Nguyên lý không chắc chắn donoho stark đối với một số biểu diễn thời gian tần số (LV01874)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ LÝ NGUYÊN LÝ KHÔNG CHẮC CHẮN DONOHO-STARK ĐỐI VỚI MỘT SỐ BIỂU DIỄN THỜI GIAN - TẦN SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016... BỘ GIÁO DỤC V

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LÝ

NGUYÊN LÝ KHÔNG CHẮC CHẮN DONOHO-STARK ĐỐI VỚI MỘT SỐ BIỂU DIỄN THỜI GIAN - TẦN SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LÝ

NGUYÊN LÝ KHÔNG CHẮC CHẮN

DONOHO-STARK ĐỐI VỚI MỘT SỐ

BIỂU DIỄN THỜI GIAN - TẦN SỐ

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Bùi Kiên Cường

HÀ NỘI, 2016

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường,người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quýbáu trong học tập và nghiên cứu khoa học Thầy luôn động viên và khích

lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trongchuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, kính trọng sâu sắc nhấtđối với thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu Trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 Phòng Sau đại học, Khoa Toán và Tổ Giải tích cùngcác quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốtđẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, ngườithân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giảtrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 06 năm 2016

Tác giảNguyễn Thị Lý

i

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường.

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 06 năm 2016

Tác giảNguyễn Thị Lý

ii

Mở đầu 1

Lý do chọn đề tài 1

Mục đích nghiên cứu 2

Nhiệm vụ nghiên cứu 2

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

Phương pháp nghiên cứu 3

Cấu trúc luận văn 3

1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Một số không gian hàm 4

1.1.1 Không gian Lp, các bất đẳng thức trong không gian Lp, công thức tích chập 4

1.1.2 Không gian hàm cơ bản 6

1.1.3 Không gian hàm suy rộng D0(Ω) 6

1.1.4 Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn) 8

1.1.5 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn) 9 1.1.6 Các toán tử cơ bản 10

1.2 Biến đổi Fourier 11

1.2.1 Biến đổi Fourier của các hàm thuộc L1(Rn) và S(Rn) 11 1.2.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng 16

1.3 Biểu diễn thời gian - tần số 17

iii

1.3.1 Nguyên lý không chắc chắn 171.3.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn STFT 201.3.3 Ảnh phổ 271.3.4 Một số phân bố thời gian - tần số quan trọng 271.3.5 Lớp phân bố Cohen 311.4 Toán tử địa phương hóa thời gian - tần số 32

2 Nguyên lý không chắc chắn Donoho-Stark đối với một số

2.1 Nguyên lý không chắc chắn đối với các toán tử địa phương

hóa 342.2 So sánh với nguyên lý không chắc chắn của Donoho-Stark 432.3 Nguyên lý không chắc chắn Donoho-Stark và nguyên lý

không chắc chắn địa phương 45

C∞ : Không gian các hàm khả vi vô hạn.

C0∞(Ω) : Tập hợp các hàm khả vi vô hạn giá compact

C0(Rn) : Không gian các hàm liên tục có giá compact.D(Ω) : Không gian các hàm cơ bản

S(Rn) : Không gian các hàm giảm nhanh

v

S0(Rn) : Không gian các hàm tăng chậm.

Txf : Phép tịnh tiến theo x của hàm f ,

f , F (f ) : Biến đổi Fourier của hàm f

F−1(f ), ˇf : Biến đổi Fourier ngược của hàm f

F , ˆf : Liên hợp của biến đổi Fourier f

1/2

Vgf : Biến đổi Fourier thời gian ngắn của hàm f đối với hàm cửa sổ g,

|f (x)|pdx

1p

Tσ : Toán tử giả vi phân với biểu trưng σ,

Tσϕ(x) = (2π)−n/2

Z

Rn

eix.ξσ(x, ξ) ˆϕ(ξ)dξ, ϕ ∈ S(Rn)

Tσ∗ : Liên hợp hình thức của toán tử Tσ

W ig(f ) : Phân bố Wigner của hàm f

W ig(f, g) : Phân bố Wigner chéo của hàm f và g

Qσf : Lớp phân bố Cohen

SP ECgf, Spgf : Ảnh phổ của hàm f đối với hàm cửa sổ g

qφ,ψ(f, g) : Ảnh phổ tổng quát của hàm f, g đối với hàm cửa sổ φ, ψ

Tσ : Toán tử giả vi phân với biểu trưng σ

AF : Toán tử giả vi phân Kohn-Nirenberg với biểu trưng F

WF : Toán tử Weyl với biểu trưng F

LFφ,ψ : Toán tử địa phương hóa với biểu trưng F ,

LFφ,ψf (x) =

Z

Rn

F (z)(f, φz)L2ψz(x)dz, f ∈ S(Rn)

