Biển đổi Weyl và một số ứng dụng trong giải tích thời gian - tần số (LV00169)

Trong lý thuyết phương trình viphân, toán tửWeyl được nghiên cứu như là một trường hợp đặc biệt của các toán tử giả vi phân và kết quả của sự nghiêncứuđólà đãtạo ramột côngcụtoán họchiệu

Tôi xinchânthànhcảmơncácthầygiáo, côgiáogiảngdạychuyênngành

Toán Giải tích trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt

quá trình học tập và thực hiện đề tài Đặc biệt, tôi xin cảm ơn TS Bùi Kiên

Cường đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu lựa chọn

đề tài và hoàn chỉnh đề tài Xin cảm ơn các bạn học viên lớp K11 Toán giải

tích đã giúp đỡ và có những đóng góp quí báu cho bản luận văn này

Hà Nội, tháng 10 năm 2009

Tác giả

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi được

thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường

Trong khi nghiên cứu Luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của

các nhà khoa học vàđồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 9 năm 2008

Tác giả

Mở đầu v

1.1 Một số kí hiệu và không gian hàm 1

1.2 Một số khái niệm vàkết quả chuẩn bị 5

1.3 Biến đổiFourier - Wigner và biến đổi Wigner 10

1.4 Biến đổiWeyl 16

1.5 Toán tử Hilbert - Schmidt 20

1.6 Tích tenxơ trong L 2 (R n ) 22

1.7 Nhóm Heisenberg 28

1.8 Tích chập xoắn 30

1.9 Định lí Riez - Thorin 31

2 Biến đổi Weyl trong một số khônggian hàm 32 2.1 Biến đổiWeyl với biểu trưngthuộc L r (R 2n ), 1 ≤ r ≤ 2 32

2.2 Biến đổiWeyl với biểu trưngthuộc S 0 (R 2n ) 37

2.3 Biến đổiWeyl với biểu trưngthuộc L r (R 2n ), 2 < r ≤ ∞ 402.4 Biến đổiWeyl compact 49

2.5 Toán tử địa phương hóa 54

2.6 Toán tử địa phương hóa compact 58

3 Một số ứng dụng của biến đổiWeyl trong giải tíchthời gian - tần

3.1 Sự tương đương về tính bị chặn giữa biến đổi Weyl, biến đổi

Wigner và biến đổi Fourier thời gian ngắn 68

3.2 Sựtươngđươngvềtínhbịchặngiữacáctoántửτ Weylvàbiến

đổi τ Wigner 77

1 Lý dochọn đềtài

Lý thuyết về toán tử Weyl là một lĩnh vực lớn đóng vai trò đặc biệt quan

trọng trong cả hai lĩnh vực toán hóa và toán lý Lý thuyết đó bắt nguồn từ

lĩnh vực vật lýlượng tử chẳng hạnnhư chínhquy luật lượng tử luôn gắn liền

với toán tử W a cùng với một lớp hàm quan trọng a(x, ξ) trên không gian

R n

x ì R n

ξ

Trong lý thuyết phương trình viphân, toán tửWeyl được nghiên cứu như

là một trường hợp đặc biệt của các toán tử giả vi phân và kết quả của sự

nghiêncứuđólà đãtạo ramột côngcụtoán họchiệuquả đượcứngdụng vào

một số lĩnh vực quan trọng chẳng hạn như lý thuyết eliptic, lý thuyết tiệm

cận, lý thuyết quang phổ, lý thuyết môđun

Toán tử Weyl đã được một số nhà toán học nghiên cứu và đưa ra nhiều

đónggóp mới vàmangtính chấtkinh điểnđốivới toánhọc nóichungvàđối

vớivật lý vàhóa học nói riêng.Chẳng hạn,nhà toán học Wigner khinghiên

cứu về biến đổi mang tên ông trong mối liên hệ chặt chẽ với toán tử Weyl

đã đưa tới một kết quả quan trọng trong lĩnh vực vật lý đó là khả năng liên

kết chặt chẽ giữa vị trí và động lượng trong cơ học lượng tử

Sựtácđông sâusắcgiữabiếnđổiWignervàtoántửWeylthểhiệnởnhiều

phương diệnsongnổibật hơn cảlà sự liênhệ vềtính bịchặn Những kết quả

bịchặncủatoán tửWeyldẫntớinhữngkết quả bịchặncủabiếnđổiWigner

chặn của biến đổi Wigner trên không gian L p (R n ) Các kết quả của ông đã

được chứng minh một cách đơn giản bằng chính ý nghĩa của lý thuyết nội

suy (tuy nhiên không có sự ước lượng bất biến)

