Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị C tại hai điểm A, B phân biệt sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng có phương trình: x
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 65
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số 2 4
1
x y x
−
=
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho A
và B đối xứng nhau qua đường thẳng có phương trình: x + 2y +3= 0
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: sin 2 1 2 os
sin cos 2.tan
x
c x
2 Giải hệ phương trình: 2 2 2 22
+ − − =
+ + − − =
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: 2 cos
0 (e x s inx).sin 2 x dx
π
+
∫
Câu IV: (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ nội tiếp trong hình trụ có bán kính đáy r; góc
giữa BC’ và trục của hình trụ bằng 300; đáy ABC là tam giác cân đỉnh B có · 0
120
ABC= Gọi
E, F, K lần lượt là trung điểm của BC, A’C và AB Tính theo r thể tích khối chóp A’.KEF và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE
Câu V: (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = 3
4
a b + b c + c a ≥
Câu VI: (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 1) và đường thẳng ∆ : x – y + 1 = 0 Viết phương trình đường tròn đi qua M cắt ∆ ở 2 điểm A, B phân biệt sao cho ∆MAB vuông tại M và có diện tích bằng 2
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: 2 1
x = y− = z−
− − và mặt phẳng
(P) : ax + by + cz – 1 = 0 2 2
(a +b ≠0) Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua đường thẳng d và tạo với các trục Oy, Oz các góc bằng nhau
Câu VII: (1,0 điểm)
Xét số phức z thỏa mãn điều kiện : z− =3i 1, tìm giá trị nhỏ nhất của z
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:……… SBD:………
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 65
Cõu 1: 1,(1,0 điểm) TXĐ: D = R\{-1}
Chiều biến thiờn: ' 6 2 0 x D
( 1)
y x
= > ∀ ∈ +
Hs đồng biến trờn mỗi khoảng (−∞ −; 1) và ( 1;− +∞), hs khụng cú cực trị
Giới hạn: xlim→±∞y=2, limx→−1− y= +∞, limx→−1+ y= −∞
=> Đồ thị hs cú tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 2
BBT
x -∞ -1 +∞
y’ + +
y
+∞ 2
2 -∞
+ Đồ thị (C):
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm ( )2;0 , trục tung tại điểm (0;-4)
Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tõm đối xứng
Cõu 1:2,(1,0 điểm) Đường thẳng d cần tỡm vuụng gúc với ∆: x + 2y +3= 0 nờn cú phương trỡnh
y = 2x +m, D cắt (C) ở 2 điểm A, B phõn biệt 2 4 2
1
x
x m x
−
+ cú 2 nghiệm phõn biệt
2
2x mx m 4 0
⇔ + + + = cú 2 nghiệm phõn biệt khỏc - 1⇔m2−8m−32 0 (1)>
Gọi I là trung điểm AB cú 2 4
2
2
I
x
m
+ −
= =
= + =
Do AB vuụng gúc với ∆ nờn A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆: x + 2y +3= 0
4
⇔ ∈∆ ⇔ = − Với m = - 4 thỏa món (1) vậy đường thẳng d cú phương trỡnh y = 2x – 4 Cõu 2: 1, (1,0 điểm) Điều kiện: sinx≠0, cosx≠0,sinx+cosx≠0
Pt đã cho trở thành 2cos 0
cos sin
cos sin 2 sin 2
+
x x
x x x
x
cos 2cos2 0 cos sin( ) sin 2 0
2 sin
x
π
2 0
cosx= ⇔x=π +kπ k∈
+)
2
4 4
2 4
4
n x
π
π
π π π
= + + = +
= − − + = +
, 3
2
4+ ∈
=
⇔x π t π t
Trang 3§èi chiÕu ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm cña pt lµ x=π +kπ
2
= t k t
Câu 2 : 2,(1,0 điểm) Điều kiện: x+y≥0, x-y≥0
Đặt: u x y
v x y
= +
= −
− = > + = +
2
3 (2) 2
uv
+ = +
⇔ + − + − =
Thế (1) vào (2) ta có:
2
uv+ uv+ − uv = ⇔uv+ uv+ = + uv ⇔uv=
Kết hợp (1) ta có: 0 4, 0
4
uv
u v
=
⇔ = =
+ =
(vì u>v) Từ đó ta có: x =2; y =2.(Thỏa đ/k)
KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2).
