Một số phương pháp hình thành phân bố thời gian - tần số

Do đó mỗi biểu diễn cổ điểntín hiệu là không địa phương hóa được đối với biến kia, tức là biểu diễntần số là trung bình hầu khắp nơi của biểu diễn thời gian và biểu diễnthời gian là trun

Mục lục

1.1 Một số không gian hàm 6

1.1.1 Không gian các hàm cơ bản 6

1.1.2 Không gian các hàm suy rộng 7

1.2 Biến đổi Fourier 8

1.2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi fourier ngược 8

1.2.2 Biến đổi Fourier và đạo hàm 9

1.2.3 Hàm Gauss và Định lý Plancherel 10

1.2.4 Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng 10

2 GIẢI TÍCH THỜI GIAN -TẦN SỐ 12 2.1 Cần phải có phân bố thời gian-tần số 12

2.1.1 Biểu diễn miền thời gian 12

2.1.2 Biểu diễn miền tần số 15

2.2 Công thức tín hiệu và những đặc trưng trong miền xác định (t, f ) 17

2.2.1 Những mô hình tín hiệu được dùng trong mặt phẳng thời gian - tần số (t, f ) 17

2.2.2 Giải tích tín hiệu 18

2.2.3 Băng thông và thời gian hữu hiệu 23

2.2.4 Thành phần đơn và Tín hiệu đa thành phần 25

2.3 Tần số tức thời và thời gian trễ 26

2.3.1 Tần số tức thời 26

2.3.2 Tần số tức thời và thời gian trễ 28

2.3.3 Tần số tức thời trung bình và nhóm trễ 30

2.3.4 Giảm dư thời gian, dải tần số động lực 33

3 CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG PHÂN BỐ THỜI GIAN-TẦN SỐ 34 3.1 Phương pháp 1: Phân bố Wigner-Ville 34

3.1.1 Dấu hiệu tần số tức thời sắc cạnh 34

3.1.2 Công thức của hạt nhân tín hiệu 35

3.1.3 Phân bố Wigner 36

3.1.4 Phân bố Wigner-Ville 37

3.2 Phương pháp 2: Mật độ phổ năng lượng biến thiên theo

thời gian 42

3.2.1 Phổ của quá trình ngẫu nhiên không dừng 42

3.2.2 Ước lượng phổ Wigner-Ville 43

3.3 Phương pháp 3: Biến đổi Fourier cửa sổ 45

3.3.1 STFT và ảnh phổ 45

3.3.2 Độ dài cửa sổ tối ưu của ảnh phổ 45

3.3.3 STFT so sánh với biến đổi Gabor 46

3.4 Phương pháp 4: Hàm lọc của thời gian 48

3.4.1 Dãy lọc và sonograph 48

3.4.2 Tương đương với ảnh phổ 48

3.5 Phương pháp 5: Phổ năng lượng tức thời 49

3.5.1 Phân bố trang 49

3.6 Phương pháp 6: Mật độ năng lượng 51

3.6.1 Mật độ năng lượng phức của Rihaczek 51

3.6.2 Mật độ năng lượng thực của Levin 53

3.6.3 Các phân bố Rihaczek và Levin cửa sổ 53

Lời cám ơn

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Bùi KiênCường, người thầy đã truyền cho tác giả những kinh nghiệm quí báutrong học tập và nghiên cứu khoa học Thầy luôn dạy bảo và động viên

để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trongchuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn chânthành nhất đối với thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, Khoa Toán và Tổ Giải tích cùng vớiquý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹpchương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả trân trọng cảm ơn Trường Cao đẳng Công nghiệp Hóa chất

đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thànhtốt luận văn

Hà Nội, tháng 7 năm 2012

Tác giả

Lê Thị Phong Lan

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường Luận văn không

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Hai biểu diễn cổ điển các tín hiệu là biểu diễn theo miền thời gian

s (t) và biểu diễn theo miền tần số S (f ) Trong cả hai biểu diễn này,các biến t và f đang được coi là loại trừ nhau: để có được biểu diễn nàythì biểu diễn kia phải là biến lấy tích phân Do đó mỗi biểu diễn cổ điểntín hiệu là không địa phương hóa được đối với biến kia, tức là biểu diễntần số là trung bình hầu khắp nơi của biểu diễn thời gian và biểu diễnthời gian là trung bình hầu khắp nơi của biểu diễn tần số (phép biến đổiFourier và biến đổi Fourier ngược) Điều này đòi hỏi ngành phân tíchtín hiệu phải cải tiến kỹ thuật xử lý tín hiệu sao cho biểu diễn đồng thờibiến thời gian và biến tần số, tức là vừa phải xử lý địa phương hóa đồngthời thông tin về tín hiệu cả theo thời gian và tần số Sự phát triển của

lý thuyết hàm và giải tích hàm là một công cụ thật tốt cho việc nghiêncứu và triển khai vấn đề nêu trên Gabor, E.P Wigner là những nhà toánhọc tiên phong trong việc tìm ra các giải pháp biểu diễn thời gian – tần

số một cách đồng thời và địa phương hóa được Đến nay, giải tích thờigian – tần số đã trở thành một ngành toán học độc lập, là một nhánhcủa giải tích điều hòa, đã được phát triển mạnh mẽ, có ảnh hưởng đếnnhiều lĩnh vực toán học khác Đối với giải tích thời gian – tần số, thôngthường cần có một số giả thiết để phù hợp với các ứng dụng thực tiễn.Chính vì thế, đã có nhiều dạng biểu diễn thời gian – tần số được thiết

lập: biểu diễn Wigner, biểu diễn Gabor, biểu diễn Rihaczek, Mỗi dạngbiểu diễn này đều xuất phát từ một yêu cầu cụ thể nào đó trong ứngdụng Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về lý do hình thành các phân

bố thời gian-tần số kiểu như mô tả trên và được sự đồng ý hướng dẫncủa tiến sĩ Bùi Kiên Cường tôi lựa chọn đề tài “Một số phương pháphình thành phân bố thời gian-tần số” để thực hiện luận văn

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu giải tích thời gian-tần số

Tìm hiểu một số phương pháp hình thành phân bố thời gian-tầnsố

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày về giải tích thời gian-tần số

Trình bày về một số phương pháp hình thành phân bố thời tần số

gian-4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Một số phương pháp hình thành phân bốthời gian-tần số

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu liên quan đến phương pháp hìnhthành phân bố thời gian-tần số

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếpcận vấn đề

6 Những đóng góp của luận văn

Luận văn là một công trình nghiên cứu tổng quan về các phươngpháp xây dựng giải tích thời gian - tần số

1.1.1 Không gian các hàm cơ bản

Định nghĩa 1.1 Không gian D (Ω) là không gian gồm các hàm ϕ ∈

C0∞(Ω) với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕj}∞j=1 các hàm trong C0∞(Ω)được gọi là hội tụ đến hàm ϕ0 ∈ C∞

0 (Ω) nếu(i) Có một tập compact K ⊂ Ω mà supp ϕj ⊂ K,j = 0, 1, 2,

1.1.2 Không gian các hàm suy rộng

Định nghĩa 1.2 Mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên D (Ω) đượcgọi là một hàm suy rộng trên Ω Tập tất cả các hàm suy rộng trên Ω được

kí hiệu là D0(Ω) Hàm suy rộng f ∈ D0(Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D (Ω)được viết là hf, ϕi

Hai hàm suy rộng f, g được gọi là bằng nhau nếu

hf, ϕi = hg, ϕi , ∀ϕ ∈ D (Ω) Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm của hàm suy rộng) Cho f ∈ D0(Ω), α =(α1, α2, , αn) ∈ Zn+ Đạo hàm cấp α của hàm suy rộng f trong Ω, kíhiệu là Dαf , là ánh xạ từ D(Ω) vào C được xác định bởi

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn) là không gian tất

cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S(Rn)

Định nghĩa 1.6 Cho fk, f ∈ S0(Rn), k = 1, 2, Dãy {fk}∞k=1 được gọi

là hội tụ trong S0(Rn) tới hàm f ∈ S0(Rn), nếu

1 Có một số tự nhiên m và số dương C sao cho

1.2 Biến đổi Fourier

1.2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi fourier ngược

Định nghĩa 1.7 Nếu f ∈ L1(Rn) thì phép biến đổi Fourier củaf , kíhiệu

= 0

Định nghĩa 1.8 Với x, ω, y, t ∈ Rn và f ∈ S(Rn) ta định nghĩa cáctoán tử như sau:

1 Phép tịnh tiến theo x của f , kí hiệu Txf là sự dịch chuyển thờigian được xác định bởi Txf (x) = f (t − x)

2 Sự điều biến theo ω của f , kí hiệu Mωf được xác định bởi

Định nghĩa 1.9 Cho f ∈ L1(Rn) Biến đổi Fourier ngược của hàm f ,

ký hiệu là F−1f được định nghĩa bởi

F−1f (x) =

Z

Rn

f (ω)ej2πxωdω, x ∈ Rn.Định lý 1.2 Nếu f ∈ L1(Rn) và

1.2.2 Biến đổi Fourier và đạo hàm

Cho một đa chỉ số α = (α1, α2, , αd) ∈ Zn+ thông thường chúng

riêng, và χαf (x) = xαf (x) là toán tử nhân.

Dùng biến đổi Fourier chúng ta thu được:

được gọi là hàm Gauss không chuẩn hoá với độ rộng a > 0 trên Rn

Bổ đề 1.2 (Biến đổi Fourier của hàm Gauss) Với mọi a > 0

1.2.4 Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng

Bổ đề 1.3 Một số tính chất của phép biến đổi Fourier

(i) F ϕ(ξ − h) = F ejhxϕ(x) (ξ), ξ, h ∈ Rn

, ϕ ∈ S(Rn)(ii) F (ϕ(x − h))(ξ) = e−jhξF ϕ(ξ), ξ, h ∈ Rn, ϕ ∈ S(Rn)

(iii) F (ϕ(tx))(ξ) = |t|−nF ϕ(ξt), t 6= 0,ξ ∈ Rn, ϕ ∈ S(Rn)

(iv) Nếu A ∈ GL(Rn) thì F (ϕ(Ax))(ξ) = det A1 F ϕ((A−1)tξ), trong

đó, GL(Rn) là không gian tất cả các ma trận khả nghịch cấp n

Định nghĩa 1.11 Cho f ∈ S0(Rn) Biến đổi Fourier của hàm suy rộng

f , kí hiệu F f là hàm suy rộng tăng chậm được xác định bởi

Chương 2

GIẢI TÍCH THỜI GIAN -TẦN SỐ

2.1 Cần phải có phân bố thời gian-tần số

2.1.1 Biểu diễn miền thời gian

Biểu diễn một tín hiệu như một hàm của cả thời gian và tần số làrất hữu ích và được minh họa bởi 3 tín hiệu thực tiễn quan trọng:

1 Tín hiệu FM hình sin: Một kênh âm thanh tivi mono xem nhưmột kênh FM radio mono được truyền qua một máy phát biến điệu tần

số Nếu tín hiệu audio mono là một giai điệu tinh khiết của tần số (tần

số biến điệu) thì tần số của máy phát có dạng

fi(t) = fc + fdcos [2πfmt + φ] (2.1)trong đó t là thời gian, fi(t) là biến điệu tần số, fε là tần số truyền tảichính (hoặc “trung tâm”), fd là độ lệch tần số tột đỉnh và tính đến φ làpha của tín hiệu biến điệu Biên độ của máy phát là hằng số

2 Tín hiệu FM tuyến tính: Xét một tín hiệu hình sin trong khoảngthời gian toàn phần T , với biên độ hằng số mà tần số tăng từ f0 tới f0+Btại một tỉ số hằng số α = BT Nếu gốc của thời gian được chọn sao cho

những tín hiệu bắt đầu tại t = 0, thì tần số luật biến điệu FM được viết

fi(t) = f0 + αt; 0 ≤ t ≤ T (2.2)