Nhà toán học Simon đã chỉ ra rằng với 1 ≤ q ≤ 2, với a ∈ L q (R 2n ) thì

W a là bị chặn trên L q (R 2n ) và thậm chí là compact trên L 2 (R n ), trái lại với

2 < p ≤ ∞ thì toán tử W a

không bị chặn

Hiệntại chúngta mởrộngnhữngkết quả đốivới toántửWeyltrên không

gian L p (R n ), trong đó kết quả nổi bật đó là: những toán tử Weyl W a với

a ∈ L q (R 2n ) là bị chặn trên L p (R n ) nếu và chỉ nếu cặp(p, q) thỏa mãn điềukiện q ≤ min{p, p 0 }, trong đó

1

p + p 1 0 = 1.

Từ tính trù mật của S(R 2n ) trong L q (R 2n ), (q < ∞) vàcũng do các toán

tử Weyl với lớp các hàm trơn thì chúng là toán tử compact trên không gian

L q (R n ) cho phép ta chuyển những kết quả về tính bị chặn sang những kếtquả về tính compact

Những biểu trưngcủatoán tửWeyltrên mỗi khônggian hàmcụ thể cũng

như ứng dụng của toán tử này là một vấn đề hoàn toàn mới và đầy hấp dẫn

đối với bất kì ai có niềm đam mê toán học và ham thích nghiên cứu.Chính

vì vậy, tôi đã lựa chọn đề tài sau để thực hiện luận văn tốt nghiệp:

"Biến đổiWeyl và một số ứng dụng trong giải tích

thời gian- tầnsố"

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về phép biến đổiWeyl trong một số không gian hàm cụ thể

và các tính chất của biến đổi Weyl và tìm ứng dụng của biến đổi này trong

lý thuyết giả vi phân vàgiải tích thời gian - tần số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đưa ra và chứng minh được những kết quả điển hình của toán tử Weyl

trong cáckhông gianS 0 (R 2n ), L r (R 2n ), với 1 ≤ r ≤ ∞, chỉ ra đượcmột vàiứng dụng của toán tử này trong lý thuyết giả vi phân và trong giải tích thời

gian - tần số

4 Đối tượngvà phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các biểu trưngcủa toán tử Weyltrên một số không gian hàm

cụ thể: S 0 (R 2n ), L r (R 2n ) với1 ≤ r ≤ ∞.

5 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm, tổng hợp các tài liệu hình thành bài viết tổng quan và tìm tòi,

khám phá những chi tiết mới trong vấn đề nghiên cứu

6 Dự kiến đónggóp mới

Trình bày tổng quancác biểu trưngcủatoán tửWeyl vàmột số ứng dụng

trong giải tích thời gian - tần số đồng thời tìm kiếm những ví dụ hoặc phản

ví dụ minh họa, chứng minh chi tiết một số định lý trong các tài liệu tham

khảo (mà ở đókhông trình bày chứng minh hoặc chứng minh vắn tắt)

Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị

Trongchươngnày, tôitrìnhbày một sốkíhiệu, các khônggianhàm dùng

trong luận văn đồng thời trình bày các công cụ toán học phục vụ cho việc

nghiêncứuvàphát triển lýthuyếtcủabiến đổiWeyltrongchươngsauđólà:

biến đổiFourier, biến đổiFourier - Wigner, biến đổiWigner, toán tử Hilbert

-Schmidt trên L 2 (R n ),tích tenxơtrong L 2 (R n ), nhómHeisenberg, tích chậpxoắn, định lý Riez - Thorin

là kí hiệu sẽ được dùng thường xuyên trong luận văn này Ta viết ∂ α

D α (f g) = X

β ≤α

α β

 (D β f )(D α −β g)

với mọi đa chỉ số α và công thức Leibnitz tổng quát hơn là

Sau đây, ta giới thiệu một số khônggian hàm đượcđề cậptrong luận văn

Giả sử Ω là một tập mở trong R n , k ∈ Z + Khi đó, ta có kí hiệu các tậpnhư sau:

C k (Ω) = {u : Ω −→ C, ulà hàm khả vi liên tục đến cấp k},

C(Ω) = {u : Ω −→ C liên tục}

C 0 k (Ω) = {u : Ω −→ C | u ∈ C k (Ω),suppulà tập compact},

trong đó suppu = {x ∈ Ω | u(x) 6= 0}.

