi và chỉ khi

f0(x) > 0,∀x ∈ D

¯ Hàm nhất biến f (x) = ax + b

cx + d nghịch biến trên mỗi

khoảng xác định khi và chỉ khi

f0(x) < 0,∀x ∈ D

° Tam thức bậc hai f (x) = ax2+ bx + c = 0, (a 6= 0)

• f (x) ≥ 0,∀x ∈ R ⇔

½

∆ ≤ 0

a > 0

• f (x) ≤ 0,∀x ∈ R ⇔

½ ∆ ≤ 0

a < 0

1.1.5 Bài tập

1 Tìm các giá trị của tham sốmđể a) y = x3− 3mx2+ (m − 2)x − 1đồng biến trênR Đs:

−23É m É 1

b) y = −x

3

3 + (m − 2)x2+ (m − 8)x + 1nghịch biến trên tập xác định Đs:−1 É m É 4

c) y =1

3x

3

+ mx2+(m−6)x−2m−1đồng biến trênR d) y = −x

3

3 + (m − 2)x2+ (m − 8)x + 1nghịch biến trên

R

e) y = m − 1

3 x

3

+ mx2+ (3m − 2)x + 3 đồng biến trên tập xác định Đs:m É12

f) y = mx3−(2m−1)x2+4m−1đồng biến trênR Đs:

m =12

2 Tìm các giá trị của tham sốmđể

a) y =mx + 1

x − m đồng biến trên từng khoảng xác định

của hàm số Đs:m < −1hoặcm > 1

b) y =2mx − m + 10

x + m nghịch biến trên từng khoảng

xác định của hàm số Đs:−52< m < 2

c) y = mx + 4

x + m đồng biến trên từng khoảng xác

định

d) y = x + 2 + m

x − 1 đồng biến trên từng khoảng xác

định

e) y = mx − 1

x + m đồng biến trên từng khoảng xác

định Đs: m ∈ R

1.2.1 Các qui tắc tìm cực trị

1.2.2 Bài tập

1 Tìm cực trị các hàm số sau

a) y = 3x2− 2x3

b) y = x3− 2x2+ 2x − 1

c) y = −1

3x

3

+ 4x2− 15x

d) y =x

4

2 − x2+ 3

e) y = x4− 4x2+ 5

f) y = −x

4

2 + x2+32

g) y =−x

2

+ 3x + 6

x + 2

h) y =3x

2

+ 4x + 5

x + 1

i) y =x

2

− 2x − 15

x − 3

j) y = (x − 2)3(x + 1)4

k) y =4x

2

+ 2x − 1 2x2+ x − 3

l) y =3x

2

+ 4x + 4

x2+ x + 1

m) y = xpx2− 4

n) y =px2− 2x + 5

o) y = x +p2x − x2

p) y = x +1

x

2 Tìm cực trị các hàm số sau

a) y = x − 4sin2x

b) y = sin2x

c) y = cos x − sin x

d) y = sin2x

e) y = sin2x −p3 cos xtrên[0,π]

f) y = 2sin x − cos2xtrên[0,π]

1.2.3 Điều kiện để hàm số có cực trị

• Hàm số có k cực trị ⇔ phương trình y0 = 0 có k

nghiệm phân biệt và đổi dấu qua các nghiệm đó

• Hàm bậc 3 y = ax3+ bx2+ cx + d có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu)⇔phương trình y0= 0có 2 nghiệm phân biệt

• Hàm số đạt cực trị tạix = x0thì y0(x0) = 0 Sau đó ta dùng dấu hiệu I hoặc dấu hiệu 2 thử lại xem đó là cực đại hay cực tiểu.1

• Hàm số đạt cực tiểu tạix0 điều kiện là

½

y0(x0) = 0

y00(x0) > 0

• Hàm số đạt cực đại tạix0 điều kiện là

½ y0(x0) = 0

y00(x0) < 0

1.2.4 Bài tập

1 Tìmmđể hàm số:

a) y = mx3+ 3x2+ 5x + 2đạt cực đại tại x = 2

b) y = x3− mx2− mx − 5 đạt cực tiểu tại x = 1 Đs:

m = 1

c) y = −x3+ mx2− 4đạt cực tiểu tại x = 6

d) y = x3+ (m + 1)x2+ (2m − 1)x + 1 đạt cực đại tại

x = −2 Đs:m =72

e) y = x3− 3mx2+ (m − 1)x + 2đạt cực trị tạix = 2 f) y = x

2

+ mx + 1

x + m đạt cực trị tạix = 2.