3 Cấu tạo âm nhạc: Một nốt nhạc bao gồm một số “thành phần”tần số khác nhau, trong số đó tần số thấp nhất được gọi là cơ bản vàphần còn lại được gọi phần bổ sung Chúng xuất hiện trong một khoảngthời gian cụ thể và có thể biến đổi biên độ trong khoảng này Trong kýhiệu âm nhạc hiện đại, mỗi nốt nhạc được kí hiệu bởi một “đầu” Vị tríthẳng đứng của đầu (cùng với khóa nhạc và dấu khóa) để chỉ độ cao củanốt nhạc đó, nghĩa là tần số của thành phần cơ bản của nốt Vị trí nằmngang của “đầu” cùng với các ký hiệu khác để chỉ thời gian bắt đầu vàquãng thời gian nốt nhạc đó được sử dụng

Mỗi một ví dụ trong ba ví dụ trên đều có sự biến thiên về thời gian

và biến thiên về tần số theo thời gian Những tín hiệu như thế thườngđược gọi là tín hiệu không dừng

Định nghĩa 2.1 Tín hiệu biểu diễn như một hàm của thời gian, đượcviết là s(t) Biểu diễn này dẫn trực tiếp tới năng lượng tức thời, đượcviết là |s(t)|2, chỉ năng lượng tín hiệu được phân bố theo thời gian nhưthế nào, năng lượng tín hiệu toàn phần là

trong đó A là biên độ và ψ là pha bù, phân số fd

fm được gọi là chỉ số biếnđiệu và độ lệch pha tối đa đến 2πfct Trong phương trình này chưa nói

rõ tần số biến thiên theo thời gian như thế nào

2 Tín hiệu FM tuyến tính mà tần số thỏa mãn phương trình (2.2)được viết

s2(t) = Arect

"

t − T2T

#

cos

2π

trong đó A là biên độ và ψ là pha bù Hàm rect là xung lượng chữ nhật

có chiều cao đơn vị và khoảng thời gian đơn vị, được tập trung tronggốc của thời gian, tức là

3 Cấu tạo âm nhạc được biểu diễn như đường cong áp suất khôngkhí tại 1 điểm cụ thể trong không gian Mỗi đường cong như thế là một

áp suất biến thiên theo thời gian và được thay đổi bởi một micrô và máykhuếch đại vào tín hiệu điện có dạng s3(t) Ba ví dụ này chỉ ra rằng sựbiểu diễn miền xác định thời gian dẫn đến thông tin mịt mù về tần số,

vì ta giả thiết rằng 2 biến t và f là loại trừ lẫn nhau

2.1.2 Biểu diễn miền tần số

Tín hiệu s(t) được biểu diễn trong miền xác định tần số bởi biếnđổi Fourier của nó, cho bởi

thời điểm mà tần số f có mặt Những biểu diễn như thế gọi là biểu diễnthời gian – tần số.

Biểu diễn thời gian – tần số của những tín hiệu không dừng cóhiệu quả không chỉ ở phát thanh, khảo sát địa chấn, âm thanh như ở ba

ví dụ đã mô tả bên trên, mà còn hiệu quả đối với nhiều lĩnh vực khoahọc công nghệ, chẳng hạn trong rada, truyền thông, xử lí tiếng nói, khảosát y học,

Xử lý tín hiệu thời gian – tần số là xử lý một tín hiệu nào đó nhờbiểu diễn thời gian – tần số

Trong giải tích thời gian – tần số, những tính chất sau đây thườngđược yêu cầu đối với biểu diễn thời gian – tần số:

- Biểu diễn thời gian – tần số là thực (bởi năng lượng là thực);

- Tích phân của biểu diễn thời gian trên toàn mặt phẳng thời gian– tần số là năng lượng toàn phần của tín hiệu;

- Tích phân trên một hình chữ nhật của mặt phẳng thời gian – tần

số, tương ứng với dải tần hữu hạn và khoảng thời gian hữu hạn xấp xỉvới năng lượng tín hiệu mà dải tần trải qua trong khoảng thời gian đó,miễn là dải tần và khoảng thời gian là đủ lớn

