Về một lớp biểu diễn toàn phương thời gian - tần số dựa trên phép biến đổi Fourier thời gian ngắn

Với tính chất thời sự, tính hiệu quả của lí thuyết biểu diễn thời gian-tần số trong thực tiễn và sự ham thích nghiên cứu của bản thân, tôi đã lựa chọn đề tài sau để thực hiện khóa luận t

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà Nội 2,dưới sự hướng dẫn của tiến sĩ Bùi Kiên Cường Tác giả xin bày tỏ lòng kínhtrọng, lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với thầy Thầy đã dành nhiều thời gianhướng dẫn, chỉ bảo cho tác giả những kiến thức và kinh nghiệm quí báu,luôn động viên để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khókhăn trong chuyên môn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường ĐHSP Hà Nội 2,Phòng Sau đại học, Khoa Toán, Tổ Giải tích, quý thầy cô, đã tạo mọi điềukiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thànhluận văn tốt nghiệp

Tác giả xin chân thành cảm ơn Bộ Xây dựng và Trường Cao đẳng nghềCơ giới Cơ khí Xây dựng số 1 đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả học tập vàhoàn thành tốt luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, động viên của gia đình, bạn

bè, các thành viên lớp cao học Toán Giải tích khóa 2006 - 2009 để tác giảhoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 9 năm 2009

Tác giả

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn trực tiếp của tiến sĩ Bùi Kiên Cường

Trong khi nghiên cứu Luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 9 năm 2009

Tác giả

k=0C0k(Ω), C0k(Ω)c¸c hµm trong Ck(Ω) cã gi¸ comp¾c.

C0(Rd) : Kh«ng gian Banach c¸c hµm liªn lôc triÖt tiªu t¹i v« cùc

Lp : Kh«ng gian c¸c hµm ®o ®­îc Lebesgue, cã chuÈn Lp h÷u h¹n

kf kLp, kf kp : ChuÈn trong kh«ng gian Lp

Dαf : §¹o hµm cÊp α cña f vµ Dαf (x) = Dα1

i

đổi Fourier là một song ánh, nên mỗi một biểu diễn trên đều chứa đựng đầy

đủ thông tin của dấu hiệu Tuy nhiên, trong mỗi biểu diễn, một số thông tinthu được dưới dạng hiện, những thông tin khác lại ở dạng ẩn và rất khó khăntrong nhận biết và xử lí Chẳng hạn, rõ ràng rằng dạng biểu diễn thời gian

f (x) của dấu hiệu, giá supp f chỉ ra rằng dấu hiệu được biểu diễn theo thờigian, tuy nhiên tần số của dấu hiệu đó không được phát hiện một cách hiểnnhiên mà chỉ được nhận biết thông qua dạng đồ thị của hàm f(x) Ngượclại, hàm bf (w) chứa đựng những thông tin hiện về tần số của dấu hiệu nhưngnhững thông tin về khi nào thì những tần số đó được biểu diễn trong dấu hiệulại bị ẩn

Một bài toán cơ bản trong giải tích thời gian- tần số là tìm kiếm một biểudiễn phù hợp mật độ năng lượng của một dấu hiệu đồng thời theo cả thời gian

và tần số Dĩ nhiên câu hỏi này tương đương với việc xác định một phân bốmật độ 2d-chiều phụ thuộc vào biến thời gian x ∈ Rd và biến tần số w ∈ Rd

Đã có rất nhiều cách biểu diễn thời gian-tần số với mục đích càng gần vớithực tế càng tốt, trong đó, các biểu diễn ảnh phổ (Sepectrogram), Rihaczek

và Wigner là thông dụng và hiệu quả hơn cả Gần đây, nhóm nghiên cứu vềgiải tích thời gian-tần số của các giáo sư P Boggiatto, G De Donno and A.Oliaro đại học Torino đã có nhiều nghiên cứu về việc cải tiến mở rộng cácphương pháp biểu diễn thời gian-tần số kiểu Wigner phụ thuộc tham biến

τ ∈ [0, 1], gọi là biểu diễn τ-Wigner, kí hiệu là W igτ(f, g) của các hàm

f, g ∈ S0(Rd) và dạng biểu diễn đặc biệt R[0,1]W igτ(f, g)(x, w)dτ Với dạngbiểu diễn này, các tác giả đã thu được một công cụ toán học rất hiệu quả việckhử "bóng ma" trong công nghệ xử lí ảnh