Với mỗi số thực 1 ≤ p < ∞, kí hiệu

L p (Ω) = {u : Ω đđ

−−−−→

Lebesgue

C | Z

trong đó esssup

x ∈Ω | u(x) |= inf{M > 0 | à{x ∈ Ω | | u(x) |> M} = 0}, à

Hàm suy rộng f ∈ D 0 (Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là

< f, ϕ > Hai hàm suy rộng f, g ∈ D 0 (Ω)được gọi là bằng nhau nếu

< f, ϕ > = < f, ϕ >, ∀ϕ ∈ D(Ω).

Kh«nggian c¸chµmsuyréngt¨ng chËmS 0 (R n ) lµ tËptÊt c¶c¸chµm suyréng t¨ng chËm.

1.2 Mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ chuÈn bÞ

Chú ý 1.1 Hàm f ∗ g trong Định lí 1.2 thường được gọi là tích chập của f

Mệnh đề 1.4 Cho f và g thuộc L 1 (R n ) Khi đó

với mọi y ∈ R n và với mọi a ∈ R \ {0}.

T y, M y và D a trong Mệnh đề 1.6 tương ứng là toán tử tịnh tiến, toán tửbiến điệu và toán tử giãn trên R n

Chú ý 1.3 Theo Định lí Plancherel, ta có thể định nghĩa biến đổi Fourier

của hàm f ∈ L 2 (R n ), cũng được kí hiệu là f ˆhoặc Ff Biến đổi Fourierngược của hàm f ∈ L 2 (R n ) được kí hiệu là

σ ∈ [

m ∈R

S m

bất kì là một biểu trưng

Định nghĩa 1.7 Lấy σ là một biểu trưng Khi đó toán tử giả vi phân T σ

tương ứng với biểu trưng σ được cho bởi

Định lí trên còn được gọi là nguyênlý môđun cực đại

Định lý 1.7 Nếu họ (A t ) t ∈T các toán tử tuyến tính liên tục ánh xạ khônggianBanach Xvào không gian định chuẩnY bị chặntừng điểm thìhọ đóbịchặn đều

Định lý 1.8 Giả sử các hàm {f k } ∞ k=1 khả tích và f k → f hầu khắp nơi vàgiả sử | f k |≤ g hầu khắp nơi, trong đó g là hàm khả tích Khi đó

A ìB

f (x, y)d(x, y),

hai tích phân đầu là các tích phân lặp ứng với hai độ đo tương ứng và tích

phân thứ balà tích phân tương ứng với độđo tích của hai độđo này

Nếu A và B đều là R n thì d(x, y) := dxdy

1.3 Biến đổi Fourier - Wigner và biến đổi Wigner

Công cụ cơ bản mà ta sử dụng trong việc nghiên cứu biến đổi Weyl là

biến đổi Wigner mà biến đổi Wigner được định nghĩa dựa trên kết quả của

việc tính toán biến đổi Fourier của biến đổi Fourier - Wigner Do đó, biến

đổi có liên quan trước tiên là biến đổi Fourier - Wigner

Cho q và p ∈ R n và lấy f là một hàm đo được trên R n Khi đó ta địnhnghĩa hàm ρ(q, p)f trên R n cho bởi

(ρ(q, p)f )(x) = e iq ãx+ 1 2 iq ãp f (x + p), x ∈ R n (1.1)

Mệnh đề 1.11 ρ(q, p) : L 2 (R n ) −→ L 2 (R n ) là một toán tử unita với mọi q

và p ∈ R n

Chú ý 1.5 Theo Mệnh đề 1.11, ta có (ρ(q, p)) −1 = ρ(−q, −p), với mọi

Mệnh đề 1.13 Biến đổi Fourier - Wigner V : S(R n ) ì S(R n ) −→ S(R 2n )

là ánh xạ song tuyến tính phức, nghĩa là với mọi α và β ∈ C và với mọi f,

Chứng minh Với mọi ε > 0, ta định nghĩa hàm I ε trên R 2n cho bởi

Lấy N là một số nguyên dương Khi đó, từ (1.6), (1.8) và (1.10) suy ratồn tại một hằng số dương C N saocho