2.2 Công thức tín hiệu và những đặc trưng trong

mô hình phụ thuộc vào số và tham số tự nhiên cần để mô tả tín hiệu

Ví dụ, một đường hình sin đơn với tần số hằng số và biên độ được bìnhthường hóa và pha được mô tả bởi

trong đó chỉ có tham số là tần số fc Nếu biên độ và pha có nghĩa trongứng dụng thì hai tham số được sử dụng Một sự phối hợp tuyến tính củanhững tín hiệu như thế có thể được viết dưới dạng

bố thời gian - tần số và phân bố thời gian - tần số lý giải rõ ràng nhữngthành phần bội Sự khác nhau được nâng lên bởi những tín hiệu phứcnhư

trong đó ak(t) là biên độ biến thiên theo thời gian của thành phần thứ

k, fk(t) là tần số biến thiên thời gian của thành phần thứ k, và ω(t) làtiếng ồn thêm vào Những tín hiệu như thế khi phân tích không chỉ cầnphải phân biệt các thành phần biến thiên theo thời gian từ các thànhphần khác, mặc dù các biên độ và tần số biến thiên, mà còn phải táchchúng khỏi nhiễu Những thành phần như vậy vẫn được áp dụng nếubiên độ của thành phần thứ k là một bội số của nhân tử tiếng ồn mk(t),như trong tín hiệu

trong đó Z(f ) là biến đổi Fourier của z(t)

Nói cách khác, một tín hiệu giải tích chứa những tần số không âm, nó

có thể có một thành phần phổ tại tần số không (DC)

Định lý 2.1 Tín hiệu

trong đó s(t)và y(t)là thực, là giải tích với phần thực có một thành phầnphổ tần số không khi và chỉ khi

Và biết z(t)là giải tích và biết z(t) là giải tích z(t) được gọi là tín hiệugiải tích “tương ứng với” hoặc “liên kết với” tín hiệu thực s(t) Quy ướcgọi z(t)là tín hiệu tương thích với s(t)

Bằng cách lấy biến đổi Fourier ngược của phương trình (2.17) và

sử dụng phương trình (2.19), chúng ta đi đến định nghĩa súc tích củabiến đổi Hilbert:

Định nghĩa 2.3 Biến đổi Hilbert của tín hiệu s(t),ký hiệu H {s(t)}, là

H {s(t)} = Ft→f−1

(−jsgn) F

t→f

{s(t)}



(2.21)trong đó F { } ký hiệu của biến đổi Fourier

Nói cách khác, biến đổi Hilbert của s(t) được tính như sau:

1 Lấy biến đổi Fourier S(f ) của s(t);

2 S(f ) với −j nếu f dương, với j nếu f âm và bằng 0 nếu f = 0;

3 Lấy biến đổi Fourier nghịch đảo

Theo bước 2 của phương pháp trên, biến đổi Hilbert có một phatrễ 900 (khi −j = e−jπ2 ) sinh ra một tín hiệu vuông góc với tín hiệu đầuvào Các hiệu ứng tốt được minh họa bởi kết quả sau, mà kết quả nàyđược suy ra dễ dàng từ việc sử dụng Định nghĩa 2.5 và bảng tính biếnđổi Fourier:

mà tín hiệu tương thích với tín hiệu thực s(t) = a(t)cosφ(t) là

z(t) = a(t)cosφ(t) + jH {a(t)cosφ(t)}

= a(t)cosφ(t) + ja(t) sin φ(t)

= a(t)ejφ(t)

(2.25)

Điều kiện dưới mà phương trình (2.24) là biến thể của a(t) là đủ chậm

để đảm bảo “phổ rời nhau”, nghĩa là để tránh phủ lên nhau giữa phổ củaa(t) và phổ của cosφ(t) Phương trình (2.8) chỉ ra rằng hàm truyền củamột biến đổi Hilbert là −jsgnf xung đáp trả là

Ft→f−1 {−jsgnf } = 1

Do đó, dùng kết quả này và ứng dụng tích chất tích chập củaphương trình (2.21) ta thu được một định nghĩa của biến đổi Hilberttrong miền xác định thời gian

Trong thực tế tín hiệu được quan sát với khoảng thời gian hữu hạn

và được xử lý bởi dụng cụ với những dải tần số hữu hạn Nếu một tínhiệu s(t) có biến đổi Fourier là S(f ), khoảng thời gian của tín hiệu làmiền nhỏ nhất của thời gian phía ngoài mà S(f ) = 0 Các định nghĩanày, như chúng ta sẽ thấy, dẫn đến kết luận rằng một khoảng thời gian

hữu hạn bao hàm băng thông vô hạn và ngược lại Trong thực tế, tuynhiên, bất kì một tín hiệu có ích nào cũng phải có một khởi đầu và chấmdứt (thời gian hữu hạn) và biến đổi Fourier của nó phải trong phạm vitần số của các thiết bị đo hoặc xử lý (hữu hạn băng thông) Do đó, trongthực tế, các định nghĩa chặt chẽ cần phải được phát biểu thực tế hơntheo một cách nào đó.