Với tính chất thời sự, tính hiệu quả của lí thuyết biểu diễn thời gian-tần

số trong thực tiễn và sự ham thích nghiên cứu của bản thân, tôi đã lựa chọn

đề tài sau để thực hiện khóa luận tốt nghiệp:

"Về một lớp biểu diễn toàn phương thời gian- tần số dựa trên phép biến

đổi Fourier thời gian ngắn"

2 Mục đích nghiên cứu

Trình bày tổng quan về các dạng biểu diễn thời gian - tần số bên trên và

đi sâu vào nghiên cứu một lớp biểu diễn toàn phương thời gian- tần số dựatrên phếp biến đổi Fourier thời gain ngắn - một sự tổng quát của những dạngbiểu diễn vừa đề cập

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ của luân văn cần nghiên cứu là:

• Nghiên cứu về các dạng biểu diễn thời gian - tần số, tập trung nghiêncứu các dạng biểu diễn thời gian - tần số dựa trên biến đổi Fourier thờigian ngắn

• Nghiên cứu các biểu diễn toàn phương thời gian - tần số

• Nghiên cứu biểu diễn toàn phương thời gian - tần số Qφ,ψ

• Nghiên cứu tính chất lề của biểu diễn Qφ,ψ.

• Nghiên cứu nguyên lí không chắc chắn với biểu diễn Qφ,ψ, liên hệ và sosánh với nguyên lí không chắc chắn đối với biến đổi Fourier thời gianngắn

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

"Về một lớp biểu diễn toàn phương thời gian- tần số dựa trên phép biến

đổi Fourier thời gian ngắn"

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết,

áp dụng phương pháp phân tích tổng hợp để:

+) Nghiên cứu về giải tích thời gian-tần số

+) Nghiên cứu về các biểu diễn thời gian-tần số, tập trung vào biến đổiFourier thời gian ngắn

+) Nghiên cứu về các dạng biểu diễn toàn phương thời gian - tần số dựa trênbiến đổi Fourier thời gian ngắn,

+) Nghiên cứu về biểu diễn Qφ,ψ, tính chất lề và nguyên lí không chắc chắn

đối với biểu diễn Qφ,ψ

6 Những đóng góp mới của đề tài

• Trình bày tổng quan về các dạng biểu diễn thời gian-tần số

• Trình bày một lớp biểu diễn toàn phương thời gian-tần số dựa trên phépbiến đổi Fourier thời gian ngắn

• Nghiên cứu tính chất lề và nguyên lí không chắc chắn đối với biểu diễn

Qφ,ψ

• Tìm kiếm những ví dụ hay phản ví dụ minh họa, chứng minh chi tiết

một số định lý trong các tài liệu tham khảo (mà ở đó không trình bàychứng minh hoặc chứng minh vắn tắt).

• Liên hệ giữa nguyên lí không chắc chắn đối với các dạng toàn phươngvới STFT

Mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ chuÈn bÞ

0 (Ω) ®­îc gäi lµ héi tô

j→∞ϕj

§Þnh nghÜa 1.2 Kh«ng gian D(Rd) lµ kh«ng gian c¸c hµm ϕ ∈ C∞

0 (Rd)víi kh¸i niÖm héi tô nh­ sau: d·y {ϕj}∞j=1 ⊂ C0∞(Rd) ®­îc gäi lµ héi tô tíi

1.1.2 Kh«ng gian c¸c hµm gi¶m nhanh

§Þnh nghÜa 1.3 (Kh«ng gian c¸c hµm gi¶m nhanh) Kh«ng gian c¸c hµmgi¶m nhanh S(Rd) tËp hîp

cïng víi kh¸i niÖm héi tô nh­ sau: D·y {ϕk}k=1 ⊂ S Rd ®­îc gäi lµ héi

1 Hµm ϕ ∈ C∞

(Rd) lµ hµm gi¶m nhanh khi vµ chØ khi(a) Víi mçi m ∈ Z+, β ∈ Zd+ cã

(1 + |x|2)m Dβϕ(x) ≤ Cm,β, ∀x ∈ Rd,hay

ϕ ∈ D (Ω) được viết là hf, ϕi Hai hàm suy rộng f, g được gọi là bằng nhaunếu

(Rd)

Định nghĩa 1.6 Không gian hàm suy rộng D0

(Rd)là tập hợp các phiếm hàmtuyến tính liên tục trên D(Rd) Hàm suy rộng f ∈ D0

(Rd) tác động lên mỗi

ϕ ∈ D(Rd) được viết hf, ϕi

Sự hội tụ của dãy {fk}∞k=1 tới f trong D0

(Rd)khi k tiến ra vô cùng được hiểulà

(Rd)