Địnhnghĩa1.9 Chof vàg ∈ S(R n ) Khi đó, biếnđổi Wignercủa hai hàm

với mọi F 1 , F 2 ∈ S(R 2n ) Bây giờ lấy f 1, g 1, f 2 và g 2 ∈ S(R 2n ) Đặt F 1 và

Hệ quả 1.1 Đẳng thức Moyal cũng đúng với biến đổi Fourier - Wigner

Hệ quả 1.2 Biến đổi Wigner W : S(R n ) ì S(R n ) −→ S(R 2n ) có thể mởrộng được một cáchduy nhất thành toán tử song tuyếntính phức

Mệnh đề 1.14 (i) Cho t ∈ R\{0} và cho f là một hàm đo được bất kì trên

1.4 Biến đổi Weyl

Trongphầnnày,ta giới thiệubiếnđổiWeylvàlígiảimối liênhệ đẹpgiữa

biến đổi này với biến đổiWigner

Định nghĩa1.10 Lấy σ ∈ S m , m ∈ R Ta gọi toán tử tuyến tính

là biến đổi Weyl liên kết với biểu trưng σ

Đôi khi hàm W σ ϕ còn được cho bởi

Bổđề 1.1 Lấy θ làmột hàm bấtkì thuộcC 0 ∞ (R n ) sao choθ(0) = 1 Khiđógiới hạn

Chứng minh Lấy θ ∈ C 0 ∞ (R n ) bất kì sao cho θ(0) = 1 Khi đó, từ (1.15),

Bổ đề 1.1, Định lí Lebesgue về sự hội tụ trội và Định lí Fubini ta có

Đặt u = x + p 2, v = x − p 2 trong biểu thức cuối cùng của (1.24) Khi đó,

từ Bổđề 1.1, Định lí Fubini vàĐịnh lí Lebesguevề sự hộitụ trội, (1.24) trởthành

Chứng minh Lấy σ ∈ S(R 2n ) Khi đó, với mọi f ∈ S(R n ), ta định nghĩa

|| (Qσ)f || L 2 (R n ) ≤ (2π) − n 2 || σ || L 2 (R 2n ) || f || L 2 (R n ) (1.30)

với mọi f ∈ S(R 2n ) Do đó, từ (1.30) suy ra

|| Qσ || ∗ ≤ (2π) − n 2 || σ || L 2 (R 2n ) , σ ∈ S(R n ). (1.31)

Tiếp theo, lấy σ ∈ L 2 (R 2n ) Lấy {σ k } ∞ k=1 là một dãy hàm trong S(R 2n )

sao cho σ k → σ trong L 2 (R 2n ) khi k → ∞ Khi đó, theo (1.31) ta có

|| Qσ k − Qσ l || ∗ =|| Q(σ k − σ l ) || ∗ ≤|| σ k − σ l || L 2 (R 2n ) → 0,

khi k, l → ∞

Do đó, {Qσ k } ∞ k=1 là dãy Cauchy trong B(L 2 (R n )) Takí hiệu Qσ là giớihạn trong B(L 2 (R n )) của dãy {Qσ k } ∞ k=1 Qσ không phụ thuộc vào cáchchọn dãy{σ k } ∞ k=1 Thậtvậy, lấy {τ k } ∞ k=1 là một dãy hàm kháctrong S(R 2n )

sao cho τ k → σ ∈ L 2 (R 2n ) khi k → ∞ Khi đó, lại từ (1.31) ta có

|| Qσ k − Qτ k || ∗ =|| Q(σ k − τ k ) || ∗ ≤ (2π) − n 2 || σ k − τ k || L 2 (R 2n ) → 0

khi k → ∞ Vì vậy, giới hạn trong B(L 2 (R n )) của {Qσ k } ∞ k=1 và {Qτ k } ∞ k=1

là bằng nhau Tiếp theo, lấy σ ∈ L 2 (R 2n ) và lấy {σ k } ∞

k=1 là một dãy hàmtrong S(R 2n ) sao cho σ k → σ trong L 2 (R 2n ) khi k → ∞ Khi đó, từ (1.31)