2 Tìmmđể hàm số:

a) y = (m + 2)x3+ 3x2+ mx − 5có cực đại, cực tiểu b) y = x3− 3(m − 1)x2+ (2m2− 3m + 2)x − m(m − 1)có cực đại, cực tiểu

c) y = x3− 3mx2+ (m2− 1)x + 2đạt cực đại tạix = 2 d) y = x3−2mx2+1có cực đại và cực tiểu Đs:m 6= 0

e) y =m

3 x

3

−2x2+(3m+1)x−1có cực đại và cực tiểu Đs:−43< m < 1, m 6= 0

f) y = x

2− mx + 2

x − 1 có cực đại và cực tiểu Đs:m < 3

g) y = x4− mx2+ 2có 3 cực trị Đs:m > 0

h) y = −mx4+2(m −2)x2+ m −5có một cực đạix =12

i) y =x

2

− 2mx + 2

x − m đạt cực tiểu khix = 2.

j) y = x

2− (m + 1)x − m2+ 4m − 2

x − 1 có cực đại, cực

tiểu

k) y =x

2

− x + m

x − 1 có một giá trị cực đại bằng 0.

3 Tìmmđể hàm số không có cực trị

a) y = x3− 3x2+ 3mx + 3m + 4

b) y = mx3+ 3mx2− (m − 1)x − 1

c) y =−x

2

+ mx + 5

x − 3

d) y =x

2

− (m + 1)x − m2+ 4m − 2

x − 1

4 Tìma, b, c, d để hàm số

a) y = ax3+ bx2+ cx + dđạt cực tiểu bằng 0 tạix = 0

và đạt cực đại bằng 4

27 tạix =1

3

b) y = ax4+ bx2+ ccó đồ thị đi qua gốc toạ độ O và

đạt cực trị bằng–9tạix =p3

c) y =x

2

+ bx + c

x − 1 đạt cực trị bằng –6 tại x = –1.

d) y =ax

2

+ bx + ab

bx + a đạt cực trị tạix = 0vàx = 4.

e) y =ax

2+ 2x + b

x2+ 1 đạt cực đại bằng 5 tạix = 1 f) y = ax3+ bx2+ cx + dđạt cực đại tạix = 0, f (0) = 0

và đạt cực đại tại x = 1, f (0) = 1

g) y = x3+ ax2+ bx + c đạt cực trị bằng 0 tại x = −2

và đồ thị hàm số đi qua điểm A (1, 0)

h) y = x3− mx2+

µ

m −2 3

¶ x+5có cực trị tạix = 1 Khi

đó hàm số đạt cực tiểu hay cực đại? Tính cực trị

tương ứng

i) y = x3+ ax2+ bx + c đạt cực tiểu tại điểm x =

1, f (1) = −3 và đồ thị của hàm số cắt trục tung

tại điểm có tung độ là 2

nhất của hàm số

1.3.1 Bài tập

1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số

a) y = 2x3+ 3x2− 12x + 1trên[–1; 5]

b) y = 3x − x3 trên[–2; 3]

c) y = x4− 2x2+ 3trên[–3; 2]

d) y = x4− 2x2+ 5trên[–2; 2]

e) y =3x − 1

x − 3 trên[0; 2]

f) y = x − 1

x + 1 trên[0; 4]

g) y =4x

2

+ 7x + 7

x + 2 trên[0; 2]

h) y =1 − x + x

2

1 + x − x2 trên[0; 1]

i) y =p100 − x2 trên[–6; 8]

j) y =p25 − x2 trên[−4, 4]

k) y =¯x2− 3x + 2¯trên[−10, 10]

l) y = x − sin2xtrênh−π

2,πi

m) y = 2sin x + sin2xtrên

·

0,3π

2

¸

n) y = 1

sin x trên

·π

3,

5π

6

¸

2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau

a) y = x

x + 2 trên(−2,4]

b) y = x +1x trên(0, +∞)

c) y = x −1x trên[0, 2)

d) y = x2+1

x(x > 0)

e) y = x

4

+ x2+ 1

x3+ x (x > 0)

f) y = 1

cos x trên

µ

d f racπ2,3π

2

¶

g) y = 1

sin x trên(0,π)

3 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau

a) y = 2sin2x + 2sin x − 1

b) y = 2sin2x − cos x + 1

c) y = cos2x − 2sin x − 1

d) y = cos22x − sin x cos x + 4

e) y = sin4x + cos2x + 2

f) y = cos3x − 6cos2x + 9cos x + 5

g) y = sin3x − cos2x + sin x + 2

h) y =2 sin x − 1

sin x + 2

i) y = 1

cos2x + cos x + 1

j) y = sin4x + cos4x

k) y = sin3x + cos3x

l) y =2cos

2x + |cos x| + 1

|cos x| + 1

m) y = x

2

− 1

x4− x2+ 1

n) y = 4px2− 2x + 5 + x2− 2x + 3

o) y = −x2+ 4x +px2− 4x + 3