ϕa(x) : Là hàm Gauss với ϕa(x) = e−πx2a

Ta : Phép biến đổi tọa độ không đối xứng với



f ⊗ g : Tích ten sơ của hàm f và g,

(f ⊗ g)(x, t) = f (x)g(t)

B(L2(Rn)) : Là C∗ - đại số của tất cả những

toán tử bị chặn từ L2(Rn) vào L2(Rn)

k · k∗ : Chuẩn trong B(L2(Rn))

|Ω| : Độ đo Lebesgue của tập Ω ⊂ Rn

h·, ·i : Tích "vô hướng" của cặp đối ngẫu(·, ·) : Tích vô hướng của không gian Hilbert

1 Lý do chọn đề tài

Nguyên lý không chắc chắn là một bất đẳng thức diễn tả sự hạn chế

về việc "tập trung" đồng thời của hàm và biến đổi Fourier của nó Nói

rõ hơn, là sự hạn chế về sự tập trung một biểu diễn thời gian - tần sốđối với bất kỳ một tín hiệu nào Donoho và Stark đã đưa ra khái niệmε− tập trung xác định bởi:

Cho trước ε ≥ 0, một hàm f ∈ L2(Rn) được gọi là ε− tập trung trênmột tập đo được U ⊂ Rn nếu

Định lý 0.1 (Donoho-Stark) Giả sử rằng f ∈ L2(Rn), f 6= 0 là εT−tập trung trên T ⊂ Rn và ˆf là εΩ− tập trung trên Ω ⊂ Rn với T, Ω là

đo được trên trong Rn, và εT, εΩ ≥ 0, εT + εΩ < 1 Khi đó

|T ||Ω| ≥ (1 − εT − εΩ)2 (1)Trong bài báo [2], các tác giả đã mở rộng sự ảnh hưởng của nguyên lýkhông chắc chắn Donoho-Stark theo hai hướng Thứ nhất, cải tiến ướclượng các hằng số Donoho-Stark có trong vế phải của (1) Thứ hai, cácgiả thiết về ε− tập trung khi chuyển sang nghiên cứu về toán tử có thể

1

khai thác dưới dạng tác động của một toán tử tập trung Đây là nhữngkết quả nghiên cứu rất mới, lý thú, có ý nghĩa khoa học và thực tiễncao Bởi vậy, được sự giúp đỡ, hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường, tôilựa chọn đề tài: "Nguyên lý không chắc chắn Donoho-Stark đối với một

số biểu diễn thời gian - tần số" để bước đầu thực hành nghiên cứu khoahọc và làm luận văn tốt nghiệp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Làm một báo cáo tổng quan thể hiện đầy đủ mục đích nghiên cứu,nội dung và phương pháp nghiên cứu Báo cáo có thể là một tài liệutham khảo tốt cho những người quan tâm về lý thuyết biểu diễn thờigian - tần số, về mở rộng nguyên lý không chắc chắn Donoho-Stark

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Biểu diễn thời gian - tần số, nguyên lý khôngchắc chắn

+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoàinước liên quan đến các đối tượng nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm, phươngpháp nghiên cứu lý thuyết để tiếp cận vấn đề

+ Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là cácbài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm hai chương, cụ thể gồm các chương như sau:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Nguyên lý không chắc chắn Donoho-Stark đối với một sốbiểu diễn thời gian - tần số

Kiến thức chuẩn bị

1.1.1 Không gian Lp, các bất đẳng thức trong không gian Lp,

công thức tích chập

Định nghĩa 1.1 Cho không gian E và một độ đo µ trên một σ− đại

số F các tập con của E Họ tất cả các hàm f có lũy thừa bậc p (1 ≤ p

< ∞) của modun khả tích trên E, có nghĩa là:

ZE

|f |pdµ < ∞,được gọi là không gian Lp(E, µ)

Khi p = ∞, kí hiệu L∞(E, µ) là không gian các hàm bị chặn cốt yếutrên E, tức là f ∈ L∞(E, µ) ⇔ ∃M > 0 sao cho

|f (x)| ≤ M, với hầu khắp x ∈ E

Số kf kL∞ = esssup

x∈E

 |f (x)| là số dương nhỏ nhất trong các số Mthỏa mãn

|f (x)| ≤ M hầu khắp x ∈ E

được gọi là chuẩn của f trong L∞(E, µ)

4

Định lý 1.1 Với p ∈ [1, ∞], Lp(E, µ) là không gian Banach với chuẩn

kf kLp =

 ZE

|f (x)|pdx

1p.và

q và Lq(E, µ) ⊂ Lp(E, µ) ⊂ L1(E, µ)

