Tất cả các dạng Tích phân ôn thi đại học

Nhận xét: bài này gọn nhất là giải bằng phương pháp Tích phân hàm hữu tỉ2ở đây đưa ra hướng giải khác để thấy nhiều cách tiếp cận một bài tích phân.. 2 Phương pháp trên giải quyết bài to

Trang 1

ÔN THI ĐẠI HỌC

F

Gò Công Tây, năm 2014

Trang 2

to my family, my pippy and my friends (ˆ ˆ )

2nd−LATEX−201401.1

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Trang 3

Xin bắt đầu bằng một chuyện vui toán học

“Nhân ngày Nhà giáo Việt Nam, các học sinh cũ quây quần bên thầy giáodạy Toán Gặp lại học trò cũ, thầy hồ hởi:

– Thầy rất mừng là các em đều đã thành đạt trong cuộc sống Trong các thứthầy dạy, có cái gì sau này các em dùng được không ?

Tất cả học sinh đều im lặng Một lúc sau, có một học sinh rụt rè nói:

– Thưa thầy, có một lần em đi bộ ở bờ hồ thì gió thổi bay mũ em xuống nước

Em loay hoay mãi không biết làm thế nào để vớt mũ lên Bỗng nhiên em thấyđoạn dây thép và nhớ lại các bài giảng của thầy Em lấy dây thép uốn thànhdấu tích phân rồi dùng nó kéo mũ lên

– Thầy: ?!?!?!”

Chuyện vui nhưng cũng có vấn đề để suy nhẫm Tích phân có ứng dụng gì? Chỉ cầnchịu khó lên google là có kha khá kết quả (ˆ ˆ ), nhưng học tích phân chỉ để lấy 1 điểmtrong kì thi tuyển sinh thì đó là đích hướng tới của đại đa số học sinh Trong các nămgần đây thì điểm số phần tích phân không còn là vấn đề quá khó khăn Hy vọng tài liệunhỏ này giúp ích được cho ai đó

Thị trấn Vĩnh Bình, ngày 06 tháng 08 năm 20141

—Nguyễn Hồng Điệp

1 Còn vài ngày nữa là đại lễ Vu Lan năm Giáp Ngọ.

Trang 4

Mục lục

1 Các công thức 2

1.1 Bảng các nguyên hàm thông dụng 2

1.2 Tích phân xác định 2

2 Phương pháp phân tích 3

3 Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max 5

4 Phương pháp đổi biến số đơn giản 8

4.1 Dạng căn thức 8

4.2 Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau 11

4.3 Dạng phân thức2 12

4.4 Dạng biểu thức lũy thừa 13

4.5 Biểu thức có logarit 13

5 Đổi biến sang lượng giác 14

5.1 Dạng 1 15

5.2 Dạng 2 17

5.3 Dạng 3 19

5.4 Dạng 4 21

5.5 Dạng 5 22

6 Tích phân hàm hữu tỉ 23

6.1 Tích phân chứa nhị thức 23

6.2 Tích phân chứa tam thức 23

6.3 Dạng tổng quát 25

7 Tích phân hàm lượng giác 27

7.1 Các công thức lượng giác 27

7.2 Dạng tổng quát 28

7.3 Các trường hợp đơn giản 29

7.4 Tích phân dạng hữu tỉ đối với hàm số lượng giác 37

7.5 Dùng hàm phụ 41

8 Tích phân hàm vô tỉ 44

Trang 5

8.3 Dạng đặc biệt 52

9 Tính tính phân bằng tính chất 53

9.1 Tích phân có cận đối nhau 53

9.2 Tích phân có cận là radian 59

10 Phương pháp tính tích phân từng phần 64

10.1 Dạng 1 65

10.2 Dạng 2 68

10.3 Phương pháp hằng số bất định 70

11 Các bài toán đặc biệt 73

II ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 75 1 Tính diện tích hình phẳng 76

1.1 Công thức tính 76

1.2 Các ví dụ 76

2 Thể tích vật thể tròn xoay 79

2.1 Hình phẳng quay quanh Ox 79

III BÀI TẬP TỔNG HỢP 81 1 Các đề thi tuyển sinh 2002-2014 82

2 Bài tập tổng hợp 88

Trang 6

TÍCH PHÂN

Trang 7

cos 2ax d x = tan(ax) +C

R 1 sin2x d x = −cot x +C R 1

Trang 8

Chương I TÍCH PHÂN 2 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

Trang 10

Chương I TÍCH PHÂN 3 TÍCH PHÂN CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX

