Đề thi thử đại học môn Toán số 24

b, Tìm m để đồ thị hàm số 1 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dơng.. Tính thể tích khối tứ diện O.ABC theo V.. Tìm toạ độ điểm C trên đờng tròn.. C sao cho diện tích tam giác

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

Mụn thi : TOÁN (ĐỀ 24 )

Phần dành chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm)

x − mx + m − x − m − (1)

a, Với m = 0 , khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

b, Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dơng

Câu 2: a, Giải phơng trình : sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin2(2x+

4

π ) = 0

b, Xác định a để hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất :

2

2 2

2

1

x

x y

 + = + +



 + =



Câu 3 : Tìm : sin 3

xdx

∫

Câu 4 : Cho lăng trụ đứng ' ' '

.

ABC A B C có thể tích V Các mặt phẳng (ABC'), ( AB C' ),( A BC' )cắt nhau tại O Tính thể tích khối tứ diện O.ABC theo V

Câu 5 : Cho x,y,z là các số thực dơng Chứng minh rằng :

P = 3 3 3 3 3 3 3 3 3

2 2 2

Phần riêng(3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc B )

A Theo chơng trình chuẩn

Câu 6a : a, Cho đờng tròn (C) có phơng trình : x2+ y2− 4 x − 4 y + = 4 0 và đờng thẳng

(d) có phơng trình : x + y – 2 = 0

Chứng minh rằng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B Tìm toạ độ điểm C trên đờng

tròn (C) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất

b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;3)và hai đờng thẳng có phơng trình :

1 1 2

( ) :

−

'

2

'

4

3

x t

z t

 =

 = −



 =

 Viết phơng trình đờng thẳng (∆)đi qua điểm A và cắt cả hai đờng thẳng(d1), (d2)

Câu 7a : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển :

7 4

3

1

x x

  ( với x > 0 )

B Theo chơng trình nâng cao

Câu 6b : a, Viết phơng trình đờng thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1) , đờng cao và

đờng phân giác trong qua đỉnh A,C lần lợt là : 3x -4y + 27 =0 và x + 2y – 5 = 0

b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;4;1) , B(3;5;2) và đờng thẳng (∆) có phơng

trình : 2 1 0

2 0

x y z

x y z

− + + =



 − + + =

 Tìm toạ độ điểm M nằm trên đờng thẳng (∆)sao cho : MA + MB nhỏ nhất

(1 + + x x ) = + a a x a x + + a x Tính hệ số a4

- Hết

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

Mụn thi : TOÁN (ĐỀ 24)

Câu 1: Cho hàm số : y = x3− 3 mx2 + 3( m2− 1) x − ( m2− 1) (1)

a, Với m = 0 , khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

b, Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dơng

Ta cú y’= 3x2-6mx+3(m2-1)

y’=0 ⇔   = +  x m x m = − 1 1 Để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phõn biệt cú hoành độ dương thỡ ta phải cú:

'

1 0 0

(0) 0

y

CD

CT

m R

m x

m f

 > ⇔  − >

 >  + >

− − <

 <  



V

1

m m

m m

m

 − < <



 −  < < −



< < +



 >



Vậy giỏ trị m cần tỡm là: m ∈ ( 3;1 + 2)

Câu 2: a, Giải phơng trình :

sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin2(2x+

4

π ) = 0 <=> Sin2x + (1+2cos3x)sinx – 2sin(2x +

4

π )=0

⇔ sin2x + sinx + sin4x – sin2x = 1 – cos(4x +

2

π

) ⇔ sinx + sin4x = 1+ sin4x ⇔ sinx = 1

⇔ x =

2

π + k2 π , k ∈ Z

b, Xác định a để hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất :

2

2 2

2

1

x

x y

 + = + +



 + =



Nhận xột: Nếu (x;y) là nghiệm thỡ (-x;y) cũng là nghiệm của hệSuy ra, hệ cú nghiệm duy nhất khi

và chỉ khi x =0

+ Với x = 0 ta cú a =0 hoặc a = 2-Với a = 0, hệ trở thành:

(I)

Từ (2)

1

x

y



 ≤

2 2

2

1

0

1 1

x

x y

x

x x

y y

 + =



⇔   = + − = ⇔  = 



-Với a=2, ta cú hệ:

2

2 2

1

x

x y x

x y

 + = + +



 + =

 Dễ thấy hệ cú 2 nghiệm là: (0;-1) và (1;0) khụng TM

Vậy a = 0 TM

Câu 3 : Tìm : sin 3

xdx

∫

3

6

π π π

+

=

−

8 os(x- )

6

c

π

− +

=

x

π

−

2

2

6

π π

−

∫

Câu 4 : Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' 'có thể tích V Các mặt phẳng (ABC'), ( AB C' ),( A BC' )cắt nhau tại O Tính thể tích khối tứ diện O.ABC theo V

Gọi I = AC ∩ ’A’C, J = A’B ∩ AB’

(BA'C) (ABC') = BI

(BA'C) (AB'C) = CJ

Goi O = BI CJ





⇒ O là điểm cần tỡm

Ta cú O là trọng tõm tam giỏc BA’C

Gọi H là hỡnh chiếu của O lờn (ABC)

Do V ABC là hỡnh chiếu vuụng gúc của V BA’C

trờn (ABC) nờn H là trọng tõm V ABC

Gọi M là trung điểm BC Ta cú: 1

A B = AM =

Câu 5 : Cho x,y,z là các số thực dơng Chứng minh rằng :

P = 3 3 3 3 3 3 3 3 3

2 2 2

Ta cú: 4(x3+y3) ≥ (x+y)3 , với ∀ x,y>0

Thật vậy: 4(x3+y3) ≥ (x+y)3 ⇔ 4(x2-xy+y2) ≥ (x+y)2 (vỡ x+y>0)