( e x s inx).sin 2 x dx 2 e x.cos sin x x dx s inx.sin 2 x dx
2
cos
0
.cos sin
x
π
=∫ Đặt t = cosx có I =
1 0
.t t t 1
t e dt t e= − e dt=
0
sinx.sin 2 (cos os3 ) (sinx sin 3 )
2
cos
0
2 8 ( sinx).sin 2 2
3 3
x
π
∫
Câu 4(1,0 điểm) Từ giả thiết suy ra ·BC C' =300, BA = BC = r, 0
' cot 30 3
3 0 ' EF EF EC '.
1 1 1 .AA '.1 sin120
r
Gọi H là trung điểm của AC ta có FH // AA’ suy ra FH⊥(ABC) và
2
r
HK =HB HE= =
Gọi J là trung điểm KF, trong mp (FKH) đường trung trực của FK cắt FH tại I, I chính là
tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE, FK2 =FH2+KH2 =r2
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE
2 2
R FI
Trang 4Câu 5(1,0 điểm) Áp dụng Bất đẳng thức Trung bình cộng – trung bình nhân cho 2 bộ ba số dương ta
có
z y x
9 z
1 y
1 x
1 9 xyz
3 xyz 3 z
1 y
1 x
1 )
z
y
x
(
3
3
+ +
≥ + +
⇒
=
≥
+ + +
a 3 c c 3 b b a
9 a
3 c
1 c
3 b
1 b
a
1 P
+ + + + +
≥ +
+ +
+ +
=
áp dụng Bất đẳng thức Trung bình cộng – trung bình nhân cho 3 bộ ba số dương ta có
3
c 3a 1 1 1
Suy ra 3a 3b 3 b 3c 3 c 3a 1 4 a b c 6( )
3
+ + + + + ≤ + + + 1 4.3 6 3
3 4
Do đó P≥3; Dấu = xảy ra
3
a 3b b 3c c 3a 1
+ + =
+ = + = + =
Câu 6: 1, (1,0 điểm) Đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R có phương trình (x a− )2+ −(y b)2 =R2
∆MAB vuông tại M nên AB là đường kính suy ra ∆ qua I do đó: a - b + 1 = 0 (1)
Hạ MH ⊥AB có ( , )
2 1 1
2 2
M
MH =d ∆ = − + =
MAB
Vì đường tròn qua M nên (2−a)2+ −(1 b)2 =2 (2) Ta có hệ 21 0 2 (1)
(2 ) (1 ) 2 (2)
a b
− + =
− + − =
Giải hệ được a = 1; b = 2 Vậy (C) có phương trình (x−1)2+ −(y 2)2 =2
Câu 6(1,0 điểm) 2, Đường thẳng d qua M (0, 2, 1) có VTCP ur(1, 1, 1)− − (P) có VTPT n a b cr( , , )
d⊂ P ⇒n vr r= ⇔ − − = ⇔ = +a b c a b c
( ,( )) ( ,( )) os( , ) os( , )
0
b c
= ≠
= ⇔ r r = r r ⇔ = ⇔ = − ≠
Nếu b = c = 1 thì a = 2 suy ra ( )P : 2x + y + z - 1 = 0 (loại vì M1 ∉( )P1
Nếu b = - c = - 1 thì a = 0 suy ra ( )P : y - z - 1 = 0 (thỏa mãn)2
Vậy (P) có phương trình y - z - 1 = 0
Câu 7(1,0 điểm) Đặt z = x + iy ta có z− = ⇔3i 1 x2+ −(y 3)2 =1
( 3) 1
x + −y = ta có 2
(y−3) ≤ ⇔ ≤ ≤1 2 y 4 Do đó z = x2+y2 ≥ 0 2+ 2 =2
Vậy giá trị nhỏ nhất của z bằng 2 đạt khi z = 2i