Trang 12

Chương I TÍCH PHÂN 3 TÍCH PHÂN CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX

Trang 13

min(sin x, cos x) d x

4 Phương pháp đổi biến số đơn giản

Thông thường khi gặp:

Trang 14

Chương I TÍCH PHÂN 4 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN

0

=13

³

2p

2 − 1´

Lưu ý: một số học sinh thường quên đổi sang cận mới theot Bài này ta còn có thể giải

theo cách khác như ở Ví dụ 5.7 trang 20

Ví dụ 4.2 TínhI =

p 3

Nhận xét: Trước khi đổi sang biếntta có bước phân tích làm xuất hiện kết quả vi phân

xd x làx3d x = x2.xd x và ta thấy cần chuyểnx2theo biếnt thì phép đổi biến mới thànhcông

 Bài toán tương tự

Trang 15

1

(4 − t2) d t =10

p2

3 −113

Z

p 5

Z

p 5

1

xp

4 + x2d x =

2 p 3

Z

p 5

Nhận xét: khi ta phân tích làm xuất hiện vi phânxd xta thấy hàm ban đầu chưa có kếtquả này do đó ta cần nhân tử và mẫu biểu thức dưới dấu tích phân chox Sau đó ta cầnchuyểnx2theo biếntthì phép đổi biến mới thành công

Trang 16

4.2 Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau

Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa các biểu thức dạng

µ

ax + b)

c x + d

¶m n

nên ta đổi biếnx + 1 = t6

Trang 17

4.3 Dạng phân thức1

Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dạng f (x)

g (x) nói chungtrong nhiều trường hợp ta đặtt = g (x)

Nhận xét: bài này gọn nhất là giải bằng phương pháp Tích phân hàm hữu tỉ2ở đây đưa

ra hướng giải khác để thấy nhiều cách tiếp cận một bài tích phân

Trang 18

4.4 Dạng biểu thức lũy thừa

Thông thường ta đặtt là biểu thức lấy lũy thừa

Nhận xét: do(x4)0= 4x3nên ta khử đượcx3trong đề bài

Dạng thường gặp là biểu thức chứa 1

x vàln x Ta thường đổi biếnt = ln xhoặc

Trang 19

=3

8(3p

5 Đổi biến sang lượng giác

ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC Hàm dưới dấu tích phân Đổi biến Điều kiện

Trang 20

Chương I TÍCH PHÂN 5 ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC

• x = a cos t, t ∈ [0,π]

Ví dụ 5.1 TínhI =

p 3

−π6

4 cos2t d t = 2

π

3Z

−π6

d t + 2

π

3Z

−π6

cos2t d t = π +p3

Nhận xét: mặc dầu hàm dưới dấu tích phân có căn thức nhưng nếu đặtt =p4 − x2thì

sẽ gặp khó khăn do:

1 Từt2= 4 − x2⇒ t d t = −xd xnhưng dưới dấu tích phân chỉ cód xnếu làm xuất hiện

vi phân xd x thì ta phải chia cho x Trong khi đó cận tích phân từ −1đến p3cóchứax = 0khi đó phép chia không hợp lệ

2 Khi đổi sang biếnt cần tínht theoxlại xuất hiện dấu căn mới, bài toán sau phứctạp hơn bài toán trước.(∗.∗)

Đây là Ví dụ chứng tỏ không phải cứ thấyp f (x) là đổi biến t = p f (x) Có thể khôngthành công

Ví dụ 5.2 TínhI =

3 2Z

−3

p 2 2

1q

¡9 − x2¢3d x

Trang 21

3

1sin2t d t = −1

Nhận xét: trong bài này nếu đặtt =

Trang 22

1

Z

0

1p

d t =

π

4Z

π

6

cos t sin t · cos t sin t

d t =1

3

π

4Z

π

6

d t = π

36

Trang 23

Nhận xét: bài này ta còn có thể đổi biến t =px2+ 9 sẽ xuất hiện tích phân có dạng

1

1p

2 ;t = π

4⇒ u =

p22

Khi đó:I =

π

4Z

π

3

1cos2t · cos t d t =

π

4Z

π

3

1sin2t − 1 · cos t d t

=

p 2 2Z

p 3 2

1

u2− 1d u =1

2

p 2 2Z

p 3 2

µ1

3 + 1

!