Định nghĩa 1.8 Cho fk, f ∈ S0

(Rd), k = 1, 2, Dãy {fk}∞k=1 được gọi làhội tụ trong S0

ii Dãy {fk}k=1 hội tụ trong D0

1.2.1 Hàm tuần hoàn và chuỗi Fourier

Định nghĩa 1.9 Cho một hàm f xác định trên Rd Khi đó ta nói hàm f là

Zd - tuần hoàn, nếu f(x) = f(x + k) với mọi k ∈ Zd

Một hàm Zd - tuần hoàn được xác định duy nhất bởi sự hạn chế của nótới hình lập phương [0; 1]d, vì vậy có thể đồng nhất với một hàm trong [0; 1]d

Nó cũng có thể được coi là một hàm trên trường số thương Rd môđun Zd.Hình xuyến d− chiều Td

:= Rd/Zd.Xét hàm số mũ e2πin.x

f (n)b

2

f (n)b

2

Biểu diễn toàn phương thời gian - tần số được nghiên cứu với một số lí

do Trong giải tích dấu hiệu, chúng dùng làm mật độ năng lượng trong mặtphẳng thời gian - tần số Mục đích là để xác định có bao nhiêu năng lượngdấu hiệu trong suốt thời gian [x, x + ∆x] được tập trung trong dải tần số[w, w + ∆w] Vì |f (x)|2

∆x biểu diễn năng lượng của f trong khoảng thờigian [x, x + ∆x] và

f (w)b

2

∆w là năng lượng được chứa trong dải tần số[w, w + ∆w], một mật độ năng lượng trong mặt phẳng thời gian - tần số cầnphải phụ thuộc vào dạng toàn phương trên f

Trong vật lí, f được coi như một trạng thái cơ học lượng tử, người ta tìmcách để xác định xác suất chung mà hạt được đặt trong [x, x + ∆x] và cóxung lượng trong [w, w + ∆w] Vì |f (x)|2

∆x là xác suất để tìm thấy hạt

trong vị trí [x, x + ∆x] và

f (w)b

2

∆w là xác suất mà xung lượng của nó cótrong [w, w + ∆w] Mật độ xác suất chung trên không gian pha sẽ là dạngtoàn phương theo f Trong vật lí Newton, một mật độ xác suất chung có một

ý nghĩa hoàn hảo; tuy nhiên, trong cơ học lượng tử, nó không tương thíchvới nguyên lí không chắc chắn

Trong toán học chúng ta tìm kiếm dạng nửa song tuyến tính phức ear) G (f, g) (x, w), nghĩa là G tuyến tính đối với f và tuyến tính liên hợp

(Sesquilin-đối với g Khi đó, có hai con đường để làm cho G toàn phương theo f Đó

Đã có rất nhiều biểu diễn thời gian tần số với mục đích càng gần thực tếcàng tốt, trong đó có biểu diễn ảnh phổ (Sepectrogram), Rihaczek, Rihaczekliên hợp và Wigner là thông dụng và hiểu quả hơn cả Sau đây ta nghiên cứumột vài biểu diễn toàn phương thời gian - tần số và các tính chất của nó

2.1 Một vài biểu diễn toàn phương thời gian tần số

2.1.1 ảnh phổ

Định nghĩa 2.1 Cho φ ∈ L2

Rd
là một hàm cửa sổ sao cho kφk2 = 1 Khi

đó ảnh phổ của f đối với φ được định nghĩa bởi

Spφf (x, w) = |Vφf (x, w)|2 (2.1)

ảnh phổ là hàm không âm, hiệp biến và bảo toàn năng lượng Nghĩa là

• Spφf (x, w) ≥ 0 với mọi x, w ∈ Rd

ảnh phổ thừa hưởng tất cả cá tính chất của biến đổi Fourier thời gian ngắn( STFT).

f



t − x2

2

Biểu diễn toàn phương thời gian - tần số nghiên cứu với số lí

do Trong giải tích dấu hiệu, chúng dùng làm mật độ lượng mặtphẳng thời gian - tần số Mục đích để xác định... tốn giải tích thời gian - tần số tìm kiếm biểudiễn phù hợp với mật độ lượng dấu hiệu đồng thời theo thờigian tần số Câu hỏi tương đương với việc xác định phân bố mật

độ 2d-chiều Qf (x,