⇔ 3x2+3y2-6xy ≥ 0 ⇔ (x-y)2≥ 0 luụn đỳng

Tương tự: 4(x3+z3) ≥ (x+z)3

4(y3+z3) ≥ (y+z)3

3 4( x y ) 3 4( x z ) 3 4( y z ) 2( x y z ) 63 xyz

2 2 2

1

y + z + x ≥ xyz

3 3 1

xyz

1

x y z

x y z

xyz xyz



 = =









=





Vậy P ≥ 12, dấu ‘=’ xảy ra ⇔ x = y = z =1

Phần riêng(3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc B )

A Theo chơng trình chuẩn

Câu 6a : a, Cho đờng tròn (C) có phơng trình : 2 2

x + y − x − y + = và đờng thẳng (d) có phơng trình : x + y – 2 =

0 Chứng minh rằng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B Tìm toạ độ điểm C trên đờng tròn

(C) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất

(C) cú tõm I(2;2), bỏn kớnh R=2

Tọa độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của hệ:

J

I

O

H

M

B'

A'

C'

C B

A

H

4

y

M

2

C

2 2

0 2

2 0

0

x y

x y

y

 = 



 = + − =

⇔







Hay A(2;0), B(0;2)

Hay (d) luụn cắt (C ) tại hai điểm phõn biệt A,B

Ta cú 1

2

ABC

SV = CH AB (H là hỡnh chiếu của C trờn AB)

ABC

SV m ⇔ Dễ dàng thấy CH max ( ) ( )

2

C

x



⇔  >



V

Hay V : y = x với :

(2; 2)

d I

⊥





V V

V ⇒ C (2 + 2; 2 + 2) Vậy C (2 + 2; 2 + 2) thỡ SVABCm ax

b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;3)và hai đờng thẳng có phơng trình :

1 1 2

( ) :

−

'

2

'

4

3

x t

z t

 =

 = −



 =

 Viết phơng trình đờng thẳng (∆)đi qua điểm A và cắt cả hai đờng thẳng(d1), (d2)

Nhận xột: M ∉ (d1) và M ∉ (d2)

Giả sử ( ) ( 1)

( ) ( 2)





V

V Vỡ I ∈ d1 ⇒ I(2t-1; -1-2t; 2+t) H ∈ d2 ⇒ H(4t’; -2; 3t’)

23

10

cbt

TM k HM

k R k

T



uuur uuuur

Vậy phương trỡnh đường thẳng đi qua 2 điểm I và H

là:

1 56

2 16

3 33

= +



 = −



 = +



hoặc là: 5 8 17 0

x y z

+ − + −





Câu 7a : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển :

7 4

3

1

x x

  ( với x > 0 )

Ta cú:

1 1

7

7 3

0

1

k

x

−

−

=

+ = ∑ Để số hạng thứ k khụng chứa x thỡ:

4

[0;7]

k k



 ∈



Vậy số hạng khụng chứa x trong khai triển là: 4

7

1 35

C =

B Theo chơng trình nâng cao

Câu 6b : a, Viết phơng trình đờng thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1) , đờng cao và đờng phân giác trong

qua đỉnh A,C lần lợt là : 3x -4y + 27 =0 và x + 2y – 5 = 0

Phươngtrỡnh đường thẳng chứa cạnh BC:

4

BC



Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: 4 3 5 0 ( 1;3)

C

+ − =

 + − =



Gọi KAC, KBC, K2 theo thứ tự là hệ số gúc của cỏc đường thẳng AC, BC, d2

Ta cú:

0 1 (loai) 3

AC

AC

AC

AC

K

K K

=





⇔  = −



Vậy pt đường thẳng AC đi qua C

và cú hệ ssú gúc k=0 là: y = 3

+ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

3 4 27 0 ( 5;3)

3 0

A y

 − =



⇒ Pt cạnh AB là: 5 3 4 7 1 0

+ − −

Vậy AB: 4x+7y-1=0 AC: y=3 BC: 4x+3y-5=0

b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;4;1) , B(3;5;2) và đờng thẳng (∆) có phơng

trình : 2 1 0

2 0

x y z

x y z

− + + =



 − + + =

 Tìm toạ độ điểm M nằm trên đờng thẳng (∆)sao cho : MA + MB nhỏ nhất

+ Xột vị trớ tương đối giữa AB và V , ta cú: V cắt AB tại K(1;3;0)

Ta cú KB uuur = 2 KA uuur ⇒ A, B nằm về cựng phớa đối với V

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua V và H là hỡnh chiếu của A trờn V

⇒ H( 1;t;-3+t) (vỡ PTTS của V :

1

3

x

y t

=



 =



 = − +



)Ta cú . 0 1.0 ( 4).1 ( 4 ).1 0 4

(1; 4;1) '(0; 4;1)

= ⇔ − + − + − + = ⇔ =

uuuurr

Gọi M là giao điểm của A’B và d (1; 13 4 ; )

3 3

M

⇒

Lấy điểm N bất kỳ trờn V Ta cú MA+MB=MB+MA’=A’B ≤ NA+NBVậy (1; 13 4 ; )

3 3

M

(1 + + x x ) = + a a x a x + + a x Tính hệ số a4

Ta cú: (1+x+x2)12 = [(1+x)+x2 ]12 = = 0 12 1 11 2 12 2 12 24

12(1 ) 12(1 ) 12k(1 ) k.( )k 12

C + x + C + x x + + C + x − x + + C x

=

0 0 12 1 11 8 4 1 2 0 11 9 2

2 4 0 10 10

+ +

⇒ Chỉ cú 3 số hạng đầu chứa x4

0 8 1 9 2 10

4 12. 12 12. 11 12. 10 1221