Nhận xét: phép đổi biến sang lượng giác trong bài này là phù hợp nhưng đây chưa phải

là cách làm hiệu quả nhất, nếu ta đổi biến theo hướng kháct = 2x +p4x2− 1thì bài giảigọn hơn nhiều Qua đó cho thấy một bài tích phân có nhiều cách giải khác nhau, tìmđược lời giải đẹp đòi hỏi nhiều về kinh nghiệm và khả năng suy luận của mỗi người

Trang 24

3

π

3Z

π

4

1cos2t· cos2t d t =1

3

π

3Z

0

1

4 cot2t + 4·

2sin2t d t =1

2

π

4Z

0

1sin2t · sin2t d t =1

2

π

4Z

0

d t = π

8

Trang 25

sin t cos t · 1

cos t · 1cos2t d t

=

π

4Z

Nhận xét: đây là cách giải đúng và dĩ nhiên có thể chấp nhận được nhưng ta còn có

cách giải khác ngắn gọn hơn ở Ví dụ 4.1 trang 8 Phép đổi biến x = tan t có thể dùngđược nhưng không thích hợp trong trường hợp này

p 3+1 2

Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng¡a2+ b2x2¢k

, với bài tập có dạng này tađặt

Trang 26

0

cos2t d t = 1

2p3

π

3Z

0

(1 + cos t)d t = π

6p

3+18

⇒ d x = −2 sin 2t

Đổi cận:x = −1 ⇒ t = π

2 ;x = 0 ⇒ t = π

4

Trang 27

Khi đó:I =

π

2Z

π

4

pcot2t · (−2sin2t)d t

=

π

2Z

Ví dụ 5.10 TínhI =

3 2Z

5 4

Trang 28

Chương I TÍCH PHÂN 6 TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ

6 Tích phân hàm hữu tỉ

6.1 Tích phân chứa nhị thức

DạngI =

(ax + b) n d x ta đổi biếnt = ax + b

6.2 Tích phân chứa tam thức

0

d t = π

3.

3 Dạng 3

Trang 29

Trang 30

Chương I TÍCH PHÂN 6 TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ

Chox + 2 = A + B(x − 2) Lần lượt chox = 0,2ta được hệ phương trình:

A (x − 1)2=

(a) Nếu bậc f (x)nhỏ hơn bậc củag (x)ta đã có phân thức thực sự

4 Ta chỉ xét trường hợp mẫu có nghiệm

Trang 31

(b) Nếu bậc của f (x)lớn hơn hoặc bằng bậc củag (x)ta chia f (x)chog (x)để làmxuất hiện phân thức thật sự.

2 Căn cứ vào dạng tích của mẫu thức mà ta phân tích thành tổng các phân thức đơngiản

2) Phương pháp trên giải quyết bài toán tích phân hàm hữu tỉ nhưng nói chung còn dài

dòng Khi ta kết hợp với các phương pháp khác thì bài toán được giải quyết gọnhơn

Trang 32

Chương I TÍCH PHÂN 7 TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

´

7 Tích phân hàm lượng giác

7.1 Các công thức lượng giác

(a) Công thức cộng

sin(a + b) = sin a cosb + sinb cos a cos (a + b) = cos a cosb − sin a sinb sin(a − b) = sin a cosb − sinb cos a cos (a − b) = cos a cosb + sin a sinb tan (a + b) = tan a + tanb

•Công thức nhân đôi

sin 2x = 2sin x cos x cos 2x = cos2x − sin2x

=2 cos2x − 1 = 1 − 2sin2x tan 2x = 2 tan x

(c) Công thức theotanx 2

Đặtt = tan x2 thì

Trang 33

sin a sin b sin a + cos a =p2 sin³a + π

Trang 34

1

Z

0

Ã1

0

1sin2x + 2sin x cos x − cos2x d x

7.3 Các trường hợp đơn giản

Phương pháp tổng quát giải bài toán tích phân hàm lượng giác là đổi biến t = tan x

2

nhưng trong một số trường hợp phương pháp này trở nên phức tạp, dài dòng Ta cócách giải riêng đối với một số dạng đặc biệt

3 Dạng 1

• Hàm số là lẻ đối vớisinta đặtt = cos x

• Hàm lẻ đối vớicosta đặtt = sin x

Ví dụ 7.3.

1 Xét hàm f (sin x, cos x) = cos3x sin2x

Ta có:f (sin x, −cos x) = (−cos x)3sin2x = −cos3x sin2x

= − f (sin x, cos x)

⇒Đây là trường hợp hàm lẻ đối vớicos

Trang 35

2 Xét hàm sốf (sin x, cos x) = (sin x + sin3x) cos x

Ta có:f (−sin x,cos x) = £−sin x + (−sin x)3¤ cos x

= (− sin x − sin3x) cos x = −(sin x + sin3x) cos x

(b) Nhận xét: sin 2x cos x

1 + cos x =

2 sin x cos2x

1 + cos x đây là trường hợp hàm lẻ đối vớisin.