1.5 Toán tử Hilbert - Schmidt

Định nghĩa 1.11 Lấy h ∈ L 2 (R 2n ) Khi đó, ta ta gọi toán tử tích phân

Để kiểm tra S h f ∈ L 2 (R n ), ta chú ý rằng, từ (1.32) và bất đẳng thứcMinkowski suy ra

R n h(x, y)f (y)dy | 2

 1 2

Mệnhđề 1.20nếuF 1 f, F 2 f vàF đượcthay thếbởiF 1 −1,F 2 −1 vàF −1

Mệnh đề 1.21 Toán tử xoắn T : L 2 (R 2n ) −→ L 2 (R 2n ) là toán tử unita và

(T −1 f )(x, y) = f ( x + y

2 , x − y), x, y ∈ R n , (1.40)với mọi f ∈ L 2 (R 2n )

Tiếptheo, ta định nghĩatoán tửtuyến tính K : L 2 (R 2n ) −→ L 2 (R 2n ) chobởi

(Kf )(x, y) = (T −1 F 2 f )(y, x), x, y ∈ R n , (1.41)với mọi f ∈ L 2 (R 2n )

Mệnhđề 1.22 Toán tử tuyếntính K trên L 2 (R 2n ) được xácđịnh bởi(1.41)

Chứng minh (i)DoT làunitatừL 2 (R 2n )vàoL 2 (R 2n )nênT −1 cũnglà unita

từ L 2 (R 2n ) vào L 2 (R 2n )và do F 2 cũng là unita từ L 2 (R 2n ) vào L 2 (R 2n ) nên

Do đó K = T −1 F 2 −1.

(iii) Theo Mệnh đề 1.18, để chứng minh phần (iii) ta chỉ cần chứng minh

công thức đúng với các hàm có dạng f ⊗ g, f, g ∈ L 2 (R n ) Thật vậy, vớimọi x ∈ R n, từ (1.41) và các Mệnh đề 1.20 và 1.21, ta nhận được

Vì vậy, từ Hệ quả 1.2 và (1.47) suy ra

Định lý 1.15 Cho σ ∈ L 2 (R 2n ) Khi đó, W σ : L 2 (R n ) −→ L 2 (R n ) là toán

tử Hilbert - Schmidt với hạtnhân (2π) − n 2 Kσ

Chứng minh Lấy f và g ∈ L 2 (R n ) Khi đó, từ (1.25), chú ý 1.6, phần (i),(iii) và (iv) của Mệnh đề 1.22, ta nhận được

là toán tử Hilbert - Schmidt với hạt

nhân (2π) − n 2 Kσ Giả sử A là một toán tử Hilbert - Schmidt Khi đó A có

Ta đồng nhất điểm (q, p) ∈ R 2n vớiđiểm z = q + ip ∈ C n

Mệnh đề 1.24 C n ì R là một nhóm với phép nhân được định nghĩa bởi

(1.55), trongđóphần tửđơn vị là(0, 0) và (-z,-t) là phầntử nghịchđảo của(z, t), với mọi (z, t) ∈ C n ì R

Địnhnghĩa1.15 TagọinhómnhómC n ì Rvớiphép nhânđượcđịnh nghĩabởi (1.55), kí hiệu là H n, là nhóm Heisenberg

Với mỗi số thực λ, ta định nghĩa ánh xạ R λ

từ H n

vào nhóm G gồm tấtcả các toán tử unita trên L 2 (R n ) được cho bởi

trên L 2 (R n ) là bất khả quy theo nghĩa những không gian con đóng của

L 2 (R n ) mà bất biến dưới mọi toán tử R λ (z, t), (z, t) ∈ H n, chỉ là {0} và

L 2 (R n )

Định nghĩa 1.16 Hai phép biểu diễn unita bất khả quy R 1 và R 2 của H n

trên L 2 (R n ) được cho là tương đương unita nếu tồn tại một toán tử unita U

Mục đích của phần này là đưa ra biểu trưng của tích hai biến đổi Weyl

với các biểu trưng thuộc L 2 (R 2n ) theo quan điểm của tích chập xoắn

Định nghĩa 1.17 Lấy λ là một số thực cố định Khi đó tích chập xoắn củahai hàm đo được f vàg trên C n, kí hiệu là f ∗ λ g, được cho bởi