Hệ quả 1.2 Không gian Lp(E, µ) tách được

Định lý 1.3 (Bất đẳng thức H¨older) Giả sử (E, F , µ) là một khônggian độ đo Nếu f, g là những hàm đo được xác định trên E và p, q làhai số thực sao cho 1 < p < ∞ và 1p + 1q = 1 thì:

ZE

|f g| dµ ≤

ZE

|f |pdµ

1p+

ZE

|g|pdµ

1p

Định lý 1.5 (Bất đẳng thức Young) Giả sử f ∈ L1(Rn) và g ∈ Lp(Rn)thì tích phân R

Rnf (x − y) g (y) dy là tồn tại hầu khắp nơi theo x ∈ Rn.Nếu giá trị của tích phân này được ký hiệu bởi (f ∗ g)(x) thì (f ∗ g) ∈

Lp(Rn) và

kf ∗ gkp ≤ kf k1.kgkp (1.3)Định nghĩa 1.2 Cho f ∈ L1(Rn) và g ∈ Lp(Rn) với 1 ≤ p ≤ ∞ Khi

đó ta gọi hàm số (f ∗ g) (x) = R

Rn f (x − y) g (y) dy là tích chập của haihàm f và g

1.1.2 Không gian hàm cơ bản

Với Ω là một tập con mở của Rn, chúng ta có:

Định nghĩa 1.3 Không gian các hàm cơ bản được kí hiệu là D(Ω), làkhông gian gồm tất cả các hàm ϕ ∈ C0∞(Ω) Các hàm thuộc D(Ω) đượcgọi là hàm thử (hay hàm cơ bản)

Định nghĩa 1.4 Dãy {ϕj}∞j=1 các hàm trong D(Ω) được gọi là hội tụđến hàm ϕ ∈ D(Ω) nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

1 Có một tập compact K ⊂ Ω mà suppϕj ⊂ K, j = 0, 1, 2,

2 lim

j→∞sup |Dαϕj(x) − Dαϕ(x)| = 0, với mọi α ∈ Nn

Khi đó ta viết là ϕj → ϕ khi j → ∞ trong D(Ω) Ở đây với mọi đa chỉ

Định lý 1.6 Không gian D(Ω) là đầy đủ

1.1.3 Không gian hàm suy rộng D0(Ω)

Định nghĩa 1.5 Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω) đượcgọi là một hàm suy rộng trong Ω Không gian tất cả các hàm suy rộngtrong Ω được kí hiệu là D0(Ω) Hàm suy rộng còn được gọi là phân bố.Hàm suy rộng f ∈ D0(Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là hf, ϕi.Nhận xét 1.1 Tính liên tục và tuyến tính của hàm suy rộng f ∈ D0(Ω)được hiểu như sau:

1 Tính tuyến tính: Với mọi ϕ, ψ ∈ D(Ω), với mọi λ, µ ∈ C ta có:

hf, λϕ + µψi = λhf, ϕi + µhf, ψi

2 f liên tục khi và chỉ khi với mỗi tập compact K ∈ Ω, tồn tại Cj > 0

Định nghĩa 1.6 (Đạo hàm của hàm suy rộng) Cho f ∈ D0(Ω),

α = (α1, α2, , αn) ∈ Nn Đạo hàm cấp α của hàm suy rộng f trong Ω

kí hiệu bởi Dαf , là ánh xạ từ D(Ω) vào C được xác định như sau:

Dαf : ϕ 7→ (−1)|α|hf, Dαϕi, ϕ ∈ D(Ω), |α| = α1 + α2 + + αn.Định lý 1.7 (Công thức Leibniz) Cho u ∈ D0(Ω), f ∈ C∞(Ω) và α ∈ Zn+thì:

Dα(f u) = X

β≤α

 αβ

α2β2

 αnβn

Kí hiệu: D0_ lim

k→∞fk = f Định lý 1.8 Không gian các hàm suy rộng D0(Ω) là đầy đủ

1.1.4 Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn)

Định nghĩa 1.8 Không gian các hàm giảm nhanh, kí hiệu S(Rn) làtập hợp được xác định bởi:

S(Rn) =ϕ ∈ C∞

(Rn) | xαDβϕ(x) ≤ cα,β, ∀x ∈ Rn, ∀α, β ∈ Zn+

cùng với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau:

Dãy {ϕk}∞k=1 trong S(Rn) được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S(Rn) nếu:

Chú ý 1.1 1 Hàm ϕ ∈ C∞(Rn) là giảm nhanh, nghĩa là với mọi α, β ∈

Zn+ tồn tại cα,β sao cho xαDβϕ(x) ≤ cα,β, với mọi x ∈ Rn khi và chỉ khimột trong hai điều kiện sau thỏa mãn:

a) Với mỗi m ∈ Z+, β ∈ Zn+ có:



1 + |x|2

m