Đặtt = cos x ⇒ sin2x = cos x

Trang 36

Trang 37

Khi đóI =

p 3

1 + t2

¶2· 1

1 + t2d t =

p 3

1

=−4 + 4

p33

´1 2

Trang 38

1 Nhóm lũy thừa chung củasin xvàcos xđể sử dụng công thứcsin x cos x =1

0

sin6x d x

3 Dạng 4

Trang 39

tanm x d x Ta sử dụng công thứctan2x = 1

cos2x− 1 sau đó đổi biến tùy từng

Ta đưa về dạng trên bằng cách đổi biếnt = π

0

µ1cos2x− 1

¶

d x = (tan x − x)| π4

0 = 1 −π

4

Trang 40

b) Ta có:I =

π

3Z

0

tan x tan2x d x =

π

3Z

0

tan x

µ1cos2x− 1

1

t d x = − ln|t||

1 2

0

1cos4x d x

π

4cot6x d x

π

6

1sin4x cos4x d x

0

sin2x − cos2x

sin4x + cos4x d x

Trang 41

6

µ

1 + sin2x sin x + cos x−

cos 2x sin x + cos x

π

6

· (sin x + cos x)2sin x + cos x +

cos2x − sin2x sin x + cos x

π

6

cos x d x = 1.

Trang 42

0

sin x cos 2x cos 3x d x

7.4 Tích phân dạng hữu tỉ đối với hàm số lượng giác

Trang 43

2 sin x + 16cos x = A(2sin x + 3cos x)0+ B(2 sin x + 3 cos x)

= A(2 cos x − 3 sin x) + B(2 sin x + 3 cos x)

0

3 sin x + 5cos x + 2 sin x + cos x + 1 d x

Giải

Trang 44

Ta tìm ba sốA, B,C thỏa mãn:

3 sin x + 5cos x + 1 = A(3sin x + 5cos x + 1)0+ B(3 sin x + 5 cos x + 1) +C

= A(3 cos x − 5 sin x) + B(3 sin x + 5 cos x + 1) +C

π

2Z

0

d x − 2

π

2Z

Ta tìm 2 sốA, Bthỏa : Tử số= A(Mẫu số)0+ B(Mẫu số).Khi đó đưa về được các dạng tíchphân đã biết cách giải

Ví dụ 7.12 TínhI =

π

2Z

0

5 cos x + sin x (sin x + cos x)2d x

Trang 45

Khi đó:I = 2

π

2Z

0

cos x − sin x (sin x + cos x)2d x + 3

π

2Z

Ta biến đổi mẫu số

a sin x + b cos x =pa2+ b2 cos(x − α)

0

4 cos x − 7sin x (2 sin x + cos x)3d x

Trang 46

0

2 cos x − sin x (2 sin x + cos x)3d x − 2

π

2Z

Trang 47

hơn Dạng này thường được áp dụng đối với hàm số lượng giác.

Ví dụ 7.14 TínhI =

π

2Z

0

(cos2x + sin2x) cos 2x d x =

π

4Z

Trang 48

2 ln(p

2 − 1).Hd:

sinx cosx

=

1 2

x

đưavềdạng

´

2+sin2

Trang 49

8 Tích phân hàm vô tỉ

Một số dạng tích phân vô tỉ đã được giải quyết ở các phần trước:

1 Biểu thức chứa căn (xem mục4.1trang8)

2 Biểu thức chứa căn bậc khác nhau (xem mục4.2trang11)

3 Đổi biến sang lượng giác (xem mục5trang14)

8.1 Biểu thức có tam thức bậc hai

d x Ta phân tích biểu thức trong căn thành tổng hoặc hiệu các

bình phương Sau đó đưa về các dạng tích phân đã biết, ta có thể áp dụng đổi biến sanglượng giác (xem mục5trang14) hoặc dựa vào chú ý sau:

x2− 2x

d x

Trang 50

Chương I TÍCH PHÂN 8 TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ

x(x − 2) d x

Đặtt =px +px − 2 ⇒ d t =

µ1p

x(x − 2) d x

Đặtt =p−x +p−x + 2 ⇒ d t =

µ1p

−x+

1p

Ã

1 +p3p

Trang 51

Trang 52

1

11

· 1

t2d x

= −

1 2Z

1

11

1

1p

p

3 −1

2.