Trong phần sau, ta sẽ định nghĩa biến đổi Weyl W σ

tương ứng với hàm

suy rộngtăng chậmσ trên R 2n vàliệu có thể khẳng định đượcrằng biến đổiWeylW σ, vớiσ ∈ L 2 (R 2n ), 1 ≤ r ≤ ∞là toántử tuyếntính bị chặn, thậmchí là compact từ L 2 (R 2n ) vào L 2 (R 2n ) hay không? Ta cần có một định línội suy của hai nhà toán học Riez và Thorin để làm sáng tỏ nhận định trên

và cũng là để nghiên cứu các toán tử địa phương hóa trong phần sau Sau

đây là nội dung định lí Riez - Thorin

Định lý 1.17 Cho (X, à) là một không gian độ đo và (Y, ν) là một khônggian σ độ đo hữu hạn Cho T là một phép biến đổi tuyến tính với miền xác

định D gồm tất cả các hàm à đơn giảnf trên X sao cho

à{s ∈ X : f(s) 6= 0} < ∞

và saocho miềngiátrị của T đượcchứatrongtập tấtcả cáchàm ν đođượctrênY Giảsử rằngα 1, α 2, β 1 và β 2 là cácsố thựcthuộc [0, 1]và tồntạicáchằng số dương M 1 và M 2 sao cho

Biến đổi Weyl trong một số không gian

hàm

Trong chương này, vận dụng định nghĩa biến đổi Fourier theo cách thứ

nhất, ta sẽ định nghĩa biến đổi Weyl W σ

với σ ∈ S 0 (R 2n ) đồng thời nghiên

cứu tính chất bị chặn, tính compact của biến đổi Weyl W σ

từ L 2 (R n ) vào

L 2 (R n ) với biểu trưng σ ∈ L r (R 2n ), 1 ≤ r ≤ ∞ Hơn nữa, ta còn đưa ra ví

dụđiển hình vềbiến đổi Weyltrong phầntoán tử địa phương hóa vàtoán tử

địa phương hóa compact

2.1 Biến đổi Weyl với biểu trưng thuộc L r (R 2n ), 1 ≤ r ≤ 2

Kết quả sau là sự mở rộng của Định lí 1.13 và để chứng tỏ rằng biến

đổi Weyl với biểu trưng thuộc không gian L r (R 2n ), 1 ≤ r ≤ 2 là toán tửcompact

Định lý 2.1 Với 1 ≤ r ≤ 2, tồn tại duy nhất toán tử tuyến tính bị chặn

Q : L r (R 2n ) −→ B(L 2 (R n )) sao cho (1.25) hoàn toàn xác định với mọi

σ ∈ L r (R 2n ) và f, g ∈ S(R n ) Hơn nữa,

|| Qσ || ∗ ≤ 2 −n  2 π

 n r

|| σ || L r (R 2n ) , σ ∈ L r (R 2n ). (2.1)

Chứng minh Trước hết, ta thấy rằng với n = 2, Định lí 2.1 chính là Định

lí 1.13 Với r = 1, lấy σ ∈ S(R 2n ) Khi đó, với bất kì f ∈ S(R n ), ta địnhnghĩa(Qσ)f theo(1.27) Khiđó,vớimọi f vàg ∈ S(R n ),từ(1.27)vàĐịnh

lí 1.12, ta nhận được

|< (Qσ)f, g >|= (2π) − n 2

Z

≤ (2π) − n 2 || σ || L 1 (R 2n ) || W (f, g) || L ∞ (R 2n ) (2.2)Nhưng từ (1.15) ta có

| W (f, g)(x, ξ) |= (2π) − n 2

Z

≤ (2π) − n 2

Z

R n

f (x +

p

2 )

... n ) || g || 2 L (R n ) , x, ξ ∈ R n (2.3)Vì vậy, từ (2.2) và< h3>(2.3) ta có

|< (Qσ)f, g >|≤ π −n || σ || L (R 2n ) || f ||