Một tín hiệu thời gian được giới hạn trong khoảng thời gian T tâmtại thời gian t = 0, được biểu thị bởi

và do đó cho một dải thời gian vô hạn Như vậy, với định nghĩa thôngthường của thời gian và băng thông, một băng thông hữu hạn ngụ ý thờigian vô hạn.

2.2.3 Băng thông và thời gian hữu hiệu

Nếu không có băng thông hữu hạn có chứa tất cả năng lượng củatín hiệu, vẫn còn có những băng thông hữu hạn có chứa hầu hết nănglượng Do đó, ví dụ, một băng thông có 99% năng lượng tín hiệu có thểđược chấp nhận như là một biện pháp hữu ích của các băng thông tínhiệu Nếu phần đề cử của năng lượng tín hiệu đã được hạn chế giữa cáctần số fmin và fmax, băng thông sẽ B = fmax− fmin

Định nghĩa 2.4 Băng thông hữu hiệu Be của một tín hiệu s(t) đượcxác định bởi

Be2 là moment thứ 2 của |S(f )|2 theo tần số Ngắn gọn, ta gọi Be2 là

“moment thứ hai của tín hiệu theo tần số” Nếu f là một biến ngẫunhiên và |S(f )|2 là hàm mật độ xác suất của nó thì Es = 1, vì thế Be2

có phương sai của f nếu giá trị trung bình của f là 0

Định nghĩa 2.5 Khoảng thời gian hữu hiệu Te, xác định bởi

là moment thứ hai của |s(t)|2 theo thời gian, với gốc (t = 0) Ngắn gọn,

ta gọi Te2 như “moment thứ hai của tín hiệu theo thời gian”

Chúng ta xác định “hàm phạt thời gian” của s(t) như một tín hiệud

0, t > t2

(2.37)

trong đó t2 > t1, vì thế khoảng thời gian của ∧s (t) là t2 − t1

Tích BT là dải tần số và khoảng thời gian

Ví dụ 2.2 Với tín hiệu Gaussian

Nó chỉ ra rằng tín hiệu Gaussian là tín hiệu duy nhất mà đẳng thức này

có được, với mọi tín hiệu khác thì BeTe > 4π1

Định nghĩa 2.6 Một tín hiệu s(t) là tiệm cận khi và chỉ khi nó có tínhchất sau:

(a) Khoảng thời gian T được xác định bởi khoảng thời gian hữuhiệu là hữu hạn;

(b) Dải tần số B được xác định bởi dải tần số hữu hạn là hữu hạn;(c) Tích BT là rộng (nghĩa là lớn hơn 10);

2.2.4 Thành phần đơn và Tín hiệu đa thành phần

Một tín hiệu thành phần đơn là một tín hiệu giải tích tương thích

2.3 Tần số tức thời và thời gian trễ

trong đó φ(t) là pha tức thời của tín hiệu

Xét tín hiệu biến điệu theo biên độ

trong đó fc và ψ là hằng số Khi t tăng bởi số gia f1

c, argument của hàmcosin tăng tới 2π và tín hiệu qua 1chu kì Vì vậy chu kì của tín hiệu là f1

0

Mặc dù vế trái của phương trình này (tần số) được giả thiết là hằng số,

vế phải biến thiên nếu φ(t) là một hàm không tuyến tính Kết quả được

mở rộng với tần số biến thiên

Xét tín hiệu mà tín hiệu giải tích tương ứng là

trong đó a(t) và φ(t) là thực và a(t) là dương, khi đó a(t) được gọi làbiên độ tức thời và φ(t) được gọi là pha tức thời φ(t) được ước lượng