Trang 53

11

4t2− 4t + 2 d x =

1

Z

1 2

Giải

Trang 54

4+

p32

!

+ 3 ln

Ã1

4+3

4+

p32

ax2+ bx + c d xvớiQ n−1 (x)là đa thứcbậcn − 1vàαlà số thức

•Các hệ số của đa thứcQ n−1vàαđược xác định bằng cách:

1 Đạo hàm 2 vế bước phân tích trên

Trang 55

Z

−1

1p

x2+ 2x + 2 d x

= 2 −3

p2

2 −72

−2

Z

−1

1p

(x + 1)2+ 1

d x

= 2 −3

p2

2 −7

2ln

Ã

2 −p22

Trang 56

Ví dụ 8.10 TínhI =

p 6−1 5Z

−p3−1 2

Trang 57

Ví dụ 8.13 TínhI =

p 2

Z

1

x5(2 − x2)p

Trang 58

Chương I TÍCH PHÂN 9 TÍNH TÍNH PHÂN BẰNG TÍNH CHẤT

Trang 59

Nhận xét: với bài toán trên đa số học sinh suy nghĩ theo hai hướng:

Hướng 1: sử dụng phương pháp Tích phân từng phần vì có dạng R f (x)sin xd x, nhưngtrong trường hợp này cần thực hiện 2014 lần tích phân từng phần, điều này làkhông thực tế

Hướng 2: tìm công thức tổng quát của bài toán tích phân có dạng

1

R

−1

x n sin xd x, từ đórút ra kết quả của

Tính chất 9.2 Hàm sốf (x)liên tục trên[−a, a]

1 Nếuf (x)là hàm số lẻ trên[−a, a]thìI =

Trang 60

Nhận xét: nếu áp dụng kết quả Tính chất 9.2ta có ngay kết quả I = 0, nhưng trong

khuôn khổ chương trình toán phổ thông không có tính chất này, khi trình bày trong

bài thi ta phải chứng minh lại như trong Ví dụ9.1

−π4

1tan2t + 1·

1cos2t d t =

π

4Z

Trang 61

Nhận xét: hàm số ban đầu dưới dấu tích phân không chẵn không lẻ, khi ta táchI = I1+I2

thì hàm số lẻ xuất hiện và ta biết được kết quả củaI2= 0nhưng vẫn phải chứng minhkết quả Bài này có thể giải theo phương pháp Tích phân từng phân nhưng rắc rối hơnnhiều

Ví dụ 9.4 Cho hàm số f (x)liên tục trênRvà

Trang 62

0

f (−t)d t =

3π

2Z

0

f (−x)d x +

3π

2Z

0

f (x) d x =

3π

2Z

Tính chất 9.5 Nếu f (x)là hàm chẵn và liên tục trênRthì

Trang 63

cos xd x, một kết quả đẹp trong

bài tích phân tưởng chừng rắc rối Nhưng ta không được áp dụng trực tiếp kết quả này

mà chỉ dùng để định hướng phương pháp giải

Trang 64

0

f (sin x) d x =

π

2Z

0

f (cos x) d x

Hướng dẫn chứng minh: đặtt = π

2− t

Trang 65

¶

Tính chất sau cho ta thu gọn hàm dưới dấu tích phân

Tính chất 9.9 Nếu f (x)liên tục trên[0, 1]thì

Trang 66

Nhận xét: Ví dụ trên có thể giải bằng phương pháp Tích phân từng phần nhưng bài giải

dài dòng hơn Ở đây ta có nhận xét

sin x cos2x = sin x(1 − sin2x) = f (sin x)

và theo Tính chất9.9ta thu gọn được bài toán

Tương tự ta có Tính chất đối với hàm cosin

Tính chất 9.11 Nếu f (x)liên tục trên[0, 1]thì

Trang 67

Tính chất sau là dạng tổng quát của hai Tính chất ở trước

Tương tự ta chứng minh được Tính chất sau:

Tính chất 9.14 Nếu f (x)liên tục trên[a, b]thì

0

d t −

π

4Z

Trang 68

Trang 69

p 6 3

10 Phương pháp tính tích phân từng phần

Một số điều lưu ý khi tích tích phân từng phần

1 Hàm nào khó lấy nguyên hàm ta đặt là làu

2 Trong trường hợp có hàm đa thức ta đặtu là hàm đa thức để giảm dần bậc của đathức

3 Trong tích phân cần tính có chứa hàm logarit thì ta đặtulà hàm chứa logarit

Định dạng
Số trang	94
Dung lượng	629,06 KB